Giải các dạng bài tập toán A3.doc

DẠNG CÂU HỎI 1 ĐIỂM
Câu1 : (1đ) Cho hàm số z = arctg
y
x
chứng minh z’’
xx
+ z’’
yy
= 0
Z = artag
y
x
⇒Z’
X
=
)
2
)(1(
1
y
x
y
+
=
22
yx
y
+

22
2

)(1
1
.
2
'
yx
x
y
x
y
x
y
z
+
−=
+
−
=
Nên ⇒
'
)
22
(''
x
yx
y
xx
z
+
=

= -y.
2
)
22
(
2
2
)
22
(
2
yx
xy
yx
x
+
−
=
+

y
yx
x
yy
z
'
22
)(
''
+

−
=
=
222222
)(
2
)(
)2(
.
yx
xy
yx
y
x
+
=
+
−
−

Vậy ⇒
=+
yy
z
xx
z ''''

.0
2
)

22
(
22
=
+
+−
yx
xyxy
(đpcm )
Câu 3 : (1đ) Cho hàm số z = x + f(xy) với f(t) là hàm số khả vi, CMR xz’
x
-yz’
y
=x
Z =x + f(xy) vì f(t) khả vi ⇒∃ f
’
(t) = f
’
(xy)
⇒
=+=
x
xyfx
x
z
'
)((
'

)(

'
.
'
)(1 xyfxxy+

(a);


Z
’
Y
=
)(
'
.
'
)(0
'
))(
'
( xyf
y
xy
y
xyfx
+=+

)(
'
. xyfx=

(b) Thay (a) và (b) ta có
=−
y
zy
x
zx
'
.
'
.
))(.())(1(
''
xyfxyxyyfx
−+
=
=−+ )(
'
)(
'
xyxyfxyxyfx
x (đpcm)
Câu 4 : (1đ) Cho hàm số z = y f (x
2
-y
2
), với f(t) là hàm số khả vi CMR
2
'
1

'
1
y
z
z
y
z
y
yx
=+
)
22
( yxyfz
+=

)(.2)(.).()((
22'22''22'22'
yxfxyyxfyxyyxyfz
xxx
−=−−=−=
và
)(.2)()(.)()())((
22'22222''2222'22'
yxfyyxfyxfyxyyxfyxyfyz
yy
−−−=−−+−=−=
Khi đó ⇒
=+
y
z

y
x
z
x
'
.
1
'
.
1

))(2)(.(
1
)(2.
1
22'22222'
yxfyyxf
y
yxxyf
x
+−−+−
=
y
yxf )
22
(
+
(đpcm)
Câu 5 : (1đ) Cho hàm số z = ln(1/r) với r=
22 yx

+
CMR z’’
xx
+ z’’
yy
=0
r
r
z ln
1
ln
−==
,với
2
yxr
+=
Ta có:
r
x
yx
x
x
r
=
+
=
22
2
2
'

r
y
yx
y
y
r =
+
=
22
2
2
'
2
/
.
1
'.
1
)ln('
r
x
r
x
r
r
r
rz
x
x

x
−
=−=−=−=⇒
)(
2
..2
.'2
.
1
)'(''
4
22
4
2
422
a
r
rx
r
r
r
x
xr
r
rr
x
rr
x
z
x

xxx
−
=
+−
=+
−
=
−
=⇒
Với vai trò của x và y là tương đương nhau trong biểu thức → tính tương tự ta được :
)(
4
22
2
'' b
r
ry
yy
z
−
=
Cộng 2 vế (a) và (b) →
4
222
4
22
4
22
2)(222
''''

r
ryx
r
ry
r
rx
zz
yyxx
−+
=
−
+
−
=+
= 0 (đpcm )
Câu 6 : (1đ) Cho hàm số
x
yx
xy
y
x
arctgx
y
x
y
x
y
x
arctgzyx
y

x
xarctgz
x
22
)(1
1
.
1
.'
22
2
22
−
+
+=−
+
+=⇒−−=
Khi đó
)(2'.
22
2
2
a
yx
yx
x
y
x
xarctgzx
x

+
+−=
)(2'.22
)(1
1
..'
2
22
2
22
2
2
2
by
yx
yx
zyy
yx
x
y
y
x
y
x
xz
yy
−
+
−
=⇒−

