Chung minh pt co nghiem

Dành cho:
- h c sinh khá , gi iọ ỏ
-Thí sinh ôn thi đ i h cạ ọ
Các b n có th xem tr c tuy n trên website:ạ ể ự ế


( )
( )
( )
5 2
3 2
3
: Chứng min h phương trình :
x x 2x 1 0 cóđúng 1 nghiệm
: Chứng minh pt :
x mx 1 0 luôn có 1 nghiệm dương
: Chứng
Ví dụ 1 ĐH
minh pt : 2
2004 D
Ví dụ 2 HSG Thái
x 6 x 1 0 có 3 ng
bình 2002
hiệm thuộc 2;2
: Chư
20
ù
03
Ví dụ 3
ngVí dụ 4

− − − =
+ − =
− + = −
−
( )
min h phương trình
cosx m.cos2x 0 luôn cónghiệm
Chứng minh phương trình :
m.sin2 x 2 sinx cosx 0 luô
Ví
n có nghie
dụ 5 :
äm
+ =
+ − =

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
: Hàm số liên tục trên a;b và f a f b 0
Kết luận : pt f x 0 luôn có nghiệm trên a;b
: Hàm số f x đồng biến nghòch biế
1
n
) Kiến thức cần có
trên a;b
Kết luận :
:
Kiến thức số 1

Kiến thứ
) f x 0 có tối đa 1 nghiệ
c so
m th
á
u
2
ộc a
<
=
+ =
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Kiến thức số 3 :
;b
) f x K ( k là 1 hằng số ) có tối đa 1 nghiệm thuộc a;b
) f u f v u v với u ,v a;b
Hàm số f x liên tục , đơn điệu trên a;b và f a f b 0
Kết luận : f x 0 có 1 nghiệm duy nhất trên a;b
+ =
+ = ⇔ = ∀ ∈
<
=

( )
5 2
: Chứng minh phương trình :

x x 2 x 1 0 cóđúng
Ví dụ 1 Đ
1 ng
H 2004
hiệm
D
Bài làm
− − − =
( )
2
5 2 5 2 5
5
Phươngtrình : x x 2x 1 0 x x 2 x 1 x x 1
Đánh giá : VP 0 x 0 x 0 VP 1 x 1
− − − = ⇔ = + + ⇔ = +
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
( )
( )
( ) ) ( ) ( )
5 2
4 4 4 4
Xét f x x x 2 x 1
Có f ' x 5 x 2 x 2 x 2 x 2x 2x 2 0
Hàm số f x đồng biến trên 1; f x 0 có tối đa 1nghiệm *
= − − −
= − − = + − + − >

+∞ ⇒ =

Bước1: Tìm giới hạn nghiệm

Bước 2 : Chỉ ra hàm số đơn điệu,liên tục
( ) ( )
Bước 3 : Chọn a,b để f a .f b 0<
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Do f 1 f 2 2 .23 0
f x 0 luôn có nghiệm **
Kết hợp * và ** phương trình f x 0 códuy nhất 1 nghiệm
= − <
⇒ =
=

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3 2
3 2
x
Ví dụ 2 HSG Thái bình 2002 2003 : Chứng minh pt :
x mx 1 0 luôn có 1 nghiệm dương
Bài làm
Xét f x x mx 1 liên tục trên R
f 0 1
lim f x a 0 để f a 0
Vậy phương trình f x 0 luôn có 1 nghiệm dương
→+∞
−

+ − =
= + −
= −
= +∞ ⇒ ∃ > >
=

( )
3
Ví dụ 3 : Chứng minh pt : 2 x 6 x 1 0 có 3 nghiệm thu ộc 2;2
bài làm
− + = −
x
( )
f ' x
2−
2
1−
1
0 0
+
−
+
( )
f x
3−
3−
5
5
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
Quan sát bảng biến thiên ta thấy :
f 2 f 1 0
f 1 f 1 0
f 1 f 2 0
f x 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc 2;2
− − <
− <
<
⇒ = −
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
3
2
Xét f x 2x 6 x 1 với x 2;2
có f ' x 6 x 6 6 x 1 x 1
x 1
f ' x 0
x 1
Bảng biến thiên hàm số f x
= − + ∈ −
= − = + −

= −
= ⇔

=



( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
Ví dụ 4 : Chứng minh phương trình :
Bài làm
Phương pháp : Chỉ ra có khoảng a;
m.sin2x 2 sinx cosx 0 luôn có nghiệm
Xét f x m.sin2 x 2 sinx cosx
f x liên tục trên R
f 0
b mà hs liên tục va
2
f 2
f 0 f
ø f a .f b 0
0
f x 0 luôn có ngh
+ − =
= + −
= −
π =
⇒ π <
⇒ =

<
iệm

( )
Ví dụ 5 : Chứng minh phương trình
cosx m.cos2 x 0 luôn cónghiệm
Bài làm
Xét f x cosx m.cos2 x
2
f cos m.cos 0
4 4 2 2
3 3 3 2
f cos m.cos
4 4 2 2
Vậy phương trình luôn có nghiệm
+ =
= +
 
π π π
= + = >
 ÷
 
 
π π π
= + = −
 ÷
 

( )
( ) ( ) ( )

( )
3 2
Bài tập củng cố :
1) Chứng minh pt : 2x 6x 5 0 có3 nghiệm thuộc 1;3
2 ) Cho hàm số f x liên tục trên 0; 1 thỏa mãn điều kiện : f 0 f 1
1
Chứng min h phương trình f x f x
2004
luôn có nghiệm thuộc 0; 1
3) Tìm m để p
− + = −
 
=
 
 
= +
 ÷
 
 
 
( )
( ) ( )
2
x y
n n 1
n
hương trình : 1 sin mx cosx có nghiệm duy nhất
4) Chứng min h mọi a 0 ,hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
e e ln 1 x ln 1 y
y x a

5) Chứng minh phương trình : x x x 1 0
luôn có 1 nghiệm dươngx
Và hãy tìm li
−
+ =
>

− = + − +


− =


+ + + − =
n
mx