LTĐH Chuyên đề: Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Căn

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682

CHUYÊN ĐỀ 10: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương pháp nâng lũy thừa khử căn
a/
0
B
A B
A B


 



b/
0, 0
2
A B
A B C
A B AB C
 


  

  



c/
2
0
B
A B
A B


 



d/
3 3
A B A B
  

e/
3
3
A B A B
  
f/
2
0
0
0
B
A
A B

B
A B
 






 










g/
2
0
0
B
A B A
A B
 

  





h/
3 3
;
A B A B
  
.
i/
3 3
A B A B
  

2. Phương pháp đặt ẩn phụ
- Đặt ẩn phụ hoàn toàn (đưa phương trình về hết theo ẩn mới).
- Đặt ẩn phụ không hoàn toàn (vẫn còn ẩn cũ).
- Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình.
- Lượng giác hóa.
3. Đưa về phương trình tích
a/




1 1 1 0
u v uv u v
      
.

b/




0
au bv ab uv b u a v
      
.
4. Trục căn thức
- Nhẩm nghiệm
0
x x

(thường là nghiệm đẹp).
- Đưa phương trình về dạng




0
0
x x g x
 
(thường phương trình


0
g x


vô nghiệm).
5. Phương pháp hàm số
TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682

- Hàm số


f x
luôn tăng (hoặc giảm) trên D thì phương trình


0
f x

có không quá 1 nghiệm
trên D.
- Nếu


f t
là hàm số luôn tăng (hoặc giảm) trên D thì




, ,
f u f v u v u v D
    
.
6. Dạng đặc biệt

a/
A B AB
  
  .
b/
2 2
A B mA nB
 
   .
Chú ý: Việc giải bất phương trình chứa căn cũng giống như giải phương trình chứa căn nhưng khi
nhân, chia hoặc qui đồng 2 vế phải để ý chiều bất đẳng thức. Phải kết hợp nghiệm với điều kiện cho
chính xác.
II. BÀI TẬP
Bài 1. Nâng lũy thừa khử căn
1/
4 1 1 2
x x x
    

2/
3 4 2 1 3
x x x
    

3/




2

2
1 1 2 log 0
x x x x
     
.
4/
2 2 1 2 2 1 1
x x x x x
        

5/
3 3
8 10 2
x x
   

6/
3 3 3
5 6 2 11
x x x
    

7/
3 3 3
1 2 3 0
x x x
     

8/
2

16 5
3
3 3
x
x
x x

  
 

9/


2
1 16 17 8 15 23
x x x x
    

10/
2 2
2 8 6 1 2 2
x x x x
     

11/


2 2
6 3 2 5 3
x x x x x

     

12/
2
4 2
1
3 2
x x
x x x


 

13/
 
3
3 2
3 3 2 1 0
x x x x
    

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682

14/
2
2 3 1 4 3 2
x x x x
    

15/

3 2
3 3
1 2 1 3 2
x x x x
      

16/
2
3 2 1 2 4 3
x x x x x x
      

17/
4
3 4
3
x
x x
x
  


18/


2
2 16
7
3
3 3

x
x
x
x x


  
 

19/
5 1 1 2 4
x x x
    

20/
2 7 5 3 2
x x x
    

21/
12 3 2 1
x x x
    

22/


2 2
3 2 3 2 0
x x x x

   

23/
2 2
12 12
11 2 9
x x x x
x x
   

 

Bài 2. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn
24/
2 2
3 3 3 6 3
x x x x
     

25/


2 2
2 2 2 3 9
x x x x
    

26/
    
1

3 1 4 3 3
3
x
x x x
x

     


27/
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2
x x x x x
       

28/
2
3 2 6 2 4 4 10 3
x x x x
      

29/


2 2
1 1 1 2 1
x x x
    
30/
2

2 2
1
x
x
x
 


31/


 
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2 1
x
x
x
x
x x


  



TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682

32/
2 2
2 5 2 2 2 5 6 1
x x x x
     

33/
2 2
3 2 2 2 6 2 2
x x x x      
34/
2 2
11 31
x x
  

35/
  
2
5 2 3 3
x x x x
   

36/
  
2

1 2 1 2 2
x x x x
    
37/
   
3
3 2 2
1 2 1
x x x x
   
38/
 
 
3
3
2 2 2
1 1 1 1 2 1
x x x x
 
       
 