+
−
=−
+
−
=
Cộng 2 vế của (a) và (b) ta được
)('')(222'.'
22222
22
2
2
yxzyzxzyx
y
x
xarctgy
yx
yx
x
y
x
xarctgzyxz
yxyx
+−=+⇔+−=−
+
−
+−=+
Câu 7 : (1đ)
)2,1,1
222

(A,zyxu
++=
Ta có :
2
z
2
y
2
x
x
2
z
2
y
2
x2
x2
x
u
++
=
++
=
∂
∂

2
z
2
y

2
x
y
2
z
2
y
2
x2
y2
y
u
++
=
++
=
∂
∂

2
z
2
y
2
x
z
2
z
2
y

2
x2
z2
z
u
++
=
++
=
∂
∂
2
1
2
)2(
2
1
2
1
1
x
)A(u
=
++
=
∂
∂
⇒

2

1
2
)2(
2
1
2
1
1
y
)A(u
=
++
=
∂
∂
⇒

2
2
2
)2(
2
1
2
1
2
z
)A(u
=
++

=
∂
∂
⇒
Biết rằng:
AOl


=
tạo với 3 trục của Oxyz cỏc gúc
γβα
,,
cosin Chỉ phương:
2
1
2
)2(
2
1
2
1
1
cos
=
++
=
α

2
1

2
)2(
2
1
2
1
1
cos
=
++
=
β

2
2
2
)2(
2
1
2
1
2
cos
=
++
=
γ
Vậy:
1...cos
)(

cos
)(
cos
)()(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
=++=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
γβα
l

Au
y
Au
x
Au
l
Au
Câu 8 : (1đ) Cho trường vô hướng
A(1,0),T¹i TÝnh
u
)1,1()ln(.2
−=−−+
∂
∂
lyxyxxu
l


Bg: Ta có
yx2
1
yx
x
)yxln(2
x
u
−
−
+
++=

∂
∂






yx2
1
yx
x2
x
u
−
+
+
=
∂
∂
( )
2
3
012
1
01
1
)01ln(.2
)(
=

−
−
+
++=
∂
∂
⇒
x
Au
2
5
012
1
01
1.2
y
)A(u
=
−
+
+
=
∂
∂
Biết rằng
⇒−=
)1,1(l

véctơ Chỉ phương
2

1
)1(1
1
2
1
)1(1
1
0
2222
coscos)cos,(cos
−
−+
−
−+
=======
l
y
l
x
l


βαβα
Biết rằng
βα
cos
y
)A(u
cos
x

)A(u
l
)A(u
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂

2
2
2
1
2
5
2
1
2
3
..
−
−
=









+=
Câu 9 : (1đ) Cho trường vô hướng
(gradu). div TÝnh
)3x2y(eu
2xy
−+=
Bg: Ta có
( )
y
u
x
u
gradu kh¸c MÆt
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
+−+=+−+=+−+=+−+=
;
)232.(.2)32(.)232(.2)32(.
22232

yxxxyeeyxyexyxyyeexyey
xyxyxy
x
u
xyxyxy
x
u
và
x y
eyyx yy
x y
ey
x
u
.2)232
3
(.
2
2
++−+=
∂
∂
)y4y3xy2y(e
224xy
+−+
)24
2
3
3
2

22
4
2
3
2
2
4
(
22
)24
2
3
3
2
22
()22()23
2
2
2
(.
2
2
++−+++−+=
∂
∂
+
∂
∂
=⇒
++−+=++++−+=

∂
∂
xyxxxyyyxyy
xy
e
x
u
y
u
xyxxxy
xy
exy
xy
eyxxxy
xy
ex
y
u
22
(gradu) div
Câu 10 : (1đ) Cho hàm ẩn
),( yxzz =
Có PT
xz
y
arctgxz
−
=−

Ta có

y
d
y
zdx
x
z
yxz
d ''
),(
+=
mà
0
),,(
=−+
−
=⇔
−
=−
zx
xz
y
arctgF
xz
y
arctgxz
zyx
2
)(
2
2

