Toán cơ bản hình học lớp 9( Ứng dụng Geometer''''s sketchpad)

Đỗ Quang Tâm
Hướng dẫn toán Hình học
căn bản thi vào Lớp 10

Lời nói đầu.
Thực tiễn rất nhiều học sinh đã chuẩn bị bước vào
Lớp 10 mà gần như hoàn toàn không biết phải sử lí
như thế nào khi gặp một bài toán hình. Tôi xây dựng
nên một số bài toán này với các mục đích:
-
Hướng dẫn HS vẽ hình.
-
Tìm hiểu lại một số tính chất trong Hình học.
-
Bước đầu làm quen với việc giải các bài toán hình
học tổng hợp …
-
Giúp giáo viên có điều kiện áp dụng phần mềm
Geometer’s Sketchpad trong việc soạn giáo án điện
tử ( Xin cám ơn thầy Nguyễn Quang Tuynh)
(bài giảng sử dụng chương trình Geometer’s Sketchpad)

Bài 1. Cho tam giác ABC có ĐB = 30
o
;
 C = 15
o
nội tiếp trong đường tròn
(O) . Gọi M, N, P, I lần lượt là trung
điểm của BC; CA; AB; OC.

a. Tính  PON.
b. Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
c. Chứng minh P là trực tâm của tam
giác OMN.

Bài 1. Cho tam giác ABC có ĐB = 30
o
;  C = 15
o
nội tiếp trong
đường tròn (O) . Gọi M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC;
CA; AB; OC.
a. Tính  PON.
b. Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
c. Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.
O

Bài 1. Cho tam giác ABC có  B = 30
o
;  C = 15
o
nội tiếp trong
đường tròn (O) . Gọi M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC;
CA; AB; OC.
a. Tính ĐPON.
b. Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
c. Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.
A
C
B

O

Bài 1. Cho tam giác ABC có  B = 30
o
;  C = 15
o
nội tiếp trong
đường tròn (O) . Gọi M, N, P, I lần lượt là trung điểm của BC;
CA; AB; OC.
a. Tính ĐPON.
b. Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
c. Chứng minh P là trực tâm của tam giác OMN.
I
P
N
M
A
C
B
O

I
P
N
M
A
C
B
O

M
B
C
A
O
1 2
\
/

I
P
N
M
A
C
B
O
a. ĐPON = ?

I
P
N
M
A
C
B
O
a.  PON = ?
Ta có:  B = 30
o

⇒
sđ
AC = 60
°
 C = 15
o
⇒
sđ AB = 30
°
Mà N là trung điểm của
AC, nên:
 NOA = ½ sđ
Tương tự:  POA = ½ sđ
AB
AC
 PON =  NOA +  POA = 45
o
= 30
o
= 15
o

I
P
N
M
A
C
B
O

b. Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
Ta có: ΙΜ là đg
trung bình của
∆OCB, nên
IM // OB (1)

I
P
N
M
A
C
B
O
b. Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.

I
P
N
M
A
C
B
O
b. Chứng minh A ; M ; I thẳng hàng.
Mặt khác ∆ACO đều vì:
OA = OC = R
 AOC = 60
o
⇒

IA vừa là trung
tuyến, vừa là đường
cao . . ., nên:
IA ⊥ OC
Mà  BOC = 90
o
⇒
OB ⊥ OC
⇒
IA // OB (2)
Từ (1) và (2) suy ra I, M, A thẳng hàng.

I
P
N
M
A
C
B
O
c. Chứng minh P là trực tâm của tam giác
OMN.

Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp trong
đường tròn (O) có ĐACB = 45
o
Đường tròn
tâm I, đường kính AB cắt cạnh AC và BC
tại M và N
a. Chứng minh MN ⊥ OC.

b. Chứng minh
c. Cho A và B cố định  ACB = 45
o
không đổi
và C di động trên cung lớn AB. Tìm quỹ
tích trung điểm P của IC.
MN = AB: 2

Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có
ĐACB = 45
o
Đường tròn tâm I, đường kính AB cắt cạnh AC
và BC tại M và N
a. Chứng minh MN ⊥ OC.
b. Chứng minh
c. Cho A và B cố định  ACB = 45
o
không đổi và C di động
trên cung lớn AB. Tìm quỹ tích trung điểm P của IC.
MN = AB: 2
45
°
C
B
A
O

N
M
I

45
°
C
B
A
O
a. Chứng minh MN ^ OC.
x
1
)
(
)
Ta có: ĐMNC =  MAB
(cùng bù ĐMNB)
 NCx =  MAB
(cùng chắn cung BC)
⇒
 MNC =  NCx
⇒
MN // Cx
Mặt khác:
OC ⊥ Cx (gt)
⇒
OC ⊥ MN
Kẻ tt Cx của (O).

N
M
I
45

°
C
B
A
O
b. Chứng minh
x
1
)
(
)
MN = AB: 2
Ta có:
∆CMN ~ ∆CBA (g.g)
Vì ĐC (chung)
 MNC =  MAB (cmt)
⇒

MN
AB
=
CN
CA
=
CM
CB
 AMB =  BMC = 90
o
(góc nt chắn ½ đg tròn)
⇒

∆CMB vuông cân tại M
⇒
CB = 2.CM
⇒
MN = AB: 2

N
M
I
45
°
C
B
A
O
c. Tìm quỹ tích trung điểm P
của IC.
P
F
E
45
°

Bài 3. Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
)
cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AE của
(O1) tiếp xúc với (O2) .Vẽ dây AF của

(O
2
) tiếp xúc với (O
1
) tại A.
a. Chứng minh
b. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B.
có nhận xét gì về hai tam giác EBC và
FBC.
c. Chứng minh AECF nội tiếp.
BE
BF
=
AE
2
FA
2

Bài 3. Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây
AE của (O1) tiếp xúc với (O2) .Vẽ dây AF của (O
2
) tiếp xúc với
(O
1
) tại A.
a. Chứng minh

b. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B. có nhận xét gì về hai tam
giác EBC và FBC.
c. Chứng minh AECF nội tiếp.
BE
BF
=
AE
2
FA
2
B
A
O
2
O
1

a. Chứng minh
BE
BF
=
AE
2
FA
2
F
E
B
A
O

2
O
1

a. Chứng minh
BE
BF
=
AE
2
FA
2
F
E
B
A
O
2
O
1
)
)
(
(

a. Chứng minh
BE
BF
=
AE

2
FA
2
F
E
B
A
O
2
O
1
)
)
(
(
∆ABE ~ ∆FBA (g.g)
Vì ĐAEB =  FAB
[cùng chắn cung AB của (O
1
)]
 EAB =  AFB
[cùng chắn cung AB của (O
2
)]
⇒

BE
BA
=
AE

AF
=
BA
BF
⇒
BE =
AE.AB
AF
⇒
BF =
AF.AB
AE
⇒
BE
BF
=
AE
2
FA
2

b. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B. có
nhận xét gì về hai tam giác EBC và FBC.
C
F
E
B
A
O
2

O
1