skkn những tính chất của giao điểm giữa hypebol với đường phân giác góc tạo bởi hai đường tiệm cận

Së gi¸o dôc & ®µo t¹o thanh ho¸
Tr êng thpt Hµm RåNG
1
Nh÷ng tÝnh chÊt cña giao ®iÓm gi÷a Hypebol
víi ®êng ph©n gi¸c gãc t¹o bëi hai ®êng tiÖm
cËn
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm
NguyÔn hång quang
2
Thanh hoá năm học 2012 - 2013
đặt vấn đề
Cách đây mấy năm trong một đề tài SKKN tôi đã đề cập đến vấn
đề khai thác một số tính chất đặc trng của Hypebol y =
2
ax bx c
Dx E
+ +
+
, (aD

o) hoặc y=
ax b
cx d
+
+
, (c

0) để giải các bài toán cực
trị và đã giải quyết đợc một số bài toán. Trong suốt thời gian qua
tôi đã dày công tìm hiểu thêm mối quan hệ giữa các đờng tiệm cận
của (H) và tiếp tuyến của nó, tôi đã phát hiện thấy một số tính chất

của chúng , đặc biệt tôi đã tìm ra 24 tính chất giao điểm của
Hypebol và đờng phân giác góc tạo bởi hai đờng tiệm cận (có
3
thể coi đây là 24 bài toán về cực tri). Với phát hiện này ta có thể đa
ra một cách giải chung cho tất cả các bài toán dạng:
Tìm trên đồ thị y = f(x) điểm M sao cho tiếp tuyến tại
đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi bé
nhất ?
Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến
điểm I (giao điểm hai đờng tiệm cận ) ngắn nhất ?
Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ tiếp
tuyến tại M đến điểm I ( giao điểm hai đờng tiệm cận )
lớn nhất
và còn nhiều bài toán tơng tự khác nữa. Khi cha phát hiện ra 24
tính chất nói trên thì mỗi bài toán dạng này đều có cách giải khác
nhau , nhng các cách giải đó cha nói lên một cách nhìn chung.
Khi phát hiện đợc 24 tính chất trên tôi đã hớng dẫn học sinh có một
cách giải chung nhất cho tất cả các bài toán có dạng trên.Sau một
thời gian áp dụng phơng pháp này học sinh đã có một cách nhìn
các bài toán một cách đơn giản và tự tin hơn. Nhân dịp này tôi xin
giới thiệu với các thầy giáo và các em học sinh bài viết với nội
4
dung : Những tính chất của giao điểm giữa Hypebol với đờng
phân giác góc tạo bởi hai đờng tiệm cận . Với mong muốn giúp
các em học sinh tự tin và chủ động hơn khi gặp các bài toán dạng
trên!

Giải quyết vấn đề
5
Đ1/ Tính chất của giao điêm

giữa Hypebol với
Đờng phân giác góc hợp bởi hai đ-
ờng tiệm cận của Hypebol
Trớc khi nêu các tính chất ta đa ra một số ký hiệu sau
(H) là Hypebol y =
2
ax bx c
Dx E
+ +
+
, (aD

o) hoặc y=
ax b
cx d
+
+
, (c

0)
(d
1
) là tiện cận đứng của(H)
(d
2
) là tiệm cận còn lại ( ngang hoặc xiên) của(H)
I là giao điểm hai tiệm cận

I
là góc tạo bởi hai tiệm cân

(d) là phân giác của góc

I

M , N là hai giao điểm của phân giác (d) với (H)
(T) là tiếp tuyến của (H) tại M
A là giao điểm của(T) và (d
1
)
6
B là giao điểm của (T) và(d
2
)
P là chu vi tam giác IAB
S là diện tich tam giác IAB
Tính chất: Giả sử đờng phân giác của góc hợp bởi hai đờng tiệm
cận của (H) cắt (H) tại hai điểm M, N thì điểm M và N có các tính
chất sau:
1) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A và
B thì đoạn AB ngắn nhất.
2) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác
IAB có chu vi nhỏ nhất.
3) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác
IAB có diện tích của hình tròn ngoại tiếp nhỏ nhất (Bán kính đờng
tròn ngoại tiếp nhỏ nhất)
7
4) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giác
IAB có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (Bán kính đờng
tròn nôi tiếp lớn nhất)
5) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

6) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M có khoảng cách đến giao điểm I
của hai tiệm cận là lớn nhất
7) Hai tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và có khoảng cách
lớn nhất so với các khoảng cách giữa hai tiếp tuyến song song khác
(M, N là hai giao điểm giữa Hypebol với Đờng phân giác của góc
hợp bởi hai đờng tiệm cận của Hypebol )
8) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt
lại hai tiệm cận tại E và F , Khi đó chu vi tam giác IEF nhỏ nhất ( I
là giao điểm của hai đờng tiệm cận)
8
9) Tõ ®iÓm M kÎ ®êng th¼ng song song víi hai tiÖm cËn lÇn lît c¾t
l¹i hai tiÖm cËn t¹i E vµ F khi ®ã diÖn tÝch h×nh trßn ngo¹i tiÕp tam
gi¸c IEF lµ nhá nhÊt .( I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn)
10) Tõ ®iÓm M kÎ ®êng th¼ng song song víi hai tiÖm cËn lÇn lît
c¾t l¹i hai tiÖm cËn t¹i E vµ F khi ®ã diÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp
tam gi¸c IEF lµ lín nhÊt. ( I lµ giao ®iÓm cña hai ®êng tiÖm cËn)
11) Tõ ®iÓm M kÎ ®êng th¼ng song song víi hai tiÖm cËn lÇn lît
c¾t l¹i hai tiÖm t¹i E vµ F , Khi ®ã chu vi tam gi¸c MEF nhá nhÊt
12) Tõ ®iÓm M kÎ ®êng th¼ng song song víi hai tiÖm cËn lÇn lît
c¾t l¹i hai tiÖm cËn t¹i E vµ F khi ®ã diÖn tÝch ®êng trßn ngo¹i tiÕp
tam gi¸c MEF lµ nhá nhÊt (B¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c
MEF nhá nhÊt)
13) Tõ ®iÓm M kÎ ®êng th¼ng song song víi hai tiÖm cËn lÇn lît
c¾t l¹i hai tiÖm cËn t¹i E vµ F khi ®ã diÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp
9
tam giác MEF là lớn nhất (Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác
MEF nhỏ nhất)
14) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt
cắt lại hai tiệm tại E và F , Khi đó chu vi hình bình hành EIFM
nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đờng tiệm cận)

15) Gọi M
1
, M
2
là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó M
1
M
2
ngắn nhất
16) Gọi M
1
, M
2
là hình chiếu của M lên các tiệm cận thì tổng
MM
1
+ MM
2
nhỏ nhất
17) Gọi M
1
, M
2
là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó chu vi
tam giác MM
1
M
2
nhỏ nhất
10

18) Gọi M
1
, M
2
là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện
tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MM
1
M
2
nhỏ nhất (Bán kính đờng
tròn ngoại tiếp nhỏ nhất)
19) Gọi M
1
, M
2
là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện
tích hình tròn nội tiếp tam giác MM
1
M
2
lớn nhất (Bán kính đờng
tròn nội tiếp lớn nhất)
20) Gọi M
1
, M
2
là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện
tích hình tròn ngoại tiếp tam giác IM
1
M

2
nhỏ nhất (I là giao điểm
của hai đờng tiệm cận)
21) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M vuông góc với đờng thẳng IM ( I
là giao điểm của hai tiệm cận)
22) Khoảng cách M đến tâm đối xứng I của (H) là nhỏ nhất so với
các khoảng cách từ I đến một điểm khác trên (H)
11
23) Gọi M
1
, M
2
là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó tổng
các khoảng cách MM
1
+ MM
2
+ IM nhỏ nhất( I là giao điểm của
hai đờng tiệm cận)
24) MN là đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm
bất kỳ thuộc hai nhánh của Hypebol
* *
*
Trớc khi chứng minh các tính chất trên ta nêu và chứng minh lại
một số tính chất đặc trng của đồ thị hàm số y =
2
ax bx c
Dx E
+ +
+

