giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.37 MB, 97 trang )
TRUNG TÂM BDKT VÀ LTĐH 36/73 NGUY
ỄN HOÀNG
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH
CAO CH
ẤT LƯỢNG
SĐT: 01234332133-0978421673
CHUYÊN Đ
Ề HÀM SỐ 12
LUY
ỆN THI
T
ỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Hueá, thaùng 7/2012
* GTLN Và GTNN của hàm số
* Ti
ệm cận của đồ thị hàm số
* KSHS hàm b
ậc ba, trùng phương, hửu tỉ
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
1
M
ỤC LỤC
Bài 3. Giá t
ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
- D
ạng 1:
Tìm GTLN, GTNN c
ủa hàm số bằng đỉnh nghĩa
- D
ạng 2:
Đ
ặt ẩn phụ tìm GTLL và GTNN
- D
ạng 3: Ứng dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
- D
ạng 4:
Ch
ứng minh bất
đẳng
th
ức, tìm GTLN và GTNN trên một miền
Bài 4. Ti
ệm cận của đồ thị hàm số
- D
ạng 1:
Tìm tiêm c
ận ngang và tiệm cận đứng bằng định nghĩa
- D
ạng 2:
M
ột số bài toán liên quan đến tiệm cận. Tìm m thỏa điều kiện K
cho trư
ớc
Chủ đề: Tiệm cận xiên (Thảo luận)
- D
ạng 3:
Các bài toán liên quan đ
ến tiệm cận hàm phân thức
Bài 5. Kh
ảo sát hàm số
V
ấn
đề 1:
Hàm trùng phương
- D
ạng 1:
Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- D
ạng 2:
M
ột số bài toán liên quan đên hàm trùng phương
V
ấn đề 2:
Hàm b
ậc ba
- D
ạng 1:
Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- D
ạng 2:
M
ột số bài toán liên quan
đên hàm b
ậc ba
V
ấn đề 3:
Hàm phân th
ức hữu tỉ
- D
ạng 1:
Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số
- D
ạng 2:
M
ột số bài toán liên quan
đên hàm phân thức hữu tỉ
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
2
BÀI 3. GIÁ TR
Ị LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A. KI
ẾN THỨC CẦN NẮM
1. Đ
ịnh nghĩa:
Gi
ả s
ử hàm số
f
xác đ
ịnh trên miền D (D
R).
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D
M f x
x D f x M
b)
0 0
( ) ,
min ( )
: ( )
D
f x m x D
m f x
x D f x m
2. Tính ch
ất:
a) N
ếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[ ; ]
[ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b
a b
f x f b f x f a
.
b) N
ếu hàm số f nghịch biến trên [a;
b] thì
[ ; ]
[ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b
a b
f x f a f x f b
.
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
3
B. PHƯƠNG PHÁP GI
ẢI BÀI TẬP
Cách 1: Thư
ờng dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
Tính f
(x).
Xét d
ấu f
(x) và l
ập bảng biến thiên.
D
ựa vào bảng biến thiên
đ
ể kết luận.
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
[a; b].
Tính f
(x).
Gi
ải ph
ương trình f
(x) = 0 tìm
đư
ợc các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a; b] (n
ếu
có).
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).
So sánh các giá tr
ị vừa tính và kết luận.
