BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (503.29 KB, 28 trang )
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 1
Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Góc và cung lượng giác:
*. Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R và có số đo bằng 360
0
.
*. Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ
dài bằng
180
R
và có số đo 1
0
.
*. Cung tròn bán kính R có số đo a
0
(0 a 360) thì có độ dài bằng
180
aR
.
*. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.
*. Cung có số đo bằng a
0
ứng với radian công thức đổi đơn vị là:
0
0
180
a
.
*. Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.. y
*. Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này
là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z
Ox đến Oy.
*.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x
Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một
chiều làm chiều dương (+).
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn
tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều
ngược kim đồng hồ.
*. Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là
cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất
định từ A đến C.
*. Số đo của góc và cung lượng giác:
sđ(Ox, Oy) = a
0
+ k360
0
hoặc sđ(Ox, Oy) = + k2.
sđAM = a
0
+ k360
0
hoặc sđAM = + k2.
y
B S
M
P T
A’ O Q A x
B’
*. Hệ thức Sa-lơ:
+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:
sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz).
+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn
lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK.
2. Các công thức lượng giác cơ bản:
Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng
giác với sđAM = + k2 (k Z).
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 2
Ta có:
.cot,tan,sin,cos BSATyOPxOQ
Nhận xét: - 1 cos 1, - 1 cos 1.
cos( + k2) = cos, sin( + k2) = sin, tan( + k) = tan, cot( + k) = cot .
tan =
cos
sin
xác định khi ,
2
k cot =
sin
cos
xác định khi k
sin = tancos, cos = cotsin, tancot = 1, sin
2
+ cos
2
+ 1.
.
sin
1
cot1,
cos
1
tan1
2
2
2
2
*. Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt:
Góc 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
TS . 0
6
4
3
2
3
2
4
3
6
5
sin 0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0
cos 1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
2
2
2
3
-1
tan 0
3
3
1
3
3
-1
3
3
0
cot
3
1
3
3
0
3
3
-1
3
3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt:
*. Cung đối nhau: - và :
cos(-) = cos, sin(-) = - sin, tan(-) = - tan, cot(-) = - cot.
*. Cung bù nhau: - và :
sin( - ) = sin, cos( - ) = - cos, tan( - ) = - tan, cot( - ) = - cot.
*. Cung hơn kém : + và :
sin( + ) = - sin, cos(
) = - cos, tan( + ) = tan, cot + ) = cot.
*. Cung phụ nhau:
2
- và :
sin
2
= cos, cos
2
= sin, tan
2
= cot, cot
2
= tan.
*. Cung hơn kém
2
:
2
+ và :
sin
2
= cos, cos
2
= - sin, tan
2
= - cot, cot
2
= - tan.
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 3
4. Các công thứ lượng giác khác:
*. Công thức cộng:
cos( + ) = coscos – sinsin, sin( + ) = sincos + cossin.
cos(– ) = coscos + sinsin, sin(– ) = sincos – cossin.
tan( + ) =
tantan1
tantan
, tan(– ) =
tantan1
tantan
.
*. Công thức nhân đôi:
cos2 = cos
2
- sin
2
= 2cos
2
- 1 = 1 – 2sin
2
;
sin2 = 2sincos; tan2 = .
tan
1
tan2
2
*. Công thức hạ bậc:
sincos =
.
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos;2sin
2
1
22
*. Công thức biến đổi tích thành tổng:
coscos =
;)sin()sin(
2
1
cossin;)cos()cos(
2
1
sinsin = -
.)cos()cos(
2
1
*. Công thức biến đổi tổng thành tích:
cos + cos = ;
2
cos
2
cos2
cos – cos = ;
2
sin
2
sin2
sin + sin = ;
2
cos
2
sin2
sin – sin = .
2
sin
2
cos2
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho OA OM( , )
. Giả sử
M x y
( ; )
.
