Chuyên đề định lý biến thiên động năng

Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

CHUYÊN
:
NH LÝ BI N THIÊN
NG N NG.
I. C

S

1. CÁC

LÝ THUY T:
NH NGH A:

1.1.
il

NG N NG:
ng n ng c a m t ch t m có kh i l
ng vơ h ng
c kí hi u là T:

ng m, chuy n

1
mv 2

2

T

ng n ng c a h g m N ch t
ng c a t t c các ch t m c a h .

(1)

m là

il

ng vô h

1
( mk v k2 )
2

T

ng v i v n t c v là

ng b ng t ng

ng

(2)

ng n ng là i l ng v t lí c tr ng cho n ng l ng c h c c a h khi

chuy n ng.
n v c a ng n ng là Jun (J).
Các công th c tính ng n ng c a v t r n chuy n ng:
V t r n có kh i l ng m chuy n ng t nh ti n, có v n t c kh i tâm vc :
1
mvc2
2

T

V t r n quay quanh tr c
i v i tr c quay là J :

c
T

V t r n có kh i l
n t c góc

(3)

nh v i v n t c góc
1
J
2

ng m chuy n

2

và có mơ men qn tính
(4)

ng song ph ng, có v n t c kh i tâm vc và

:
T

1
mvc2
2

1
Jc
2

2

1
Jp
2

2

(5)

Trong ó J c , J p l n l t là mơmen qn tính c a v t i v i kh i tâm và tâm quay t c
th i P.
N u v t có d ng dây, b ng t i (v t bi n d ng) thì c n xem v t th g m vơ s
các ch t m và s d ng công th c (2) tính ng n ng.

1.2. CƠNG C A L C:
Công c a l c bi u th n ng l ng mà l c ó ã cung c p thêm ho c làm hao
n cho c h trong quá trình chuy n ng.
Cơng ngun t c a l c F (t c là công c a l c trong kho ng th i gian vô
cùng bé dt) là i l ng vơ h ng.
dA

Fd r

F vdt

F cos ds

Trong ó là góc h p gi a l c và ph ng ti p tuy n c a qu
o.
Công c a các l c th ng g p:
Công c a tr ng l c:
A
Ph
Trong ó h là
cao di chuy n c a m t tr ng l c. L y d u c ng ho c tr tùy thu c
vào
m t c a tr ng l c
c h xu ng ho c nâng lên.
Công c a l c àn h i khi m t di chuy n theo ph ng tác d ng c a l c:
-1-


Nguy n Anh V n

Lý K32
1
k ( x12
2

A

i H c C n Th

2
x2 )

Công c a ng u l c có vec t mơ men M tác d ng lên v t quay quanh tr c
A

:

M

Trong ó M
const là hình chi u c a vec t mô men ng u l c M trên tr c quay .
Công c a ng u l c ma sát l n trong di chuy n h u h n c a bánh xe (tr ng
p ph n l c pháp tuy n có tr s khơng i trong q trình bánh xe l n).
A

kN

1.3. CÁC VÍ D TÌM
NG N NG C A C H VÀ CÔNG C A L C:
Câu 1: M t b ng t i v t li u ang ho t ng. Cho bi t v t

c t i A có kh i l ng m1,
các tr c quay B và C là các tr c ng ch t có cùng bán kính r và kh i l ng m2, b ng t i
là dây không dãn, ng ch t có chi u dài l và kh i l ng m3
c phân b
u. B qua
tr t gi a v t A và b ng, tính ng n ng c a c h theo v n t c góc c a tr c d n g n
i ròng r c B.
Gi i:
ng n ng c a c h
c tính nh
r
A
C
sau:
T = TA + TB + TC + T ng
Trong ó TA, TB, TC, T ng l n l t là
ng n ng c a các v t A, B, C, và b ng t i.
1
Ta có :
B
t A chuy n ng t nh ti n th ng:
r
TA

1
2
m1v A
2

Hai ròng r c B và C chuy n

1
J1
2

TB

2
1

ng quanh các tr c c

; TC

1
J2
2

nh :

2
2

ng t i là v t bi n d ng tính ng n ng c a nó ta chia b ng t i thành nhi u
ph n t , m i ph n t xem nh là m t ch t m có kh i l ng mk và có cùng v n t c vA
(vì dây khơng giãn và gi a v t A và b ng không có s tr t) nên:
T

ng

1

2

=

t khác ta có: v A
Ngồi ra J 1 , J 2 l n l
riêng c a chúng: J 1

J2

y bi u th c
T

1 2
vA
2
1r
2r

2
mk v A

1
m3 v 2
A
2

mk

t là mơ men qn tính c a các v t B và C

i v i tr c quay

m2 r 2
2

ng n ng c a c h là:
1
(m1 m 2
2
1
(m1 m 2
2

m3 ) r 2

2
1

2
m 3 )v A

Câu 2: Con l n hình tr trịn A ng ch t có kh i l ng m1, l n khơng tr t trên m t
ph ng ngang,
c qu n dây v t qua rịng r c B có bán kính r và mơ men qn tính i
i tr c quay là J0, u kia c a dây bu c v t D có kh i l ng m2.B qua kh i l ng c a
dây. Bi t v t D chuy n ng v i v n t c vD, hãy tìm ng n ng c a c h .
-2-

Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

Gi i:
h g m 3 v t con l n A chuy n ng song ph ng, ròng r c B chuy n
quay và v t D chuy n ng t nh ti n. ng n ng c a h
c tính nh sau:
T

Trong ó:

TA
B

TB

TD

vD
;
r

A

1
1
( m1vc2

Jc
2
2
vD
; vc R
2R

Thay các giá tr này vào bi u th c tính
T

1 3
( m1
2 8

m2

2
A

)

A

1
2
J0 B
2
vD
; Jc
2

ng n ng ta

ng

1
2
m2 v D
2
1
m1 R 2
2

c:

