định lý biến thiên momen động lượng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (134.46 KB, 12 trang )
Nguyn Anh Vn - 1 -
CHUYÊN :
NH LÝ BIN THIÊN MOMEN NG LNG
1. MOMEN NG LNG:
a). Momen lng ng i vi tâm O ca mt cht m có khi lng m chuyn
ng vi vn tc
v
c xác nh bng biu thc:
vmrL
Trong ó
r
là bán kính vect ca cht m i vi tâm O.
b). Momen ng lng ca mt vt rn i vi mt trc quay cnh c xác nh
ng biu thc:
IL
2. NH LÝ BIN THIÊN MOMEN NG LNG:
o hàm theo thi gian momen ng lng ca hi vi mt trc cnh bng tng
các momen ngoi lc tác dng lên c hi vi trc ó.
M
dt
Ld
Phng trình vi phân chuyn ng ca vt rn quanh mt trc cnh:
MJ
3. BÀI TP:
Câu 1: Hai vt nng P
1
và P
2
c buc vào hai dây qun vào hai tang ca mt ti bán
kính là r và R. nâng vt nng P
1
lên ngi ta tác dng vào ti mt momen quay M.
Tìm gia tc gc ca ti quay, gia tc ca hai vt. Bit trng lng ca ti là Q và bán
kính quán tính i vi trc quay là
.
Gii:
Áp dng nh lý bin thiên momen ng lng i
i trc quay i qua tâm O ca ti ta có:
MRPrP
dt
dL
21
Momen ng lng ca c h bng:
22
2
2
1
21
g
Q
R
g
P
r
g
P
Jv
g
P
Rv
g
P
rLLLL
BACBA
Thay vào biu thc trên ta c:
MRPrP
dt
d
g
QRPrP
21
22
2
2
1
Rara
QRPrP
grPRPM
21
222
2
22
1
12
;;
)(
Câu 2: Mt a tròn ng cht, trng lng là Q, bán kính là R quay c quanh mt
trc thng ng AB i qua tâm a và vuông góc vi a. Trên vành a có mt cht
m M có trng lng P. a quay quanh trc vi vn tc góc
0
. Ti mt thi m
nào ó cht m M chuyn ng theo vành a vi vn tc tng i so vi a là u.
Tìm vn tc góc ca a lúc ó.
P
2
M
P
1
R
r
Nguyn Anh Vn - 2 -
Gii:
Vì ngoi lc gm các lc song song hoc ct trc quay nên tng momen các ngoi lc
i vi trc quay bng không. Do vy momen ng lng ca hc bo toàn, ta có:
0
LL
Trong ó:
g
PQR
L
2
2
2
0
0
Gi s thi m ban u cht m nm yên trên a và cùng vi a quay quanh
trc vi vn tc góc
0
theo chiu dng và khi cht m chuyn ng i vi a
i vn tc tng i u cng theo chiu dng thì a quay quanh trc vi vn tc góc
. Momen ng lng ca c h là:
RRu
g
P
R
g
Q
RRu
g
P
JL
2
2
y cui cùng ta c:
RPQ
Pu
2
2
0
a quay quanh trc theo chiu dng hoc âm tùy thuc
RPQ
Pu
2
2
0
.
Câu 3:a tròn A ng cht có trng lng P và bán kính R có th quay quanh trc
thng ng vuông góc và i qua tâm ca a. Ti thi m ban u tâm ca a có
viên bi M trng lng Q và a có vn tc góc
0
. Sau ó viên bi M bt u chuyn
ng dc theo ng bán kính ca a vi vn tc tng i v
r
= u không i. Tìm vn
c góc ca a ti thi m bt kì, sau khi viên bi ri khi tâm ca nó, và ti thi
m khi viên bi chy n mép a. b qua ma sát ti quay.