x OH
y OK
AT k
BS k
cos
sin
sin
tan
cos 2
cos
cot
sin
Nhận xét:
, 1 cos 1; 1 sin 1
CHƯƠNG VI
GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
cosin
O
cotang
sin
tang
H
A
M
K
B
S
T
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 4
tan xác định khi
k k Z
,
2
cot xác định khi
k k Z
,
k
sin( 2 ) sin
k
tan( ) tan
k
cos( 2 ) cos
k
cot( ) cot
2. Dấu của các giá trị lượng giác
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
4. Hệ thức cơ bản:
2 2
sin cos 1
;
tan .cot 1
;
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
0
6
4
3
2
2
3
3
4
3
2
2
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
–1 0 1
tan 0
3
3
1
3
3
–1 0
0
cot
3
1
3
3
0
3
3
–1
0
Phần tư
Giá trị lượng giác
I II III IV
cos
+ – – +
sin
+ + – –
tan
+ – + –
cot
+ – + –
Góc
đ
ối nhau
Góc
bù nhau
Góc
ph
ụ nhau
cos( ) cos
sin( ) sin
sin cos
2
sin( ) sin
cos( ) cos
cos sin
2
tan( ) tan
tan( ) tan
tan cot
2
cot( ) cot
cot( ) cot
cot tan
2
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 5
II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
2. Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cos
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot2
2cot
1 tan
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
sin( ) sin .cos sin .cos
a b a b b a
sin( ) sin .cos sin .cos
a b a b b a
cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
Góc hơn kém
Góc hơn kém
2
sin( ) sin
sin cos
2
cos( ) cos
cos sin
2
tan( ) tan
tan cot
2
cot( ) cot
cot tan
2
Công th
ức hạ bậc
Công th
ức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 6
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của
cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị
lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin
, tính cos
, tan
, cot
Từ
2 2
sin cos 1
2
cos 1 sin
.
– Nếu
thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
cos 1 sin
.
– Nếu
thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
cos 1 sin
.
Tính
sin
tan
cos
;
1
cot
tan
.
2. Cho biết cos
, tính sin
, tan
, cot
Từ
2 2
sin cos 1
2
sin 1 cos
.
– Nếu
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
sin 1 cos
.
– Nếu
thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
sin 1 cos
.
Tính
sin
tan
cos
;
1
cot
tan
.
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
b a
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
sin cos 2sin 2cos
4 4
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 7
3. Cho biết tan
, tính sin
, cos
, cot
Tính
1
cot
tan
.
Từ
2
2
1
1 tan
cos
2
1
cos
1 tan
.
– Nếu
thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
1
cos
1 tan
.
– Nếu
thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
1
cos
1 tan
.
Tính
sin tan .cos
.
4. Cho biết cot
, tính sin
, cos
, tan
Tính
1
tan
cot
.
Từ
2
2
1
1 cot
sin
2
1
sin
1 cot
.
– Nếu
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
1
sin
1 cot
.
– Nếu
thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
1
sin
1 cot
.
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.
Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
A B A B AB
2 2 2
( ) 2
A B A B A B
4 4 2 2 2 2 2
( ) 2
A B A B A AB B
3 3 2 2
( )( )
A B A B A AB B
3 3 2 2
( )( )
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình
Đặt
t x t
2
sin , 0 1
x t
2
cos
. Thế vào giả thiết, tìm được t.
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.
Thiết lập phương trình bậc hai:
t St P
2
0
với
S x y P xy
;
. Từ đó tìm x, y.
VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết)
VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong
khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
A B C
và
A B C
2 2 2 2
VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 8
sin( ) sin .cos sin .cos
a b a b b a
sin( ) sin .cos sin .cos
a b a b b a
cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân
Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cos
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot
1 tan
VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi
1. Công thức biến đổi tổng thành tích
2. Công thức biến đổi tích thành tổng
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
b a
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
Công th
ức hạ bậc
Công th
ức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
sin cos 2sin 2cos
4 4
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 9
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1. a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các
số do sau: - 45
0
, 1200
0
, - 830
0
.
b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho
cung AM có số đo bằng:
.45;
4
6
;
2
3
0
kkk
c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b).
2. Xác định điểm cuối M của cung lượng giác biết cos 0,5. Tìm miền
giá trị của sin, tan và cot.
3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin
4
x + cos
4
x = 1 – 2sin
2
x cos
2
x; b) sin
6
x + cos
6
x = 1 – 3sin
2
xcos
2
x;
x; tan tanx)-2x tanx)(sin-(tan2x d) ;
cosx
1
sinx
sinx
cosx - 1
c)
2
;
cos4x
-
1
2cos4x 6
x cot x tang) x; tan
x
sin
x
sin
-
x
cos
xcos x cos xsin
e)
224
422
422
h) tan
2
x – sin
2
x = tan
2
xsin
2
x;
i) cosx. x
3
2
cos
3
2x cos -
6
x cos
3
2x sin
4. Rút gọn các biểu thức sau:
;
1
-
cosx
x
2cos
1 cosx cos2x cos3x
C ; tanx) x(1cos cotx) x(1sin B ;
sinx
1 -x 2cos
A
2
22
2
;
cosx - 1 cosx 1
cosx - 1 cosx 1
E ;
xsin
cosx) - (1
1
sinx
cosx 1
D
2
2
;
cos4a
cos3a
cos2a
a
cos
sin4a sin3a sin2a sina
F
;
cosb
cosa
) - )sin(a sin(a
G
;
cos98
2cos638
)cos(-1882520sin2
tan368
1
H
00
00
0
.