J0 2
)v D
r2
B

A

C

B

VC
R

A

vD
D
Câu 3: C c u culit g m tay quay OC ng ch t có chi u dài R và kh i l ng m1 quay
quanh tr c c
nh O, con tr t A có kh i l ng m2 có th di chuy n d c theo tay quay
OC và truy n chuy n ng cho thanh AB có kh i l ng m3 tr t d c theo rãnh th ng
ng. Tìm ng n ng c a c h ó t i v trí tay quay có v n t c góc và t o góc v i
ph ng n m ngang. Cho bi t kho ng cách t tr c O n rãnh tr t b ng l.
Ve

Va
Vr
C
A

O

l
B
Gi i:
h g m tay quay OC chuy n ng quanh O, con tr t A
c xem nh ch t
m, thanh AB chuy n ng t nh ti n.
tìm liên h c a c c u culit ta ph i phân tích
chuy n ng ph c h p c a con tr t A v i h
ng là tay quay OC. Chuy n ng t ng
i c a A là chuy n ng th ng d c theo OC, chuy n ng theo là chuy n ng quay

-3-

Nguy n Anh V n
ah
là: ve

Lý K32

ng OC quanh O, do ó ph
OA

l
cos

. Áp d ng
va

ng v n t c theo ve vng góc v i OC và có tr s

nh lý h p v n t c ta

c:

ve v r
ve
l
cos
cos 2

va

c

i H c C n Th

n t c t nh ti n c a thanh AB c ng chính là v n t c c a con tr
ng n ng c a c h nh sau:
T

Toc

TA

1
J0
2

t A, ta tìm

T AB
1
m2 v 2
A
2

2

1 1
( m1 R 2 )
2 3

1
2
m3 v A
2

1
( m2
2

2

2

l
m3 )
cos 2

2

6 cos

4

m1 R 2 cos 4

3l 2 (m 2

m3 )

Câu 4: Con l n hình tr trịn có kh i l ng m1 và bán kính r l n không tr t trên m t
ph ng ngang v i v n t c t i kh i tâm O là V0. Thanh th ng ng ch t OB có kh i
t . Bán
ng m2 và chi u dài l, quay u quanh tr c O c a con l n A theo quy lu t
kính quán tính c a con l n A i v i tr c O là . Tìm ng n ng c a c h .
y

r

O

x

A

Vr
A

Ve

C
P2

B

Gi i:
h

h g m con l n A và thanh OB
c tính nh sau:

T

Trong ó

A

1
2
( m1v0
2
v0
;
r

1
J0
2

2
A

u chuy n

1
) ( m2 vc2
2

là v n t c góc t

ng

ng song ph ng.
1
Jc
2

2

ng n ng c a

)

i c a thanh OB

iv ih t a

ng Oxy t nh ti n cùng kh i tâm O và c ng là v n t c góc c a thanh OB quay quanh
kh i tâm C. V n t c tuy t i c a kh i tâm C
c tìm b ng nh lý h p v n t c.
va

ve

vr

-4-


Nguy n Anh V n
l

i vr

2

Lý K32
v0 ; ta có:

; ve
vc2

v r2

l

vc2
1
2
m1v0
2

2

c

2

2

2

v0

l v 0 cos t

)(

2

v0 2
)
r

1
l
m2
2
4

1
1
m2 l 2
2
3

2

r

2v r v e cos

2

trên vào bi u th c tính

1
(m1
2

1
2
m1v 0 1
2

v e2

4

Thay các giá tr tìm
T

i H c C n Th

2

ng n ng ta

2

l v 0 cos t

l v 0 cos t

2
v0

c:
1 1
( m2 l 2 )
2 12

2

2
v0

Câu 5: Con l n A có tr ng l ng P1, bán kính vành trong và vành ngồi là r và R, l n
không tr t trên m t ph ng n m ngang d i tác d ng c a mô men quay M = const.
Vành trong c a cong l n
c qu n dây và v t qua ròng r c B ng ch t, bán kính r1.
u kia c a dây bu c v t n ng D có tr ng l ng P3, có th tr t trên m t ph ng nghiêng
góc v i ph ng n m ngang. H s ma sát l n gi a con l n v i m t ph ng ngang là k.
s ma sát tr t gi a D v i m t ph ng nghiêng là f. Mô men c n t i tr c quay O là
Mc = const. Tìm t ng cơng c a các l c tác d ng lên c h trong di chuy n mà v t D i
c
n
ng SD.
sC

M

B

A

B

C

R

r

A

r1
sD

Mc

Ml

D
P3
Gi i:
h g m 3 v t, con l n A chuy n ng song ph ng, ròng r c B chuy n ng
quay và v t n ng D chuy n ng t nh ti n. Khi v t D chuy n ng
c
n
ng sD
c m t ph ng nghiêng, v t B quay

c góc B , tr c C c a con l n i
c
n
ng sC và con l n A quay
c góc A . T ng công c a các l c tác d ng lên c h
trong di chuy n ó b ng:
A

M

kN 1

A

A

Mc

P3 s D sin

B

fN 3 s D

tìm các di chuy n qua di chuy n sD, ta d a vào liên h gi a các v n t c:
vD

r1

B

; vD

(R r)

Tích phân hai v c a các
sD

Hay:

B

r1

B

sD
;
r1

; sD
A

A

; vC

R

A

ng th c trên, ta tìm

(R r)

A

; sC

sD
; sC
R r

R

Rs D
R r

-5-

A

c liên h gi a các di chuy n:


Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

t khác ta l i có: N 1 P1 ; N 3 P3 cos
Thay các giá tr tìm
c vào bi u th c tính cơng c a các l c ta
A

2. CÁC

(M

kP1 )

sD
R r

Mc

NH LÝ BI N THIÊN

sD
r1

P3 (sin

c:

f cos )s D

NG N NG:

2.1.