1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
M f x f a f b f x f x f x
1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
m f x f a f b f x f x f x
BÀI T
ẬP MẪU:
Bài 1. Tìm GTLL và GTNN (n
ếu có) của các hàm số sau:
3 1
)
3
x
a y
x
trên đo
ạn [0;2]
b)
2
2
3 1
1
x x
y
x x
D
ẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
4
Hư
ớng dẫn:
b) B
ảng biến thiên
x
0 2
'y
- 0 + 0 +
y
3
11
3
D
ựa vào bảng biến thiên, học sinh có thể dễ dàng xác đinh GTLL,GTNN
Bài 2. Tìm GTLL và GTNN (n
ếu có) của các hàm số sau:
a)
2
4 3y x x
b)
4 2
2y x x
c)
4 2
2 2y x x
Hư
ớng dẫn:
b) Hàm s
ố xác định
trên
B
ảng biến thiên:
x
-1 0 1
'y
- 0 + 0 - 0 +
y
0
D
ựa vào bảng biến thiên:
Hàm đ
ạt gía trị nhỏ nhất tại
1x
,
1Min y
. Hàm không có giá tr
ị lớn nhất
Bài 3. Tìm giá tr
ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
1
3
-1
-1
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
5
2
2x
y
x
trên
0;
Hư
ớng dẫn:
Hàm xác đ
ịnh trên tập
0;
2 0;
' 0
2
x
y
x
Bảng biến thiên
x
0 2
'y
- +
y
8
D
ựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại
0;
2, 8x Min y
Hàm không có giá tr
ị lớn nhất
Bài 4. Tìm giá tr
ị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
2
5 6y x x
trên đo
ạn [
-1;6]
Hư
ớng dẫn:
Hàm đạt giá trị nhỏ nhất tại x=-1; x=6 và đạt giá trị lớn nhất tại
5
2
x
Bài 5. Tìm giá tr
ị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
2
6 4y x x
trên đo
ạn [0;3]
Hư
ớng dẫn:
Hàm đ
ạt giá trị lớn nhất tại x=3, nhỏ nh
ất tại x=0
Bài 6. (Đ
ề thi TS
ĐH 2003 khối B) .
Tìm giá tr
ị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
4y x x
Hư
ớng dẫn:
Cách 1: T
ập xác định
2;2D
;
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
6
2
2
1 ; 0 4
4
x
y y x x
x
2 2
0
2
4
x
x
x x
max 2 2
min 2
y
y
Cách 2: Đặt
2sin , ;
2 2
x u u
2 sin cos 2 2sin 2;2 2
4
y u u u
;
max 2 2 ; min 2y y
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
1
1
x
y
x
trên đoạn [-1;2]
Hư
ớng dẫn:
Hàm đ
ạt giá trị nhỏ nhất tại x=
-1 và đ
ạt giá
tr
ị lớn nhất tại
1x
Bài 8. Tìm giá tr
ị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
3 2
3 1y x x
trên đo
ạn [
-2;1]
Hư
ớng dẫn:
Hàm đ
ã cho xác
định trên
2;1
Đ
ặt
3 2
( ) 3 1, 2;1g x x x x
,
0
'( ) 0
2 2;1
x
g x
x
Do đó:
2;1 2;1
( ) 1; ( ) 19Max g x Min g x
Ta có:
2;1 ( ) 19;1 ( ) 0;19x g x g x
1 1
(0). ( 1) 0 0;1 : ( ) 0g g x g x
. V
ậy
2;1 2;1
( ) 19; ( ) 0Max f x Min f x
BÀI T
ẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN c
ủa các hàm số sau:
a)
2
2
1
1
x x
y
x x
b)
3 4
4 3y x x
c)
4 2
3
1
( 0)
x x
y x
x x
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
7
d)
2
2y x x
e)
2
1
2 2
x
y
x x
f)
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
g)
2
1
( 0)y x x
x
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN c
ủa các hàm số sau:
a)
3 2
2 3 12 1y x x x
trên [–1; 5] b)
3
3y x x
trên [–2; 3]
c)
4 2
2 3y x x
trên [–3; 2] d)
4 2
2 5y x x
