Tải bản đầy đủ (.pdf) (2 trang)

Đề thi và đáp án môn Toán cao cấp 2.pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (54.75 KB, 2 trang )

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010.
Môn học: Giải tích 1.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
CA 2
Câu 1 : Tính giới hạn (trình bày lời giải cụ thể) I = lim
x→0
s in x − ln ( s in x +

1 + x
2
)
t a n x − x c o s
2
x
.
Câu 2 : Khảo sát và vẽ đồ thò của đường cong y = ( 1 + x)
1
1+x
.
Câu 3 : Tìm và phân loại tất cả các điểm gián đoạn của đồ thò hàm số y = lg ( x
2
+ 3 x) .
Câu 4 : Giải phương trình vi phân y


y
x
= −
ln x
x


với điều kiện y( 1 ) = 1 .
Câu 5 : Giải phương trình vi phân y
′′
− 2 y

+ y = s in h ( 2 x) .
Câu 6 : Tính tích phân suy rộng

+∞
1
dx
x
13/3
·
3

1 + x
2
Câu 7 : Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử hoặc trò riêng, véctơ riêng.












dx
dt
= 5 x + y + z
dy
dt
= 2 x + 6 y + 2 z
dz
dt
= x + y + 5 z
Đáp án
Câu 1(.5 điểm). Khai triển: s in x + ln ( s in x +

( 1 + x
2
) =
x
3
6
+ o( x
3
) ; t a n x− x c o s
2
x =
4x
3
3
+ o( x
3
)
→ I = lim

x→0
s in x + ln ( s in x +

( 1 + x
2
)
t a n x − x c o s
2
x
= lim
x→0
x
3
6
+ o( x
3
)
4x
3
3
+ o( x
3
)
=
1
8
.
Câu 2(1.5 điểm). Tập xác đònh x > −1 , đạo hàm: y

= ( 1 + x)

1/(x+1)
·
1
(1+x)
2
( 1 − ln ( x + 1 ) )
→ y

≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ e − 1 . Hàm tăng trên ( 0 , e − 1 ) , giảm trên ( e − 1 , +∞) , cực đại tại
x = e− 1 , f
cd
= e
1/e
lim
x→−1
+
( x + 1 )
1/(x+1)
= 0 , không có tiệm cận đứng, lim
x→+∞
( x + 1 )
1/(x+1)
= 1 , tiệm cận ngang y = 1 .
Lập bảng biến thiên, tìm vài điểm đặc biệt, vẽ.
Câu 3(1.0đ). Miền xác đònh x < −3 , x > 0 , y liên tục trên toàn MXĐ, không có điểm gián đoạn.
Câu 4(1.5đ). y = e


p(x)dx



q( x) · e

p(x)dx
dx + C

;y = e

1/xdx


− ln x
x
· e

−1/xdx
dx + C

y = x


− ln x
x
2
dx + C

= x

ln x+1
x

+ C

; y( 1 ) = 1 ⇔ C = 0 → y = ln x + 1 .
Câu 5(1.5đ). Ptrình đặc trưng k
2
− 2 k + 1 = 0 ⇔ k = 1 → y
0
= C
1
e
x
+ C
2
· x· e
x
. Tìm nghiệm riêng:
y
r
= y
r
1
+ y
r
2
, với y
r
1
=
e
2x

2
là nghiệm riêng của y
′′
− 2 y

+ y =
e
2x
2
y
r
2
=
−e
−2x
1 8
là nghiệm riêng của y
′′
− 2 y

+ y =
−e
−2x
2
. Kết luận: y
tq
= y
0
+ y
r

1
+ y
r
2
.
1 -CA 2.
Câu 6 (1.5đ)

+∞
1
dx
3

x
13
+ x
15


+∞
1
dx
x
5
3

1 +
1
x
2

. Đặt t =
3

1 +
1
x
2
⇔ t
3
= 1 +
1
x
2
I =

1
3

2
−3
2
t( t
3
− 1 ) dt =
−3
2 0
·
3

4 +

9
2 0
Câu 7(1.5đ). Ma trận A =



3 1 1
2 4 2
1 1 3



. Chéo hóa A = P DP
−1
,
với P =



1 −1 −1
2 1 0
1 0 1



,D =



8 0 0

0 4 0
0 0 4



,
Hệ phương trình X

= A · X ⇔ X

= P DP
−1
X ⇔ P
−1
X

= DP
−1
X,đặt X = P
−1
Y , có hệ
Y

= DY ⇔ y

1
= 8 y
1
; y


2
= 4 y
2
; y

3
= 4 y
3
→ y
1
( t) = C
1
e
8t
; y
2
( t) = C
2
e
4t
; y
3
( t) = C
3
e
4t
Kluận: X = P Y ⇔ x
1
( t) = C
1

e
8t
− C
2
e
4t
− C
3
e
4t
; x
2
( t) = 2 C
1
e
8t
+ C
2
e
4t
; x
3
( t) = C
1
e
8t
+ C
3
e
4t

2 -CA 2.

×