SKKN ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình THPT TRIỆU sơn 5

SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
MỤC LỤC

PHẦN I
PHẦN MỞ ĐẦU Trang2
1
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trang 2
2
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trang 3
3
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trang 5
4
GIỚI HẠN CỦA PHƯƠNG PHÁP
Trang 6
5
KẾ HOẠCH THỰC HIỆN
Trang 6
6
THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Trang 6
PHẦN II
NỘI DUNG ĐỀ TÀI Trang 7
Chương I
CƠ SỞ LÝ LUẬN
Trang 7
Chương II
THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Trang 9

Chương III
CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trang 10
Chương IV
CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ Trang 10
Chương V
HIỆU QUẢ -ÁP DỤNG Trang 18
PHẦN III
KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Trang 18
1 KẾT LUẬN
Trang 18
2 KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT
Trang 19
3
TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 20
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
1
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
- Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhà
nước, nghị quyết TW 4 khoá VII. Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế
hoạch chuyên môn của trường THPT Triệu Sơn 5 năm học 2012-2013.
- Năm học 2012-2013, tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 12. Đây
là năm học cuối cấp, lượng kiến thức lớn. Bên cạnh đó là các em phải chuẩn bị
cho ôn thi học sinh giỏi tỉnh, ôn thi đại học. Đó là thách thức không nhỏ cho giáo
viên nói chung và giáo viên toán nói riêng. Giáo viên ôn tập học sinh giỏi và ôn
thi đại học, phải tìm tòi những dạng toán theo cấu trúc thi những năm gần đây
và nâng cao chương trình SGK cũng rất nhiều dạng. Đặc biệt những bài giải

phương trình, hệ phương trình trong đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi không
phải là đơn giản cho học sinh. Mà đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng, kỹ xảo trong
thuật toán biến đổi. Một trong những kỹ năng biến đổi, giải phương trình, hệ
phương trình là ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số.
- Trong chương trình toán THPT, cụ thể là phân môn Đại số và giải tích 10,
11, 12 các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình, hệ phương trình với
nhiều phương pháp giải.Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình,
hệ phương trình rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học
- Cao đẳng và trung học chuyên nghiệp, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về
phương trình, hệ phương trình đòi hỏi sử dụng phương pháp hàm số để giải. Chỉ
có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lúng túng chưa được
gọn gàng, sáng sủa, thậm chí còn không có hướng giải quyết. Tại sao lại như
vậy?
- Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số và giải tích THPT hiện
hành. Phương trình, hệ phương trình được trình bày ở cả 3 khối. Tuy nhiên đó là
những dạng đơn giản, khác xa với đề thi Đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi.
Bài tập SGK đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối
chương trình cho phần này ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không
thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học
sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phương trình, hệ phương
trình đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ
cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục.Ngoài ứng dụng
tính đơn điệu của hàm số để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số thì tính chất này còn
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
2
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
được vận dụng để giải rất nhiều dạng toán như: Chứng minh bất đẳng thức, giải
phương trình, hệ
phương trình, Những bài toán sử dụng phương pháp hàm số để giải thường có
cách giải ngắn gọn, hay và độc đáo.

Do lượng kiến thức toán được giảm tải ở bậc THPT, những bài tập ra trong
SGK thông thường học sinh giải được bằng phương pháp biến đổi tương đương,
phương pháp đặt ẩn phụ, Còn số lượng bài tập ứng dụng tính đơn điệu để giải
rất ít, hạn chế và rất nghèo nàn. Nhưng trong các kì thi tuyển sinh đại học, cao
đẳng thì rất nhiều bài toán giải bằng phương pháp hàm số, cho nên việc trang bị
cho học sinh giải bài toán bằng phương pháp hàm số là rất cần thiết. Tôi xin
trình bày đề tài "Ứng dụng tính chất đơn điệu để giải phương trình, hệ
phương trình"
II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường
THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian hơn 10 năm giảng dạy. Tôi đã tổng
hợp , khai thác và hệ thống hoá lại cách giải phương trình, hệ phương trình dựa
vào kiến thức hàm số.
- Học sinh cần nắm chắc định nghĩa và các tính chất của tính đơn điệu của
hàm số.
- Chứng minh đuợc các tính chất đơn điệu của hàm số (dùng định nghĩa
hoặc định lý để chứng minh).
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tập bằng phương pháp hàm số.
- Trang bị cho học sinh kiến thức vững vàng, chuẩn bị bước vào các kỳ thi
học sinh giỏi, tuyển sinh đại học cao đẳng.
-Học sinh có thể nhớ và khắc sâu thêm kiến thức liên quan đến hàm số ở
các dạng toán khác có liên quan như giải bất phương trình, chứng minh bất
đẳng thức, bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa
tham số…
- Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một
số
phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được đâu là
điều kiện cần và đủ. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự,
đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5