trên [–2; 2]
e)
3 1
3
x
y
x
trên [0; 2] f)
1
1
x
y
x
trên [0; 4]
g)
2
4 7 7
2
x x
y
x
trên [0; 2] h)
2
2
1
1
x x
y
x x
trên [0; 1]
Bài 3. Tìm GTLN, GTNN c
ủa các hàm số sau:
a)
2
100y x
trên [–6; 8] b)
2 4y x x
c)
2
2y x x
Bài 4. Tìm giá tr
ị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số
3 2
72 90y x x x
trên
đo
ạn [
-5;5]
Hư
ớng d
ẫn:
Hàm s
ố đã cho xác định trên
5;5
Đặt
3 2
( ) 72 90, 5;5g x x x x x
Ta có :
6 5;5
'( ) 0
4 5;5
x
g x
x
V
ới
(4) 86; ( 5) 400; (5) 70g g g
Do đó:
86 ( ) 400 0 ( ) 400 0 ( ) 400g x g x f x
V
ậy
5;5
ax ( ) 400 5M f x khi x
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
8
Bài 6. Tìm giá tr
ị lớn nhất,
nh
ỏ nhất của hàm số
sin2y x x
trên đo
ạn
;
2
Hư
ớng dẫn:
5
'( ) 0 ; ;
6 6 6
f x x
V
ậy:
; ;
2 2
5 3 5
( ) ; ( )
6 2 6 2 2
Max f x khi x Min f x khi x
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
9
Khi đ
ặt ẩn phụ, cần chú ý một số điều sau:
N
ếu
đ
ặt
2
t x
thì
0t
và gi
ả sử
1;1 0;1x t
N
ếu
sin
1;1
cos
t x
t
t x
N
ếu
2
2
sin
0;1
os
t x
t
t c x
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. (Đ
ề dự bị TSĐH 2003 khối B)
Tìm giá tr
ị lớn nhất, nhỏ nhất của
3
6 2
4 1y x x
trên đo
ạn
1;1
.
Hư
ớng dẫn:
Đ
ặt
2
0;1u x
. Ta có
3
3 3 2
4 1 3 12 12 4y u u u u u
2
2
3
9 24 12 0
2 0;1
u
y u u
u
T
ừ
đó ta được
4
max 4;min
9
y y
Bài 2. Tìm giá tr
ị lớn nhất và gí trị nhỏ nhất của hàm số
6 4 2
9 1
3
4 4
y x x x
trên
đoạn [-1;1]
Hư
ớng dẫn:
Đặt
2
0;1 , 1;1t x t x
ta có:
3 2
9 1
( ) 3
4 4
f t t t t
liên t
ục trên
đoạn [0;1]
D
ẠNG 2: SỬ
D
ỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TÌM
GTLL VÀ GTNN
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
10
1
2
'( ) 0
3
0;1
2
t
f t
t
0;1 1;1
[ 1;1]
0;1
3 1 3 2
( ) ( )
4 2 4 2
1 1
( ) 0 ( ) 0
4 4
Max f t khi t hay Max f x khi x
Min f t khi t hay Min f x khi x
Bài 3. Tìm giá tr
ị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
4 2
sin os 2y x c x
Hư
ớng
d
ẫn:
Hàm đ
ã cho xác định trên
4 2 4 2
sin os 2 sin sin 3y x c x x x
Đ
ặt
2
sin , 0;1t x t
. Xét hàm
2
( ) 3, 0,1f t t t t
V
ậy
0;1 0;1
11
( ) 3; ( )
4
Max f x Min f x
Bài 4. Tìm giá tr
ị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
2
sinx 1
sin sinx 1
y
x
Hư
ớng dẫn:
Đ
ặt
sin , 1;1t x t
2
1
( ) 1;1
1
t
f t
t t
,
( )f t
liên t
ục trên
1;1
,
'( ) 0 0f t t
1;1
1;1
( ) ( ) 0 sin 1 2 ,
2
( ) ( ) 0 sin 0 ,
Max f x Max f t khi x x k k
Min f x Min f t khi x x k k
Bài 5. Tìm giá tr
ị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
c
ủa hàm số:
2 2
sin os
4 4
x c x
y
Hư
ớng dẫn:
Cách 1:
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
11
2 2 2 2 2
2
sin os sin 1 sin sin
sin
4
4 4 4 4 4
4
x c x x x x
x
y
Đ
ặt
2
sin
4 , 0;4
x
t t
, xét hàm s
ố
2
4
, 1;4
t
y t
t
T
ừ đó suy ra được:
1;4 1;1
( ) ( ) 5 ; ( ) ( ) 4Max f x Max f t Min f x Min f t
Cách 2:
Áp d
ụng
b
ất đẳng thức trung bình cộng, tr
ung bình nhân ta có:
2 2
sin os
4 4 2 4 4.
