Tối ưu hóa và quy hoạch tuyến tính

1
BÀI TOÁN VẬN TẢI
1
Chương 3
NỘI DUNG CHƯƠNG
3.1 Thiết lập bài toán vận tải (btvt)
3.2 Phương án của bài toán vận tải
3.3 Giải bài toán vận tải
3.4 Bài toán vận tải mở
3.5 Bài toán vận tải có hàm mục tiêu max
2
2
3.1 Thiết lập bài toán vận tải (btvt)
3.1.1 Bài toán vậntải
Một công ty cầnvận chuyển hàng hóa từ các kho
hàng A
i
,(i=1, ,m) (gọilàtrạm phát)cótrữ lượng
hàng hóa tương ứng là a
i
đến các cửahàngB
j
,(j=1, ,n) (gọilàtrạmthu)với nhu cầutiếpnhận
khốilượng hàng hóa tương ứng là b
j
.
Giả sử tổng cung bằng tổng cầu, i.e.,
3
11
mn
ij

ij
ab




3.1.1 Bài toán vận tải
Cho biếtcước phí vận chuyển1đơnvị hàng hóa từ
A
i
đếnB
j
là c
ij
, (i=1, ,m; j=1, ,n).
Bài toán lậpkế hoạch vận chuyển hàng hóa sao
cho các trạm phát hết hàng, các trạm thu nhận đủ
hàng và tổng cước phí vận chuyểnthấpnhấtgọilà
bài toán vậntải.
4
3
3.1.2 Mô hình toán học của BTVT
Gọi x
ij
,(i=1, ,m; j=1, ,n) là sốđơnvị hàng hóa cần
vận chuyểntừ A
i
đếnB
j
. Điềukiện:

x
ij
0, i,j
Khi đómôhìnhtoánhọccủabtvtlàbtQHTTsau:
5
3.1.2 Mô hình toán học của BTVT
.
6
11
1
1
min
,( 1, ) (3.1.1)
,( 1, )
0,( 1, , 1, )






 



mn
ij ij
ij
n
ij i

j
m
ij j
i
ij
Zcx
xai m
xbj n
ximjn
BT (3.1.1) thỏa
điềukiện
gọilàbtvtđóng.
Nếu không thỏa
đknàythìgọilà
btvt mở.
ij
ab


4
3.1.3 Dạng bảng của bài toán vậntải
Ma trận C=(c
ij
)∈M
mn
(R) gọilàmatrậncước phí
của btvt.
7
Thu
Phát

a
1
a
2
…
a
m
b
1
b
2
…b
n
c
11
c
12
c
1n
…
c
21
c
22
…
c
2n
…
…
…

…
c
m1
c
m2
c
mn
…
3.1.4 Mô hình toán học dạng bảng
.
b
1
b
2
b
n
a
1
c
11
c
12
…c
1n
a
2
c
21
c
22

…c
2n
……………
a
m
c
m1
c
m2
…c
mn
8
Thu
Phát
x
11
x
12
x
1n
x
21
x
22
x
2n
x
m1
x
m2

x
mn
5
3.1.4 Mô hình toán học dạng bảng
Trong mô hình dạng bảng thì mỗiôchứamộtbiến
nên mỗiôđượcxemnhư mộtbiến.
Ma trậnX=(x
ij
) ∈M
mn
(R) gọilàmatrậnhànghóa
và cũng là ma trận ẩnsố của btvt.
9
3.2 Phương án của bài toán vận tải
3.2.1 Định nghĩa: Nếu x
0
ij
là lượng hàng hóa vận
chuyểntừ A
i
đếnB
j
thì phương án củabtvtlàma
trậnX=(x
0
ij
) ∈M
mn
(R) thỏa các Rb của (3.1.1).
Ví dụ 3.2.1 Xét btvt

là mộtPAcủabài
toán.
P T 20 40 40
30 2 1 3
30 4 5 2
40 2 3 6
10
3000
20
030
0
10 10
0
0300
0030
20 10 10
X






6
3.2.2 Phương án cơ bản (PACB) của btvt
i)Ôchọn(ôcơ sở)
Trong mộtPAcủabtvtthìôcólượng hàng dương
gọilàôchọn.Ô có lượng hàng bằng 0 gọilàôloại
hay ô không cơ sở.
ii) Chu trình (vòng)

Một dãy các ô chọncủamộtPAcủabtvtđược
gọilàtạonênmột chu trình nếu chúng tạonên
đường gãy khúc khép kín, chổ gãy là góc vuông và
là ô chọn, đồng thờimỗicạnh của đường này chỉ
chứa2ôchọn.
11
3.2.2 Phương án cơ bản của btvt
Một số chu trình thường gặp
“” ký hiệu ô chọn.
Nhậnxét:Số ôchọn trong một chu trình luôn là
số chẵn.