)(1
1
.
1
'
2
)(
2
2
)(
2
1
2
)(2
1
2
)(1
1
.
2
)(
'
xzy
xz
xz
y
xz
y
F
xzy

xzyy
xz
y
y
xz
y
xz
y
x
F
−+
−
= =
−
+
−
=
−+
−++
= =+
−+
=+
−
+
−
=
2
2
)(
2

)
2
)(
2
(
2
)(
2
)
2
)(
2
(
1
2
)(
2
1
2
)(1
1
.
2
)(
'
xzy
xzyy
xzy
xzyy
xzy

y
xz
y
xz
y
z
F
−+
−++−
=
−+
−++−
=−
−+
−
=−
−
+
−
−
=
22
22
22
22
22
)('
'
'
1

)(
))((
)(
))((
'
'
'
xzyy
xz
F
F
z
xzy
xzyy
xzy
xzyy
F
F
z
z
y
y
z
x
x
−++
−
=
−
=

=
−+
−++−
−+
−++−
=
−
=→
nnª VËy
dy
xzyy
xz
dxdyzdxzd
yxyxz
22
),(
)(
''
−++
−
+=+=
dã, Do
Câu 11 : (1đ) cho hàm ẩn
),( zyxx
=
có PT :
23
xyxx4z
+−=
Víi

2
4
3
),,(
xyxxz
zyx
F
−−+=⇔

1'
2'
43'
22
=
−=
−−=
zF
xyF
yxFd
y
x
ã, Khi
22
22
43
1
'
'
'
43

2
'
'
'
yx
F
F
x
yx
x y
F
F
x
x
z
z
x
y
y
−−
−
=
−
=
−−
=
−
=⇒
Như vậy =
dz

yx
dy
yx
xy
dzxdyxd
zyzyx
2222
),(
43
1
43
2
''
−−
−
−−
=+=
Câu 12 : (1đ) cho hàm ẩn
),( zyxx =
có PT
)y2yx(ez
2x2
++=
ozyyxeF
x
zyx
=−++=⇔
)2(
22
),,(

Ta có:
1'
)1(.2)22(')1242()2(.2'
2222222
−=
+=+=+++=+++=
z
xx
y
xxx
x
F
yeyeFyyxeeyyxeF
)2412(
1
'
'
'
2412
)1(2
)2412(
)1(2
'
'
'
22222
2
yyxe
F
F

x
yyx
y
yyxe
ye
F
F
x
x
x
z
z
x
x
x
y
y
+++
=−=
+++
+−
=
+++
+−
=
−
=⇒
Như vậy
)2412(
)1(2

''
22
2
),(
yyxe
dzdyey
dzxdyxd
x
x
zyzyx
+++
++−
=+=
DẠNG CÂU HỎI 2 ĐIỂM
Câu 1 : (2đ) Tìm cực trị của hàm số
)4)((
+−+=
yxyxez
x
Mxđ :
Ryx
∈∀
),(
ta có
[ ]
42)4)(()()4()4)(('
+++−+=+++−++−+=
xyxyxeyxeyxeyxyxez
xxxx
x

[ ]
yeyxeyxez
xxx
y
24)()4('
−+=+−+−=
Xét tọa độ các điểm tới hạn của h/số : M(x,y)





=
=
0)('
0)('
M
y
z
M
x
z
⇔
[ ]
)189'(
2
2
4
2
086

2
042)2(
2
042)4) ((
0)24(
2
2
=−=∆










−=
=



−=
=
⇔






=++
=



=+++
=
⇔





=+++−+
=−
x
y
x
y
x
y
xx
y
xyxyxe
ye
y
x
x
⇒ Hàm số có 2 điểm tới hạn:

)2,2(
1
−
M
và
)2,4(
2
−M
Ta lại có:
[
42)4)((''
+++−+==
xyxyxezAr
x
xx
] [ ]
====+++−+=++++−+
yxxy
x
zzBsxyxyxeyxyx ''''104)4)((2)()4(
[ ] [ ]
x
y
x
yy
x
x
x
eyezCtyeye 2)24('')24()24(
//

−=−===−=−
3
Tại M1(-2,2),ta có:
[ ]
0.2
0.4.40.2)1(''
0)2.24(''.210)2(4)422.(0)('')(
2
)1(
4422
)1(
2
)1()1(
22
11
>=
>=+=−⇒−==
=−===+−++−−==
−
−−−
−−−
eA
eeACBeMzC
ezBeeMzMA
M
yyM
MxyMxx
⇒Hàm số không đạt cực trị tại M
1
(-2,2)

Tại M
2
(-4,2),ta có :
0.2
0.4.40
.2
0)2.24(
2)104(4)424)(24(()(''
4
882
4
4
44
2
<−=
<−=−=−⇒
−=
=−=
−=+−++−−+−==
−
−−
−
−
−−
eA
eeACB
eC
eB
eeMzA
xx