2
x
tan
cosx
-
1
cosx 1
I
2
5. Tính tổng: S
1
= sina + sin2a + sin3a + . . . + sinna;
S
2
= 1 + cosa + cos2a + cos3a + . . . + cosna.
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 10
6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y:
A = cos
2
x + cos
2
(x + a) – 2cosxcosacos(x + a);
B = cos
6
x + 2sin
4
xcos
2
x + 3sin
2
xcos
4
x + sin
4
x;
3
3
x cos
6
x cos
4
x cos
3
-x cos C
;
cossin21xcos -x sin
xcos -x sin
E ; x-
3
2
cos
3
2
x cos x cos D
2222
88
222
xx
F = 3(sin
8
x – cos
8
x) + 4(cos
6
x – 2sin
6
x) + 6sin
4
x; yxcotcot -
yxsinsin
ysin -x cos
G
22
22
22
7. CMR: sinxcosxcos2xcos4x = .8sin
8
1
x Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức:
A = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0
.sin78
0
; .
7
5
.cos
7
3
.cos
7
cos B
8. a) Cho cosx = - .270 x 108 và
5
3
00
Tính sinx, tanx và cotx.
b) Biết tan
.
2
a
m
Tính
;
sina
tana
sina - tana
c) Biết tana + cota = m, ,
2
a 0
tính sin2a, sin4a. Tìm điều kiện của m.
d) Cho sina + cosa = m với
.2 m 2 -
Tính sin2a, sina, cosa.
9. Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:
.
24
11
.sin
24
7
.sin
24
5
.sin
24
sin B ;
12
5
.cos
12
11
sin A
C = cos10
0
.cos50
0
.cos70
0
; D = cos20
0
.cos40
0
.cos80
0
.
E = sin160
0
.cos110
0
+ sin250
0
.cos340
0
+ tan110
0
.tan340
0
.
F = sin10
0
.sin50
0
.sin70
0
; .
12
5
tan
12
tanG
22
H = tan5
0
tan55
0
tan65
0
.
H = tan9
0
– tan27
0
– tan63
0
+ tan81
0
; I = cos10
0
cos20
0
cos30
0
. . . cos80
0
.
;
7
3
cos
7
2
cos -
7
cos K
.
24
sin
24
5
sin
12
7
sin
12
5
cos M
10. Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:
.
2
A C
tan
2
A - C
tan
a c
a - c
;
2
C B
tan
2
C - B
tan
c b
c - b
;
2
B A
tan
2
B -A
tan
b a
b - a
11. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = ;
cosc
cosa.cosb.
c) b sin(a
b)
a; tana.tan3
a
2a.tan
tan
-
1
a tan- 2atan
22
22
.
b
acos
cos
b) - b)sin(a sin(a
b tan- a tanc)
22
22
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 11
cos4x
4
1
4
3
x cos x sin f) ;
sina
cosa
sina - cosa
sin2a
1
cos2a
e) 0;
2
3
-cos4x
2
1
-2cos2x -x4cos d)
444
.
8
3
.sin80.sin40sin20 h) 0;
9
7
cos
9
5
cos
9
cos g)
000
12) Chứng minh rằng:
a) Nếu
2
1
y) -cos(x
y) cos(x
thì tanxtany = .
3
1
b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các
điều kiện 3sin
2
x + 2sin
2
y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì
.
2
2y x
13. CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;
b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana.
14. CMR: trong mọi ABC ta đều có:
a) sinA + sinB + sinC = ;
2
C
cos
2
B
cos
2
A
4cos
;
2
C
sin
2
B
sin
2
A
4sin 1 cosC cosB cosA b)
c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;
d) cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 – 2cosAcosBcosC;
e) sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 2 + 2cosAcosBcosC;
f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C)
h) ;
2
C
.cot
2
B
.cot
2
A
cot
2
C
cot
2
B
cot
2
A
cot
i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1;
0;
2
B
cot a) - (c
2
A
cot c) - (b
2
C
cot b) - (a k)
l) S = 2R
2
sinAsinBsinC;
;
2
C
sin
2
B
sin
2
A
4Rsin r m) 1;
2
A
.tan
2
C
tan
2
C
.tan
2
B
tan
2
B
.tan
2
A
tann)
;
2
C
.cos
2
B
cos
2
A
p.sin
a o)
;
sinC
B) -sin(A
c
b - a
p)
2
22
;
2
C
.tan
2
B
.tan
2
A
p.tan r q)
;
2
A
sin
2
C
.sin
2
B
asin
r r) ;
2
C
.cos
2
B
.cos
2
A
4cos
p
R s) ;
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
4R
r
)t
cosC; cosB cosA
R
r
1 u)
ccosC; bcosB acosA
R
2pr
v)
;
2
C
tan
2
B
tan
2
A
tan
p
r 4R
w)
0; )cotCb - (a )cotBa - (c )cotA c - (b x)
222222
;
B) -2sin(A
)sinAsinBb - (a
S y)
22
. A2sinb sin2Ba
4
1
S z)
22
15. CMR: trong mọi ABC ta đều có:
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 12
3p; c - p b - p a - p p b) ;
abc
Rc b a
cotC cotB cotA a)
222
;
c
1
b
1
a
1
2
c - p
1
b - p
1
a - p
1
c)
d) Nếu a
4
= b
4
+ c
4
thì 2sin
2
A = tanB.tanC
16. Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
.
