Đề thi vào lớp 10 chuyên toán trường THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định năm học 2009-2010

Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2009-2010.
Thời gian lam bài: 150 Phút
Bài 1(2 điểm).
1. Giải phơng trình
6 2x x+ =
2. Chứng minh rằng
1 1 1 9

4
1 3 5 7 97 99
+ + + >
+ + +
Bài 2(3 điểm).
1. Cho phơng trình
4 2
6 4 0x x + =
.
Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. Gọi 4 nghiệm đó
lần lợt là x
1
, x
2
, x
3
, x
4
. Hãy tính giá trị của biểu thức
6 6 6 6
1 2 3 4
T x x x x= + + +
(với

kết quả đợc rút gọn)
2. Giải hệ phơng trình
3 2
2 2 2
3 6 4 0
2 0
x y y
x x y y

+ + =


+ =


Bài 3(2 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài của tam giác ABC nửa đờng tròn đờng
kính AB và nửa đờng tròn đờng kính AC. Đờng thẳng d thay đổi đi qua A, cắt hai
nửa đờng tròn vừa vẽ theo thứ tự tại M và N (M và N khác A). Chứng minh rằng
1. Đờng trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
2.
2( )MB MN NC AB AC+ + < +
Bài 4(1 điểm).
Bên trong một hình vuông có cạnh bằng 8cm, lấy 100 điểm bất kì. Chứng minh
rằng trong 100 điểm vừa lấy, có ít nhất 4 điểm cùng nằm trong một đờng tròn có
bán kính bằng 1cm.
Bài 5(2 điểm).
1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2 1 4P x x x= +

2. Chứng minh rằng nếu các số nguyên dơng x, y, z ( với x>1 và y>1) thỏa mãn
điều kiện
2 2 2
4 4x y x y z + =
thì x = y.