Vậy hàm số đạt cực đại tại
M
2
(-4,2) và
44
)2,4(max
.4)424)(24(
−−
−
=+−−+−==
eezz

Câu 2 : (2đ) Tìm cực trị của hàm số
xyyxz 3
22
−+=
Ta có MXĐ :






∈∀=
2
),( RyxD
và
xy
y
z

yx
x
z
3
2
3'
3
2
3'
−=
−=
Xét tọa độ các điểm tới hạn M(xo,yo) của Z(x,y) :





=
=
⇔





=−
=−
⇔




=
=
)2(
)1(
033
033
0'
0'
2
2
2
2
xy
yx
xy
yx
z
z
y
x
Thay (2) vào (1)
⇔=→ yy
4



=
=
⇔=++−⇔=−

0
1
0)
4
3
)
2
1
)((1(0)1(
2
1
23
y
y
yyyyy
Với :
1
2
11
1
1
==→=
yxy
Với :
0
2
22
0
2
==→=

yxy
⇒Ta có 2 điểm tới hạn của :M
1
(1,1) và M
2
(0,0): ta có
yz
zz
xz
yy
yxxy
xx
6''
3''''
6''
=
−==
=
Tại M
1
(1,1) thì ⇒
027)6.6()3(
6)1(''
3''
61.6''
22
)1(
)1(
<−=−−=−=∆⇒
==

−==
===
ACB
MzC
zB
zA
yy
Mxy
Mxx
Vậy
⇒



>=
<∆
→
06
0
A
H/s đạt cực tiểu tại M
1
(1,1)
Tại M
2
(0,0) ta có
090)3(
''
3''
00.6''

22
00.6)(
)(
)(
2
2
2
>=−−=−=∆
=
−==
===
==
ACB
zC
zB
zA
Myy
Mxy
Mxx
⇒hàm số không đạt cực trị tại M
2
(o,o) .Như vậy hàm số đó cho đạt cực tiểu tại M
1
(1,1) = - 1
Câu 3 : (2đ) Tìm cực trị của hàm số
0,
2
)2)(
2
2(

≠−−=
abybyxaxz

MXĐ :
2
),( Ryx
∈∀
Ta có :

[ ]
[ ]
)2()(22)2('
)2()(22)2('
)2()2()2)(2(
22
axxbyybyaxxz
byyaxxaxbyyz
byyaxxybxxaxz
y
x
−−=+−−=
−−=+−−=
−−=−−=
Xét hệ PT:



=−−
=−−
⇔






=
=
0))(2(2
0)2()(2
0'
0'
byaxx
byyax
y
z
x
z
4

















=
=



=
=



=
=



=
=



=
=
⇔














=
=
=




=
=
=
⇔
by
ax
y
ax
by
x
oy
x
by

ax
by
ax
ox
by
y
ax
2
2
0
2
2
0
0
2
2
0
Kết hợp các khả năng với ab ≠ 0→a ≠0 ,b≠0, ta có 5 điểm tới hạn sau :M
1
(0,0) , M
2
(0,2b), M
3
(a,b) , M
4
(2a,0) ,M
5
(2a,2b)
Ta lần lượt xét các điểm tới hạn trên với
][

))((42)(2''''
)2(2))2()(2(''
'
byaxybyaxyxzxyz
byybyyaxz
xxx
−−=+−−==
−=−−=
và
)2(2'' axxyyz
−=
với M
1
(0,0)→
)
1
('' Mxxzr
=
0)20.(0.2
=−=
b
0)20(0.2)(''
4)0)(0(4)(''
2
1
=−==
=−−==
aMyyzt
abbaMxyzs
=−=−=∆⇒

0.0
2
)4(
2
abrts
0
22
16
〉
ba
(ab ≠ 0) mà r = 0
⇒ M
1
(0,0) không là điểm cực trị
Với M
2
(0,2b)→
0)22(2.2)(''
2
=−== bbbMxxzr
0)20(0.2)(''
)(4)2)(0(4)(''
2
2
=−==
−=−−==
aMyyzt
abbbaMxyzs
0
22

16
2
〉=−=∆
barts
⇒M
2
(0,2b) không là điểm cực trị
Với M
3
(a,b)⇒
2
3
3
2
3
4)2(2)(''
0))((4)(''
4)2(.2)(''
aaaaMyyzt
bbaaMxyzs
bbbbMxxzr
−=−==
=−−==
−=−==

