CHƯƠNG 4 : QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG pdf

CHƯƠNG 4 : QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG
Trong hai chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi
trường liên tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường
biến dạng), giữa hai mặt này có quan hệ với nhau. Sự phân bố ứng suất và
biến dạng của môi trường phụ thuộc vào quan hệ đó. Xét quan hệ giữa ứng
suất và biến dạng tức là xét về mặt vật lý của môi trường. Sự khác nhau về
mặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật
rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến
và lý thuyết đàn hồi dẻo.
Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng :
σ
x
= f
1
(ε
x
, ε
y
, ε
z
, γ
xy
, γ
yz
, γ
zx
);
σ
y
= f
2

(ε
x
, ε
y
, );
σ
z
= f
3
(ε
x
, ε
y
, );
T
xy
= f
4
(ε
x
, ε
y
, ); (4.1)
T
yz
= f
5
(ε
x
, ε

y
, );
T
zx
= f
6
(ε
x
, ε
y
, );
Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính
tức quan hệ ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính. Do đó (4.1) viết
thành :
σ
x
= a
11
ε
x
+ a
12
ε
y
+ a
13
ε
z
+ a
14

γ
xy
+ a
15
γ
yz
+ a
16
γ
zx
;
σ
y
= a
21
ε
x
+ a
22
ε
y
+ a
23
ε
z
+ a
24
γ
xy
+ a

25
γ
yz
+ a
26
γ
zx
; (4.2)

T
zx
= a
61
ε
x
+ a
62
ε
y
+ a
63
ε
z
+ a
64
γ
xy
+ a
65
γ

yz
+ a
66
γ
zx
.
Trong đó :
Các hệ số a
ij
: Là các hằng số đàn hồi của vật liệu.
Trong (4.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi. Ta sẽ chứng minh rằng
đối với vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập
với nhau.
§4.1. CÔNG VÀ THẾ CỦA LỰC ĐÀN HỒI
Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z). Các
mặt của phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,4.1). Ứng với các ứng suất
ấy phần tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc.
Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công.
24
Hình 4.1
4.1.1. Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra:
Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : σ
x
và σ
x
+
x
x
∂
∂

σ
.dx, có
độ dài tương đối ε
x
, độ dãn dài tuyệt đối : ε
x
.dx.
Sau thời gian vô cùng bé δt, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia:
δε
x
. Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : δε
x
.dx.
Số gia của công do σ
x
sinh ra : (σ
x
.dydz)( δε
x
.dx)
Tương tự số gia của công σ
y
và σ
z
sinh ra : (σ
y
.dxdz)( δε
y
.dy) (a)
(σ

z
.dxdy)( δε
y
.dz).
4.1.2. Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra:
Xét thành phần T
xy
ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là γ
xy
. Sau thời
gian δt, góc trượt đó có số gia δγ
xy
.
Lực do T
xy
: T
xy
.dy.dz.
Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox :
(T
xy
.dydz).dx.
Số gia của công do Txy sinh ra : (T
xy
.dydz.dx). δγ
xy
.
Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là :
(T
yz

.dzdx.dy). δγ
xz
.
(b)
(T
zx
.dxdy.dz). δγ
zx
.
25
z
x
y
dx
dy
d
z
P(x,y+dy,z)
N(x+dx,y,z)
Q(x,y,z+dz)
dx
x
x
x
∂
∂
+
σ
σ
dx

x
xy
xy
∂
∂
+
τ
τ
dx
x
xz
xz
∂
∂
+
τ
τ
τ
xy
σ
x
τ
xy
Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất
sinh ra (a+b):
δT = (σ
x
. δε
x
+σ

y
. δε
y
+σ
z
. δε
z
+T
xy
δγ
xy
+ T
yz
δγ
yz
+ T
zx
δγ
zx
)dxdydz. (4.3)
Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng.
*Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) δA sẽ là :
δA =
V
T
δ
δ
= σ
x
. δε

x
+σ
y
. δε
y
+σ
z
. δε
z
+T
xy
δγ
xy
+ T
yz
δγ
yz
+ T
zx
δγ
zx
(4.4)
* Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được
bảo toàn. Nếu gọi W là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy khi vật thể biến
dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A.
Do vậy ta có A = W (4.5)
Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (4.5) gọi là có thế .
Từ (4.5) ⇔ δA = δW (4.6)
Thế năng sinh ra do biến dạng và chỉ do biến dạng mà có, vì vậy thế năng
biến dạng đàn hồi là hàm số của các thành phần biến dạng :

W = f(ε
x
, ε
y
, ε
z
, γ
xy
, γ
yz
, γ
zx
).
Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên δW là 1
vi phân toàn phần. Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia của
thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được :
δW =
x
w
ε
∂
∂
.δε
x
+
y
w
ε
∂
∂