Gii:
Rõ ràng, momen ca các ngoi lc i vi trc quay luôn bng không trong sut quá
trình chuyn ng ca h, do ó momen ng lng ca hi vi trc quay c bo
toàn. Ti thi m u:
0
2
0
2
g
PR
JL
i thi m bt k, a A có vn tc góc
, còn viên bi có vn tc tng i v
r
= u
và vn tc theo
rv
e
i r là khong cách t viên bi ti tâm a. Momen ng lng
a h khi ó bng:
er
v
g
Q
rv
g
Q
rJL
Nhng vn tc tng i nm trên ng thng ct trc quay do ó:
0
r
v
g
Q
r
.
n tc theo
utrv
e
cui cùng ta c:
2
22
22
ut
g
Q
g
PR
v
g
Q
r
g
PR
L
e
Cho L = L
0
ta c phng trình xác nh vn tc góc ca a:
222
0
2
2 tQuPR
PR
Nguyn Anh Vn - 3 -
i thi m
u
R
t
1
thì viên bi chy n mép a, do ó vn tc góc ca a lúc ó
ng:
QP
P
2
0
.
Câu 4: Mt si dây vt qua ròng rc A có th quay quanh trc nm ngang O cnh.
i mt u dây có buc vt nng B, còn u kia có ngi C bám vào. Ngi và vt
ng có cùng khi lng. Ròng rc có bán kính r khi lng bng 1/4 khi lng ca
ngi và c coi nh phân bu trên chu vi ca nó. Ban u hng yên, sau ó
ngi C bt u leo dây vi vn tc tng i so vi dây là u. B qua khi lng ca
dây và ma sát ròng rc. Tìm vn tc ca vt B.
Gii:
Ta nhn thy rng tng momen ca các ngoi lc i vi trc quay bng không do ó
momen ng lng ca hc bo toàn. Ban u hng yên nên L
0
= 0. Momen
ng lng ca hi vi trc quay ca ròng rc ti thi m bt k bng:
rmurmv
r
v
r
m
rmvrmvrmvJL
B
B
reB
2
4
2
Cho L = L
0
= 0. gii ra ta c:
uv
B
9
4
Câu 5 : Rôto quay quanh trc thng ng di tác dng ca momen quay M = const
và momen cn ti các quay t l vi vn tc góc ca rô to
aM
c
, bit momen
quán tính ca rô to i vi trc quay là J và ban u vt ng yên. Tìm vn tc góc
a vt ph thuc vào thi gian và giá tr gii hn ca vn tc góc.
áp s :
a
M
e
a
M
gh
t
J
a
,1
Câu 6 : Tang quay B có hai vành bán kính R,r và trng lng P
1
. Vành trong ca tang
có qun dây, treo vt nng D trng lng P
2
, khi tang B ang chuyn ng vi vn tc
góc
0
thì ngi ta tác dng lc
G
vuông góc vi cn hãm O
1
A cho má hãm E xit
vào vành ngoài ca tang B. Cho bit h s ma sát gia má hãm E và vành ca tang B
là f, bán kính quán tính ca tang i vi trc quay là
, các kích thc ca cn hãm
O
1
A = a, O
1
E = b. B qua kích thc ca má hãm, ma sát ti các quay, trng lng
a dây và ca cn hãm.
a. Tìm quy lut chuyn ng ca tang B.
b. Tìm thi gian t lúc bt u hãm cho ti khi tang dng li.
c. Tìm s vòng quay mà tang quay c trong thi gian hãm ó.
Gii :
Áp dng nh lý bin thiên ng lng ca hi vi trc quay O ca tang, ta có :
.
22
fNRrPRFrP
dt
dL
ms
Momen ng lng ca hi vi trc quay O ti thi m bt kì :
rr
g
P
g
P
rv
g
P
JL
BBDB
2
2
12
0
Xét cân bng ca cn hãm O
1
A tìm áp lc N, ly phng trình mô men i vi O
1
:
Nguyn Anh Vn - 4 -
b
Ga
NGaNb 0
y cui cùng ta c :
GR
b
fa
rP
g
rPP
dt
d
B
2
2
2
2
1
c khác : dtd
BB
y :
.
