Ứng dụng tích hàm số đồng biến nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề: Hàm số

Dạng 6
Ứng dụng hàm số đồng biến,
nghịch biến để chứng minh bất
đẳng thức


Nội dung

Dạng 6. Ứng dụng hàm số đồng biến, nghịch biến để chứng minh
bất đẳng thức:

Dạng 6A: Bất đẳng thức về hàm số mũ, log

Dạng 6B: Bất đẳng thức về hàm số lượng giác

Dạng 6C: Sử dụng đạo hàm bậc cao


Dạng 6A
Bất đẳng thức về hàm số
mũ, logarit


Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm
Bài tập mẫu
số mũ,minh rằng nếu x > 0 thì e > 1 + x.
log
Chứng


x

Giải
Xét hàm số f(x) = ex – (1 + x).
Ta có f ’(x) = ex – 1 > 0 ∀x > 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến
trên R.
Do đó nếu x > 0 => f(x) = ex – 1 – x > 0 => ex > 1 + x ∀x > 0
(đpcm).


Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm
số mũ, log


Lưu ý

Bài toán: chứng minh rằng f(x) > 0 thoả mãn với mọi x trong
khoảng (a ; b).

Cách giải thường gặp:





Sử dụng đạo hàm để xét biến thiên của hàm số.
Nếu hàm số đồng biến trong khoảng (a ; b) thì ∀x∈ (a ;
b) => f(a) < f(x) < f(b)
Nếu hàm số nghịch biến trong khoảng (a ; b) thì ∀x∈ (a

; b) => f(b) < f(x) < f(a).
Từ đó suy ra đpcm.


Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm
số mũ, log



x2 
Bài tập tương tự
ln  1 + x + ÷ < x.
2
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì 
Giải
Xét hàm số


x2 
f(x) = ln  1 + x + ÷ − x
2


Ta có
f '(x) =

1+ x

,suy ra hàm số f(x)
−1= −

x

2

< 0 ∀x > 0
x 2 (thực chất hàmsố nghịch biến trên R).

x2
nghịch biến khi + x> 0
1x +
2 1 + x + ÷
2
2

Do đó nếu

(đpcm).



x2 
x2 
x > 0 ⇒ f(x) = ln 1 + x + ÷− x < f(0) = 0 ⇒ ln 1 + x + ÷ < x ∀x > 0
2
2



Dạng 6A. Bất đẳng thức về hàm
số mũ, log


Bài tập tương tự (tt)

Lưu ý. Ta có các bất đẳng thức sau:
2
n

x
x
+ ... +
∀x > 0,n ∈ N *
2
n!

x2
xn 
ln  1 + x +
+ ... + ÷ < x ∀x > 0,n ∈ N *
2
n! 

ex > 1 + x +


Dạng 6B
Bất đẳng thức về hàm số
lượng giác

Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm
Bài tập mẫu
số lượng giác
Chứng minh rằng nếu
π thì sinx < x < tanx






0Giải
2
Xét hàm số
,
suy ra hàm số f(x) đồng biến trên R.
x
f(x) = x − sin x ⇒ f '(x) = 1 − x – x = 2 sin 2 ≥ 0 ∀x=>sinx < x
co s sinx > f(0) = 0
Do đó nếu
thì f(x) =
2
Xét hàm số
suy ra hàm số f(x) đồng biến trong
.
π
0

Do đó nếu < x <
thì g(x) = tanx – x > g(0) = 0 =>
2
tanx > x g(x) = tan x − x ⇒ g'(x) = 1 − 1 = tan2 x > 0 ∀x : 0 < x < π
co s2 x
2
Vậy nếu
thì sinx < x < tanx
 π
 0; 2 ÷


π
02
π
02


Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm
số lượng giác


π
Bài tập tương tự
02
Chứng minh rằng nếu
thì sinx + tanx > 2x.

Giải
1
Xét hàm số
f(x) = sin x + tan x − 2x ⇒ f '(x) = co s x +
−2
co s2 x
Nếu
thì
π
00 < co s x < 1 ⇒ co s x > co s2 x
2
2
1
1
1 

2
⇒ f '(x) = co s x +
− 2 > co s x +
− 2 =  co s x −
÷ >0
2
2
co đồng
co
co s x 
Suy ra hàm số f(x) s x biến trong s x . 
Do đó nếu
thì f(x) = sinx + tanx – 2x > f(0) = 0

 π
=> sinx + tanx > 2x (đpcm).
 0; ÷
 2
π
02


Dạng 6B. Bất đẳng thức về hàm
số lượng giác


Lưu ý
3
Ta thường gặp các bấtxđẳng thức sau:
x−
< sin x < x

Nếu x > 0 thì
6
x2

Với mọi x, có bất đẳng thức 1 −
≤ cos x
2

Nếu
thì 2sinx + tanx > 3x.
π

0
2


Dạng 6C
Sử dụng đạo hàm bậc cao


Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc
Bài tập mẫu
cao Chứng minh rằng nếu x > 0 thì x


Giải
Xét hàm số

sin x > x −

3

6

.

x3
x2
f(x) = hàm số ⇒ f đồng biến trên
suy rasin x − x + f ’’(x) '(x) = co s x − 1 + R.

6
2
Do đó nếu x > 0 thì f ’’(x) > f ’’(0) = 0, suy ra hàm số f ’(x)
2 x
⇒ f ''(x) = − sin
x⇒f .
đồng biến khix +x > 0'''(x) = −co s x + 1 = 2sin ≥ 0 ∀x
2
Do đó nếu x > 0 thì f ’(x)> f’(0) = 0, suy ra hàm số f(x) đồng
biến khi
x>0.
Do đó nếu x > 0 thì
(đpcm)

x3
x3
f(x) = sin x − x +
> f(0) = 0 ⇒ sin x > x −
6
6


Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc
tương tự
cao Bài tậpminh rằng với mọi số thực x, ta có bất đẳng thức
Chứng


Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải
Xét hàm số
Ta có

x2
e + co s x ≥ 2 + x − .
2
x


x2 
f(x) = e + co s x −  2 + x − ÷
suy ra hàm số f ’(x) đồng biến trên 2 
R.

x
f nếu x − 0 x − 1 ’(x)
Do đó '(x) = e > sinthì f + x =ex – sinx – 1 + x > f’(0) = 0 , suy ra
hàm số f(x) đồng biến khi xx > 0. Do x nếu x > 0 thì .
đó
x
2
f ''(x) = e − co s x + 1 = e + 2 sin
> 0 ∀x
2
x


x2 
f(x) = e x + co s x −  2 + x − ÷ > f(0) = 0

2



Dạng 6C. Sử dụng đạo hàm bậc
cao


Bài tập tương tự (tt)
Do đó nếu x < 0 thì f’(x) = ex – sinx – 1 + x < f(0) = 0 , suy ra
hàm số f(x) nghịch biến khi x < 0. Do đó nếu x < 0 thì


x2 
f(x) = e + co s x −  2 + x − ÷ > f(0) = 0
2

Ta được trong mọi trường hợp đều có bất đẳng thức
x

2
dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0x(đpcm)
x

f(x) ≥ 0 ⇔ e + co s x ≥ 2 + x −

2

∀x