.δε
y
+
z
w
ε
∂
∂
.δε
z
+
xy
w
δγ
∂
δγ
xy
+
yz
w
δγ
∂
δγ
yz
+
zx
w
δγ
∂
δγ

zx
. (4.7)
So sánh (4.4) và (4.7) : δA = δW : ta có :
σ
x
=
x
w
ε
∂
∂
; T
xy
=
xy
w
γ
∂
∂
;
σ
y
=
y
w
ε
∂
∂
; T
yz

=
yz
w
γ
∂
∂
; (4.8)
σ
z
=
z
w
ε
∂
∂
; T
zx
=
zx
w
γ
∂
∂
;
Từ (4.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng
suất là các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến
dạng tương ứng.
§4.2. ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT-
CÁC HẰNG SỐ ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU.
4.2.1. Dựa vào định lý Green :

Từ (4.2) ta có : σ
x
= a
11
ε
x
+ a
12
ε
y
+ a
13
ε
z
+ a
14
γ
xy
+ a
15
γ
yz
+ a
16
γ
zx
.
26
(4.8) ta có : σ
x

=
x
w
ε
∂
∂
⇒
yzx
w
γε
∂∂
∂
2
= a
15
(a).
Từ (4.2) ta có: T
yz
= a
51
ε
x
+ a
52
ε
y
+ a
53
ε
z

+ a
54
γ
xy
+ a
55
γ
yz
+ a
56
γ
zx
.
Từ (4.8) ta có: T
yz
=
yz
w
γ
∂
∂
⇒
yzx
w
εγ
∂∂
∂
2
= a
51

(b).
Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và
(b) ta có : a
15
= a
51
.
Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (4.2) ta có:
a
ij
= a
ji
(4.9)
Vậy các hằng số của hệ phương trình (4.2) đối xứng qua đường chéo chính.
Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số.
4.2.2. Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng :
Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt
phẳng nào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng. Tính chất cơ, lý của
vật liệu theo mọi phương là như nhau.
Do đó các phương trình (4.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ :
+Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp σ
x
của phương trình thứ nhất trong
hệ (4.2) không thay đổi:
σ
x
= a
11
ε
x

+ a
12
ε
y
+ a
13
ε
z
+ a
14
γ
xy
+ a
15
γ
yz
+ a
16
γ
zx
. (c)
Nhưng các biến dạng góc γ
xy
và γ
yz
đổi dấu vì khi đổi chiều
trục y thì góc trượt trước đây
làm góc vuông nhỏ lại nay làm
cho góc vuông lớn lên
⇒ σ

x
= a
11
ε
x
+ a
12
ε
y
+ a
13
ε
z
- a
14
γ
xy
- a
15
γ
yz
+ a
16
γ
zx
(d).
Đồng nhất (c) và (d) ta có :
0
1514
1515

1414
==⇒





−=
−=
aa
aa
aa
Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a
16
= 0.
Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của
ba phương trình đầu trong hệ phương trình (4.2) đều bằng 0.
27
Do a
ij
= a
ji
nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ
phương trình (4.2) cũng bằng 0.
* Hệ phương trình (4.2) trở thành :
σ
x
= a
11
ε

x
+ a
12
ε
y
+ a
13
ε
z
σ
y
= a
21
ε
x
+ a
22
ε
y
+ a
23
ε
z
σ
z
= a
31
ε
x
+ a

32
ε
y
+ a
33
ε
z
(4.9)
T
yx
= a
44
γ
xy
+ a
45
γ
yz
+ a
46
γ
zx
T
yz
= a
54
γ
xy
+ a
55

γ
yz
+ a
56
γ
zx
T
zx
= a
64
γ
xy
+ a
65
γ
yz
+ a
66
γ
zx
Hệ phương trình (4.9) cho ta kết luận :
- Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc.
- Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối.
Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 4.9) :
T
yx
= a
44
γ
xy

- a
45
γ
yz
+ a
46
γ
zx
(e)
Nếu ta đổi chiều trục z thì T
xy
không đổi nhưng γ
yz
và γ
zx
sẽ đổi dấu:
T
yx
= a
44
γ
xy
- a
45
γ
yz
- a
46
γ
zx

(f)
Đồng nhất (e) và (f) ta có :
0
4645
4646
4545
==⇒





−=
−=
aa
aa
aa
Do a
ij
= a
ji
⇒ a
54
= a
64
= 0.
Tương tự ta có : a
56
= a
65

= 0.
Hệ phương trình (4.9) có thể rút gọn như sau:
σ
x
= a
11
ε
x
+ a
12
ε
y
+ a
13
ε
z
σ
y
= a
21
ε
x
+ a
22
ε
y
+ a
23
ε
z

σ
z
= a
31
ε
x
+ a
32
ε
y
+ a
33
ε
z
T
yx
= a
44
γ
xy
(4.10)
T
yz
= a
55
γ
xy
T
zx
= a