3
f: đơn điệu
f(x
o
)=0
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn
diện
cũng như phương pháp giải một số các bài toán về giải phương trình, hệ
phương trình bằng sử dụng tính chất đơn điệu.
1. Cơ sở lí luận:
Để giải các dạng bài tập về giải phương trình, hệ phương trình bằng phương
pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số thường dựa trên các nguyên tắc sau:
a. Giải phương trình:
Bài toán: giải PT: “h(x) = g(x)” (1)
• Để chứng minh (1) có nghiệm duy nhất ta tiến hành như sau:
B1: Biến đổi phương trình (1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x).
B2: CM: nếu



thì : x = x
o
là nghiệm duy nhất của PT.
• Để biến đổi phương trình (1) có dạng phức tạp thành phương trình :
U(x)=V(x) có dạng đơn giản, đã có phương pháp giải, ta tiến hành như sau:
Bước 1: Biến đổi phương trình (1) về dạng:
( ) ( )
f u x f v x
   

=
   
Bước 2: Chứng minh f là đơn điệu.
Bước 3: kết luận (1)
⇔
u(x) = v(x)
b. Giải hệ phương trình:
Bài toán: Giải hệ
Nếu một trong hai phương trình của hệ đưa về dạng:
f(x) = f(y) (1) hoặc (
( ) ( )
f u x f v y
   
=
   
và f là một hàm đơn điệu thì:
Hệ (I)
⇔
hoặc (I)
⇔

2.Cơ sở thực tiễn:
Phương pháp “Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình , hệ
phương trình ” là một phương pháp có tính hiện đại, cách giải hay, mang tính
nhanh gọn và độc đáo.
Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập SGK dùng
phương pháp này để giải còn rất ít, SGK chỉ giới thiệu các dạng bài tập này
mang tính chất tham khảo, do đó phương pháp này không phổ biến và bắt buộc.
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
4

F(x,y) = 0
G(x,y)= 0
(I)
x = y
G(x,y)= 0
(II)
u(x) = v(y)
G(x,y)= 0
(III)
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
Chính lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này một cách máy móc
hoặc chưa biết sử dụng.
Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một
vấn đề cần thiết giúp cho các em có kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải bài tập bằng
phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và
đạt kết quả cao trong các kì thi đại học, cao đẳng.
Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
III.Phương pháp nghiên cứu:
1. Kiến thức trang bị:
* Định nghĩa: cho f(x) xác định trên K
f: đồng biến trên
)()(,
212121
xfxfxxKxxK
<⇒<∈∀⇔
f: nghịch biến trên
)()(,
212121
xfxfxxKxxK
>⇒<∈∀⇔

* Tính chất: Cho
)(xf
xác định trên K
Với
212121
)()(; xxxfxfKxx
=⇔=∈∀
* Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số
)(xfy
=
trên K ta dựa vào 2 phương
pháp sau:
- Phương pháp 1: Dùng định nghĩa
+ Lấy
2121
, xxKxx
≠∈
, lập tỉ số
12
12
)()(
xx
xfxf
A
−
−
=
+ Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu
A>0: f đồng biến
A<0: f nghịch biến

- Phương pháp 2: Dùng định lý
+Tính chất 1:f đồng biến trên K
⇔
,
,
( ) 0
( ) 0
f x
f x

≥


=


x K
∀ ∈
. Tại hữu hạn điểm trên K
+ Tính chất 2: f nghịch biến trên K
,
,
( ) 0
( ) 0
f x
f x

≤

⇔


=


x K
∀ ∈
.Tại hữu hạn điểm trên K
Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm
số khá đơn giản bằng phương pháp 2. Đối với học sinh chưa được học đạo hàm
thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định
nghĩa để chứng minh là một điều khó.
2. Phương pháp:
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
5
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán có thể tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Nhận dạng, biến đổi phương trình, hệ phương trình về dạng thích
hợp.
Bước 2: Thiết lập hàm số.
Bước 3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến).
Bước 4: Dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận.
Trong các buớc trên Bước 1 là quan trọng nếu nhận dạng đuợc bài toán có thể sử
dụng phuơng pháp hàm số để giải thì bài toán xem như đã có phuơng pháp giải.
IV. GIỚI HẠN CỦA PHƯƠNG PHÁP:
- Số lượng bài tập SGK dùng phương pháp hàm số để giải rất ít nên phương
pháp này không được phổ biến rộng khắp như phương pháp biến đổi tương
đương, phương pháp đặt ẩn phụ.
- Đại đa số học sinh không biết sử dụng tính đơn điệu để giải toán.
- Các bài tập giải theo phương pháp này thường là các bài tập khó, có dạng
không mẫu mực cho nên học sinh rất khó để nhận dạng. Áp dụng chủ yếu cho