và
hàm số y=
ax b
cx d
+
+

( Hypebol)
12
Đ2/ Một số tính chất của đồ thị Hàm số y =
2
ax bx c
Dx E
+ +
+
và hàm số
y=
ax b
cx d
+
+
( Hypebol)
I / Mối quan hệ đặc biệt giữa tiếp tuyến
và đờng tiệm cận của
Hypeb
ol.
Cho hàm số y =
2
ax bx c
Dx E

+ +
+
, (aD

o) và hàm số y=
ax b
cx d
+
+
, (c

0) có
đồ thị
là các đờng Hypebol (H). Khi đó xét các tính chất đặc trng sau:
Tính chất 1: Tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (H)
đến hai đờng tiệm cận là một số không đổi.
13
Chứng minh:
1/ Đối với (H):y =
2
ax bx c
Dx E
+ +
+
, ta viết lại hàm số thành dạng
y=ax+b+
k
cx d+
.
Khi đó hai đờng tiệm cận của (H) là :y = a x+ b (

1

) và x = -
d
c
(
2

).
Gọi M (x
o
; ax
o
+ b +
0
k
cx d+
)là điểm tuỳ ý trên (H), khi đó các
khoảng cách
d(M; (
1

)) =
2
0
( ) 1
k
cx d a+ +
và d(M; (
2

)) =
0
cx d
c
+
.
Vậy d(M; (
1

)).d(M; (
2

)) =
2
0
( ) 1
k
cx d a+ +
.
0
cx d
c
+
=
2
1
k
c a +
,(không

đổi).
2/ Đối với (H):y =
ax b
cx d
+
+
, ta viết lại hàm số thành dạng y = a+
k
cx d+
.
Khi đó hai đờng tiệm cận của (H) là :y = a (
1

) và x = -
d
c
(
2

).
14
Gọi M (x
o
; a +
0
k
cx d+
) là điểm tuỳ ý trên (H), khi đó các khoảng
cách
d(M; (

1

)) =
0
k
cx d+
và d(M; (
2

)) =
0
cx d
c
+
.
Vậy d(M; (
1

)).d(M; (
2

)) =
0
k
cx d+
.
0
cx d
c
+

=
k
c
,(không đổi).
Tính chất2: Nếu một cát tuyến

bất kỳ cắt (H) tại hai điểm
A,B và cắt hai đờng tiệm cận tại hai điểm C và D thì AC = BD .
Chứng minh:
1/ Đối với (H): y=ax+b+
k
cx d+
.Giả sử cát tuyến

có phơng trình
y=mx+n
khi đó hoành độ các điểm A,B là nghiệm của phơng trình:
ax + b +
k
cx d+
= mx + n

(ac- mc)x
2
+(ad +cb- md- cn)x +k + bn-
nd = 0.
khi đó theo định lý Vi-et ta có hoành độ trung điểm I của AB là:
x
I
=

2
A B
x x+
15
=-
1
.
2
ad cb dm cn
ac mc
+

(*)
Mặt khác hoành độ giao điểm C (Giao điểm cát tuyến với tiệm
cận xiên) là nghiệm của phơng trình: mx + n = ax + b

x
C
=
n b
a m


Hoành độ điểm D (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận đứng) : x
D
= -
d
c
,khi đó
Hoành độ trung điểm J của CD là: x

J
=
1
2
n b d
a m c



ữ


=-
1
.
2
ad cb dm cn
ac mc
+

(**).
Từ (*) và (**) suy ra I trùng J hay AC = BD .
2/ Đối với (H): y=a +
k
cx d+
.Giả sử cát tuyến

có phơng trình y =
mx + n
khi đó hoành độ các điểm A ; B là nghiệm của phơng trình:

a +
k
cx d+
= mx + n

mcx
2
+( md + cn ac )x + nd ad - k = 0.
16
khi đó theo định lý Vi-et ta có hoành độ trung điểm I của AB là: x
I
=
2
A B
x x+
=
1
.
2
ac dm cn
mc

(*)
Mặt khác hoành độ giao điểm C (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận
ngang) là nghiệm của phơng trình: mx + n = a

x
C
=
a n

m

.
Hoành độ điểm D (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận đứng) : x
D
= -
d
c
,khi đó
Hoành độ trung điểm J của CD là: x
J
=
1
2
a n d
m c



ữ

=
1
.
2
ac dm cn
mc


(**).