=−=−=∆→
22
16
2
0

2
barts
0
22
16
〈−=
ba
mà r= -4b
2
< 0
⇒hàm số đạt cực đại tại M
3
(a,b)
* Với M
4
(2a,0)⇒
0)20(0.2)
4
(''
=−==
bMxxzr
obaabrtsaaaMyyzt
abbaaMxyzs
〉=−−=−=∆⇒=−==
−=−−= ==
2222
4
4
160)4(0)22(2.2)(''
4)0)(2(4)(''

→Hệ số không đạt cự trị tại M
4
(2a,0)
Với M
5
(2a,2b) ta có:
0160)22(2.2)(''
4)2)(2(4)(''
0)22(2.2)(''
222
5
5
5
〉=−=∆→=−==
=−−==
=−==
bartsaaaMyyzt
abbbaaMxyzs
bbbMzr
→Hệ số không đạt cự trị tại M
5
(2a,2b) Như vậy hệ số đạt cực đại tại M
3
(a,b) khi đó
222222
),(m ax
)2)(2( babbaaZZ
ba
=−−= ==
Câu 4 : (2đ)

yxyxyxz ln10ln4
22
−−++=
Mxđ:
{ }
0,0:),(
〉〉∀=
yxyxD
→ta có:
x
yxxz
4
2' −+=
y
xyyz
4
2'
−+=
; Xét hệ pt tọa độ cỏc điểm tới hạn M (x,y):
5







=−+
=−+
⇔




=
=
0
4
2
0
4
2
0'
0'
y
xy
x
yx
yz
xz







=
+
−+
=+−−

⇒
0
)(4
)(3
0
44
xy
yx
yx
yx
yx







=−+
=−−
⇔
0)
4
3)((
0)
4
1)((
xy
yx
xy

yx
{
0
0
0
==⇔



=+
=−
⇒ yx
yx
yx
→ loại Với khụg ∈ D
3
32
3
4
0
4
3
0
==⇔





=

=
⇔





=−
=−
yx
xy
yx
xy
yx



−=
−=
⇔





=+
=−
4
0
0

4
1
2
x
yx
yx
xy
(vụ n
0
)





=
=
→







=−
=−
3
4
4

0
4
3
0
4
1
xy
xy
xy
xy
( vụ n
0
)
vậy→ hệ pt có 1 n
0

3
32
==
yx
→ Hệ số có 1 điểm tới hạn
)
3
32
,
3
32
(M
Xét:
2

4
2''
x
zr
xx
+==
2
4
2''
1''''
y
yy
zt
yx
z
xy
zs
+==
===
⇒tại
0154.41
4
4
1''
1''
4
4
1''
)
3

32
,
3
32
(
2
3
4
)(
)(
3
4
)(
<−=−=−⇒
=+==
==
=+==
⇒
rts
zt
zs
zr
M
Myy
Mxy
Mxx
và r = 4 > 0 ⇒ h/số cực tiểu tại:
)
3
32

,
3
32
(M
và
3
4
ln74
3
4
ln
2
14
3
4
.3)
3
32
,
3
32
(
min
−=−==
zZ
Câu 5 : (2đ)
yxyxz
−−+=
33
MXĐ:∀(x,y)∈R

2
Ta có :
1
2
3'
−=
x
x
z

1
2
3'
−=
y
y
z
Xét hệ PT tọa độ các điểm tới hạn của h/số:
6

































=
=








−
=
=







=
−
=







−
=
−
=
⇔




















=
−
=






=
−
=
⇔






=−
=−
⇔



=
=
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1

3
1
3
1
013
013
0'
0'
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
x
y
x
z
z
y
x
⇒h/số có 4 điểm tới hạn:
)

3
1
,
3
1
(
4
),
3
1
,
3
1
(
3
)
3
1
,
3
1
(
2
),
3
1
,
3
1
(

1
MM
MM
−
−−−
Ta lại có:
6xxx'z'r
==
yyyzt
yxzxyzs
6''
''''
==
⊗===
⇒lần lượt xét các điểm tới hạn ta có : Tại
)
3
1
,
3
1
(
1
−
M
032
012
32.32
2
32

