PP giải PT+BPT Vô Tỉ

(*)
0
x D
A B A B
A B
∈

= ⇔ = ≥ ⇔

=

0A ≥
0B ≥
2
0B
A B
A B
≥

= ⇔

=

0
0
2
A
A B C B
A B AB C


≥

+ = ⇔ ≥


+ + =

( )
3 3 3 3
3 3
3 .A B C A B A B A B C+ = ⇒ + + + =
3 3
A B C+ =
3
3 . .A B A B C C+ + =
I.PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dạng 1 : Phương trình
Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của
hay
Dạng 2: Phương trình
Dạng 3: Phương trình
+)
(chuyển về dạng 2)
+)

và ta sử dụng phép thế :
ta được phương trình :

2

1 1x x− = −
2 3 0x x− + =
2
1 1x x+ + =
3 2 1 3x x− + − =
3 2 1x x+ − − =
9 5 2 4x x+ = − +
3 4 2 1 3x x x+ − + = +
2 2
( 3) 10 12x x x x+ − = − −
BÀI 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
a)
b)
c)
e)
f)
g)
h)
i)

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 2
3 2 2x x m x x− + − = + −

Bài 3: Cho phương trình:
2
1x x m− − =
-Giải phương trình khi
m=1
-Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 4: Cho phương trình:
2
2 3x mx x m+ − = −
-Giải phương trình khi
m=3
-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.

A B C D+ = +
( )
3 3 3 3
3 3
3 .A B C A B A B A B C+ = ⇒ + + + =
3 3
A B C+ =
3
3 . .A B A B C C+ + =
3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +
0x ≥
( ) ( ) ( )
1 3 3 1 2 2 1x x x x x+ + + = + +
3 1 2 2 4 3x x x x+ − + = − +
2 2
6 8 2 4 12 1x x x x x+ + = + ⇔ =
1. Bình phương 2 vế của phương trình
a)Phương pháp

Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng :
, ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau


và ta sử dụng phép thế :
ta được phương trình :
a)Ví dụ
1. Giải phương trình sau :
Giải: Đk
Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:
, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút .
Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :
Bình phương hai vế ta có :

( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x k x+ = +
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x g x k x+ = +
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x k x g x− = −
Thử lại x=1 thỏa

Nhận xét : Nếu phương trình :

Mà có :
, thì ta biến đổi phương trình về dạng :
sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả

Bài 2. Giải phương trình sau :
3
2
1

1 1 3
3
x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+

H ng d nướ ẫ
1x ≥ −
3
2
1
. 3 1. 1
3
x
x x x x
x
+
+ = − + +
+
3
2
1
(2) 3 1 1
3
x
x x x x
x

+
⇔ − + = − + − +
+
3
2 2
1 3
1
1 2 2 0
3
1 3
x
x
x x x x
x
x

= −
+
= − − ⇔ − − = ⇔

+
= +


1 3, 1 3x x= − = +
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x h x k x+ = +
( ) ( ) ( ) ( )
. .f x h x k x g x=
( ) ( ) ( ) ( )

f x h x k x g x− = −
Điều kiện :
Bình phương 2 vế phương trình ?
Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét :
, từ nhận xét này ta có lời giải như sau :

Bình phương 2 vế ta được:
Thử lại :
l nghiệm
Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :
Mà có :
thì ta biến đổi

0
x
( )
( )
0
0x x A x− =
( )
0A x =
( )
0A x =
( )
0A x =
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
( ) ( )

( )
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2x x x x x− + − − − = − −
( ) ( )
( )
2 2
2 3 4 3 2x x x x− − − + = −
( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
x x
x x x
x x x x
− + −
=
− + − +
− + + − +
2. Trục căn thức
2.1. Trục căn thức để xuất hiện nhân tử
chung
a)Phương pháp
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được
nghiệm
như vậy phương trình luôn đưa về được dạng tích
ta có thể giải phương trình
hoặc chứng minh
vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía

vô nghiệm
a) Ví dụ
Bài 1 . Giải phương trình sau :
Giải:
Ta nhận thấy :
v
Ta có thể trục căn thức 2 vế :
Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .

2 2
12 5 3 5x x x+ + = + +
2 2
5
12 5 3 5 0
3
x x x x+ − + = − ≥ ⇔ ≥
( ) ( )
2 0x A x− =
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4
12 4 3 6 5 3 3 2
12 4 5 3
2 1
2 3 0 2
12 4 5 3

x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +
 
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
 ÷
+ + + +
 
2 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
x x
x
x x
+ +
− − < ∀ >
+ + + +
Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) :
Giải: Để phương trình có nghiệm thì :
Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng
, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :

Dễ dàng chứng minh được :