2
2
2
1
2
const
rPPb
rbPfaGRg
B
Tang chuyn ng chm dn u
0
,0,0
BB
t
:
2
0
0
2
1
tt
t
BB
BB
Thi gian hãm :
B
BB
tt
0
0
0
Góc quay c ca tang trong thi gian hãm :
B
2
2
0
vòng quay c ca tang trong thi gian hãm:
2
n
Câu 7: Qu cu có khi lng m c gn u A ca
thanh AB dài l có th quay quanh trc thng ng vuông góc
i AB trong bình cha cht lng vi vn tc góc ban u
0
. Lc cn ca cht lng tác dng lên qu cu t l vi
và có biu thc
amR
trong ó a= const,
là vn tc góc ca thanh AB. B qua khi lng ca thanh AB.
a. Tính thi gian vn tc góc ca thanh AB gim i mt na.
b. Tính s vòng quay c ca thanh AB trong thi gian trên.
Gii :
Ta có phng trình chuyn ng ca vt quanh trc thng ng :
aml
dt
d
ml
M
dt
Ld
2
Thc hin tích phân, s dng u kin u ta c :
t
l
a
e
0
Thay
2
0
ta tính c : 2ln
a
l
t
Phng trình trên có thc vit li di dng :
2
2
0
0
2
0
0
n
a
l
d
l
a
d
d
l
ad
dt
l
ad
A
G
B
P
2
F
ms
N
E
O
O
1
R
B
A
Nguyn Anh Vn - 5 -
Câu 8 : Hai tr tròn xoay ng cht A và B có trng lng ln lt là P
1
và P
2
và bán
kính ln lt là R
1
và R
2
. Qun hai si dây mm vào hai u ca hai khi tr mt cách
i xng i vi mt phng trung bình song song vi áy ca hai khi tr. Khi tr A
quay quanh mt trc cnh trùng vi ng trc tâm ca các khi tr. Khi tr B ri
do không vn tc u, làm dây qun nh ra và quay khi tr A. B qua ma sát và
các lc cn. Xác nh sc cng ca mi dây qun, vn tc góc ca hai khi tr,
phng trình chuyn ng ca khi tr B.
Gii :
Ta có phng trình chuyn ng ca khi tr B :
dt
dv
g
P
TP
c2
2
2
i v
c
là vn tc khi tâm ca khi tr B:
2211
RRv
c
Áp dng nh lý bin thiên momen ng lng i vi các khi tr :
2
2
2
1
1
1
2
2
TR
dt
d
J
TR
dt
d
J
Gii các phng trình ã thành lp ta c :
21
21
232 PP
PP
T
;
t
PPR
gP
211
2
1
23
2
;
t
PPR
gP
212
1
2
23
2
;
2
21
21
23
t
PP
PPg
s
Câu 9 : Mt cái a ng cht có bán kính R ang quay quanh tâm O ca nó vi vn
c gc
thì c t mt cách thn trng trên mt mt nm ngang. a s quay trên
t này trong bao lâu nu h s ma sát bng
. Áp sut ca a trên mt c coi là
u.
Gii :
Xét phn t gii hn bi hai ng tròn bán kính r và r + dr có khi lng :
rdr
R
m
m
i
2
2
c ma sát tác dng lên phn t này là :
rdr
R
mg
gmF
ii
2
2
Momen lc ma sát cn tr chuyn ng quay ca phn a này là :
drr
R
mg
rFM
ii
2
2
2
Momen lc ma sát tác dng lên a :
mgRdrr
R
mg
M
R
3
22
2
0
2
Phng trình quay ca a :
2
2
1
; mRJMJ
y :
R
g
3
4
Thi gian a quay cho n khi dng li :
g
R
t
4
3
B
A
Nguyn Anh Vn - 6 -
Câu 10 : Mt ngi có khi lng m ng mép mt a tròn ng cht nm ngang
có khi lng M, bán kính R. a có th quay t do quanh mt trc thng ng c
nh i qua tâm a. Ti thi m nào ó ngi bt u chuyn ng theo mép a,
ch chuyn mt góc
1
ri dng li. Trong quá trình chuyn ng vn tc ca ngi
i vi a ph thuc thi gian theo quy lut
tv
1
. B qua kích thc ca ngi tìm.
a. Góc mà a quay c cho ti khi ngi dng li.
b. Momen ca lc i vi trc quay mà ngi ã tác dng lên a trong quá trình
chuyn ng.