NH LÝ BI N THIÊN
NG N NG D NG H U H N:
Bi n thiên ng n ng c a h trong di chuy n h u h n b ng t ng công c a t t
các l c tác d ng lên c h trong di chuy n ó.
T

T0

Ak

Trong ó: T và T0 l n l t là ng n ng c a h t i th i m ang xét và th i
m u.
Ak là t ng công h u h n c a các l c.
2.2. NH LÝ BI N THIÊN
NG N NG D NG VI PHÂN:
Vi phân ng n ng c a c h trong di chuy n vô cùng bé c a h b ng t ng
công nguyên t c a các l c tác d ng lên c h trong di chuy n ó.
dT

dT
dt

Hay:

dAk

Wk

dAk và
Wk là t ng
Trong ó: T là ng n ng c a c h t i th i m b t k ,
công nguyên t và t ng công su t c a các l c.
2.3. CÁC VÍ D ÁP D NG:
Câu 1: V t A có kh i l ng m1
c t trên m t ph ng ngang nh n, g n b n l t i O
i thanh ng ch t OB có kh i l ng m2 và chi u dài l. H b t u chuy n ng t
tr ng thái t nh, khi ó thanh OB n m ngang. B qua ma sát t i b n l O. Tìm v n t c
a v t A t i th i m khi thanh OB v trí th ng ng.

y1

y
N

A0

A

B0

O

O

A0
O1

l

x
x1

P1

vr

vA

ve

C
P2
Gi i:
B
Xét c h g m v t a chuy n ng t nh ti n và thanh OB chuy n
ph ng. Áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng d ng h u h n:
T

T0

ng song

A

Ban u h
ng n, do ó T0 = 0. T i v trí thanh OB th ng ng, v t A có v n
c v A cịn thanh OB có v n t c góc , ng n ng c a h t i v trí ó b ng:
T

1
2
m1v A
2

1
( m 2 v c2
2

1
Jc
2

2

)

-6-

(1)


Nguy n Anh V n

Lý K32

n t c tuy t

i c a kh i tâm C c a thanh OB

ng t ng c a vec t v n t c t

ng

l

i vr

2

i H c C n Th

iv ih t a

iv ih t a

c

nh O1x1y1

ng Oxy, chuy n

ng t nh ti n cùng v i v t A, và vec t v n t c theo ve = vA; ta có:
vc

l

vA

2

Thay giá tr này vào (1) v i l u ý J c
T

1
m1v 2
A
2

1
m 2 (v A
2

l
2

)2

1
m2 l 2 ta
12
1 1
( m2l 2 ) 2
2 12

c:
(2)

tìm v n t c góc là v n t c góc t ng i c a thanh OB i v i h t a

ng Oxy ng th i c ng là v n t c góc tuy t i i v i h c
nh O1x1y1, ta chú ý
ngo i l c P1, P2, N tác d ng lên h luôn vuông g c v i tr c O1x1, do ó ng l ng c a
c b o toàn theo tr c O1x1. Ban u h
ng n, do ó t i v trí th ng ng
ng
ng c a h b ng:
(v A

l

) 0
2
2(m1 m2 )v A
m2l

m1v A

Thay giá tr v n t c góc vào bi u th c (2) ta tìm
(m1

T

m2 )(4m1
6m2

m2 )

c

ng n ng c a h nh sau:

2
vA

Trong di chuy n c a h ch có tr ng l c P2 sinh cơng và b ng:
A

m2 g

l
2

y v n t c c a v t A khi thanh OB
vA

m2

3 gl
m 2 )(4m1

(m1

v trí th ng

ng là:

m2 )

Câu 2: M t v t A có tr ng l ng P

c kéo lên t tr ng thái ng yên nh ròng r c B
là a trịn ng ch t có bán kính R, tr ng l ng Q và ch u tác d ng ng u l c có mơ
men M khơng i. Tìm v n t c c a v t A khi nó
c kéo lên m t
n b ng h, tìm gia
c v t A.
Gi i:
h g m v t A chuy n ng t nh ti n, ròng r c B quay quanh
M R
tr c c
nh. Áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng d ng h u h n:
B
T

T0

A

Ta có T0 = 0, vì ban u h
ng n.
chuy n ng
c m t h là:
T

TA

TB

2
Pv A

2g
R

ng n ng c a h khi v t A

1 1Q 2
(
R )
2 2g

2

A

Ngoài ra ta có: v A
y ng n ng c a h b ng:
T

Q

P

2
( 2 P Q )v A
4g

(1)

ng công c a các l c:
-7-

Nguy n Anh V n

Lý K32
A

Trong ó
h.: h

M

i H c C n Th

Ph

là góc quay

c c a rịng r c khi v t A

c nâng lên m t

n

R
M
R

P h

2
( 2 P Q )v A
4g

M
R

y:

A

t h p (1) và (2) ta

(2)

c:

4g

vA

P h

( M PR )
h
R(2 P Q )

tìm gia t c c a v t A ta áp d ng
c vi t nh sau:

nh lý bi n thiên

ng n ng d ng vi phân nó

(2 P Q )
M
vAa A
P vA
2g
R
M PR
a A 2g
const
R ( 2 P Q)

Câu 3: M t t m n ng có kh i l ng m,
c t n m ngang trên hai con l n, m i con
n là m t kh i tr tròn xoay ng ch t có bán kính r và kh i l ng m1. Tác d ng vào
m m t l c F n m ngang có
l n khơng i. H s ma sát l n gi a con l n v i m t
n là k. Các con l n l n không tr t trên n n và t m n ng không tr t i v i các con
n. Tìm gia t c c a t m và tìm l c ma sát tr t t ng c ng do m t n n tác d ng lên các
con l n. B qua ma sát l n gi a t m và các con l n.
v
F
v1

v1
Ml1

Ml2

Gi i:
g m t m n ng chuy n ng t nh ti n, các con l n chuy n ng song ph ng.
Các l c tác d ng lên h sinh công g m có l c F , các ng u l c ma sát l n do n n tác
ng lên các con l n, chúng có mơ men l n l t là: Ml1 = kN1, Ml2 = kN2.
tìm gia t c c a t m n ng ta có th áp d ng nh lý bi n thiên ng n ng d ng
o hàm nh sau:
dT
dt