12








7
3.2.2 Phương án cơ bản của btvt
iii) PACB
MộtPAcủabtvtđượcgọilàPACBnếu các ô chọn
củaPAđó không tạonênmột chu trình.
PA củaVídụ 3.2.1

là một PACB.
13
P T 20 40 40
30 2 1 3
30 4 5 2
40 2 3 6
30
0
0
20
0
300
10
10




3.2.2 Phương án cơ bảncủabtvt
iv) PACB không suy biến
Xét btvt có m trạm phát và n trạm thu.
- PACB không suy biếnlàPACBcủabtvtcósố ô
chọnbằng m+n-1.
-PACBcósố ôchọn<m+n-1 thì gọilàPACB
suy biến.
Để một PACB suy biếntrở thành PACB không suy
biếntabổ sung mộtsố “ôchọn không”.
14
8
3.2.2 Phương án cơ bản của btvt

Ví dụ 3.2.2 Xét btvt
là PACB suy biếnvì
số ôchọn4<3+3-1
Để PA trên trở thành ko suy biếntabổ sung một“ô
chọn 0” là 1 trong các ô: (1,1), (1,2), (2,3) và (2,4). Ô
(3,1) không đượcchọnvìônàytạovới (3,2),(2,2) và
(2,1) thành một chu trình.
15
P T 40 40 20
20 5 3 1
50 7 6 8
30 3 2 2
0
0
20
0
40
0
10
30 0
0
0020
40 10 0
0300
X










3.2.3 Tính chất của btvt
Xét btvt có m trạm phát và n trạm thu.
i) Mọibtvtđềucóphương án tối ưu.
ii) Trong một bài toán vậntảithìsố ôchọncủa
một PACB không bao giờ vượt quá m+n-1 ô.
iii)Vớimột PACB không suy biếnthìmộtôloại
bấtkỳ cũng tạovới các ô chọncủaPAđó thành
một chu trình duy nhất.
16
9
3.3 Giải bài toán vận tải – PP thế vị
Thuật toán đượcxâydựngtrênýtưởng: tiếndần
đếntối ưu.
Xuất phát từ một PACB không suy biếncủa
bài toán, đánh giá tính tối ưucủaPAđó.
-Nếutối ưu thì dừng thuật toán.
-Ngượclại ta tìm cách xây dựng PACB mới
tốthơn, rồi đánh giá tính tối ưucủa nó.
17
3.3 Giải bài toán vận tải – PP thế vị
Thuật toán được tiến hành với 3 bước chính:
Bước 1. Xây dựng PACB xuất phát
Bước 2. Xây dựng tiêu chuẩn tối ưu
Bước 3. Xây dựng PACB mới tốt hơn
18
10

3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát
Để chắcchắncóđượcmộtPACBtaxâydựng bằng
1 trong 3 PP sau:
i) Phương pháp góc Tây-Bắc
Ưutiênphânphối hàng hóa (hh) vào ô góc trên
bên trái cùa bảng.
Bước1:Phân phối hàng hóa tối đa vào ô (1,1).
Bươc2:Điềuchỉnh lượng hh ở các trạm phát và
trạmthuchứa ô phân phốihàngở Bước1
19
3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát
và bỏ đi dòng hoặc cột chứa trạm phát hoặc trạm
thu có lượng hàng bằng 0.
Bước 3: Phân phối hh tối đa vào ô góc trên bên trái
của bảng còn lại.
Bước 4: Lặp lại Bước 2.
Quá trình này được lặp lại chó đến khi các trạm
phát phát hết hàng và các trạn thu nhận đủ hàng ta
sẽ được PACB của bài toán.
20
11
3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát
Ví dụ 3.3.1a) Cho btvt
Xây dựng PACB xuất phát cho bt trên bằng PP góc
T-B.
Nhận xét: Phát =Thu = 100, nên btvt đã cho là
btvt đóng.
P T 25 25 50
30 3 1 2
30 5 4 3

