Ứng dụng tính liên tục Cm pT có nghiệm-Ôn thi đại học

ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ CHỨNG MINH MỘT
PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
I.Một số định nghĩa :
1. Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b), f(x) liên tục tại
0
x
∈
(a; b)
⇔

)x(flim
0
xx
+
→
=
)x(flim
0
xx
−
→
=
)x(flim
0
xx
→
= f(
0
x
)
2. Định nghĩa 2: f(x) liên tục trên [a; b]

⇔
f(x) liên tục
∀
x
∈
(a,b) và





=
=
−
+
→
→
)b(f)x(flim
)a(f)x(flim
bx
ax
.
3. Định nghĩa 3: Nếu f(x), g(x) liên tục trên D thì: f + g; f – g; f.g;
g
f
(nếu g
≠
0) là
các hàm liên tục trên D.
II.Một vài định lý áp dụng :

1.Định lý 1:
f(x) liên tục trên [a; b] thì f(x) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đó.
2.Định lý 2:
f(x) liên tục trên [a; b]; m =
)x(fmin
]b;a[x
∈
; M =
)x(fmax
]b;a[x
∈
thì
∀
k
∈
[m; M],
∃
c
∈

[a; b] sao cho f(c) = k.
3.Hệ quả :
f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì
∃
c
∈
(a; b) sao cho f(c) = 0.
Ví dụ 1. Cho 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh rằng: a
2
x

+ bx + c = 0 có nghiệm
x
∈
[0;
3
1
].
Giải.
Đặt f(x) = a
2
x
+ bx + c.
f(0) = c.
18.f(
3
1
) = 2a + 6b + 18c = – c (gt)
⇒
f(0).f(
3
1
) = –
18
c
2

≤
0
theo hệ quả trên
⇒

f(x) = 0 có nghiệm x
∈
[0;
3
1
].
Ví dụ 2. Chứng minh rằng
∀
a, b, c phương trình: a.cos3x + b.cos2x + c.cosx + sinx =
0 có nghiệm.
Giải.
Đặt f(x) = a.cos3x +b.cos2x + c.cosx +sinx.
f(0) = a + b + c.
f(
2
π
) = – b +1.
f(
2
3
π
) = – b – 1.
f(π) = – a + b – c.
f(0) + f(
2
π
) + f(
2
3
π

) + f(π) = 0.
⇒
trong các số f(0); f(
2
π
); f(
2
3
π
); f(π) có ít nhất 1 số
≤
0, 1 số
≥
0
⇒
tích của
chúng
≤
0
⇒
áp dụng hệ quả suy ra phương trình trên có nghiệm.
Ví dụ 3. Cho f(x) liên tục trên [0; 1] thoả mãn f(0) = f(1). Chứng minh rằng
∀
n
∈
N
thì
∃
c
∈

[0; 1] sao cho f(c) = f(c +
n
1
).
Giải.
Đặt g(x) = f(x +
n
1
) – f(x)
⇒
g(x) liên tục trên [0;
n
1n
−
]
g(0) = f(
n
1
) – f(0).
g(1) = f(
n
2
) – f(
n
1
).
.....................................
g(
n
1n

−
) = f(1) – f(
n
1n
−
).
⇒
g(0) + g(
n
1
) + ... + g(
n
1n
−
) = f(1) – f(0) = 0.
⇒

∃
i, j
∈
{0, 1, ..., n–1} sao cho g(
n
i
)
≤
0, g(
n
j
)
≥

0
⇒
g(
n
i
).g(
n
j
)
≤
0.
⇒

∃
c
∈
[min{
n
i
,
n
j
}, max{
n
i
,
n
j
}] sao cho g(c) = 0
⇒

f(c +
n
1
) – f(c) = 0
⇒
f(c) = f(c +
n
1
).
Ví dụ 4. Cho f(x) liên tục trên [a; b] và 2 số
α
,
β
> 0. Chứng minh rằng
∃
c
∈
[a;
b] sao cho:
α
.f(a) +
β
.f(b) = (
α
+
β
).f(c).
Giải.
Theo định lý 1
⇒

tồn tại
1
x
,
2
x

∈
[a; b] sao cho
f(
1
x
) =
)x(fmin
]b;a[x
∈
= m; f(
2
x
) =
)x(fmax
]b;a[x
∈
= M.
vì
α
> 0,
β
> 0 nên (
α

+
β
).m <
α
.f(a) +
β
.f(b) < (
α
+
β
).M.
Xét hàm số g(x) = (
α
+
β
).f(x) –
α
.f(a) –
β
.f(b).
Ta có f(x ) liên tục trên [a; b]
⇒
g(x) cũng liên tục trên [a; b]. Không mất tính tổng
quát giả sử
1
x
<
2
x

⇒
[
1
x
;
2
x
]
⊂
[a; b].
Ta có
g(
1
x
) = (
α
+
β
).f(
1
x
) –
α
.f(a) –
β
.f(b) = (
α
+
β
).m –

α
.f(a) –
β
.f(b)
g(
2
x
) = (
α
+
β
).f(
2
x
) –
α
.f(a) –
β
.f(b) = (
α
+
β
).M –
α
.f(a) –
β
.f(b)
⇒
g(
1

x
).g(
2
x
)
≤
0
⇒

∃
c
∈
[
1
x
;
2
x
] sao cho g(c) = 0
⇒
(
α
+
β
).f(c) –
α
.f(a) –
β
.f(b) = 0
⇔

(
α
+
β
).f(c) =
α
.f(a) +
β
.f(b)
(đpcm ).
4.Định lý Lagrange:
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại ít nhất một
điểm c
∈
(a; b) sao cho f ’(c) =
ba
)b(f)a(f
−
−
.
Ví dụ. Cho m > 0 và
2m
a
+
+
1m
b
+
+
m

c
= 0.
Chứng minh rằng: a
2
x
+ bx + c = 0 có nghiệm x
∈
(0; 1) .
Giải.
Xét hàm f(x) =
2m
a
+
2m
x
+
+
1m
b
+
1m
x
+
+
m
c
m
x
.
f ’(x) = a.

1m
x
+
+ b.
m
x
+ c.
1m
x
−
.
ta có f(1) =
2m
a
+
+
1m
b
+
+
m
c
= 0.
f(0) = 0.
áp dụng định lý Lagrange cho hàm số trên [0; 1]:
∃
0
x

∈

(0; 1) sao cho:
f ’(
0
x
) =
01
)0(f)1(f
−
−
= 0
⇔
a.
1m
0
x
+
+ b.
m
0
x
+ c.
1m
0
x
−
= 0
⇔

1m
0

x
−
(a
2
0
x
+ b.
0
x
+ c) = 0
⇔
a
2
0
x
+ b.
0
x
+ c = 0 (vì
0
x

∈
(0; 1)
⇒

1m
0
x
−

≠
0).
⇒

0
x
là nghiệm của phương trình a
2
x
+ bx + c = 0 và
0
x

∈
(0; 1). (đpcm)