c - b - a
c - b a
a
4
3
sinBsinC
c) ;
1 3cosB C) A cos(
a
a - c b
a - c b
b) 2;
sinBcosC
sinA
a)
333
2
2
333
;
c - b a
c - b - a
a
4
1
cosBcosC
e) ;
a
a - c b
a - c b
a 2bcosC
d)
333
2
2
333
Csin Bsin A sinR
3
2
S f)
3332
;
8
1
sCcosAcosBco i) ;
2
C
2cot tanB tanA h) ;
cosC
cosB
sinC sinB
sinA g)
k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; .3
cosC
cosB
cosA
sinC sinB sinA
l)
17. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ABC vuông là:
a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;
c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC.
18. Chứng minh ABC vuông khi:
tanA.
cosA
sinB
cosB sinA
c);
b
c a
2
B
cot b) ;
sinBsinC
a
cosC
c
cosB
b
a)
.
2
C
sin
2
B
sin22p h f) sin2B;a
4
1
S e) ;
a
2bc
C) - cos(B d)
a
2
2
19. Chứng minh rằng ABC là vuông hoặc cân khi:
.
a
c - b
C) - sin(B b) ;
2
B - C
tan
b c
b - c
a)
2
22
20. Chứng minh rằng ABC là cân khi và chỉ khi:
BtanC; tan tanC 2tanB b) ;
2
B A
b)tan (a b.tanB a.tanA a)
2
B);cot A cot(
2
1
B
sin
A
sin
Bcos A cos
d) B); tan(A
2
1
cosB
cosA
sinB sinA
c)
22
22
22
;
sinC
2sinAsinB
2
C
cot f) ;
2
C
sinB)cot (sinA
cos
Bsin
cosA
Asin
e)
22
;
2
B
ptan
2
C
cot b)- (p h) ;
2
A
cos
2
B
sin
2
B
cos
2
A
sin g)
33
0 A) - bsin(C C) - asin(B l) btanB); (atanA
2
C
tan b a k) ;
c - 4a
c 2a
sinB
cosB 1
i)
22
21. Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau:
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 13
a) (b
2
+ c
2
)sin(C - B) = c
2
– b
2
)sin(C + B); ;
tanC
tanB
C
sin
Bsin
b)
2
2
.
cos2B
-
1
C) - cos(B - 1
2.
b
c) - (b
d) ;
sinA
sinB
cosC
2cosB
cosC 2cosA
c)
2
2
22. CMR: ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C;
b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0;
c) 2(a
3
+ b
3
+ c
3
) = a(
2
+ c
2
) + b(c
2
+ a
2
) + c(a
2
+ b
2
); .3h
2
a
c b d)
a
23. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0;
c) a
3
=
3
+ c
3
; d) sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B
2; cotB) cotA)(1 (1 f)
g) sin
2
A + sin
2
B = 5sin
2
C;
h) A, B, C là nghiệm của phương trình:
.
3
32
2
x
tan-tanx
24. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
.sinxcosx cosxsinx y
(ĐH An ninh 1998)
25. CMR: nếu ba góc A, B, C của ABC thỏa điều kiện:
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C thì A, , C đều là ba góc nhọn. (ĐH An ninh 1998)
26. Cho ABC có các góc thỏa
1
2
B
tan
2
A
tan
. CMR:
1.
2
C
tan
4
3
(ĐH Bách khoa Hà nội 1998)
27. Cho ABC. CMR: 2b = a + c 3.
2
C
cot
2
A
cot (ĐH Cần thơ 1998)
29. CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác
đều có diện tích lớn nhất. (ĐH Công đoàn 1998)
30. Cho ABC. CMR:
.