x c x
Đ
ẳng thức xảy ra khi
2 2
sin os
4 4 ,
2 2
x c x
k
x k
2
2 2 2 2
2
sin
sin os sin os
os
4 1
4 1 4 1 0 4 4 5
4 1
x
x c x x c x
c x
Đ
ẳng thức xảy ra khi
sin 0x
ho
ặc
cos 0x
V
ậy
4 ; 5
4 2 2
k k
Miny khi x Maxy khi x
BÀI T
ẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN c
ủa các hàm số sau:
a)
2sin 1
sin 2
x
y
x
b)
2
1
cos cos 1
y
x x
c)
2
2sin cos 1y x x
d)
cos2 2sin 1y x x
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2
4 2
1
1
x
y
x x
b)
2 2
4 4 3y x x x x
g)
2 2
4 2 5 2 3y x x x x
e)
3 3
sin cosy x x
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
12
Phương pháp:
Gi
ả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có
min ( ) ; max ( )
D
D
f x m f x M
.
Khi đó:
1) H
ệ phương trình
( )f x
x D
có nghi
ệm
m
M.
2) H
ệ bất phương trình
( )f x
x D
có nghi
ệm
M
.
3) H
ệ bất phương trình
( )f x
x D
có nghi
ệm
m
.
4) B
ất phương trình f(x)
đúng v
ới mọi x
m
.
5) B
ất phương trình f(x)
đúng v
ới mọi x
M
.
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Tìm m
để phương trình sau có nghiệm x
0; 1 3
:
2
2 2 1 (2 ) 0 (2)m x x x x
Hư
ớng dẫn:
Đ
ặt
2
t x 2x 2
. (2)
2
t 2
m (1 t 2),dox [0;1 3]
t 1
Kh
ảo sát
2
t 2
g(t)
t 1
v
ới
1 t 2;
'( ) 0g t
. V
ậy g tăng trên [1,2]
Do đó, ycbt
bpt
2
t 2
m
t 1
có nghi
ệm t
[1,2]
t
m g t g
1;2
2
max ( ) (2)
3
Bài 2. Tìm m
để phương trình sau có 2 nghiệm phân b
i
ệt:
2 2
10 8 4 (2 1). 1x x m x x
Hư
ớng dẫn:
D
ẠNG 3: ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH, H
Ệ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH:
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chun đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
13
Nh
ận xét:
2 2 2
1 0 8 4 2(2 1) 2( 1) x x x x
(pt)
2
2 2
2 1 2 1
2 2 0
1 1
x x
m
x x
. Đ
ặt
2
2 1
1
x
t
x
Đi
ều kiện :
–2< t
5
.
Rút m ta có: m=
2
2 2t
t
. L
ập bảng biên thiên
12
4
5
m
ho
ặc
–5 <
4 m
Bài 3.
2 2
Tìm tham số m để bất phương trình 2 24 2 (1) có nghiệm
trên 4;6
x x x x m
Hư
ớng dẫn:
2
2
2
2 24, 4,6 thì t 0;5
ycbt tìm m để bất phương trình 24 có nghiệm thực t 0;5
Xét hàm số f(t)= 24, liên tục trên 0;5
Đặt t x x x
t t m
t t
0;5
Ta có: '( ) 0, 0;5 ( ) liên tục và đồng biến trên 0;5
Vậy bpt có nghiệm thực trên đoạn 0;5 khi ax ( ) (5) 6
f t t f t
m f t m f m m
Bài 4. Tìm m để hệ BPT:
2
3 2
3 0
2 2 4 0
x x
x x x m m
(1) có nghiệm.
Gi
ải.
(1)
3 2
0 3
2 2 4
x
f x x x x m m
(2).