Từ (*) và (**) suy ra I trùng J hay AC = BD .
Chú ý : Khi C trùng D thì cát tuyến trở thành tiếp tuyến của (H)
tại tiếp
điểm M (điểm M là điểm trùng của C và D). Từ tính chất trên ta
suy ra hệ quả sau:
17
Hệ quả: Nếu tiếp tuyến với (H) tại điểm M bất kỳ cắt hai tiệm
cận tại hai điểmA , B thì khi đó M là trung điểm đoạn AB .
Tính chất3: Tiếp tuyến với (H) tại điểm M bất kỳ tạo với hai đ-
ờng tiệm cận của (H) một tam giác có diện tích không đổi.
Chứng minh:
1/ Đối với (H): y=ax+b+
k
cx d+
. Khi đó hai đờng tiệm cận của (H)
là :
y = ax+ b (
1

) và x =-
d
c
(
2

).Gọi M (x
o
; y
0
)( trong đó y

0
= ax
o
+ b +
0
k
cx d+
) là điểm tuỳ ý trên (H), ta có phơng trình tiếp tuyến tại M là:
y =
0 0
2
0 0
( )
( )
ck k
a x x ax b
cx d cx d

+ + +
ữ
+ +

.
Vậy giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là :
A(-
d
c
;
0
2

0
( )
( )
ck d
a x
cx d c


ữ
+

+y
0
).
18
Giao điểm của hai đờng tiệm cận là :
I (-
d
c
; b -
ad
c
) . Ta có:
S
IAB
=2S
IMA
= IA.d(M ;
2

) =
0 0
0
2
0
( )( )
( )
cx d cx d
kc ad cb
a y
cx d c c c
+ +

+ +
+
=
=
2
2
2 (1 ) (1 )k cbd c ad c
c c

+
=
2
2 (1 )( )ck c cb ad d
c
+
(không đổi).
2/ Đối với (H): y = a +

k
cx d+
. Khi đó hai đờng tiệm cận của (H) là
:
y = a (
1

) và x =-
d
c
(
2

).Gọi M (x
o
; y
0
)( trong đó y
0
= a +
0
k
cx d+
)
là điểm tuỳ ý trên (H), ta có phơng trình tiếp tuyến tại M là:
y =
0
2
0 0
( )

( )
ck k
x x a
cx d cx d

+ +
ữ
+ +

.
Vậy giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng là :
A(-
d
c
;
0
2
0
( )
( )
ck d
a x
cx d c


ữ
+

+y
0

).
Giao điểm của hai đờng tiệm cận là :
I (-
d
c
; a) . Ta có:
19
S
IAB
=2S
IMA
= IA.d(M ;
2

) =
0 0
2
0 0
( )( )
( )
cx d cx d
kc k
a a
cx d c cx d c
+ +
+ +
+ +
=
2
k

c
(không đổi)
II/ Nhận xét : Từ các tính chất trên ta rút ra các nhận xét sau
1. M là giao điểm của (H) và đờng phân giác của góc hợp bởi
hai đờng tiệm cận . Mặt khác theo các tính chất trên M là
trung điểm của AB nên suy ra tam giác IAB cân tại I (IA = IB)
2. Theo các tính chất trên diện tích tam giác IAB không đổi và
góc I không đổi nên tích IA.IB cũng không đổi
3. Tích IA.IB không đổi suy ra tổng IA + IB nhỏ nhất khi IA =
IB ( Tam giác IAB cân tại I )
4. Tacó
IBIAIIIBIAIBIAAB .).cos.1(2cos 2
222