3
1
.6
)
1
(
''
32
3
1
.6
)
1
(
''
<−=
<−=
−⊗=−⇒
−=
−
==
⊗=
−=
−
==
r
rts
Myy
zt
s

Mxx
zr
⇒h/số đạt cực đại tại
)
3
1
,
3
1
(
1
−−
M
và
9
34
max
)
3
1
,
3
1
(
max
=⇒
−−
=
Z
zZ

Tại
⇒
−
)
3
1
,
3
1
(
2
M
7
01232.32
32
3
1
.6''
''
32)
3
1
.(6''
2
)(
)(
2
2
>=+⊗=−⇒
===

⊗==
−=
−
==
rts
zt
zs
zr
My y
xy
Mx x
⇒h/số ko đạt cực trị tại M
2
Tại









−=−==
==
===
⇒−
32)
3
1

.(6''
0''
32
3
1
.6''
)
3
1
,
3
1
(
)(
)(
3
3
3
My y
xy
Mxx
xt
zs
zr
M
01232.32
2
>=+⊗=−⇒
rtS
⇒h/số dạt cực trị tại :

)
3
1
,
3
1
(3
−
M
Tại
⇒
)
3
1
,
3
1
(
4
M









==

=
⊗===
===
32
3
1
.6
)4
(
''
''''
32
3
1
.6)
4
(''
Myy
zt
yx
z
xy
zs
Mxxzr
01232.32
2
〈−=−⊗=−⇒
rtS
mà
032 〉=r

⇒h/số đạt cực tiểu tại
)
3
1
,
3
1
(
4
M
với
9
34
)
3
1
,
3
1
(
min
−==
zZ
Như vậy h/số đạt cực đại tại
9
34
max1
);
3
1

,
3
1
(
=−−
ZM
Đạt cực tiểu tại:
9
34
min4
);
3
1
,
3
1
(
−=
ZM
Câu 6 : (2đ)
Tỡm cực trị của hàm số
z = x
4
+y
4
– 2x
2
+ 4xy -2y
2
z’x = 4x

3
– 4x + 4y
z’y = 4y
3
– 4y + 4x
z’’xy = 4, z’’x
2
= 12x
2
– 4
z’’y
2
= 12y
2
– 4






=+−
=+−





↔
=

=
0xyy
0yxx
0'z
0'z
2
2
y
x





=+−
=−++
↔
=+−
=+
↔



0yx
3
x
0)x y
2
y
2

x) (yx(
0yx
3
x
0
3
y
3
x

8

























=
=
=−
=+
⇔
=+−
=
=+−
=+
⇔
0y
0x
0x2
3
x
0yx
0yx
3
x
0xy
0yx
3
x
0yx



















=
−=
−=
=
=
=
⇔
2y
2x
2y
2x
0y
0x

+ Xét A(0,0) z’’x
2
= - 4 = z’’y
2
z’’x
2
y – z’’x
2
. z’’y
2
= 0
+ Xét (x,y) theo đường (0,y) =>
z(0,y) – z(0,0) = y
2
(y
2
-2)<0
Khi y ở lõn cận 0
(
)
2y
<
+ Xét (x,y) theo đường (x=y)
=> z(y,y) – z(0,0) = 2y
4
>0
Khi y lõn cận 0.
Từ 2 trường hợp trên => (0,0) k
0
là Cực trị

* Xét A
( )
¹i cùc vµo thay d2,2
=>−
* Xét B
( )
tiÓu cùc vµo thay =>− 2,2
Câu 7 : (2đ)
Tỡm cực trị của hàm số:
z = xy+
y
20
x
50
+
với x>0, y>0
Giải: Bước 1





−
−=
2
y
20
x
2
x

50
x
'z
y'z

Tỡm cỏc điểm dừng










=
=−
⇒
=−
=−
)2(
)1(0
0
0
2
2
2
2
20

50
20
50
y
x
y
x
x
y
x
y
Thay (2) vào (1) ta có
0y.y0y
4
8
1
2
2
y
20
50
=−⇒=−









=> 8y – y
4
= 0 => y(8-y
3
) = 0



=++−=−
=
⇒
0)
2
24)(2(
3
8
0
yyyy
y





=⇒=
=
⇒
>++=+− 03
2
)1(42

2
0
yy
y
y
2
y
5 x
ra bµi theo lo¹i
Vậy có 1 điểm dừng M
1
(5,2).
Bước 2: Tính
ACB
2
−=∆
3
4000
3
40
''
11''
100
''
2
33
2
y
zC
zB

x
zA
y
yx
xy
x
==
−=∆⇒==
==
Tại điểm dừng M(5,2) ta có
0341)2,5(
<−=−=∆
=> hàm số đạt cực trị ta lại có
9