40 3 2 6
21
3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát
PA xuất phát:
là PACB không
suy biến (vì số ô
chọn của PA là 5 bằng 3+3-1).
P T252550
30 3 1 2
30 5 4 3
40 3 2 6
22
3
25
5
3
0
0
1
5
2
0
4
20
2
0
3
10
6
40






0
25 5 0
02010
0040
X






12
3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát
ii) PP cước phí thấp nhất
Ưutiênphânphốihhvàoôcócước phí thấpnhất
củabảng.
Phân phốihhtối đavàoôcócướcphí
thấpnhất trong bảng (nếucótừ 2ôcócước phí
thấpnhấtgiống nhau thì chọnôở góc T-B).
Điềuchỉnh lượng hh ở các trạm phát và
trạmthuchứa ô phân phốihàngở Bước1 .
23
Bước 1:
Bước 2:
3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát

và bỏđi dòng hoặccộtchứatrạm phát hoặctrạm
thucólượng hàng bằng 0.
Phân phốihhtối đavàoôcócướcphí
thấpnhất trong bảng còn lại.
ThựchiệnlạiBước2.
Quá trình này được lặp lại chó đến khi các trạm
phát phát hết hàng và các trạn thu nhận đủ hàng ta
sẽ được PACB của bài toán.
24
Bước 3:
Bước 4:
13
3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát
Ví dụ 3.3.1b Hãy xây dựng PA xuất phát cho btvt ở
Ví dụ 3.3.1a bằng pp cước phí thấp nhất.
PACB xuất phát:
là PACB không suy
biến(vìsố ôchọn
là 5=3+3-1)
25
P T 25 25 50
30 3 1 2
30 5 4 3
40 3 2 6
3
5
3
1
4
2

0
3
6

25
0
2
5
0
30
0
25 15




0
0255
0030
25 0 15
X






3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát
iii) PP Fogels
Ưutiênphânphối hàng hóa vào ô có cước phí thấp

nhất đồng thờinằm trên dòng hoặccộtcóđộ chênh
lệch giữacước phí thấpnhấtvàthấp thì lớnnhất.
26
14
3.3.2 Tiêu chuẩn tối ưu – PP thế vị
Giả sử X
0
=(x
0
ij
) là PACB không suy biếncủabtvt
(đóng) 3.1.1.
BTĐNcủa (3.1.1):
Theo định lý độ lệch bù yếu ĐKcầnvàđủ để X
0
là
tồntạimộtPA(u
i
,v
j
)của (3.2.2) sao cho.
27
11
max
,( 1, ; 1, ) (3.3.2)
mn
ii j j
ij
ijij
Zaubv

uv ci mj n


 
  

3.3.2 Tiêu chuẩn tối ưu- PP thế vị
Đặt
và gọi là hệ số ước lượng của ô (i, j).
Tiêu chuẩn tối ưu:
i) Nếu 
ij
≤0, i,j thì PA X
0
tối ưu.
ii) Nếu i
k
j
k
: thì X
0
chưa tối ưu.
28
,,
ijij
uv c ij


0
,0

i j ij ij
uv cx 
ij i j ij
uvc  
0
kk
ij


15
3.3.3 Xây dựng PACB mới
i) Tìm ô vào cở sở(hệ thống ô chọn)
Ô vào là ô có:
(i.e., ô vào là ô có hệ sốướclượng dương và
lớnnhất)
ii) Xây dựng chu trình điềuchỉnh
Chu trình điềuchỉnh xuất phát từ ômớivào
cơ sởđi qua các ô chọncủaPACBtrước đó. Ô mới
đưavàođánh dấu ‘+’, các ô kế tiếp đánh dấu ‘-’,
‘+’ xen kẻ.
29
,
max{ / 0}
ij ij
ij