học sinh lớp 11-12 khi đã học xong đạo hàm, học sinh ôn thi đại học và ôn thi
học sinh giỏi.
V. KẾ HOẠCH THỰC HIỆN:
- Giáo viên nên dạy phương pháp này vào những tiết tự chọn hoặc những tiết
bài tập chính khoá. Giáo viên có thể cho học sinh nhiều bài tập về nhà để
học sinh nghiên cứu, chuyên sâu tạo kỹ năng làm toán.
- Giáo viên có thể dạy phương pháp này cho cả 3 khối 10, 11, 12, nhưng hiệu
quả cao nhất là học sinh ở khối 12. Vì ở lớp cuối cấp học sinh được trang bị
kiến thức về hàm số một cách khá đầy đủ.
- Giáo viên dạy phương pháp này như một chuyên đề trong các lớp luyện thi
đại học và ôn thi học sinh giỏi.
VI. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy tại trường THPT Triệu Sơn 5 từ năm
2002 đến nay.
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
6
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
PHẦNII: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CỞ SỞ LÝ LUẬN
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào
tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức
phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời
sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với
kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.
- Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học
ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng
dạng bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải
có tư duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và
nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ

thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp
các cách giải.
- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính
giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài
toán giải phương trình, hệ phương trình được coi là không mẫu mực. Tuy nhiên
khi gặp bài toán giải phương trình, hệ phương trình, có nhiều bài toán đòi hỏi
học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng phân tích biến đổi
để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản.
- Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh hai dạng phương
trình, hệ phương trình thường gặp và một số bài toán vận dụng biến đổi cơ bản
và một số dạng bài toán thường gặp khi thi đại học, cao đẳng và ôn thi học sinh
giỏi.
Để dạy học sinh giải toán bằng phương pháp hàm số là một phương pháp khó,
phương pháp này thường dùng để giải các bài tập khó có dạng không mẫu
mực. Để giúp cho hoc sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi
dạy học sinh tiến hành theo các bước sau đây:
Bước1: Nhận dạng, biến đổi phương trình, hệ phương trình về dạng thích hợp.
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
7
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
Bước 2: Thiết lập hàm số.
Bước 3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến).
Bước 4: Dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận.
1. Bước 1: Nhận dạng
Tôi xem đây là bước quan trộng nhất, bởi vì một bài toán nếu biết dùng tính
chất đơn điệu cửa hàm số để giải thì bài toán xem như đã biết phương pháp
giải. Thông thường những bài toán dùng phương pháp này để giải ta nhận
dạng như sau:
- Đối với phương trình, hệ phương trình không thể sử dụng phép biến đổi
tương đương hoặc sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm ra nghiệm bài

toán.
- Không thuộc vào dạng bài tập đã được học phương pháp giải được trình bày
trong SGK phổ thông.
- Mối liên hệ hai của hai vế của một phương trình, khác biệt nhau chúng ta
không thể dùng các phép biến đổi để đưa PT về dạng quen thuộc đã có
phương pháp giải, chẳng hạn:

Khi
giải phương trình: 3
x
+4
x
=5
x
Việc biến đổi lũy thừa để đưa về cùng cơ số hay đặt ẩn phụ sẽ không thực
hiện được cho nên chúng ta phải nghĩ ngay đế việc nhẩm nghiệm và sử
dụng phương pháp hàm số để chứng minh nghiệm duy nhất.

Khi giải phương trình: 2
x
= 1-x
Ta thấy vế trái của phương trình chứa lũy thừa, vế phải của phương trình
chứa đa thức cho nên việc biến đổi thông thường để tìm ra nghiệm của bài
toán là không thực hiện được, chính lẽ đó ta phải nghĩ ngay đến tính đơn
điệu của hàm số để giải.
2. Bước 2: Thiết lập hàm số:
Thực hiện bước này khá đơn giản, nhưng yêu cầu học sinh phải biết biến
đổi phương trình, hệ phương trình về dạng thích hợp: f(x)=f(y); f(u(x))=
f(v(y))… thì quy tắc f chính là hàm số ta cần xác lập.
3. Bước 3: Chứng minh tính chất đơn điệu của hàm số

Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số ta dùng hai phương pháp sau:
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
8
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
- Phương pháp 1: Dùng định nghĩa
+ Lấy x
1
,x
2
thuộc K, x
1
khác x
2
, lập tỉ số
12
12
)()(
xx
xfxf
A
−
−
=
+ Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu .
A>0: f đồng biến
A<0: f nghịch biến
- Phương pháp 2: Dùng đạo hàm
+Tính chất 1:f đồng biến trên K
⇔
,

,
( ) 0
( ) 0
f x
f x

≥


=


x K
∀ ∈
. Tại hữu hạn điểm trên K
+Tính chất 2: f nghịch biến trên K
,
,
( ) 0
( ) 0
f x
f x