66
γ
xy

Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (4.10), ta có:
x
y z
σ
z
= a
31
ε
x
+ a
32
ε
y
+ a
33
ε
z
Hoán vị vòng ta có: σ
x
= a
31
ε
y
+ a
32
ε

z
+ a
33
ε
x
(4.14)
Phương trình (1) của hệ phương trình (4.10) : σ
x
= a
12
ε
y
+ a
13
ε
z
+ a
11
ε
x
Đồng nhất (4.14) và (1) ta có : a
31
= a
12
a
32


= a
13

a
33
= a
11
Vì a
ij
= a
j i
⇒ a
12
= a
21
28
a
31
= a
13
a
32
= a
23
* Đặt a = a
11
= a
22
= a
33
b = a
12
= a

21
= a
13
= a
31
= a
23
Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (4.10) ta có : (4.15)
c = a
44
= a
55
= a
66
Do đó (4.10) có dạng :
σ
x
= aε
x
+ b(ε
y
+ ε
z
)
σ
y
= aε
y
+ b(ε
x

+ ε
z
)
σ
z
= aε
z
+ b(ε
x
+ ε
y
) (4.11)
T
xy
= cγ
xy
T
yz
= cγ
yz
T
zx
= cγ
zx
*Ta có: θ = ε
x
+ ε
y
+ ε
z

: là biến dạng thể tích tương đối.
nên σ
x
= bθ + (a - b) ε
x
σ
y
= bθ + (a - b) ε
y
(4.12)
σ
z
= bθ + (a - b) ε
z
*Đặt b = λ
a -b = 2 ν
(4.12) ⇔ σ
x
= λθ +2νε
x
σ
y
= λθ +2νε
y
(4.13)
σ
z
= λθ +2νε
z
Thực nghiệm chứng minh rằng khi xoay hệ trục tọa độ ta có c =

)(
2
1
ba
−

⇒ c = ν
→ T
xy
= νγ
xy
T
yz
= νγ
yz
(4.14)
T
zx
= νγ
zx
Các hệ phương trình (4.18) và (4.19) là quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng của vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng
quát viết dưới dạng ứng suất theo biến dạng. Đối với loại vật liệu này chỉ có
hai hằng số vật lý là λ và ν. Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê.
$4.3. MỘT DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT
Từ (4.18) ta có : σ
x
+ σ
y
+ σ

z
= 3λθ + 2νθ
Trong đó : θ = ε
x
+ ε
y
+ ε
z
: Độ biến dạng thể tích tương đối.
29
⇒ θ =
υλ
23
1
+
(σ
x
+ σ
y
+ σ
z
) (a)
Từ (4.18)
ν
λθ
ν
ν
λθ
ν
λθ

σσ
εε
σ
ε
σ
ε
−
−
=+⇒







−
=
−
=
2
2
2
zy
zy
z
z
y
y
(b)

Mặt khác ε
x
= θ - (ε
y
+ ε
z
) (c)
Thay (a) và (b) vào(c) ta có :
ε
x
=






++
+
−
+
−++
+
).(
)23(2
)(
23
1
zyx
zx

zyx
σσσ
σσ
σσσ
νλν
λ
ννλ
=
ννλν
νλ
σσ
σσσ
2
)(
)23(
yx
zyx
+
−++
+
+
ε
x
=







+
+
−
+
+
).(
)()23(
yxx
σσσ
νλν
λ
νλν
νλ
(4.15)
Đặt E =
νλ
νλν
+
+
)23(

µ =
)(2
νλ
λ
+
(416)
Ta có (4.20) : ε
x
=

[ ]
)(
1
zyx
E
σσσ
µ
+−
;
Tương tự :ε
y
=
[ ]
)(
1
zxy
E
σσσ
µ
+−
; (4.17)
: ε
z
=
[ ]
)(
1
yxz
E
σσσ

µ
+−
.
Từ (4.21) ta có :
E =
)22(2
22)23(
+=






+
+
=






+
+
+
+
=
+
+

µν
νλ
λ
ν
νλ
νλ
νλ
λ
ν
νλ
νλν

⇒ ν =
)1(2
+
µ
E
Mà G =
)1(2
+
µ
E
⇔ ν = G
Lúc này (4.19) có dạng :
γ
xy
=
G
1
T

xy
γ
yz
=
G
1
T
yz
(4.18)
30
γ
zx
=
G
1
T
zx
Các hệ phương trình (4.22) và (4.23) được gọi là định luật Hooke tổng quát
viết dưới dạng biến dạng theo ứng suất.
*Định luật Hooke khối
Từ (4.17) ta có :
E(ε
x
+ ε
y
+ ε
z
) = (σ
x
+ σ

y
+ σ
z
) - 2µ(ε
x
+ ε
y
+ ε
z
) (*)
(*) ⇔ Eθ = S (1 - 2µ) ⇔ θ =
S
E
.
21
µ
−
(4.19)
Với: θ = ε
x
+ ε
y
+ ε
z
: Biến dạng thể tích tương đối.
S =σ
x
+ σ
y
+ σ

z
: Hàm ứng suất tổng.
Phương trình (4.19) được gọi là Định luật Hooke khối.
31