3.3.3 Xây dựng PACB mới
iii) Tìm lượng hàng điều chỉnh
-Lượng hàng điềuchỉnh là lượng hàng nhỏ

nhất trong các ô đánh dấu“-”của chu trình điều
chỉnh.
- Để đảmbảotổng lượng hàng hóa tiêu thụ
bằng tổng lượng hàng hóa cung cấpthì:ô“+”cộng
thêm lượng hàng điềuchỉnh và ô “-” trừđilượng
hàng điềuchỉnh.
30
16
3.3.3 Xây dựng PACB mới
iv) Chọnôrakhỏicơ sở
Ôrakhỏicơ sở là ô đãchọnlượng hàng điều
chỉnh, i.e., ô có lượng hàng bằng0(trongchutrình
điềuchỉnh) sau khi điềuchỉnh.
Chú ý: Nếucónhiềuôcótínhchấtnhư vậythìta
chọnôcócước phí lớnnhấtrakhỏicơ sở.
31
Tóm tắt thuật toán-PP thế vị
Bước1:Xây dựng PACB xuất phát
i) Xây dựng pacb bằng pp cước phí thấpnhất.
ii) Kiểm tra tính không suy biếncủaPACB
-Nếusố ôchọnbằng m+n-1 thì PACB không
suy biếnBước2.
-Nếusố ôchọn < m+n-1 thì phảibổ sung “ô
chon 0” để PACB trở thành PACB không suy
biếnBước2.
32
17
Tóm tắt thuật toán-PP thế vị
Bước 2: Tiêu chuẩn tối ưu
i) Tính hệ thống thế vị (u

i
,v
j
) cho các ô chọn theo
CT:
ii) Tính hệ sốướclượng cho các ô loại:
+Nếu 
ij
0,i,j thì PACB hiệnhànhđãtối ưu.
+Nếu i’j’: 
i’j’
>0 thì PACB hiệnhànhchưatối
ưuBước3.
33
(**)
ijij
uvc
ij i j ij
uvc  
Tóm tắt thuật toán-PP thế vị
Chú ý:
+Hệ (**) là hệ pttt suy biến, nên hệ này có
vô số nghiệmvới1bậctự do. Để giảihệ này ta
cho mộtmộtbiếnbằng0vàgiảicácbiến còn lại.
(thường chọnu
i
=0, i=1,2,…).
+ Đốivới các ô chọnthì
ij
=0.

34
18
Tóm tắt thuật toán-PP thế vị
Bước 3: Xây dựng PACB mới tốt hơn
i) Chọnôvàocơ sở là ô có 
ij
>0 và lớnnhất.
ii) Xây dựng chu trình điềuchỉnh(như 3.3.3ii)
iii) Chọnlượng hàng điềuchỉnh (như 3.3.3iii)
iv) Chọnôrakhỏicơ sở làôcólượng hàng
bằng 0 trong chu trình sau khi đã điềuchỉnh.
Chú ý: mỗibướcchỉ có1ôvàovà1ôracơ sở.
Bước4:LặplạiBước2
35
Phương pháp thế vị
Ví dụ 3.3.2 Giải btvt ở vi dụ 3.3.1
PACB xuất phát là
PACB không suy
biếnvìsố ôchọn
là 5 =3+3-1.
36
P T 25 25 50
30 3 1 2
30 5 4 3
40 3 2 6
3
5
3
1
4

2
0
3
6

25
0
2
5
0
30
0
25 15




u
1
=0
u
2
=1
u
3
=4
v
1
=-1
v

2
=1 v
3
=2
3
+
-
+
-
19
Phương pháp thế vị
Vì 
32
=3>0 nên
PACB x/p chưa
tối ưu.
Chọn ô (3,2) vào
cơ sở.
Lượng hàng điều
chỉnh d=15.
Ô ra khỏi cơ sở là ô (3,3).
37
P T 25 25 50
30 3 1 2
30 5 4 3
40 3 2 6
3
5
3
1

4
2
0
3
6

25
0
2
5
0
30
0
25 15




u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3

u
1
=0
v
2
=1
v
3
=2
u
2
=1
u
3
=4
v
1
=-1
3
+
-
+
-
Phương pháp thế vị
Bảng 2:
Vì 
ij
≤0, i,j nên
PACB ở bảng 2
đãtối ưu.

PATƯ
và
38
P T 25 25 50
30 3 1 2
30 5 4 3
40 3 2 6
3
5
3
1
4
2
3

15
2
20
30
25




u
1
u
2
u
3

v
1
v
2
v
3
u
1
=0
v
2
=1
v
3
=2
u
2
=1
u
3
=1
v
1
=2
10
*
01020
0030
25 15 0
X







min
10.1 20.2 30.3 25.3 15.2 245Z 
20
3.4 Bài toán vận tải mở
Trường hợp Phát > Thu hoặc Phát < Thu thì
btvt gọilàbtvtmở. Để giảinótalậpbtvtphụ,có:
-Trạm phát phụ hoặc thu phụ vớilượng hàng phát
ra hoặc thu vào tương ứng bằng |Phát- Thu|.
-Cácố chứatrêntrạm phát phụ và thu phụ gọilàô
phụ.Cước phí trong ô phụ bằng 0.
39
3.4 Bài toán vận tải mở
- Btvt phụ là btvt đóng nên ta giải nó bằng PP thế
vị như 3.3, với chú ý như sau:
+Xâydựng PACB xuất phát ưu tiên phân
phối các ô chính trước, ô phụ phân phốihàngcuối
cùng.
+PATƯ btvt gốcbằng PATƯ btvt phụ bỏđi
các ô phụ.
40
21
3.4 Bài toán vận tải mở
Ví dụ 3.4.1
Xét btvt:

Btvt phụ: Có trạm thu phụ với lượng hàng bằng
10.
P T254025
20213
40436
40252
41
P T 25 40 25 10
20 2 1 3 0
40 4 3 6 0
40 2 5 2 0
P- T=10
btvt mở
3.4 Bài toán vận tải mở
PACB xuất phát là PACB không suy biến (vì số ô
chọn là 6 = 3+4-1)
P T 25 40 25 10
20 2 1 3 0
40 4 3 6 0
40 2 5 2 0
1
42
20
0
0
2
25
0
2
150

0
3
20
6
10
0
10
0
22
3.4 Bài toán vận tải mở
.
43
P T 25 40 25 10
20 2 1 3 0
40 4 3 6 0
40 2 5 2 0
1
20
0
0
2
25
0
2
150
0
3
20
6
10

0
10
0





u
1
=0
v
2
=1
u
2
=2
v
3
=4
u
3
=-2

v
4
=-2
v
1
=4

2
2
+
-
+
+
-
-
Ô vào CS (1,1)
Lượng hàng
đ/c d=10
Ô ra CS (2,3)
3.4 Bài toán vận tải mở
Vì 
ij
0, i,j nên PACB bảng 2 đã tối ưu.
44
2130
4360
2520
1
20
0
0
2
25
0
2
150
0

3
20
6
10
0
10
0





u
1
=0
v
3
=2
u
3
=0
v
3
=-2

v
1
=2
+
-

+
+
-
-
Bảng 2
2130
4360
2520
1
10
2
15
2
25
3
30
0
10
2
10






v
2
=1
u

2
=2
Bảng 1
23
3.4 Bài toán vận tải mở
PATƯ của btvt gốc:
Tổng cước phí vận chuyển:
45
*
10 10 0
0300
15 0 25
X






min
10.2 10.1 30.3 15.2 25.2 200Z 
3.5 BTVT có hàm mục tiêu cực đại
Để giảibtvtcóhàmmục tiêu max cần chú ý:
i) Khi xây dựng PACB xuất phát ta sử dụng PP
hiệusuấtcaonhất thay cho PP cước phí thấpnhất,
i e, ưutiênphânphốihànghóavàoôcócước phí
lớnnhất.
ii) Tiêu chuẩntối ưu:
-Nếu 
ij

0, i,j thì PACB hiệnhànhtối ưu.
-Nếu 
i’j’
<0 thì PACB h/hành chưatối ưu.
46
24
3.5 BTVT có hàm mục tiêu cực đại
iii) Xây dựng PACB mới
-Chọnôvàocơ sở là ô có hệ sốướclượng âm
và có trị tuyệt đốilớnnhất.
- Chu trình điềuchỉnh, lượng hàng điềuchỉnh
và ô ra khỏicơ sở giống bài toán min.
47
3.5 BTVT có hàm mục tiêu cực đại
Ví dụ 3.5.1:
Một Công ty DV có 50 máy tính gồm25máyloại
I, 15 máy loạiIIvà10máyloại III . Công ty
tuyển50KTVgồm20KTVbậcI,10KTVbậcII
và 20KTV bậcIIIvớihiệusuất đứng máy
(sp/ngày) được cho chi tiếtnhư sau:
48
25
3.5 BTVT có hàm mục tiêu cực đại
Hãy phân công các KTV sao cho tổng hiệusuất
làm việc cao nhất.
49
LI LII LIII
BI 10 9 8
BII 9 7 6
BIII 8 5 4

KTV
Máy
3.5 BTVT có hàm mục tiêu cực đại
Bài toán phân công đứng máy này chính là btvt
có hàm mục tiêu max sau:
Đây là btvt đóng và có hàm mục tiêu max. T dùng
PP hiệusuất cao nhất đề x/d PACB xuất phát.
P T 25 15 10
20 10 9 6
10 9 7 5
20 8 5 4
50