W

ng n ng c a h g m
T

1
mv 2
2

2

Vì khơng có hi n t
v1

ng n ng c a t m n ng và hai con l n:
2
1 1

mv

2

ng tr
v
;
2

2

J1
2

t gi a con l n và n n, gi a con l n và t m nên:
v1
r

v
2r

-8-


Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

là v n t c và v n t c góc c a các

Trong ó v là v n t c c a t m n ng, v1 và
con l n.
y ng n ng c a h :
4m 3m1 v 2
4
2

T

Bây gi ta tính t ng cơng su t c a l c F và c a các ngu l c ma sát l n.
W

Fv (M l1

M l2 )

Fv k ( P1

P2

nh lý bi n thiên

a

chuy n

4

P)

F

ng n ng d ng

4m 3m1
va
4
F

Fv k ( N 1

F

k
( P1
r

k
( P1 P2
r
4m 3m1

k
( P1
r

N2 )
P2

P) v

o hàm cho ta:

P2

P) v

P)

F
4

k
(m 2m1 ) g
r
4m 3m1

tìm l c ma sát t ng c ng do n n tác d ng lên các con l n ta vi t ph
ng kh i tâm cho h :
ma 2m1 a1

Khi chi u ph

F

Fms

Pk

ng trình vec t nh n

ma 2m1a1

F

ng trình

Nk

c lên tr c n m ngang ta

c:

Fms

Chú ý r ng: a 2a1 ta tìm

c:
Fms F (m m1 )a (v i a
c tính nh trên).
Câu 4: M t thanh ng ch t AB có chi u dài 2a, quay
c quanh tr c A c
nh còn
u B t a trên sàn. Truy n cho thanh v n t c góc ban u 0 và khi thanh v trí n m
ngang liên k t t i A b m t. Ti p theo thanh chuy n ng t do trong m t ph ng th ng
ng d i tác d ng c a tr ng l c. Tìm giá tr c a v n t c góc u 0 c a thanh khi
thanh r i ch m vào sàn thanh v trí th ng ng.
A

B’

1

0

Gi i:

B

Chuy n ng c a thanh g m hai giai
n: giai
n u thanh t v trí th ng
ng
c truy n v n t c g c 0 , quay quanh tr c c
nh qua A và k t thúc khi thanh
m v trí n m ngang và liên k t A b m t; giai
n th hai liên k t A b m t và
thanh chuy n ng song ph ng.
u ki n u giai
n hai là u ki n cu i c a giai
n u.
tìm u ki n cu i c a giai
n u chúng ta áp d ng nh lý bi n thiên
ng n ng d ng h u h n:
-9-


Nguy n Anh V n

Lý K32
T

Qua tính tốn ta
Trong ó

1

T0

A

1
J A(
2

c:

2
1

2
0

Pa

4
ma 2 . T
3

i v i tr c qua A: J A
2

1

0; ma yc

ma xc

mg ; J c

Ta có các u ki n u: x0 c
Khi tích phân ta nh n
c:
a; y c

a 1t

g

c:

(1)
ng song ph ng, ph

ng trình chuy n

0.

a; v 0 xc

t2
;

2

khi thanh r i ch m vào sàn

n v trí ngang, JA là mơ men
ó ta tìm

3g
2a

2
0

Trong giai
n th hai thanh chuy n
ng có d ng nh sau:

xc

)

là v n t c g c c a thanh khi nó quay

qn tính c a thanh

i H c C n Th

0; y 0c

1

0; v0 yc

a

1

;

0

0;

0

1

t

v trí th ng

ng, các

u ki n sau ph i th a

mãn:
yc

a;

(2k 1)

y ta có:

a 1t

Kh t t các ph

; k

0,1, 2, 3,....

t2
g
2

2

a; (2k 1)

ng trình này ta nh n

c

1

2
1

t

và thay bi u th c này vào (1) ta

c:
2
0

g
6
4a

2

(2k 1) 2
(2k 1)
2

Câu 5: M t chi c xe t ng
c kh i ng nh m t ng c làm quay 4 bánh xe (m i
bên hai bánh) kéo theo xích chuy n ng. Sau 8 giây k t lúc b t u chuy n ng xe
t
c v n t c 36 km/gi . Hãy xác nh cơng su t trung bình c a ng c , n u tr ng
ng c a hòm xe là P1 = 50.000N, tr ng l ng m i bánh P2 = 2000N, tr ng l ng m i
xích P3 = 5000N. Bánh xe coi nh
a tròn ng ch t.