 

39/
2 2
1 2 1 2 1 0
x x x x
     

40/

6 4 2 2
64 112 56 7 2 1
x x x x
    

41/
2
35
12
1
x
x
x
 


42/
2 2
1 1 2
x x x x
     

43/
2
2 6 1 4 5
x x x
   

44/
2

1
2 3 1
x x x x
x
   

45/
32 4 2
2 1
x x x x
   

46/
   
3
3 2 2
1 2 1
x x x x
   
47/
 
2 2
10 3 1 1 6 3
x x x x
    

48/
3
2 3 2 3 6 5 8 0
x x

    

49/
3
24 12 6
x x
   

50/
2 2 4 2
3 1 1
x x x x
    

51/
2
2
1
4 1
x
x
x
 


TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682

52/
    
2

2
1 3 2 3 2 1
x x x x x
       

53/
3 1
3 2 2
2
2
x x
x
x
   

54/
 
2
1
1 2 1
x x
x x


  

55/
2
1 4 1 3
x x x x

    
Bài 3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
56/
 
3 3
4 1 1 2 2 1
x x x x
    

57/
2 2
1 2 2
x x x x
  

58/
2 2
1 2 2
x x x x
  

59/
 
2 2
4 2 2 4
x x x x x
    

60/
 

2 2
1 2 3 1
x x x x
    

61/


2 2 2
3 2 1 2 2
x x x x
     

62/
2
4 1 1 3 2 1 1
x x x x
      

63/
 
2 2
4 1 1 2 2 1
x x x x
    

64/
 
2 2
3 5 2 3 4 6 1

x x x x
    

Bài 4. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ
65/
3
2 1 1
x x
   

66/
3
2 3 2 3 6 5 8 0
x x
    

67/
 
2
2 1
2 1 3 2
2
x
x x

   
68/
3
9 2 1
x x

   

69/
 
2
1 1 0
x x x x x x
      

70/
2
2 1 3 5 3 30 71 0
x x x x
      

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682

71/
2
4 2 22 3 8
x x x
    

72/
2
2 3 1
x x x x
     

73/

 
3
1 1
x x
  

Bài 5. Phương pháp đưa về phương trình tích
74/
 
2 2
3 10 12
x x x x
    

75/
2
3 2 1 2 4 3
x x x x x x
      

76/
2
2 6 2 6
x x x x x
    

77/
3 2
3 3
1 1 1 3 2

x x x x
      

78/
3 32 2
3 3
1
x x x x x
    

79/
2
6
3 2 2 2 5
x x x x x
x
      

80/
2
10 21 3 3 2 7 6
x x x x
      

Bài 6. Phương pháp trục căn
81/
5 2 1 2 10 3 13
x x x
    

82/
2
3 1 6 3 14 8 0
x x x x
      

83/


2 2
3 4 1 4 2
x x x x x
     

84/
3 1
2 1 1 3 3
x
x x x


    

85/
2
4 6 2 13 17
x x x x
     

86/



2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4
x x x x x x x
         

87/
2 2
12 5 3 5
x x x
    

88/
3 2 3
1 2
x x x
   

89/
2
2 4 2 5 1
x x x x
     

90/
2
4 2 22 3 8
x x x
    

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682

91/
2 3 2 6
x x x
   

92/
2
9 20 2 3 10
x x x
   

93/


3 2 2 2 6
x x x
    

94/
2
1 2 2 2
x x x x
     

95/
2
2 4 6 11

x x x x
     

96/


2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4
x x x x x x x
         

97/
 
2 2
1 2 3 1
x x x x
    

98/
2
3
2 11 21 3 4 4
x x x
   

99/
 
2
2
2

21
3 9 2
x
x
x
 
 

100/
 
2
2
4
1 1
x
x
x
 
 

101/
2 2 2
3 2 4 3 2 5 4
x x x x x x
       

102/
4
2 1 2 17
x x

x
   

103/
2 2
2 92 2 1 1
x x x x x
      

Bài 7. Phương pháp hàm số
104/
2
4 1 4 1 1
x x
   

105/
3
1 4 5
x x x
    

106/
2
1 3
x x x
   

107/
2 3

1 2 2
x x x x
   

108/
2
2 1 3 4
x x x
    

109/
3
3
5 2 2 1 1 0
x x x
     

110/
 
2
32 2
3
1 2 1 1 2 1
x x x x
      

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682

Bài 8. Sử dụng đánh giá
111/

2
2 5 1 2
x x x
    

112/
2 2
1 1 2
x x x x
     

113/
3 2 2
2 7 11 25 12 6 1
x x x x x
     

114/
2
2
1 1
2 2 4x x
x x
 
     
 