Ta có:
2
2
3 4 4 0;2
3 4 4 2;3
x x x
f x
x x x
;
(x) 0
2
3
x
. Hàm khơng có đ
ạo hàm tại
2x
Nhìn BBTsuy ra:
0;3
Max 3 21
x
f x f
Đ
ể (2) có nghiệm
thì
2
0;3
Max 4
x
f x m m
2
4 21m m
3 m 7
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
14
Bài 5. Tìm m đ
ể PT:
2
2 2sin2 1 cosx m x
(1) có nghi
ệm
,
2 2
x
Gi
ải.
Do
,
2 2
x
,
2 4 4
x
nên đ
ặt
tg 1,1
2
x
t
2
2
1
cos
1
t
x
t
;
2
2
sin
1
t
x
t
. Khi đó (1)
2 2
2 sin cos 1 cosx x m x
2 2
2 2
2
2
2 2
2 1 1
2 1 2 1 2
1 1
t t t
m f t t t m
t t
(2)
Ta có:
2
2 2 1 2 2 0 1; 1 2f t t t t t t
Đ
ể (2) có nghiệm
1,1t
thì
1,1
1,1
Min 2 Max
t
t
f t m f t
0 2 4 0 2m m
. V
ậy để (1) có nghiệm
,
2 2
x
thì
0;2m
.
@ Chú ý:
ở bài trên ta đã sử dụng công thức đặt
tg
2
x
t
thì
2
2
1
cos
1
t
x
t
;
2
2
sin
1
t
x
t
. Công th
ức này trong SGK không có. Tuy nhiên, ta nên biết
để khi
nào th
ấy “bí”
đem ra dùng. Vi
ệc chứng minh công thức trên tương đối dễ dàng.
Bài 4. Gi
ải phương trình:
4 4
2 4 2x x
G
ợi ý:
yêu c
ầu học sinh phải nắm công thức tính đạo hàm củ
a hàm l
ũy thừa(
chương II-Giait tích 12
Hư
ớng dẫn:
Đ
ặt
4 4
2 4f x x x
v
ới
2 4x
3 3
4 4
1 1 1
0 3
4
2 4
f x x
x x
Nhìn BBT suy ra:
3 2 2,4f x f x
Phương tr
ình
4 4
2 4 2f x x x
có nghi
ệm duy nhất
x 3
Bài 5. Gi
ải phương trình:
3 5 6 2
x x
x
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
15
Hư
ớng dẫn:
PT
3 5 6 2 0
x x
f x x
. Ta có:
3 ln3 5 ln5 6
x x
f x
2 2
3 ln3 5 ln5 0
x x
f x
x
(x) đ
ồng biến
M
ặt khác
(x) liên t
ục và
0 ln3 ln5 6 0f
,
1 3ln3 5ln5 6 0f
Phương tr
ình
(x) 0 có đúng 1 nghi
ệm
x
0
Nhìn b
ảng biến thiên suy ra:
Phương tr
ình
3 5 6 2 0
x x
f x x
có không quá 2 nghi
ệm.
BÀI T
ẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Gi
ải các phương trình sau:
5 5
1
(1 )
16
x x
Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
3 6 (3 )(6 )x x x x m
b)
mmxxxx 2223
22
Hư
ớng dẫn:
b)
(*)
2
2 2
3 2 0
3 2 2 2
x x
x x x mx m
m
x
x
xf
x
xxm
x
2
1
23
)(
21
23)1(2
21
f(x) liên tục trên
1;2
và có
2
5
( ) 0, 1;2
1
f x x
x
)(xf
đ
ồng biến trên
2;1
Bài toán yêu c
ầu
1 2
(1) 2 (2)
4 3
f m f m
Bài 3. Tìm m
đ
ể các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
R:
a)
2
2 1x x m
c)
4
4 0mx x m
Bài 4. Cho b
ất phương trình:
3 2
2 1 0x x x m
.