Gi i:
DC
I

D

v
R

C

I

v
R

A

v

II
B

II

R
AB

h kh o sát g m: thân xe chuy n ng t nh ti n, bánh xe chuy n ng song
ph ng (4 bánh), xích xe chia làm ba ph n :
n AB khơng chuy n ng, có v n b ng
không;
n CD chuy n ng t nh ti n v i v n t c b ng hai l n v n t c xe t ng;
n ba

m hai n a vành tròn k t h p AID và BIIC chuy n ng song ph ng(nh hình v ).
- 10 -


Nguy n Anh V n
xác

Lý K32

nh công su t trung bình c a

ng c ta áp d ng cơng th c:

A

W

t

Trong ó
A là t ng cơng c a các l c th c hi n
quãng
ng nào ó trong th i gian t.
t khác theo nh lý ng n ng ta có:
T

Mà T0 = 0 vì ban

i H c C n Th

T0

u xe

c khi xe t ng i

A

ng yên, v y ta có:
T
t

W

Bây gi ta ch c n tính ng n ng T c a xe khi nó chuy n
36 km/gi . theo phân tích chuy n ng trên ta có:
T = Thịm xe + T4 bánh + T2 xích
Thịm xe =

cm t

ng v i v n t c v =

1 P1 2
v .
2 g
2

T4 bánh = 4 J o

P2 R 2
4
2g

P v2
4 2
g 2

2

2

2

2

P2 v 2
4
2g

3P2 2
v
g

T2 xich = 2T(DC) + 2T (vành tròn)
P3l
P3 lv 2
(2v ) 2
g (2l 2 R) 2
g (l R)

2
2
P .2 R 2
P3 2 R v
P3 R
T(vành tròn) = 3
R
v2
2l 2 R
2 g 2l 2 R 2 g g (l R)
2 P3 v 2
y:
T2 xích =
g

T(DC) = m( DC )

Cu i cùng ta nh n
2

T

y công su t c a
T

P1
2

c bi u th c

3P2 v
g

P1v
2g

3P2

(2v ) 2
2

2

2 P3 v
g

2

ng n ng c a h nh sau:
P1
2

3P2

2 P3

v2
g

ng c là:

2 P3

v2
gt

Th các giá tr mà cho ta
c: W = 51,250 kW.
Câu 6: M t c c u hành tinh t trong m t ph ng n m ngang chuy n ng t tr ng thái
ng yên nh m t ng u l c có momen khơng i M t vào tay quay OA. Tay quay OA
quay quanh tr c c
nh qua O làm cho bánh 2, là m t a trịn ng ch t có bán kính r2
và tr ng l ng P, l n không tr t i v i bánh 1 có bán kính r1 và c
nh.Xem tay
quay OA là thanh ng ch t, có tr ng l ng Q, b qua các l c c n, xác nh gia t c góc
a tay quay.
A
M
O
r1

- 11 -

r2


Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

Gi i:
g m: tay quay OA quay quanh tr c c
nh qua O, bánh 2 chuy n ng song
ph ng. D dàng nh n th y r ng ch có ng u l c sinh công, các tr ng l c khơng sinh
cơng vì c c u d t trong m t ph ng ngang.
tìm gia t c góc c a tay quay ta áp d ng
nh lý bi n thiên ng n ng:
dT
dt

W

ng n ng c a h b ng t ng ng n ng tay quay và hai bánh:
T = TOA + T2
Tay quay OA quay quanh tr c c
nh v i v n t c góc nên:
1
Jo
2

TOA

Bánh 2 chuy n

2

ng song ph ng v i v n t c góc
1
JA

2

T2

Bi u th c

1 Q (r1 r2 ) 2
2g
3

2

1P 2
vA
2g

2
2

P 2
r2
4g

2
2

2

và v n t c kh i tâm vA nên:

1P 2
vA
2g

ng n ng toàn h là:
T

u xem

1 Q (r1 r2 ) 2
2g
3

2

P 2
r2
4g

2
2

1P 2
vA
2g

m A n m trên tay quay OA thì:
vA

(r1

r2 )

t khác có th xem

m A thu c bánh song ph ng 2, có tâm v n t c là

m

ti p xúc:
vA

r

2 2

ó ta có:
Thay các

il

(1

2

ng v a tính

r1
)
r2

c vào bi u th c

1 2Q 9 P
(r1 r2 ) 2
T
2 6g
dT 2Q 9 P
(r1
dàng tính
c:
6g
dt

ng n ng ta

c:

2

r2 ) 2

d
dt

Vì ch có ng u l c sinh cơng nên ta có:
W

y

M

nh lý bi n thiên

ng n ng cho ta:

2Q 9 P
(r1
6g

r2 ) 2

d
dt

M

y ta có gia t c góc c a tay quay là:
d
dt

6Mg
(2Q 9 P)(r1

r2 ) 2

const

y tay quay OA quay nhanh d n u.
Câu 7: V t n ng A có tr ng l ng P1

c bu c vào u dây v t qua ròng r c B ng
ch t tr ng l ng P2 và dây l i
c qu n vào tang quay C có tr ng l ng P3 và bán
kính r. Tang C quay quanh tr c c
nh O d i tác d ng c a momen quay M a 2 v i
là góc quay c a tang, a = const > 0. Kh i l ng c a tang C
c xem nh phân b
u trên vành tang. B qua kh i l ng c a dây và ma sát t i các tr c quay c a ròng r c
- 12 -


Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

và c a tang, dây không giãn. T i th i m u h
ng im. Tìm v n t c c a v t A ph
thu c vào
cao h mà nó kéo lên.
Gi i:
Xét c h g m v t A chuy n ng t nh ti n, ròng r c B và tang quay C chuy n
ng quay. C h ch u tác d ng c a momen quay M ph thu c vào góc quay c a C, do
ó ta ph i áp d ng nh lí bi n thiên ng n ng d ng vi phân.
dT

dA

ng n ng c a c h t i m t v trí b t kì trong chuy n

1 P1 2 1
vA
J 01
2 g
2
vA
;
Trong ó: B
C
r1

1
J0
2

2
B

T

vA
;
r

2
C

1 P2 2
r1 ;
2 g

J 01

Thay các k t qu trên vào bi u th c tính
1
(2 P1
4g

T

ng c a nó:

J0

ng n ng ta

P3 2
r
g

c:

2
2 P3 )v A

P2

Vi phân hai v bi u th c trên ta có:
1
(2 P1

2g

dT

M

P2

a

2

r1

(1)

2 P3 )v A dv A

B

vA

C

r

A
c

P1

h

i v trí ang xét c a h , n u cho v t A di chuy n m t
n vô cùng bé dh thì
tang quay C quay
c góc vơ cùng bé d và t ng công nguyên t c a các l c tác d ng
lên h trong di chuy n ó b ng:
dA

a

2

d

t h p (1) và (2) ta
1
(2 P1
2g

P2

Tích phân hai v ph
P2

1
(2 P1
4g

P2

vA

P1 dh

(

a 2
h
r3

P1 )dh

(2)

c:
2 P3 )v A dv A

(

a 2
h
r3

ng trình trên v i
vA

1
(2 P1

2g

Gi i ra ta tìm

P1 dh

h 2 dh
a 2
r r

h

2 P3 ) v A dv A
0

2
2 P3 )v A

(
0

a 3
h
3r 3

P1 )dh

u ki n

a 2

h
r3

u khi h = 0 thì vA = 0.