 

115/
2 1 3 4 1 1

x x x x
      

116/
1 2 2 1 2 2 1
x x x x
       

117/
3
2 1 2 1
2
x
x x x x

     
118/
3 2 2
2 5 3 3 2 6 1
x x x x x
     

119/
3 32 2 3 3 4 44 4
1 1 1 1 1 1 6
x x x x x x
           

120/
4 4 4

1 1 2 8
x x x x      
Bài 9. Một số phương trình đặc biệt
121/


2 3
2 2 5 1
x x
  

122/
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x
     

123/
2
2 37
4 1 9 26 0
3 3
x x x
    

124/
2 3
2 5 1 7 1

x x x
   

125/
2
2 2 2 1
x x x
  

126/
2
2 6 1 4 5
x x x
   

127/
3
3
8 4 1 6 1
x x x
   

128/


2 3
2 3 2 3 8
x x x
   

129/
 
3
3 2
3 2 2 6 0
x x x x
    

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682

130/
3 2
3
3 4 3 2
x x x x
    

Bài 10. Các bài tập có tham số
131/ Cho phương trình :
2
2 2 4
x x x m
     

a) Giải phương trình khi
2
m

.
b) Định m để phương trình có nghiệm .

132/ Cho phương trình :
2
6 ( 5)(1 ) 0
x x m x x
     

a) Giải phương trình khi m = 7.
b) Định m để phương trình có nghiệm .
133/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
2 3
x m x mx
   

134/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
3 2
m x x x
   

135/ Cho hàm số : ( ) 2 4
f x x x
   

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số


f x
.
b) Áp dụng giải phương trình:

2
2 4 6 11
x x x x
     
.
c) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 4
x x m
   

d) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
2
2 4 2 6 8 1
x x x x m
        

136/ Cho hàm số :
2 3 5 2
y x x
   
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số.
b) Áp dụng giải phương trình:
2
2 3 5 2 4 6 0
x x x x
      

c) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 3 5 2
x x m
   

d) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
2
2 3 5 2 4 16 15 0
x x x x m
        

137/ Tìm m để pt sau có nghiệm: 1 3 ( 1)(3 )
x x x x m
      

138/ Tìm m để pt sau có nghiệm:
9 .3 2 1 0
x x
m m
   

139/ Tìm m để pt sau có nghiệm:
32 2
1 2 1
x x m
   

140/ Tìm m để pt sau có nghiệm: 4 4 4 4
x x x x m
     

141/ Tìm m để pt sau có nghiệm:
12 ( 5 4 )
x x x m x x
     

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 3/2 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682

142/ Cho bất phương trình :
2 2 1
mx x m
   

a) Giải bất phương trình khi m = 2.
b) Định m để bất phương trình có nghiệm.
143/ Cho bất phương trình :
2
( 1) (3 )(8 ) 5
m x x x x m
     

a) Giải bất phương trình khi
12
m
 
.
b) Tìm m để bpt đúng với mọi


3,8
x   .
144/ Tìm m để bpt sau có nghiệm:
4 2
x m x
  

145/ Tìm m để bpt sau có nghiệm:
3 2 3
3 1 ( 1)
x x m x x
    

146/ Tìm m để các pt sau có nghiệm duy nhất:
32 2
1 2 1
x x m
   

147/ Tìm m để các pt sau có nghiệm


2 2 4 2 2
1 1 2 1 1 1
m x x x x x
        

148/ Tìm m để các pt sau có 2 nghiệm
2
2 2 1
x mx x
   

149/ Chứng minh rằng với
0
m


thì phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt
 
2
2 8 2
x x m x
   

150/ Tìm m để các pt sau có nghiệm
24
3 1 1 2 1
x m x x
    

151/ Tìm m để các pt sau có đúng 2 nghiệm
4 4
2 2 2 6 2 6
x x x x m
     
.