4S
c b a
cotC cotB cotA
222
(ĐH Dược hà nội 1998)
31. Cho ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = 3cosA + 2(cosB + cosC). (ĐH Luật Hà nội 1998)
32. Cho ABC. CMR:
.
c
b - a
sinC
B) -sin(A
2
22
(ĐH Ngoại ngữ 1998)
33. CMR: trong mọi AC ta đều có:
.
2
C
.cot
2
B
.cot
2
A
cot
2
C
tan
2
B
tan
2
A
tan
2
1
sinC
1
sinB
1
sinA
1
(ĐH Ngoại thương 1998)
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 14
34. Cho ABC sao cho:
2 sinC sinB sinA
a c b
222
. Tính các góc của ABC.
(ĐH Ngoại thương 1998)
35. CMR: trong mọi ABC ta luôn có:
.
3
C
cos
3
B
cos
3
A
cos
4
3
8
3
3
C
cos
3
B
cos
3
A
cos
333
(ĐH Quốc gia Hà nội 1998)
36. a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức:
.
2
C
sin
1
2
B
sin
1
2
A
sin
1
cosC
1
cosB
1
cosA
1
CMR: ABC đều.
b) ABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức:
2cosA
sinC
sinB
.
(ĐH An ninh 1999)
37. CMR: điều kiện cần và đủ để ABC đều là có hệ thức:
.3 cotC cotB cotA -
sinC
1
sinB
1
sinA
1
(ĐH Bách khoa Hà nội 1999).
38. CMR: Điều kiện cần và đủ để ABC vuông là:
1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0. (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999).
39. ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC).
CMR: ABC là tam giác đều. (ĐH Dược Hà nội 1999).
40. CMR: nếu ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b)
2
BA
tan
thì ABC cân.
(ĐH Hàng hải 1999).
41. Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot
4
a + cot
4
b + 2tan
2
a.tan
2
b + 2.
(ĐH Giao thông vận tải 1999).
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A =
0 0
sin50 .cos( 300 )
b) B =
0
21
sin215 .tan
7
c) C =
3 2
cot .sin
5 3
d) D = c
4 4 9
os .sin .tan .cot
5 3 3 5
Bài 2. Cho
0 0
0 90
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
0
sin( 90 )
b) B =
0
cos( 45 )
c) C =
0
cos(270 )
d) D =
0
cos(2 90 )
Bài 3. Cho
0
2
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
cos( )
b) B =
tan( )
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 15
c) C =
2
sin
5
d) D =
3
cos
8
Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
A B C
sin sin sin
b) B =
A B C
sin .sin .sin
c) C =
A B C
cos .cos .cos
2 2 2
d) D =
A B C
tan tan tan
2 2 2
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
a) a a
0 0
4
cos , 270 360
5
b)
2
cos , 0
2
5
c) a a
5
sin ,
13 2
d)
0 0
1
sin , 180 270
3
e) a a
3
tan 3,
2
f) tan 2,
2
g)
0
cot15 2 3
h)
3
cot 3,
2
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
a)
a a
A khi a a
a a
cot tan 3
sin , 0
cot tan 5 2
ĐS:
25
7
b)
a a
B khi a a
a a
2
0 0
8tan 3cot 1 1
sin , 90 180
tan cot 3
ĐS:
8
3
c)
a a a a
C khi a
a a a a
2 2
2 2
sin 2sin .cos 2cos
cot 3
2sin 3sin .cos 4cos
ĐS:
23
47
d)
a a
D khi a
a a
3 3
sin 5cos
tan 2
sin 2cos
ĐS:
55
6
e)
a a a
E khi a
a a
3 3
3
8cos 2sin cos
tan 2
2cos sin
ĐS:
3
2
g)
a a
G khi a
a a
cot 3tan 2
cos
2cot tan 3
ĐS:
19
13
h)
a a
H khi a
a a
sin cos
tan 5
cos sin
ĐS:
3
2
Bài 3. Cho a a
5
sin cos
4
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
A a a
sin .cos
b)
B a a
sin cos
c)
C a a
3 3
sin cos
ĐS: a)
9
32
b)
7
4
c)
41 7
128
Bài 4. Cho
a a
tan cot 3
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
A a a
2 2
tan cot
b)
B a a
tan cot
c)
C a a
4 4
tan cot
ĐS: a) 11 b)
13
c)
33 13
Bài 5.
a) Cho
x x
4 4
3
3sin cos
4
. Tính
A x x
4 4
sin 3cos
. ĐS:
7
A
4
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 16
b) Cho x x
4 4
1
3sin cos
2
. Tính
B x x
4 4
sin 3cos
. ĐS: B = 1
c) Cho
x x
4 4
7
4sin 3cos
4
. Tính
C x x
4 4
3sin 4cos
. ĐS:
C C
7 57
4 28
Bài 6.
a) Cho x x
1
sin cos
5
. Tính
x x x x
sin , cos , tan , cot
.
b) Cho
x x
tan cot 4
. Tính
x x x x
sin , cos , tan , cot
.