P1 )dh

P1h

c v n t c c a v t A ph thu c vào

cao h mà nó i

c;

gh(ah 2 3r 3 P1 )
2
r 3r 3 (2 P1 P2 2 P3 )

Câu 8: Các v t n ng A và B
c n i v i nhau b ng m t s i dây khơng dãn v t qua
rịng r c C. Khi v t n ng A có tr ng l ng P1 h xu ng d i, ròng r c C có tr ng l ng
- 13 -


Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

P3 quay xung quanh tr c n m ngang c
nh c a nó, cịn v t n ng B có tr ng l ng P2
c nâng lên theo m t ph ng nghiêng v i ph ng ngang m t góc . Cho bi t rịng r c
C là a trịn ng ch t có bán kính R, có momen c n t lên nó là MC, h s ma sát
gi a v t B và m t ph ng nghiêng là f, b qua kh i l ng c a dây.Xác nh gia t c c a
t A.
Gi i:
Gi s ban u h
ng yên và sau kho ng th i gian t v t A di chuy n
cm t
kho ng s, rịng r c quay

c m t góc

s
. V n t c c a v t A, v t B
R

th i

m t có

giá tr b ng nhau: vA = vB = v.

R

C

B

P2
A
P1

Do s i dây khơng dãn và rịng r c là v t r n cho nên công c a n i l c b ng
không. Công c a các ngo i l c tác d ng lên h b ng:
A

(sin

f cos ) P2 s

ng n ng c a c h
T

TA

TB

dT
dt

a

s
R

c tính theo cơng th c:
TC

1 P1 2
v
2 g

Áp d ng

P1 s M C

1 P1 2
v
2 g

1 P2 2
v
2 g

nh lí bi n thiên
dA
dt
dv
g P1
dt

P2 (sin

1 P2 2
v
2 g

1

J
2

1 1 P3 2 v 2
R
2 2 g
R2

ng d ng

f cos )

2

1 v2
P1
2 g

o hàm ta tìm

MC
R

P2

P3
2

c gia t c c a v t A:

1
P1

P2

P3
2

Câu 9: Ng i A i xe p trên
ng th ng ngang. Tr ng l ng c a ng i và khung xe
là P. M i bánh xe có tr ng l ng p, bán kính r và
c coi nh vành tròn ng ch t, l n
không tr t trên m t
ng. H s ma sát l n gi a các bánh xe v i m t
ng là k. Xe
và ng i ch u l c c n c a gió, có h p l c Q v i gi thi t Q = const và ln t o góc
i ph ng n m ngang. T i các tr c quay c a bánh xe có momen c n MC = const. N u
xe ang chuy n ng v i v n t c v0 thì ng i A khơng p n a, tìm
n
ng mà t
lúc ó xe i
c cho n lúc d ng l i.
- 14 -


Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

Gi i:
h g m ng i A và khung xe chuy n ng t nh ti n, hai bánh xe B1, B2
chuy n ng song ph ng. Áp d ng nh lí bi n thiên ng n ng d ng h u h n:
T1 T0
A
(1)
i v trí cu i c a chuy n ng xe d ng l i do ó T1 = 0.
i v trí u ng n ng c a h b ng:
1P 2
v0
2g

T0

Trong ó:

B

1 p 2
v0
2g

2

1
Jc
2

2

B

v0
p 2
; Jc
r thay vào bi u th c trên ta
r
g
P 4p 2
v0
T0
(2)
2g

c:

Q

P
MC

MC

p
Xe di chuy n

p

c

n

ng sA thì bánh xe l n

c góc

B

sA
.
r

ng cơng c a các l c trong di chuy n c a h b ng:
A

t khác: N1
A

Vây:

Q cos .s A

k
(Q sin
r

Thay (2) và (3) vào (1) ta
( P 4 p) 2
v0
2g

sA

N 2 )k

N 2 Q sin
P 2p
Q cos .s A (Q sin
P 2 p )k
Q cos

Gi i ra ta tìm

( N1

c

B

2M c

2M c

2M c
.s A
r

B

B

(3)

c:

Q cos

n

P 2 p)

B

k
(Q sin
r

ng i c a xe

P 2 p)

2M c
.s A
r

p:

2
0

2 g Q (r cos

r ( P 4 p )v
k sin ) k ( P 2 p) 2 M c

Câu 10: Kh i hình tr trịn ng ch t có bán kính áy b ng r, có v n t c u r t nh ,
n không tr t trên m t bàn n m ngang. Khi l n n mép bàn t i B,
ng sinh c a
ˆ
kh i tr song song v i mép bàn. T i th i m kh i tr tách kh i bàn, góc
C 0 BC có
giá tr nào ó. B qua ma sát l n và l c c n khơng khí. Tìm giá tr c a góc và v n t c
c c a kh i tr t i th i m nó tách kh i bàn.
- 15 -


