Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Bài 3 :
Giáo viên : Phạm Quốc Khánh
Chương trình thay sách Toán THPT của Bộ GD-ĐT

I - ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D ,
nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x
0
∈ D sao cho f(x
0
) = M
kí hiệu : M = max f(x)
D
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D ,
nếu f(x) ≥ M với mọi x thuộc D và tồn tại x
0
∈ D sao cho f(x
0
) = m
kí hiệu : m = min f(x)
D
Ví dụ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số :
1
5y x
x
= − +
trên khoảng ( 0 ; + ∞)
Giải :
Trên (0 ; + ∞) có :

2
2 2
1 1
' 1
x
y
x x
−
= − =
2
; ' 0 1 0 1y x x= ⇔ − = ⇔ =
Bảng biến thiên :
x
0
1 + ∞
y’
y
+−−
0
+ ∞
-1
+ ∞
Từ bảng biến thiên trên khoảng (0 ; + ∞) hàm số có
giá trị cực tiểu duy nhất đó cũng là giá trị nhỏ nhất
của hàm số
Vậy min f(x) = - 3 ( tại x = 1)
(0 ; + ∞)

Không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số trên (0 ; + ∞)

II - CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Đặt vấn đề :
Xét tính đồng biến , nghịch niến và Tính giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của hàm số :
a) y = x
2
trên [-3 ; 0] b)
1
1
x
y
x
+
=
−
trên [3 ; 5]

a) y = x
2
trên [-3 ; 0]
Giải : Trên [-3 ; 0]) có : y’ = 2x
và y’ = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên :
x
-3
0
y’
y
−
− 0

9
0
[ ]
/ 3;0y ↓ −
[ ]
3;0
max 9y
−
=
[ ]
3;0
min 0y
−
=
1
)
1
x
b y
x
+
=
−
trên [3 ; 5]

Trên [3 ; 5]) có : y’ =
( )
2
2
1x

−
−
y’ < 0
Bảng biến thiên :
x
3
5
y’
y
−
−
2
3/2
[ ]
/ 3;5y ↓
[ ]
3;5
max 2y =
[ ]
3;5
3
min
2
y =

1. Định lý :
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất trên đoạn đó .
Thừa nhận định lý này
Ví dụ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = sin x trên

7
) ; ) ;2
6 6 6
a b
π π π
π
   
   
   
Giải :
a) Vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn
;2
6
π
π
 
 
 
O
x
y
| |
|
| |
1 −
-1 −
6
π
2
π

π
3
2
π
2
π
|
7
6
π
1
2
1
2
−
Tính các giá trị hàm số
Trên
7
;
6 6
D
π π
 
=
 
 
Có :
1
6 2
y

π
 
=
 ÷
 
1
2
y
π
 
=
 ÷
 
7 1
6 2
y
π
 
= −
 ÷
 
Từ đó có :
max 1
D
y
=
1
min
2
D

y = −
b) Tương tự xét trên
;2
6
E
π
π
 
=
 
 
Có :
1
6 2
y
π
 
=
 ÷
 
1
2
y
π
 
=
 ÷
 
3
1

2
y
π
 
= −
 ÷
 
( )
2 0y
π
=
max 1
E
y
=
min 1
E
y = −

2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của
hàm số liên tục trên một đoạn
Cho hàm số :
2
2 2 1
1 3
x neu x
y
x neu x

− + − ≤ ≤

=

< ≤

Có đồ thị như hình vẽ . Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-2 ; 3]
và nêu cách tính .
O
x
y
| | |
-2
|
-1 -2 1 2 3
-1
1
2
3
[ ]
2;3
max 3y
−
=
[ ]
2;3
min 2y
−
= −
Nêu cách tính
( )
2 2y

− = −
( )
0 2y =
( )
1 1y =
( )
3 3y =
Có nhận xét (Đọc sgk trang 21 )

QUY TẮC :
1) Tìm các điểm x
1
; x
2
; … x
j
trên khoảng (a ; b) tại đó f’(x) = 0
hoặc f’(x) không xác định
2) Tìm f(a) ; f(x
1
) ; f(x
2
) ; … ; f(x
j
) ; f(b)
3) Tìm số lớn nhất M ; số nhò nhất m các số trên và có
( )
[ ]
;
max

a b
M f x
=
( )
[ ]
;
min
a b
m f x
=
Chú ý :
Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất trên khoảng đó . Ví dụ :
( )
1
f x
x
=
Không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng ( 0 ; 1)
Tuy nhiên cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên 1
khoảng như ví dụ sau :
Ví dụ 3 . Cho tấm tôn nhôm hình vuông cạnh a . Người ta cắt ở 4 góc 4 hình vuông
bằng nhau , rồi gấp tấm nhôm như hình vẽ để được cái hộp không nắp . Tính
cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất .

a
⇒
Giải :
Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt bỏ ⇒

0
2
a
x
< <
Thể tích khối hộp là :
( ) ( )
2
2 0
2
a
V x x a x x
 
= − < <
 ÷
 
Ta phải tìm x
0
∈
0;
2
a
 
 ÷
 
sao cho V(x
0
) có giá trị lớn nhất .
Có V’(x) = (a-2x)(a-6x) và trên
0;

2
a
 
 ÷
 
; V’(x) = 0 ⇔
6
a
x
=
Bảng biến thiên :
x
0
V’(x)
V(x)
6
a
2
a
0
+ ─
0
3
2
27
a
0
Hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất nên tại đó
V(x) có giá trị lớn nhất .
( )

3
0;
2
2
max
27
a
a
V x
 
 ÷
 
=
6
a
x
=

*Ví dụ . Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
2
1
1
f x
x
= −
+
Giải : Hàm số xác định với mọi x ∈ R ;
f’ (x)= 0 ⇔
0x

=
Bảng biến thiên :
x
- ∞
f’
f
0 +∞
0
1−
0
─
0
Vậy hàm số :
( )
( )
2
2
2
'
1
x
f x
x
=
+
+
( )
min 1
R
f x

= −
0x
=
Bài trắc nghiệm : Giá trị lớn nhất của hàm số : y = x
4
- 3x
2
+ 2 trên đọan [ 0 ; 3 ]

A
16
B
26
C
36
D
56
Bài tập về nhà :
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 23 và 24 sgk GiẢI TÍCH 12

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định