ĐS: a)
4 3 4 3
; ; ;
5 5 3 4
b)
1 2 3
; ; 2 3; 2 3
2
2 2 3
hoặc
2 3 1
2 3; 2 3; ;
2
2 2 3
Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau:
a)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ;
420 ; 495 ; 2550
b)
7 13 5 10 5 11 16 13 29 31
9 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
2 4 4 3 3 3 3 6 6 4
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A x x x
cos cos(2 ) cos(3 )
2
b)
B x x x x
7 3
2cos 3cos( ) 5sin cot
2 2
c)
C x x x x
3
2sin sin(5 ) sin cos
2 2 2
d)
D x x x x
3 3
cos(5 ) sin tan cot(3 )
2 2
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 )
cot572 tan( 212 )
ĐS: A = –1
b) B
0 0
0
0 0
sin( 234 ) cos216
.tan36
sin144 cos126
ĐS:
B
1
c) C
0 0 0 0 0
cos20 cos40 cos60 cos160 cos180
ĐS: C
1
d)
D
2 0 2 0 2 0 2 0
cos 10 cos 20 cos 30 cos 180
ĐS:
D
9
e)
E
0 0 0 0 0
sin20 sin40 sin60 sin340 sin360
ĐS:
E
0
f)
x x x x
0 0 0 0
2sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )
ĐS:
F x
1 cos
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x
4 4 2
sin cos 1 2cos
b)
x x x x
4 4 2 2
sin cos 1 2cos .sin
c)
x x x x
6 6 2 2
sin cos 1 3sin .cos
d)
x x x x x x
8 8 2 2 4 4
sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 17
e)
x x x x
2 2 2 2
cot cos cos .cot
f)
x x x x
2 2 2 2
tan sin tan .sin
g)
x x x x x
1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )
h)
x x x x x x x x
2 2
sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot
i)
x x x
x x x
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
k)
x
x
x
2
2
2
1 sin
1 tan
1 sin
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
a b
a b
a b
tan tan
tan .tan
cot cot
b)
a a a
a a a a
a
2
2
sin cos 1 cot
sin cos cos sin
1 cot
c)
a a
a a
a a
2 2
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
d)
a a a
a a
a a
a
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos
tan 1
e)
a a
a
a
a
2
2
1 cos (1 cos )
1 2cot
sin
sin
f)
a a a
a a a a
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
g)
a a
a
a a
2
2
1 sin 1 sin
4tan
1 sin 1 sin
h)
a b a b
a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2
tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
i)
a a
a
a a
2 2
6
2 2
sin tan
tan
cos cot
k)
a a
a a
a a
a a
3 3
3 3
2 2
tan 1 cot
tan cot
sin .cos
sin cos
Bài 3. Cho
x a
vôùi a b
a b a b
4 4
sin cos 1
, , 0.
Chứng minh:
x x
a b a b
8 8
3 3 3
sin cos 1
( )
.
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
x x x
2 2 2
(1 sin )cot 1 cot
b)
x x x x
2 2
(tan cot ) (tan cot )
c)
x x x
x x x
2 2 2
2 2 2
cos cos .cot
sin sin .tan
d)
x a y a x a y a
2 2
( .sin .cos ) ( .cos .sin )
e)
x x
a x
2 2
2 2
sin tan
cos cot
f)
x x x
x x x
2 2 4
2 2 4
sin cos cos
cos sin sin
g)
x x x x
2 2
sin (1 cot ) cos (1 tan )
h)
x x
x
x x
1 cos 1 cos
; (0, )
1 cos 1 cos
i)
x x
x
x x
1 sin 1 sin
; ;
1 sin 1 sin 2 2
k) x x x x
2 2
3
cos tan sin ; ;
2 2
Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a)
x x x x
4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )
ĐS: 1
b)
x x x x x
8 8 6 6 4
3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin
ĐS: 1
c) x x x x
4 4 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)
ĐS: –2
d)
x x x x x
2 2 2 2 2
cos .cot 3cos cot 2sin
ĐS: 2
e)
x x
x x x
4 4
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
ĐS:
2
3
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 18
f)
x x x x
x x
2 2 2 2
2 2
tan cos cot sin
sin cos
ĐS: 2
g)
x x
x x
6 6
4 4
sin cos 1
sin cos 1
ĐS:
3
2
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
B A C
sin sin( )
b)
A B C
cos( ) cos
c)
A B C
sin cos
2 2
d)
B C A C
cos( ) cos( 2 )
e)
A B C C
cos( ) cos2
f)
A B C
A
3
cos sin2
2
g)
A B C
C
3
sin cos
2
h)
A B C C
2 3
tan cot
2 2
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a)
0 0 0
15 ; 75 ; 105
b)
5 7
; ;
12 12 12
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) khi
3
tan sin ,
3 5 2
ĐS:
38 25 3
11
b) khi
12 3
cos sin , 2
3 13 2
ĐS:
(5 12 3)
26
c)
a b a b khi a b
1 1
cos( ).cos( ) cos , cos
3 4
ĐS:
119
144
d)
a b a b a b
sin( ), cos( ), tan( )
khi a b
8 5
sin , tan
17 12
và a, b là các góc nhọn.