Nguy n Anh V n
Gi i:
Áp d ng

Lý K32
nh lu t II Newton cho kh i tr :
P

ng

i th i
n gi n:

i H c C n Th

N

Fms

ma c

m kh i tr tách kh i bàn, thì N = 0, do ó ph
P

Fms

ng trình trên ch cịn

ma c

Chi u lên tr c pháp tuy n Cn c a qu
P cos

m

oc a

c:

v
r

i B là tâm quay t c th i c a kh i tr vc
r

m C, ta

2
c

2

r ,suy ra:

g cos

C

Fms C0

vc
P
t

B
n

Kh i tr chuy n ng song ph ng, ban d u có v n t c r t nh nên ta có th xem
T0 = 0, ng n ng c a kh i tr t i v trí tách ra kh i bàn b ng:
T

Áp d ng

1 2

mvc
2

1
Jc
2

nh lí bi n thiên
T

T0

3 2 2
mr
4
3
g cos
4

c góc
cos

1
m( r ) 2
2

1 1 2
mr
2 2

2

3 2
mr
4

2

ng n ng d ng h u h n:

A

Th các giá tr tính tốn

ây ta tìm
tách kh i bàn:

2

4
;
7

trên vào ta

c:

mgr (1 cos )
g (1 cos )

và v n t c góc
2

c a kh i tr

t i th i

m nó b t

u

g
7r

Câu 11:
n dây xích AB có chi u dài l, có hai ph n ba xích n m d c theo
ng d c
chính c a m t ph ng, nghiêng góc v i ph ng n m ngang, ph n cịn l i c a xích
c bng thõng theo ph ng th ng ng. D i tác d ng c a tr ng l c dây xích b t
u chuy n ng d c theo m t ph ng nghiêng xu ng phía d i t tr ng thái t nh. cho
bi t h s ma sát gi a xích v i m t ph ng nghiêng là f. Tìm v n t c c a xích t i th i
m khi u B c a xích chuy n ng n m O, xích b t u n m hoàn toàn trên m t
- 16 -


Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

nghiêng. H s ma sát f ph i th a mãn u ki n gì xích có th tr t xu ng d c theo
t nghiêng nh v y.
Gi i:
Xét h là
n dây xích AB, ta áp d ng nh lí bi n thiên ng n ng d ng vi
phân:
dT

dA

i v trí b t kì c a h
c b ng v, kí hi u P là tr ng l

c xác nh b i t a
OA = x, m i m t xích u có v n
ng c a c
n dây xích, ta
c ng n ng c a c h :
1
mk v 2
2

T

P
vdv
g

Suy ra: dT

i v trí ó,
và

n xích

n OB có tr ng l

ng P2

tr b ng: Fms

1P 2
v
2g

f .N

c chia làm hai ph n:
P(l

x)
l

n OA có tr ng l

. L c ma sát tác d ng vào

ng P1

Px

l

n xích OA có giá

fPx
cos
l

fP1 cos

O

x

l-x
B

Cho c h di chuy n m t
tác d ng lên c h là:
dA

P1 dx sin

A

P1

P2

n vô cùng bé dx, t ng công nguyên t c a các l c

Fms dx P2 dx

P
(sin
l

f cos

1) xdx Pdx

y ta có:
P
vdv
g

i v trí ban
phân ph

P
(sin
l

u x0

f cos

1) xdx Pdx

2
l , v trí cu i khi B chuy n

3

ng trình trên:
v

vdv
0

g
(sin
l

v2
2

lg
5(sin
18

v

1
lg 5(sin
3

l

f cos

1) xdx

2
l
3

f cos ) 1
f cos ) 1

- 17 -

l

g dx
2
l
3

ng

n O thì x1 = l. Tích


Nguy n Anh V n
th a mãn

Lý K32

i H c C n Th

cho
n xích có th tr t xu ng d c theo m t nghiêng, h s ma sát ph i

u ki n sao cho bi u th c d i d u c n ph i d ng:
5(sin
f

f cos ) 1 0
1
tg
5 cos

BÀI T P T GI I:
Câu 1: Trên m t ph ng nghiêng góc ng i ta t m t hình tr
c A có kh i l ng
m1 = 4kg và bán kính r =5cm, cách chân H c a m t ph ng nghiêng m t
n 2m. Ng i
ta xuyên d c theo tr c c a hình tr m t thanh nh khơng có kh i l ng, tì vào các bi.
Dùng m t s i dây khơng dãn, khơng có kh i l ng, n i vào thanh lõi c a hình tr m t
t B có kh i l ng m =2kg. Tìm l c c ng c a dây n i và th i gian hình tr l n n H
t khi b t u th v t B, khi góc nghiêng
30 0 . Cho bi t h s ma sát gi a v t B
và m t ph ng nghiêng là k = 0,2, b qua ma sát các bi và ma sát l n.
áp s : t

2l
,v i a
a

g (m1

m2 ) sin
m1

B

m2

km 2 cos
m1
2

; T

m2 a

g (k cos

sin )

A

H
Câu 2: V t kh i l ng m1
c treo b ng s i dây không dãn, kh i l ng khơng áng
, v t qua m t rịng r c c
nh B g n v i m t bàn n m ngang. u kia c a s i dây n i
i tr c c a m t con l n C có th l n khơng tr t trên m t bàn. Ròng r c B và con l n C
là nh ng hình tr
ng ch t có cùng bán kính R và kh i l ng m2. Ban u c h
ng
yên. Tìm v n t c c a v t A sau khi nó i
cm t

n h0 cho bi t momen ma sát l n
tác d ng lên C b ng Mms = fN, và công c a ma sát l n (công c n) b ng M ms (v i là
góc quay quanh tr c). B qua ma sát tr c ròng r c và s c c n khơng khí, coi s i dây
khơng tr t trên rãnh ròng r c.
áp s : v

2(m1 r fm2 ) gh
r (m1 2m 2 )

C
B

A

Câu 3: M t dây ng ch t dài L có m t ph n n m trên m t bàn n m ngang nh n, m t
ph n buông t do. Xác nh kho ng th i gian T dây r i kh i m t bàn, bi t r ng t i
th i m u chi u dài c a ph n dây th buông dài là l và v n t c u b ng không.
áp s : T

L
L
ln(
g

L2
l

l2

)

l

- 18 -


Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

Câu 4: D i tác d ng c a tr ng l ng b n thân, m t kh i tr tròn ng ch t l n xu ng
theo
ng d c chính c a m t ph ng nghiêng có góc nghiêng là . H s ma sát gi a
t tr và m t ph ng nghiêng là f. Tìm góc nghiêng c a m t ph ng nghieng
m
o cho chuy n ng l n ó là khơng tr t và tìm gia t c c a kh i tr . B qua ma sát
n.
áp s :

2
g sin
3

arctg 3 f ; a

.