≤

⇔

=



x K
∀ ∈
.Tại hữu hạn điểm trên K
Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm
số khá đơn giản bằng phương pháp 2. Đối với học sinh chưa được học đạo hàm
thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định
nghĩa để chứng minh là một điều khó.
4. Bước 4: kết luận
- Nếu từ tính chất đơn điệu của hàm số ta suy ra được nghiệm của bài toán
thì bài giải được kết thúc.
- Nếu bài toán đã cho được biến đổi thành một bài toàn đơn giản hơn thì
chúng ta phải tiếp tục dùng các phương pháp khác để giải cho đến khi
tìm được nghiệm của bài toán thì dừng lại.
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
- Học sinh trường THPT Triệu Sơn 5 nói riêng và một học sinh của các
trường Bán Công mới sát nhập công lập nói chung đa số là học sinh được tuyển
vào sau khi thi không đỗ vào các trường THPT công lập và hiện nay đã được thi
tuyển nhưng do các em ở vùng nông thôn còn thiếu thốn về mọi mặt nên kiến
thức THCS còn non yếu, tiếp thu bài còn chậm, chưa tự hệ thống được kiến
thức. Khi gặp các bài toán về phương trình, hệ phương trình, chưa phân loại và
định hình được cách giải, lúng túng khi biến đổi, trong khi đó phương trình, hệ
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
9
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó chương trình THPT
không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là
rất ít.
- Qua việc khảo sát thi đại học, thi HSG lớp 12 từ năm 2010 và việc học
tập, làm bài tập dạng phương trình, hệ phương trình có sử dụng phương pháp
hàm số. Tôi nhận thấy học sinh thường bỏ qua vì không có hướng giải. Học sinh

rất hoang mang khi gặp những bài phương trình, hệ phương trình mà trước kia là
những bài dễ được điểm, thì bây giờ gặp không ít khó khăn vì phải sử dụng
phương pháp hàm số để giải.
- Giải bài toán bằng phương pháp hàm số đây là một phương pháp
hay, độc đáo giúp cho việc giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn.
- Các bài tập dùng phương pháp này để giải thông thường là các bài
tập ở dạng nâng cao, khó và thuộc dạng không mẫu mực cho nên học sinh rất
khó nhận dạng và thiết lập tương quan hàm số.
- Số lượng bài tập SGK dùng phương pháp hàm số để giải quá ít.
- Phương pháp hàm số được xem là phương pháp giải toán hiện đại,
phương pháp này sử dụng rất hay nhưng không thể dạy phổ biến ở bậc THPT.
- Khả năng vận dụng phương pháp bị hạn chế ở các học sinh trung
bình và yếu, chỉ có hiệu quả cao đối với học sinh khá và giỏi.
- Ở bậc THPT, bài tập SGK còn quá ít nên học sinh được học một
cách qua loa.Trong khi đó các đề thi tuyển sinh của một số năm gần đây hay đưa
ra những bài toán phải sử dụng phương pháp này để giải.
CHƯƠNG III: CÁC BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Nhằm giúp cho học sinh có kĩ năng giải bài bằng phương pháp hàm số, giúp cho
các em có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì thi tuyển sinh.
- Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu phương pháp này cho học sinh
từ năm lớp 10, 11, 12. Giáo viên phải dựa vào trình độ của khối lớp để có thể
đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp
cho các em quen dần với phương pháp này.
- Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi đại học cần tạo thành
chuyên đề rõ ràng, học sinh biết nhận dạng và có kỹ năng làm bài tốt.
CHƯƠNG IV: CÁC DẠNG TOÁN CỤ THỂ.
1.Phương trình:
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
10

SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
a)3
x
+ 4
x
= 5
x
b)2
x
= 3 – x
c)log
2
x
= 3 – x
(Bài tập SGK 12 nâng cao)
Hướng dẫn cách giải:
Cách 1: - Nhẩm nghiệm
- Chứng minh nghiệm duy nhất
Cách 2: - Thiết lập hàm số
- Dùng tính đơn điệu để suy ra nghiệm của phương trình.
Cách giải:
a.) 3
x
+ 4
x
= 5
x
(1)
Cách 1: Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình 3
x

+ 4
x
= 5
x
(1)
(1)
⇔
3 4
1
5 5
x x
   
+ =
 ÷  ÷
   
Vế trái: là hàm số nghịch biến
Vế phải là hàm hằng
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (1)
Cách 2: (1)
⇔
3 4
1
5 5
x x
   