ĐS:
21 140 21
; ; .
221 221 220
e)
a b a b
tan tan , tan , tan
khi a b a b0 , ,
2 4
và a b
tan .tan 3 2 2
. Từ đó suy
ra a, b . ĐS:
2 2 2
;
a b a btan tan 2 1,
8
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a) A =
o o o
2 2 2
sin 20 sin 100 sin 140
ĐS:
3
2
b) B =
o o o
2 2
cos 10 cos110 cos 130
ĐS:
3
2
c) C =
o o o o o o
tan20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan20
ĐS: –3
d) D =
o o o o o o
tan10 .tan70 tan70 .tan130 tan130 .tan190
ĐS: –3
e) E =
o o o
o o
cot225 cot79 .cot71
cot 259 cot251
ĐS:
3
f) F =
o o
2 2
cos 75 sin 75
ĐS:
3
2
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 19
g) G =
o
0
1 tan15
1 tan15
ĐS:
3
3
h) H =
0 0
tan15 cot15
ĐS: 4
HD:
0 0 0 0 0 0
40 60 20 ; 80 60 20
;
0 0 0 0 0 0
50 60 10 ; 70 60 10
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
x y x y x y
2 2
sin( ).sin( ) sin sin
b)
x y
x y
x y x y
2sin( )
tan tan
cos( ) cos( )
c) x x x x x x
2 2
tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3
d) x x x x
3 2
cos .cos cos .cos (1 3)
3 4 6 4 4
e)
o o o o
(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )
o o o o
(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0
f)
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan 2 .tan
Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a)
a a b khi b a cos a b
2tan tan( ) sin sin . ( )
b)
a a b khi b a b
2tan tan( ) 3sin sin(2 )
c)
a b khi a b a b
1
tan .tan cos( ) 2cos( )
3
d)
k
a b b khi a b k a
k
1
tan( ).tan cos( 2 ) cos
1
HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
C A B B A
sin sin .cos sin .cos
b)
C
A B A B
A B
0
sin
tan tan ( , 90 )
cos .cos
c) A B C A B C A B C
0
tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )
d)
A B B C C A
cot .cot cot .cot cot .cot 1
e)
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
f)
A B C A B C
cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
g)
o
C B
B C A
B A C A
cos cos
cot cot ( 90 )
sin .cos sin .cos
h)
A B C A B C A B C A B C
cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
i)
A B C A B C
2 2 2
sin sin sin 1 2sin sin sin
2 2 2 2 2 2
HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180
0
e, f) Sử dụng
A B C
0
90
2 2 2
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 20
g) VT = VP = tanA h) Khai triển
A B C
cos
2 2 2
i) Khai triển
A B C
sin
2 2 2
.
Chú ý: Từ
B C A
cos sin
2 2 2
B C A B C
cos .cos sin sin .sin
2 2 2 2 2
A B C A A B C
2
sin .cos .cos sin sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2 2
Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh:
a)
A B C ABC nhoïn
tan tan tan 3 3, .
b)
A B C ABC nhoïn
2 2 2
tan tan tan 9, .
c)
A B C ABC nhoïn
6 6 6
tan tan tan 81, .
d)
A B C
2 2 2
tan tan tan 1
2 2 2
e)
A B C
tan tan tan 3
2 2 2
HD: a, b, c) Sử dụng
A B C A B C
tan tan tan tan .tan .tan
và BĐT Cô–si
d) Sử dụng
a b c ab bc ca
2 2 2
và
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
e) Khai triển
A B C
2
tan tan tan
2 2 2
và sử dụng câu c)
Bài 1. Biến đổi thành tổng:
a)
a b a b
2sin( ).cos( )
b)
a b a b
2cos( ).cos( )
c)
x x x
4sin3 .sin2 .cos
d)
x x
x
13
4sin .cos .cos
2 2
e)
o o
x x
sin( 30 ).cos( 30 )
f)
2
sin .sin
5 5
g)
x x x
2sin .sin2 .sin3 .