Gii :
Lúc u momen ng lng ca h bng không. H bo toàn momen ng lng nên :
L = L
1
+ L
2
= 0
i a :
dt
d
MR
dt
d
JL
2
1
2
1
i ngi :
dt
d
dt
d
mRR
dt
d
RtvmL
1
2
12
dt
d
m
dt
d
mM
dt
d
mR
dt
d
mR
dt
d
MRL
1
1
222
22
2
1
Tích phân hai v ta c:
1
2
2
m
M
m
u âm chng ta quay ngc chiu vi chiu i ca ngi.
Momen lc ca ngi tác dng lên a bng bin thiên momen ng lng ca a :
dt
d
MRM
F
2
2
1
c khác ta có :
R
dt
dv
m
M
m
dt
d
m
M
m
dt
d 1
2
2
2
2
11
y :
dt
dv
m
M
mMR
M
F
1
2
Câu 11 : Mt thanh ng cht có khi lng 2m, dài l nm trên sàn ngang nhn. Mt
viên bi nh khi lng m chuyn ng vi vn tc
v
n va chm vuông góc vi
thanh ti m A cách khi tâm ca thanh mt n là d. Va chm tuyt i àn hi.
a. Xác nh vn tc ln nht và nh nht có th ca khi tâm ca thanh.
b. Xác nh d sau va chm hòn bi ng yên.
Gii :
Áp dng nh lut bo toàn ng lng và bo toàn c nng cho h ta có :
22
2
222222
12
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
22
v
l
vvvmJmvmv
vvvvmmvmv
GG
GG
Bin thiên momen ng lng ca thanh bng momen xung lng mà thanh nhn
c :
GG
v
l
d
dmvJ
2
12
2
Gii các phng trình trên ta c :
Nguyn Anh Vn - 7 -
G
G
G
vvv
v
l
n
n
v
v
2
12
123
2
2
vi
l
d
n
Khi tâm có vn tc cc i khi : n = 0 => d = 0
3
;0;
3
2
max
v
vvv
G
Khi tâm có vn tc cc tiu khi :
2
1
l
d
n lúc này m A mép thanh.
3
;
2
;
3
min
v
v
l
vv
v
G
sau va chm hòn bi ng yên :
32
12
1
123
2
2
0
2
2
l
dn
n
vv
vv
G
Khi ó
l
v 3
.
Câu 12 : Ngi ta t lên mt phng nm ngang nhn mt hòn bi nh và mt thanh
nh ng cht có dài và khi lng ln hn khi lng ca hòn bi n ln. Truyn
cho hòn bi vn tc v có phng ngang và vuông góc vi thanh, sau ó nó va chm àn
i vi mt u thanh. Tìm vn tc ca hòn bi và vn tc góc ca thanh sau va chm.
Tính n sau va chm thì vn tc ca hòn bi s bng không, si chiu ngc li.
áp s:
4;0;
4
12
;
4
2
;
4
4
nn
ln
v
n
v
v
n
vn
v
G
Câu 13 : t thanh mnh ng cht khi lng M chiu dài L quay t do c quanh
trc cnh nm ngang O. Thanh c th nh t v trí nó hp vi phng thng ng
góc
0
. Khi quay ti phng thng ng nó va chm àn hi vi qu cu ng cht
khi lng m, bán kính R ang nm yên trên mt sàn nm ngang. Hãy xác nh u
kin :
a. Ngay sau va chm thanh ng yên, thanh tip tc quay cùng chiu, quay ngc
chiu tr li, thanh dao ng u hòa, tính chu k dao ng.
b. Qu cu ln không trt ; qu cu ln có trt. Xác nh các chuyn ng này.
s ma sát trt và h s ma sát ln gia qu cu và sàn ln lt là
.