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
16
a) Tìm m
đ
ể bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m
để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Bài 5. Tìm m
để các bất phương trình sau:
a)
3 1mx x m
có nghi
ệm.
b)
( 2) 1m x m x
có nghi
ệm x
[0; 2].
c)
2 2
( 1) 1m x x x x
nghi
ệm đúng với mọi x
[0; 1].
Bài 6. Tìm m đ
ể BPT:
2
2 9m x x m
có nghi
ệm
đúng
x
Hư
ớng dẫn:
2
2 9m x x m
2
2 9 1m x x
2
2 9 1
x
m f x
x
Ta có:
2
2
2 2
9 2 9
2 9 2 9 1
x
f x
x x
0
2
2 9 9 6x x
2
1 1
lim lim
9 2
1
2
x x
f x
x
x
;
2
1 1
lim lim
9 2
1
2
x x
f x
x
x
Nhìn BBT ta có
f x m
,
x
3 3
Min 6
4 4
x
f x f m m
Bài 7. Tìm m để phương trình:
m
x
x
xxx
1
)1(4)1(
có nghịêm
Hư
ớng dẫn:
Đ
ặt
( 1)
1
x
t x
x
khi đó pt cho ta m = t(t – 1) suy ra
4m
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
17
(Ph
ần nâng cao
-b
ồi d
ưỡng học sinh giỏi
-Trích tài li
ệu của Trần Ph
ương và tham
kh
ảo phần
tài li
ệu Sĩ Tùng)
Phương Pháp:
1. Cách này d
ựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.
Ch
ứng minh một bất đẳng thức.
Tìm m
ột điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được
tr
ở thành đẳng thức.
2. Xét bài toán tìm GTLN, GTNN c
ủa hàm số f(x) trên một miền D cho trước.
G
ọi y
0
là m
ột giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có
nghi
ệm:
0
( ) (1)
(2)
f x y
x D
Tu
ỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường
đi
ều kiện ấy (s
au khi bi
ến
đổi) có dạng:
m
y
0
M (3)
Vì y
0
là m
ột giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min ( ) ; max ( )
D
D
f x m f x M
BÀI T
ẬP MẪU:
Bài 1
.
Tìm giá tr
ị nhỏ nhất của hàm số
2
4 2 1f x x x x
Gi
ải.
G
ọi
y
0
là 1 giá tr
ị của hàm
f(x)
t
ồn tại
x
0
sao cho y
0
=
2
0 0 0
4 2 1x x x
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 2 1 2 4 2 1y x x x y y x x x x
g(x
0
) =
2 2
0 0 0 0
3 2(1 ) 1 0x y x y
. Ta có g(x) = 0 có nghi
ệm
x
0
=
2 2 2
0 0 0 0
(1 ) 3(1 ) 2(2 1)y y y y
=
0 0
2( 1)(2 1) 0y y
D
ẠNG 4
: Ch
ứng minh bất
đẳng thức, tìm GTLL và GTNN của hàm số
trên m
ột miền
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
18
Do y
0
=
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
3 ( 1) 3 3 0x x x x x x x
nên
0 2y
0
1 0
0
1
2
y
. V
ới
x =
1
2
thì Minf(x) =
1
2
Bài 2. Cho
2
5 4 .y f x x x mx
Tìm các giá tr
ị của
m sao cho
Min 1y
Gi
ải.
Ta có
2
1
2
2
5 4 ; x 1 4 :
5 4 ; 1 4 :
x m x x P
f x
x m x x P
G
ọi (
P) là đ
ồ thị của
y = f(x) (P) = (P
1
) (P
2
) khi đó (P) có 1 trong các hình
d
ạng
đồ thị sau đây
Hoành đ
ộ của các điểm đặc biệt trong đồ thị (P):
Hoành đ
ộ giao điểm (
P
1
), (P
2
) x
A
= 1; x
B
= 4 ; Hoành đ
ộ
đ
ỉnh (
P
1
):
5
2
C
m
x
.
Nhìn vào đồ thị ta xét các khả năng sau:
N
ếu
x
C
[x
A
, x
B
] m[ 3, 3] thì Minf(x) = Minf(1), f(4).