+ =
 ÷  ÷
   
Xét f(x) =
3 4

5 5
x x
   
+
 ÷  ÷
   
⇒ f’(x) =
3
5
x
 
 ÷
 
ln
3
5
+
4
5
x
 
 ÷
 
ln
4
5
< 0
x∀ ∈
¡
⇒ f’(x) nghịch biến trên R và f(2)= 1

⇒ x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Các ví dụ b, c giải tương tự
Ví dụ 2: (Đề ôn thi đại học của tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 12-2012)
Giải phương trình:
2
2
3
2
1
log 3 2
2 2 3
x x
x x
x x
+ +
= − +
− +
(1)
Cách giải:
Nhận dạng: Nếu đặt
2
2
1
2 2 3
u x x
v x x

= + +



= − +


⇒ v – u =
2
3 2x x− +
- Do đó (1)
⇔
3
log
u
v u
v
= −
(2)
- Nhận thấy phương trình có nghiệm u = v
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
11
⇒ Nếu phương trình có nghiệm thì có nghiệm duy nhất
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
Thiết lập hàm số: biến đổi phương trình 2 về dạng: log
3
u +u = log
3
v +v
Xét hàm số f(t) =
3
log t t+
, t > 0
đặt

2
1u x x= + +
> 0
x
∀
2
2 2 3v x x= − +
>0
x
∀
⇒ v - u =
2
3 2x x− +
Phương trình (1)
⇔
3
log
u
v u
v
= −
= log
3
u +u = log
3
v +v (2)
Xét hàm số f(t) =
3
log t t+
, t > 0

f’(t) = 1 +
1
ln3t
>0 với
∀
t > 0
⇒f(t) đồng biến với
∀
t > 0
(2)
⇔
f(u) = f(v)
⇔
u = v
⇔
v – u = 0
⇒
2
3 2x x− +

⇔
x = 1 v x = 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1, x= 2
Ví dụ 3 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2012)
Giải phương trình:
( )
3
x 1 2 1
x
x 2

2x 1 3
+ −
= ∈
+
+ −
¡
Cách giải:
ĐKXĐ:
x 1
x 13
≥ −


≠

Phương trình đã cho tương đương với
( )
( )
3
x 2 x 1 2 2x 1 3+ + − = + −
( )
3
x 1 x 1 x 1 2x 1 2x 1 (1)⇔ + + + + = + + +
Xét hàm số
( )
3
f t t t= +
;
( )
2

f ' t 3t 1 0, t= + > ∀
Suy ra hàm số
( )
f t
liên tục và đồng biến trên
¡
Khi đó:
( ) ( )
3 3
Pt(1) f x 1 f 2x 1 x 1 2x 1⇔ + = + ⇔ + = +
( ) ( )
3 2
3 2
1
x
1
2
x 0
1
x
x
2
x 0
2
1 5
x
x x x 0
x 1 2x 1
1 5
2

x
2

≥ −


=


≥ −

≥ −
  

=

⇔ ⇔ ⇔ ⇔
  
+

=

  
− − =
+ = +

±






=




Đối chiếu ĐKXĐ được nghiệm của phương trình đã cho là:
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
12
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
1 5
x
2
+
=
và
x 0=
.
Ví dụ 4:(Đề thi GVG THPT Quỳnh Lưu 4 tỉnh Nghệ An năm 2013)
Giải phương trình:
(
)
( )
(
)
2 2
3 9 1 2 2 4 03 2 x x x xx + + + + + =+ −
Cách giải:
Phương trình (1)

( ) ( )
2 2
3x 2 3 (3x) (x 1) 2 3 (x 1)⇔ + + = + + + +
(2) Xét hàm số
2
f (t) t(2 3 t ) , t= + + ∀ ∈¡
, hàm số liên tục trên
¡

( ) ( )
2
2 2
2 2
t t
f '(t) 2 3 t t 2 3 t 0
3 t 3 t
   
= + + + = + + + >
 ÷  ÷
+ +
   
,
t∀ ∈¡
f (t)⇒
đồng biến trên
¡
. Do đó (2)
1
3x x 1 x
2

⇔ = + ⇔ =
.
Vậy nghiệm của phương trình là
1
x
2
=
2. Giải hệ phương trình:
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =


(x, y ∈ R).
(Đề thi ĐH 2010-K
A
)
ĐK :
3
4
x ≤

. Đặt u = 2x;
5 2v y= −
Pt (1) trở thành u(u
2
+ 1) = v(v
2
+1) ⇔ (u - v)(u
2
+ uv + v
2
+ 1) = 0 ⇔ u = v
Nghĩa là :
2
3
0
4
2 5 2
5 4
2
x
x y
x
y

≤ ≤


= − ⇔

−


=


Pt (2) trở thành
2 4
25
6 4 2 3 4 7 (*)
4
x x x− + + − =
Xét hàm số
4 2
25
( ) 4 6 2 3 4
4
f x x x x= − + + −
trên
3
0;
4
 
 
 