,
Gii :
Thanh ngay trc va chm :
0
2
2
0
2
cos1
3
3
1
;cos1
22
1
L
g
MLJ
L
MgJ
ngay sau Va chm :
1
0
2
1
2
cos1
2
1
2
1
2
1
JmvL
MgLJmv
Gii các phng trình ta c :
v
G
A
0
Nguyn Anh Vn - 8 -
01
0
cos1
3
3
3
3
cos132
L
g
mM
mM
mM
gLM
v
a. Chuyn ng ca thanh ngay sau va chm :
Thanh ng hn li : mM 30
1
Thanh quay cùng chiu: mM 30
1
Thanh quay ngc chiu: mM 30
1
Thanh dao ng u hòa :
2
1
2
1
cos1
2
1
JMgL
2
0
2
1
cos1
2
1
JMgL
0
2
0
2
2
2
1
0
10cos
3
cos312
cos
3
3
cos1
cos1
mM
mMMm
mM
mM
Chu k dao ng nh :
g
L
Mgd
J
T
3
2
22
b. Chuyn ng ca qu cu :
* Ln không trt :
mgRFmR
Fma
ms
ms
2
5
2
Vì
Ra
nên ta có :
R
mgmg
R
F
g
R
a
ms
7
5
7
5
7
5
Thi gian ln cho n lúc dng li và quãng ng i c :
a
v
S
a
v
T
2
;
2
* Ln có trt :
R
R
g
R
mgmgRmR
gamgma
2
5
5
2
2
Sau thi gian t thì qu cu ln không trt :
g
R
v
tatvtR
57
2
Câu 14 : a. Mt thanh khi lng M chiu dài l quay c quanh trc O. Thanh c
th ra t trng thái nm ngang, khi n v trí thng ng thanh va chm àn hi vào
t vt nh khi lng m nm trên mt bàn. Xác nh vn tc ca vt m ngay sau va
chm.
Nguyn Anh Vn - 9 -
b. Xác nh quãng ng S mà vt i c bit h s ma sát gia vt và mt bàn là
.
Bit ngay sau va chm thanh ng yên.
Gii :
a. Vn tc ca vt ngay sau va chm :
nh lut bo toàn c nng :
l
g
MlJ
l
MgJ
3
3
1
22
1
22
c khác :
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
Jmvl
MglJmv
Gii các phng trình này ta c :
m
M
glM
v
3
32
l
g
mM
mM 3
3
3
1
b. Sau va chm thanh dng li nên ta có :
3
2
2
22
3
3
3
1
3
1
m
glM
v
l
g
MlMlJmvl
nh lý ng nng :
2
2
2
6
2
1
m
lM
S
mvmgSA
Câu 15 : Mt vt có khi lng m
1
c ni vi si dây cun vào trng O, khi lng
m
2
, bán kính R. Gn vào O thanh mnh OA, di tác dng ca lc G vuông góc vi
thanh ti u A làm cho trng quay và kéo vt M lên. Xác nh chuyn ng ca vt
m
1
và sc cng T ca dây treo. Coi trng là khi trng cht.
Gii :
Áp dng nh lý bin thiên monen ng lng vi trc oz qua O và vuông góc vi mt
phng hình v, v là vn tc ca vt m
1
:
O
O
G
l
s
m
1
Nguyn Anh Vn - 10 -
M
dt
Ld
i
Rv
mm
vRmJL
2
2
12
1
gRmGlM
1
12
1
2
2
mmR
gRmGl
a
Thc hin tích phân hai ln vi u kin u bng không ta c :
2
12
1
2
2
t
mmR
gRmGl
s
Áp dng nh lut II Newton cho chuyn ng ca vt m
1
:
Rmm
GlgRmm
TamgmT
12
21
11
2
2
Câu 16 : Mt vt rn quay quanh mt trc cnh khi ng t trng thái ng yên,
chu tác dng ca momen quay không i M và ca momen cn
2
aM
c
, trong ó a
là hng s và
là vn tc góc ca vt. Momen quán tính ca vt i vi trc quay là
J. Tìm lut bin thiên ca vn tc góc theo thi gian và tìm giá tr gii hn vn tc góc
a vt.