⇒>= 0)2,5(A
125
100
Tại M hàm số đạt cực tiểu.
Câu 8 : (2đ)
Tỡm cực trị cuả hàm số
z= x
3
+ y
3
– x
2
y
Giải: Bước 1:






−=
−=
22
y
2
x
xy3'z
xy2x3'z
Tỡm cỏc điểm dừng
có hệ





=−
=−
)2(0
22
3
)1(02
2
3
xy
xyx
Từ (1) => x(3x-2y) =0




=⇒=
=
⇒
yxyx
x
3
2
23
0
thay x=0 vào (2) ta có 3y
2
=0 =>y=0
thay x=2/3.y vào (2) ta có
042703
222
9
4
2
=−⇒=
yyyy
23 y
2
= 0 => y=0
Vậy ta có điểm dừng M(0,0)
Bước 2:
Tớnh
ACB

2
−=∆
yxzA
x
26''
2
−==
yzC
y
yyxxx
x y
zB
6''
2
6).26(
2
42''
==
−−=∆⇒−==
xét tại điểm dừng M(0,0) ta có
0)0,0( =∆
=> chưa có k.luận về cực trị, xét hàm số tại (0,0): z=0; z>0 với x=y
Câu 9 : (2đ)
Tỡm cực trị của hàm số

1
122
22
++
++

=
yx
yx
z
1
22
)122(
1
22
1
22
2
'
++
++
++
−++
=
yx
yx
yx
x
yx
x
z
3
22
2
3
22

222
1
222
1
)22()1(2






++
+−−






++
++−++
==
yx
xxyy
yx
xxyxyx
3
22
2
1

222
'






++
+−−
=
yx
yxyx
y
z
10
Ta có








=+−−
=+−−
⇔
=
=

022
2
2
022
2
2
0'
0'
yxyx
xxyy
y
z
x
z



=+−−
=++−
↔
0222
0)122)((
2
yxyx
yxyx











=+−−
=++



+−−
=−
↔
0222
0122
222
0
2
2
yxyx
yx
yxyx
yx
x=y=2
Ta có:
( )( )
1
222
1
2

2
2
2122
++++≤++
yxyx
13
22
++=
yx
33
1
122
22
≤⇒≤⇒
++
++
z
yx
yx

=> max z=3
21
22
==↔==↔
yx
y
x
=> A(2,2) là cực đại Với Z
max
=3

Câu 10 : (2đ)
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số:
Z= x
2
+2xy - 4x +8y
trờn miền D:



≤≤
≤≤
20
10
y
x
Giải: Ta có:





+=
−+=
8x2'z
4y2x2'z
y
x
Tỡm cỏc điểm tới hạn




=
−=
⇒





=+=
=−+=
6y
4x
08x2
y
'z
04y2x2
x
'z

Vậy ta thấy hàm số đạt cực trị thỡ điểm cực trị k
0
thuộc miền D

17)2,1(
3)0,1(
16)2,0(
0)0,0(
=
−=

=
=
z
z
z
z
:XÐt
=> Gớa trị Max =17
Giỏ trị Min = -3
Câu 11 : (2đ)
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số:
Z= x
2
+y
2
-12x +16y
trờn miền D:
25
22
≤+
yx

Giải: Ta có:





+=
−=

16y2'z
12x2'z
y
x
Tỡm cỏc điểm tới hạn



−=
=
⇒





=+=
=−=
8y
6x
016x2
y
'z
012x2
x
'z
Vậy ta thấy hàm số đạt cực trị thỡ điểm cực trị k
0
thuộc miền D
11

70)5,5(z
90)5,5(z
190)5,5(z
30)5,5(z
=
−=−
=−
=−−
:XÐt
=> Gớa trị Max =190
Giỏ trị Min = -90
Câu 12 : (2đ)
y
2
2
y
x
=
y=1
1
3
−