2
4
'( ) 4 (4 3)
3 4
f x x x
x
= − −

−
< 0
Mặt khác :
1
7
2
f
 
=
 ÷
 
nên (*) có nghiệm duy nhất x =
1
2
và y = 2.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x =
1
2
và y = 2
Ví dụ 6: ( Đề thi HSG Tỉnh Thanh Hoá 2013)
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
13
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
Giải hệ phương trình
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 1 2 2 1
1 4 .5 1 2 1
ln 3 ln 3 2

4
x y x y x y
x y
x y
− − + − +

+ = +


−
 = + − +

Giải: Điều kiện
, 3x y > −
(*)
( )
2 2
2
1 4
1 5 1 2.2 0
5 5
x y x y
x y
− −
−
 
   
⇔ + − − =
 
 ÷  ÷

   
 
 
(3).Xét hàm số
( )
1 4
5 1 2.2
5 5
t t
t
f t
 
   
= + − −
 
 ÷  ÷
   
 
 
trên
¡
ta có
( )
1 1 4 4
' 5 ln .ln 2.2 ln 2 0
5 5 5 5
t t
t
f t t
 

       
= + − < ∀ ∈
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 
¡
. Suy ra
( )
f t
nghịch biến trên
¡
.
Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 1 2 1 2 1 4f x y f x y y x⇔ − = ⇔ − = ⇔ = −
.
Thế (4) vào(2) ta được
1 3
ln
4 2 2
x x
x
− +
 
=
 ÷
+
 

3 1
ln 0
2 2 4
x x
x
+ −
 
⇔ + =
 ÷
+
 
(5)
Xét hàm số
( )
3 1
ln
2 2 4
x x
g x
x
+ −
 
= +
 ÷
+
 
với
1x > −
, ta có
( )

( ) ( )
( ) ( )
5 1
'
4 3 1
x x
g x
x x
+ −
=
+ +
( )
( )
( )
5 1;
' 0
1 1;
x
g x
x
= − ∉ − +∞
= ⇔

= ∈ − +∞


.
Ta có bảng biến thiên của
( )
g x

trên
( )
1;− +∞
là:
Từ BBT, suy ra
( )
0 1g x x= ⇔ =
.
Do đó
1y =
. Vậy hệ có nghiệm
( ) ( )
; 1;1x y =
.
Ví dụ 7: ( Đề thi thử ĐH Chuyên Hà Tĩnh 2013)
Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 (1)
12 (2)
x y
y x
x xy y

− = −


+ + =


(I)

Hướng dẫn cách giải:
Học sinh nhận thấy được phương trình (1) có nghiệp x = y
Biển đổi phương trình (1) về dạng 3
x
+ x = 3
y
+ y (3)
Thiết lập hàm số: f(t) = 3
t
+ t
Chứng minh f(t) là hàm đồng biến, (3)
⇔
f(x) = f(y)
⇔
x = y
Cách giải: (I)
⇔
2 2
3 3 + y (3)
12
x y
x
x xy y

+ =


+ + =



Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
14
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
Xét hàm số: f(t) = 3
t
+ t ⇒ f’(t) = 3
t
ln3 + 1 >0
∀
t
∈
¡
⇒ f(t) là hàm đồng biến, (3)
⇔
f(x) = f(y)
⇔
x = y
Nên (I)
⇔

2 2

12
x y
x xy y
=


+ + =


⇔
x = y = ± 2
Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2)
Ví dụ 8( Đề thi Ô lim pic 30-4 năm 2012)
Giải hệ phương trình:
3 2
3 2
3 2
2 1
2 1
2 1
x y y y
y z z z
z x x x

+ = + +

+ = + +


+ = + +

Cách giải: Hệ tương đương với
3 2
3 2
3 2
1
( 1)
2
( )

1
( 1) ( )
2
( )
1
( 1)
2
x y y y
x f y
y z z z y f z
z f x
z x x x

= + + −

=


 
= + + − ⇔ =
 
 
=


= + + −


Xét hàm số f(t) =
3 2

1
( 1)
2
t t t+ + −
( t
R∈
)
f’(t) =
2
1
(3 2 1) 0
2
t t t R+ + > ∀ ∈
Suy ra f(t) là HS đồng biến trên R. Do đó:
+ Nếu x < y thì f(x) < f(y)
⇒
z < x
⇒
f(z) < f(x)
⇒
y < z.Vậy x < y < z . Vô lý. Tương tự nếu y < x cũng
vô lý
Do đó x = y = z .Thế vào hệ ta có: 2x + 1 = x
3
+ x
2
+ x
⇔
(x + 1)(x
2

- 1) = 0
⇔

1
1
x y z
x y z
= = =


= − = =

Hệ có nghiệm (x,y,z)
( ) ( )
{ }
1,1,1 ; 1, 1, 1∈ − − −
Ví dụ 9: (Tạp chí toán học tuổi trẻ tháng 5- 2012)
Giải hệ
2 3 4 4 (1)
2 3 + 4 = 4 (2)
x y
y x