Khi đó Minf(x) > 1
3 3
(1) 1
(4) 4 1
m
f m
f m
1 < m 3 (1)
N
ếu
x
C
[x
A
, x
B
] m[ 3, 3] thì Minf(x) =
1 1
5
2
C
m
f x f
=
2
10 9
4
m m
A
B
C
P
2
P
1
A
B
C
P
2
P
1
A
B
C
P
1
P
2
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
19
Khi đó Minf(x) > 1
2
[ 3,3]
3 5 2 3
10 13 0
m
m
m m
(2)
K
ết luận
:
T
ừ (1) và (2) suy ra Min
f(x) > 1
1 5 2 3m
Bài 3.
Cho
, 0
1
x y
x y
Tìm giá tr
ị nhỏ nhất của
S =
1 1
x y
x y
Gi
ải:
2
x y
S y x x y x y x y x y
y x
M
ặt khác,
S =
1 1
x y
x y
=
1 1y x
y x
=
1 1
x y
x y
Suy ra 2S
1 1
x y
4
2 2
2 2
2
xy x y
2S
MinS =
2
.
Bài 4. (Đ
ề 33 III.2, Bộ đề thi TSĐH 1987
– 1995)
Cho
2 2
1x y
. Tìm Max, Min c
ủa
A
1 1x y y x
.
Gi
ải.
1. Tìm MaxA: S
ử dụn
g b
ất đẳng thức
BunhiaCôpski ta có
A
2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 2x y y x x y x y
.
V
ới
1
2
x y
thì Max A
2 2
2. Tìm MinA: Xét 2 trư
ờng hợp sau đây
• Trư
ờng hợp 1
: N
ếu
0xy
, xét 2 kh
ả n
ăng sau:
+) N
ếu
0, 0x y
thì A>0
Min 0A
+) N
ếu
x 0, y 0 thì
A
2 2
( ) (1 ) (1 ) 2x y x y x y
=
2 2
2 2 1x y x y
T
ừ 2 khả năng đã xét suy ra với
0xy
thì Min A = 1
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
20
• Trư
ờng hợp 2
: Xét
0xy
: Đ
ặt
x y t
2
1
0
2
t
xy
1,1t
2 2 2
1 2 1 1 1 1 2 1A x y xy x y y x xy x y xy x y xy
2 2 2
1 1 1
1 2 1
2 2 2
t t t
t t
2
1
1 2 2 1
2
t
t
2 3 2
1
1 2 2 1 2 2 2
2
A f t t t t
Ta có:
2
1 2
3 1 2
1 2 1 2
2 0 ; 2 1
2 2 3
f t t t t t t t
Th
ế
1 2
,t t
vào ph
ần dư của
f t
chia cho
f t
1 2
2 19 3 2
; 0
27
f t f t
.
Nhìn b
ảng biến thiên suy ra:
2
1 1
A f t A f t
suy ra
1
2 19 3 2
Min 1
27
A f t
x
ảy r
a
1
x y t
;
2
1
1
2
t
xy
x, y là nghi
ệm của
2
1 2 2 3
0
3 9
u u
1 2 15 2 2
,
6
x y
Kết luận: Max A
2 2
;
2 19 3 2
Min
27
A
Bài 5. Cho
a,b,c 0
th
ỏa mãn điều kiện
3
a b c
2
Tìm giá tr
ị nhỏ nhất của
2 2 2
2 2 2
1 1 1
S a b c
b c a
Gi
ải. Sai lầm thường gặp:
2 2 2 2 2 2
3
6
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
3. 3.S a b c a b c
b c a b c a
t
1
t
1
t
2
1
0
0
1
1
f t
1
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
21
6
2 2 2
6
2 2 2
1 1 1
3. 2 2 2 3. 8 3 2 Min 3 2a b c S
b c a
Nguyên nhân:
1 1 1 3
Min 3 2 1 3
2
S a b c a b c
a b c
mâu thu
ẫn với giả
thi
ết
Phân tích và tìm tòi l
ời giải :
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại
1
2
a b c
Sơ đ
ồ điểm rơi
:
1
2
a b c
2 2 2
2 2 2