2
1
1
2
3

Đổi thứ tự lấy t/phân
∫
=
1
0
dyI

∫
−
2
2
2
3
),(
y
y
dxyxf
miền lấy t/phân D =










−≤≤
≤≤

∈
2
3
2
2
10
:
2
),(
yx
y
y
Ryx
→ D được giới hạn bởi các đường
y =0 ; y =1 ;
2
2
y
x
=
;
3
222
3
=+⇔−=
yxyx
Miền D =
 
321
DDD

với











−≤≤
≤≤
=










≤≤
≤≤
=











≥≥
≤≤
=
2
30
32
:),(
3
10
2
2
1
:),(
2
02
2
1
0
:),(
1
xy
x

yxD
y
x
yxD
yx
x
yxD
Vậy→
∫
=
2
1
0
dxI

∫
+
x
dyyxf
2
0
),(
∫
2
2
1
dx
∫
+
1

0
),( dyyxf
∫∫
−
2
3
0
3
2
),(
x
dyyxfdx
Câu 13 : (2đ)
Đổi thứ tự lấy t/phân:
∫∫
=
−
x
xx
dxI
2
2
2
0 2
dyyxf ),(
y
2
2
y
x =

1
12

1/2 1 2 x
Miền lấy t/phân D =










≤≤−
≤≥
∈
xyxx
x
Ryx
2
2
2
20
:
2
),(

D được g/hạn bởi các đường

x =0 ; x =2





−+=
−−=
⇔
⇔=+−⇔−=
2
11
2
11
1
22
)1(
2
2
yx
yx
yxxxy

2
2
2
y
xxy =⇔=
→
 

321
DDDD =
với D
1
=










−−≤≤
≤≤
2
11
2
2
10
:),(
yx
y
y
yx











≤≤
≤≤
=
2
2
2
21
:),(
2
x
y
y
yxD











≤≤−+
≤≤
=
2
2
11
10
:),(
3
xy
y
yxD
Vậy →
∫∫
=
−−
2
2
2
11
1
0
y
y
dyI
+
dxyxf ),(
+
∫∫
+

−+
dxyxfdy
y
),(
2
11
1
0 2
dxyxfdy
y
),(
22
1
2
2
∫∫
Câu 14 : (2đ)
∫ ∫
−
−−
1
0
1
2
1
),(
y
y
dxyxfdy
y

1
y=1
1
-1 x

x=1-y
→miền lấy tích phân
{
),( yxD =

yxy
y
−≤≤−−
≤≤
1
2
1
10

→Miền D được giới hạn bởi các đường: y=0 ,y =1 ,x=1-y và

2
1 yx
−−=
1
22
=+⇔ yx
(lấyphần
)0≤x
21

DDD ∪=⇒
Với:
{
:),(
1
yxD
=






≥≥−
≤≤−
0
2
1
01
yx
x
{



−≤≤
≤≤
=
xy
x

yxD
10
10
:),(
2
13
∫
−
∫
−
∫
−
∫
−
+=⇒
x
dyyxfdx
x
dyyxfdxI
1
0
),(
0
1
0
1
2
1
0
).(

Câu 1 : (3đ)
∫
++=
L
dx)yxxy(I
dy)yxxy( −++
Theo công thức Green:
∫∫
−=
D
dxdy)xy(I





≤≤
≤≤−
π
π
ϕ
π
cosar0
22
:D
∫∫
−=
∫∫

−−+=
D
dxdy)xy(
D
dxdy)1x1y(I
Trong đó D là hình tròn :
4
2
a
2
y
2
)
2
a
x( ≤+−
đổi toạ độ cực thì:
D





≤≤
≤≤−
ϕ
ππ
cosar0
2
4

2
Câu 2 : (3đ)
∫
+=
L
ydxxdyI
y
a
L
-a 0 a x
*Tính trực tiếp : Ta có PT đường cong là nửa trên của đường tròn :
)0(,
222
>=+ aayx
là





≤≤−
−=
axa
xay
22

dx
xa
x
dx

xa
x
dy
22
22
2
2
−
−
=
−
−
=⇒

vậy⇒
∫
+=
L
ydxxdyI
dx
a
a
xa
x
xxa
∫
−











−
−
+−
22
.
22
∫
−
−
∫
−
−−=
∫
−











−
−−=
∫
−










−
−−=
a
a
xa
d x
a
a
a
d xxa
dx
a
a
xa
a

xa
d x
a
a
xa
x
xa
22
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
∫
−
∫
−−=⇒
−
−
a
a
a
a
xa
dx

a
dxxaI
22
2
22
2
14