áp s :
a
M
Ma
J
e
e
a
M
t
gh
t
t
lim
;
2
;
1
1
ng dn :
C
xa
xa
a
xa
dx
ln
2
1
22
Câu 17 : Mt vt khi lng m trt trên mt phng nghiêng và làm quay mt bánh
xe có bán kính R . Momen quán tính ca bánh xe i vi trc quay là J, h s ma sát
trt gia vt và mt phng nghiêng là k. Tìm gia tc góc ca bánh xe.
áp s :
2
cossin
mR
J
kRmg
Câu 18: Các vt nng A và B c ni vi nhau bng mt si dây không dãn vt qua
ròng rc C. Khi vt nng A có trng lng P
1
h xung di, ròng rc C có trng
ng P
3
quay xung quanh trc nm ngang cnh ca nó, còn vt nng B có trng
ng P
2
c nâng lên theo mt phng nghiêng vi phng ngang mt góc
. Cho
bit ròng rc C là a tròn ng cht có bán kính R, có momen cn t lên nó là M
C
, h
ma sát gia vt B và mt phng nghiêng là f, b qua khi lng ca dây.Xác nh
gia tc ca vt A.
áp s :
2
1
)cos(sin
3
21
21
P
PP
R
M
fPPga
C
A
B
R
P
Nguyn Anh Vn - 11 -
Câu 19 : Mt tr tròn xoay ng cht có th quay c quanh trc thng ng, trên
t tr có mt rãnh xon nhn hình xon c vi gc nghiêng là
. Ban u hng
yên. Th nh cho mt viên bi có khi lng m theo rnh xon y thì khi tr cng
quay i. Momen quán tính ca tri vi trc quay ca nó bng
2
2
1
MR trong ó R là
bán kính khi tr. Xác nh tc gc ca khi tr khi viên bi ã chuyn ng xung
c mt cao bng h.
Gii :
bo toàn momen ng lng theo phng ngang :
RRvmJ
xy
Trong ó v
xy
là vn tc viên bi i vi khi tr,
R
là vn tc dài ca m trên vành
tr. Thay
2
2
1
MRJ vào biu thc trên ta có :
R
m
mM
v
xy
2
2
c khác :
tgR
m
mM
tgvv
xyz
2
2
bo toàn nng lng :
mghtgR
m
mM
R
m
M
mMR
mghvRvmJ
zxy
222
22
22
2
2
2
2
2
22
1
4
1
2
1
2
1
2222222222
cos8sin4sin4sincoscos2 ghmmmMMMmM
22222
cos8sin22 ghmRmMmM
2
sin22
2cos2
mMmM
gh
R
m
Câu 20 : Mt bàn tròn quay quanh trc i xng thng ng vi gai tc gc
không
i. Ti thi m khi vn tc góc ca bàn bng
0
, mt chic a tròn ng cht, khi
ng m, bán kính R nh hn bán kính ca bàn, c t ng tâm lên bàn, tâm ca
a luôn luôn trùng vi trc quay ca bàn. H s ma sát gia a và bàn bng
, tc
góc ban u ca a bng không. Kho sát chuyn ng ca a và bin lun các
trng hp có th xy ra.
Gii :
Momen ca lc ma sát tác dng lên a :
mgRMM
R
i
3
2
0
Phng trình chuyn ng ca a :
B
A
C
R
P
1
P
2
Nguyn Anh Vn - 12 -
R
g
mRJMJ
3
4
2
1
1
2
1
c góc ca a :
t
R
g
t
3
4
11
c góc ca bàn :
t
0
* Các trng hp có th xy ra :
Trng hp 1 : Bàn quay nhanh hn a.
g
R
R
g
4
3
3
4
1
1
Trng hp 2 : a và bàn quay nh nhau.
g
R
4
3
1
Thi gian a t n tc góc ca bàn :
R
g
t
tt
R
g
3
4
3
4
0
0
0001
ó a nm yên trên bàn và quay theo bàn. Lc ma sát tác dng lên a là lc ma
sát ngh.