+ + − =


+ −


(I)

Hướng dẫn cách giải:
- Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên có 1 nghiệm x = y
- Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng
2 3 4 2 3 4x x y y+ − − = + − −
- Thiết lập hàm số: f(t)=
2 3 4t t+ − −
, t
∈
[-
3
2
;4]
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
15
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
Cách giải: Điều kiện -
3
2
, 4x y≤ ≤
Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng
2 3 4 2 3 4x x y y+ − − = + − −
(3)
Xét hàm số: f(t)=
2 3 4t t+ − −
, t
∈
[-
3
2
;4]

⇒ f’(t) =
1 1
0
2 3 4t t
+ >
+ −

∀
t
∈
(-
3
2
;4)
⇒ f(t) đồng biến trên (-
3
2
;4)
(3)
( ) ( )
yxyfxf
=⇔=⇔
Suy ra:
4432 =−++ xx
(pt vô tỉ dạng cơ bản)
Giải pt được 2 nghiệm : x=3, x=
9
11
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ có 2 nghiệm (3; 3),







9
11
;
9
11
Ví dụ 10 (Đề thi thử ĐH chuyên Vĩnh Phúc 2013)
Giải hệ phương trình:
(
)
(
)
2 2 2 2 3
2
1 3 2 4 1 1 8
2 0
x x y y x y
x y x

+ − + + + =



− + =


(1)
Hướng dẫn:
+) Với
0y ≤
thì
( )
1 0VT >
,
( )
1 0VP ≤
⇒
Hệ phương trình chỉ có nghiệm
( )
,x y
với
y
0>
.
+) Vì
0y >
nên từ phương trình (2) của hệ suy ra
2x >
.
Khi đó:
( )
(
)
2 2 2 2
1 1 3 2 2 4 1 1x x y x y y⇔ + − + = + −

2 2 2 2
1 2 2 4 1x x y y x y⇔ + + = + +
(3)
Thay
2
2 x x y= −
vào phương trình (3) ta được:

2 2 2 2
1 2 4 1 2x x x y y x y+ + = + +

2
2
1 1 1
1 2 4 1 2y y y
x x x
⇔ + + = + +
(2)
+) Xét hàm số:
( )
2
1f t t t t= + +
với
0t >

( )
2
2
2
' 1 1 0

1
t
f t t
t
= + + + >
+
với mọi
0t
>

( )
f t⇒
là hàm đồng biến trên
( )
0;+∞
. Mà
( )
1
2f f y
x
 
=
 ÷
 
1
2y
x
⇔ =
1
2

xy⇔ =
+) Thay
1
2
xy =
vào phương trình (2) của hệ ta có :
1
4
8
x y= ⇒ =
.
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
16
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
Thử lại thấy
4
1
8
x
y
=



=


thỏa mãn hệ phương trình đã cho.
Kết luận : Hệ phương trình đã có nghiệm duy nhất
( )

1
, 4;
8
x y
 
=
 ÷
 
Ví dụ 11: (Đề thi ĐH khối A-A
1
năm 2012)
Giải hệ phương trình
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y

− − + = + −


+ − + =


(x, y ∈ R).
Cách giải: Hệ tương đương với
3 2 3 2
2 2

3 9 22 3 9
1 1
( ) ( ) 1
2 2
x x x y y y
x y

− − + = + −


− + + =


.
Đặt u = x
1
2
−
; v = y +
1
2
Hệ đã cho thành
3 2 3 2
2 2
3 45 3 45
( 1) ( 1) ( 1)
2 4 2 4
1
u u u v v v
u v


− − = + − + − +



+ =

Xét hàm f(t) =
3 2
3 45
2 4
t t t− −
có f’(t) =
2
45
3 3
4
t t− −
< 0 với mọi t thỏa t≤ 1
⇒ f(u) = f(v + 1) ⇒ u = v + 1 ⇒ (v + 1)
2
+ v
2
= 1 ⇒ v = 0 hay v = -1 ⇒
0
1
v
u
=



=

hay
1
0
v
u
= −


=

⇒ Hệ đã cho có nghiệm là
3 1 1 3
; ; ;
2 2 2 2
−
   
−
 ÷  ÷
   
.
Bài tập tham khảo:
Bài 1: Giải phương trình, bất phương trình sau:
a.
x
2
+ 3
log

2
x
= x
log
2
5
b.
(
)
( )
(
)
2 2
3 9 1 2 2 4 03 2 x x x xx + + + + + =+ −
c. 2
x
=1+ 3
x/2
d. (x+3).log
2
3
(x+2) + 4(x+2).log
3
(x+2) = 16
e. 2
x+1
- 4
x
= x-1
Bài 2: Tìm nghiệm dương của phương trình:

x + x
log
2
3
=x
log
2
5
Bài 3: Giải hệ phương trình sau:
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
17
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
a)