1
4
1 1 1 4
a b c
a b c
1 4
4
16
Cách 1: Bi
ến
đổi và sử dụng bất đẳng thức
Côsi ta có
2 2 2
2 2 2 2 2 2
16 16 16
1 1 1 1 1 1
16 16 16 16 16 16
S a b c
b b c c a a
2 2 2
17 17 17
16 32 16 32 16 32
17 17 17
8 16 8 16 8 16
17 17 17
16 16 16
17
16 16 16
a b c
b c a
a b c
b c a
3
17 17 17 17
8 16 8 16 8 16 8 5 5 5
1
17 3 3 17
16 16 16 16
a b c
b c a a b c
5 15
17
17
3 17 3 17 3 17
2
2 (2 2 2 )
2 2 2
2
3
a b c
a b c
. V
ới
1
2
a b c
thì
3 17
Min
2
S
Cách 2: Bi
ến đổi và sử dụng bất đẳng thức
BunhiaCôpski ta có
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
22
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 4
1 4
17 17
1 1 1 1 4
1 4
17 17
1 1 1 1 4
1 4
17 17
a a a
b
b b
b b b
c
c c
c c c
a
a a
1 4 4 4
17
S a b c
a b c
1 1 1 1 15 1 1 1
4 4 4 4
17
a b c
a b c a b c
6 3
3
1 1 1 1 15 1 1 1 1 45 1
6 3 3
4 4 4 4 4
17 17
abc
a b c a b c
abc
1 45 1 1 45 3 17
3 3 2
4 4 2
17 17
3
a b c
. V
ới
1
2
a b c
thì
3 17
Min
2
S
Cách 3: Đ
ặt
1 1 1
, ; , ; ,u a v b w c
b c a
Do
u v w u v w
nên suy ra :
2
2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
S a b c a b c
a b c
b c a
2 2
2
1 1 1 1 15 1 1 1
16 16
a b c
a b c a b c
2
3
15
1 1 1 1 1 1 1
2 3
4
16
a b c
a b c a b c
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
23
3
3
2
3
1 135 1
1 1 1
3 3
2 16
abc
a b c
abc
2
9 135
1
2 16
3
a b c
9 135 18 135 153 3 17
4
2 16 4 4 4 2
. Với
1
2
a b c
thì
3 17
Min
2
S
Bài 6. a) L
ập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
3
1
x
y
x
b) Cho
1a b c
. Ch
ứng minh rằn
g:
2 2 2
1 1 1 10a b c
Gi
ải.
a) TXĐ:
D
;
2 2
1 3
1 1
0 10
3 3
1 1
x
y x y
x x
2
2
2
3 / 3 /
lim lim lim lim
1
1
1
x x x x
x x x x
x
y
x
x
x
x
.
Suy ra
lim 1; lim 1
x x
y y
. Nhìn BBT
ta có
2
3
10 max 10
1
x
y y
x
b) Theo ph
ần a) thì
10 ,y x
2
3 10. 1,x x x
.
Đ
ặc biệt hóa bất đẳng thức này tại các giá trị
, ,x a x b x c
ta có:
2
2
2
: 3 10. 1
: 3 10. 1
: 3 10. 1
x a a a
x b b b
x c c c
2 2 2
9 10. 1 1 1a b c a b c
2 2 2
10 1 1 1a b c
Cách 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy đặt
;1 ; ;1 ; ;1OA a AB b BC c
.
Khi đó
; 3OC OA AB BC a b c
.
x
1/3
y
+
0
0
y
1
10
1
a
a+
b
a+b+c
C
A
B
1
2
3
O
x
1
y
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673
-TP HU
Ế
Chuyên đ
ề LTĐH
Biên so
ạn:
Tr
ần Đình Cư
24
Do
OA AB BC OA AB BC OC
T
ừ đó suy ra
2 2 2
1 1 1 10a b c