+=

20

IBIAIAB .)cos1(2
2


( Hằng số) Dấu bằng xảy ra khi IA
= IB .
Vậy khi IA = IB thì AB cũng ngắn nhất
Sau đây ta áp dụng các nhận xét trên để chứng minh 24 tính
chất ở Đ1/
Đ3/ Chứng minh các tính chất
Trong mục này ta sẽ chứng minh 24 tính chất đã nêu ở
Đ1

Gọi M là giao điểm giữa Hypebol với Đờng phân giác góc hợp bởi
hai đờng tiệm cận ta có các tính chất sau đây.
21
1)Tiếp tuyến với (H) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A
và B thì đoạn AB ngắn nhất.
Chứng minh: Tacó
IBIAIIIBIAIBIAAB .).cos.1(2cos 2
222

+=


IBIAIAB .)cos1(2
2


(*)
Theo nhận xét 1 thì IA = IB , khi đó dấu bằng (*) cũng xảy ra Vậy
AB đạt giá trị nhỏ nhất (đpcm).
2)Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam
giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
Chứng minh: Gọi P là chu vi tam giác IAB , ta có :

IBIAIIBIAABIBIAP .)cos1(2.2 +++=
(**)
Theo nhận xét 1 thì IA = IB , khi đó dấu bằng (**) cũng xảy ra.
Vậy P nhỏ nhất. (đpcm)
22
3) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam
giác IAB có diện tích của hình tròn ngoại tiếp nhỏ nhất.

Chứng minh: Theo định lý sin trong tam giác IAB ta có
2 sinAB R AIB

=
, mà AB ngắn nhất nên R nhỏ nhất do đó tam giác
IAB có diện tích của hình tròn ngoại tiếp nhỏ nhất (đpcm)
4) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam
giác IAB có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (Bán kính
đờng tròn nôi tiếp lớn nhất)
Chứng minh: Ta có
IAB
S pr=
, mà
IAB
S
không đổi . Mặt khác theo
tính chất 2 chu vi p tam giác IAB nhỏ nhất nên r ( Bán kính đờng
tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam giác IAB có diện tích của hình
tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm).
5) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
23
Chứng minh:
Gọi M
1
, M
2
là hình chiếu của M lên hai tiệm cận. Khi đó tích
khoảng cách MM
1
.MM

2
là một số không đổi. Mà MM
1
= MM
2

Nên tổng hai khoảng cách MM
1
+ MM
2
là nhỏ nhất (đpcm)
6) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M có khoảng cách đến giao điểm
I của hai tiệm cận (Tâm đối xứng của (H) ) là lớn nhất.
Chứng minh: Theo các tính chất trên thì diện tích tam giác IAB
không đổi và AB là ngắn nhất nên khoảng cách từ I đến AB ( Đờng
cao thuộc cạnh AB của tam giác IAB ) là lớn nhất (đpcm)
7) Hai tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và có khoảng
cách lớn nhất so với các khoảng cách giữa hai tiếp tuyến song
song khác của (H)
(M, N là hai giao điểm giữa Hypebol với Đờng phân giác của
góc hợp bởi hai đờng tiệm cận của Hypebol )
24
Chứng minh Vì I là tâm đối xứng của (H) nên khoảng cách giữa
hai tiếp tuyến tại M và N bằng 2 lần khoảng cách từ I đến tiếp
tuyến tại M . Mà theo chứng minh trên thì khoảng cách từ I đến
AB là lớn nhất , vậy khoảng cách giữa hai tiếp tuyến tại M và N
lớn nhất .(đpcm)
8)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt
cắt lại hai tiệm cận tại E và F , Khi đó chu vi tam giác IEF nhỏ
nhất

( I là giao điểm của hai đờng tiệm cận)
Chứng minh: Nhận thấy tam giác IEF có chu vi bằng nữa chu vi
tam giác IAB mà ta đã chứng minh đợc chu vi tam giác IAB nhỏ
nhất nên ta có chu vi tam giác IEF nhỏ nhất (đpcm).
9)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt
cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích đờng tròn ngoại
25