+=+
+=+
xy
yx
y
x
322
322
b)
( )( )






=+
+−=−
2
222
22
yx
xyxy
yx
c)



=+−−+
−=−
0626
lnln
22
yxyx
xyyx
d)





+=+
+=+

yy
yx
32
32
log13log
log13log
CHƯƠNG V: HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
- Qua nhiều năm giảng dạy ở bậc THPT và luyện thi đại học. Tôi đã
sử dụng theo cách đã nêu trên để dạy cho học sinh.
- Đối với học sinh khối 10, khối 11 chỉ sử dụng những hàm đơn giản
như hàm bậc 2, hàm phân thức hữu tỉ dạng y = và những hàm căn thức
đơn giản, hướng dẫn học sinh chứng minh tính đơn điệu của hàm số bằng
phương pháp dùng định nghĩa.
- Đối với học sinh khối 12, khi các em đã nhận thức một cách đầy đủ
về hàm số thì phương pháp này có thể áp dụng một cách phổ biến và bài tập ra
cho học sinh mang tính phong phú, đa dạng và khó hơn.
- Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi, ôn thi đại học, cao đẳng nên
phát triển thành chuyên đề rõ ràng với những kiến thức thể loại đa dạng và
phong phú, Giúp học sinh phát hiện và có hướg giải quyết chính xác.
- Kết quả nhận thấy số lượng học sinh khá giỏi rất hứng thú với
phương pháp giải toán này và bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo.
Năm học 2010 đề thi đại học khối A có dạng toán này, rất nhiều học sinh ở các
trường khác không làm được. Học sinh của tôi có rất nhiều em đã làm được câu
này. Nên cũng đạt được kết quả cao. Các năm gần đây thi đại học, học sinh giỏi
cũng đã xem đây là một trong những dạng toán cơ bản cần có trong đề thi. Tôi
thấy học sinh của mình làm khá tốt dạng toán này mà không còn vướng mắc
nữa.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUÂT
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
18

ax b
cx d
+
+
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
1. Kết luận:
Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy
tại trường THPT Triệu Sơn 5. Phương trình, hệ phương trình là một nội dung
quan trọng trong chương trình môn toán lớp THPT nói chung. Nhưng đối với
học sinh đang ôn thi đại hoc, ôn thi HSG lại là một mảng tương đối khó, đây
cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
- Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy từ lớp 10
đến lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải
phương trình, hệ phương trình. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có
hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ
năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt.
- Giải toán bằng “ Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương
trình, Hệ phương trình.” nói riêng và ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để
giải toán là phương pháp rất hay, độc đáo, đã được sử dụng rất lâu, nhưng do
không được phổ biến ở bậc THPT. Qua quá trình tham khảo, học hỏi ở các bậc
thầy đi trước, tôi sử dụng phương pháp này để dạy cho học sinh và nhận thấy có
hiệu quả cao đối với học sinh. Tôi xin phép được mạnh dạn đưa ra ý tưởng này
để các bạn đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo. Sáng kiến kinh nghiệm
này chỉ giới thiệu một phần nhỏ trong ứng dụng phương pháp hàm số để giải
toán và đã được các giáo viên trong tổ toán cùng học sinh trong trường hưởng
ứng cao. Mong rằng các đồng nghiệp phát triển thêm để tính đầy đủ của chuyên
đề được cao hơn. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp, đọc giả để
tính khả thi cao hơn.
2. Kiến nghị và đề xuất:
- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có

nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu
học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách
lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở
sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập.
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
19
SKKN: "Ứng dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình."
- Sở giáo dục cần tiếp tục duy trì cho các đơn vị trường viết sáng kiến kinh
nghiệm hàng năm để giáo viên nâg cao nghiệp vụ, giao lưu, học hỏi lẫn nhau
Những SKKN đạt giải cao, có chất lượng, nên in ấn đưa về các trường để giáo
viên chúng tôi học tập , chia sẻ, để nền giáo dục càng phát triển tốt hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Bài tập chọn lọc từ sách giáo khoa 12 nâng cao
2. Phương pháp giải toán của Lê Hồng Đức – Phan Huy Khải.
3. Bài tập tham khảo từ Tạp chí “Toán Học – Tuổi trẻ”.
4. Các đề thi thử đại học và các đề thi ĐH từ năm 2010 đến nay.
5. Các đề thi HSG ở các tỉnh giới thiệu trên mạng.
6. Các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh trong trường và ngoài trường.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 30 tháng 4 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Lê Nguyên Huấn
Lê Nguyên Huấn- THPT Triệu Sơn 5
20