Câu 5: M t tr tròn ng ch t A, có kh i l ng m, l n xu ng theo m t dây treo th ng

ng qu n vào nó. u B c a dây
c bu c ch t và khi tr r i không v n t c u thì
nh dây qu n ra. Tìm v n t c tr c kh i tr khi nó ã r i
cm t
n th ng h và tìm
c c ng c a dây treo.
2
mg
B
A0
áp s : v
3 gh ; T
.
3

3

h
A

Câu 6: Vi t ph ng trình chuy n ng c a m t v t r i n u k
n l c c n c a khơng
khí bi t l c c n t l v i v n t c r i Fc
kv , trong ó k = const > 0 là h s t l .
áp s : x

mg
t
k

k

t
m2 g
(1 e m )
2
k

Câu 7: M t v t ban u ng yên
nh m t cái nêm nh ma sát.Tìm th i gian v t
tr t h t nêm khi nêm chuy n ng nhanh d n sang trái v i gia t c a0 . H s ma sát
gi a nêm và v t là k, chi u dài m t nêm là l, góc nghiêng là và a0 g cot g .
áp s : t

2l
(g

ka 0 ) sin

(a 0

kg ) cos

m
a0

Câu 8: Trên m t bàn n m ngang r t nh n có m t t m ván kh i l ng M, chi u dài l. t
u ván m t v t nh có kh i l ng m. H s ma sát gi a v t và ván là k. Tính v n t c
i thi u v0 c n truy n t ng t cho ván v t tr t kh i ván.
áp s : v0

2kgl ( M
M

m)

m
v0

M
l

Câu 9: M t v t A có kh i l ng m1 tr t trên m t ph ng nghiêng và làm quay hình tr
trịn ng ch t có bán kính R. Kh i l ng hình tr là m, momen càn t lên hình tr là
Mc. H s ma sát gi a A và m t ph ng nghiêng là k. Tìm gia t c góc c a hình tr . Bi t
- 19 -


Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

góc t o b i m t ph ng nghiêng và m t n m ngang là , s i dây không dãn, không kh i
ng.
(m1 g sin

km1 g cos

áp s :
R(m

J
)
R2

Mc
)
R

Mc

m1

Câu 10: Hai v t n ng P1 và P2
c bu c vào hai dây qu n vào hai tang c a m t t i bán
kính là r và R.
nâng v t n ng P1 lên ng i ta tác d ng vào t i m t momen quay M.
Tìm gia t c g c c a t i quay, gia t c c a hai v t. Bi t tr ng l ng c a t i là Q và bán
kính quán tính i v i tr c quay là .
R
(M P2 R P1 r ) g
r
; a1 r ; a 2 R
áp s :
M
P2r 2 P2R2 Q 2
1

2

P2
P1
Câu 11: M t cu n ch g m hai a trịn ng ch t nh nhau có bán kính R và kh i
ng M
c g n vào tr c có bán kính, kh i l ng khơng áng k . M t s i ch
c
cu n vào tr c c a cu n và g n lên tr n. Cho cu n ch chuy n ng xu ng d i t tr ng
thái t nh, tìm gia t c chuy n ng c a tâm cu n ch .
áp s : a

R2
1
2r 2

1

g

Câu 12: M t xi lanh thành m ng, kh i l ng m, bán kính R,
c quay v i t c
góc 0 r i
c t nh nhàng vào gi a hai m t ph ng nghiêng, nhám, có góc nghiêng
0
45 so v i ph ng ngang. H s ma sát tr t gi a xilanh và hai m t ph ng nghiêng
u b ng . Tính s vịng xilanh quay
c cho n khi d ng l i. Cho bi t tr c c a
xilanh ng yên khi b hãm.
áp s : N

)2 R

(1
4

2
0

1

2

2 g

450
- 20 -

450


Nguy n Anh V n

Lý K32

i H c C n Th

Câu 13: M t hình tr
c ng ch t có bán kính R l n trên m t m t ph ng n m ngang
i m t m t ph ng nghiêng t o m t góc v i m t ph ng ngang. Tìm giá tr c c i v0

a v n t c mà v i giá tr ó hình tr i trên m t ph ng nghiêng mà khơng nh y. Gi s
khơng có s tr t.
áp s : v0 max

gR
(7 cos
3

4)

R

O

v0

Câu 14: M t hòn bi ng ch t, bán kính r l n khơng tr t t
nh m t qu c u bán kính
R. Xác nh v trí hịn bi r i m t c u và t c
góc c a hịn bi khi ó.
áp s : cos

10
;
17

10( R r ) g
17r 2

P

Câu 15: M t hịn bi bán kính r n m n t i nh c a m t qu c u bán kính R. Khi qu
u nh n
c gia t c a khơng i, n m ngang thì hịn bi b t u l n không tr t
xu ng d i. Xác nh v trí hịn bi r i qu c u và t c
góc c a hịn bi i v i tr c qua
tâm c a nó.

áp s :

10( R r ) g
; cos
17 r 2

10

2
a
2 a
17 2
g
g

17(

a2
g2

189

1)

P

a

- 21 -