h)
x x x
8cos .sin2 .sin3
i)
x x x
sin .sin .cos2
6 6
k)
a b b c c a
4cos( ).cos( ).cos( )
Bài 2. Chứng minh:
a)
x x x x
4cos .cos cos cos3
3 3
b)
x x x x
4sin .sin sin sin3
3 3
Áp dụng tính:
o o o
A
sin10 .sin50 .sin70
o o o
B
cos10 .cos50 .cos70
C
0 0 0
sin20 .sin40 .sin80
D
0 0 0
cos20 .cos40 .cos80
Bài 3. Biến đổi thành tích:
a) x
2sin4 2
b)
x
2
3 4cos
c)
x
2
1 3tan
d)
x x x
sin2 sin4 sin6
e)
x x
3 4cos4 cos8
f)
x x x x
sin5 sin6 sin7 sin8
g)
x x x
1 sin2 –cos2 –tan2
h)
o o
x x
2 2
sin ( 90 ) 3cos ( 90 )
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 21
i)
x x x x
cos5 cos8 cos9 cos12
k)
x x
cos sin 1
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
x x x x
A
x x x x
cos7 cos8 cos9 cos10
sin7 sin8 sin9 sin10
b)
x x x
B
x x x
sin2 2sin3 sin4
sin3 2sin4 sin5
c)
x x x
C
x x
2
1 cos cos2 cos3
cos 2cos 1
d)
x x x
D
x x x
sin4 sin5 sin6
cos4 cos5 cos6
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
A
2
cos cos
5 5
b)
B
7
tan tan
24 24
c)
o o o
C
2 2 2
sin 70 .sin 50 .sin 10
d)
o o o o
D
2 2
sin 17 sin 43 sin17 .sin43
e)
o
o
E
1
2sin70
2sin10
f)
o o
F
1 3
sin10 cos10
g)
o o
o o o o
G
tan80 cot10
cot25 cot 75 tan25 tan75
h)
H
0 0 0 0
tan9 tan27 tan63 tan81
ĐS: A
1
2
B
2( 6 3)
C
1
64
D
3
4
E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
7 13 19 25
sin sin sin sin sin
30 30 30 30 30
ĐS:
1
32
b)
o o o o o
16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90
ĐS: 1
c)
o o o o
cos24 cos48 cos84 cos12
ĐS:
1
2
d)
2 4 6
cos cos cos
7 7 7
ĐS:
1
2
e)
2 3
cos cos cos
7 7 7
ĐS:
1
2
f)
5 7
cos cos cos
9 9 9
ĐS: 0
g)
2 4 6 8
cos cos cos cos
5 5 5 5
ĐS: –1
h)
3 5 7 9
cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11
ĐS:
1
2
Bài 7. Chứng minh rằng:
a)
o o o o
tan9 tan27 tan63 tan81 4
b)
o o o
tan20 tan40 tan80 3 3
c)
o o o o
tan10 tan50 tan60 tan70 2 3
d)
o o o o o
8 3
tan30 tan40 tan50 tan60 .cos20
3
e)
o o o o o
tan20 tan40 tan80 tan60 8sin40
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 22
f)
o o o6 4 2
tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0
Bài 8. Tính các tổng sau:
a)
S n k
1
cos cos3 cos5 cos(2 1) ( )
b)
n
S
n n n n
2
2 3 ( 1)
sin sin sin sin .
c)
n
S
n n n n
3
3 5 (2 1)
cos cos cos cos .
d)
S vôùi a
a a a a a a
4
1 1 1
, .
cos .cos2 cos2 .cos3 cos4 .cos5 5
e)
n
S
x x x
x
5
1
1 1 1 1
1 1 1 1
cos cos2 cos3
cos2
ĐS:
n
S
1
sin2
2sin
; S
n
2
cot
2
; S
n
3
cos
;
a a
S
a
4
tan5 tan
1 5
sin
;
n
x
S
x
1
5
tan2
tan
2
Bài 9.
a) Chứng minh rằng:
x x x
3
1
sin (3sin sin3 ) (1)
4
b) Thay
n
n
n n
a a a a
x vaøo tính S
3 3 1 3
2
(1), sin 3sin 3 sin .
3
3 3 3
ĐS:
n
n
n
a
S a
1
3 sin sin .
4
3
Bài 10.
a) Chứng minh rằng:
a
a
a
sin2
cos
2sin
.
b) Tính
n
n
x x x
P
2
cos cos cos .
2
2 2
ĐS:
n
n
n
x
P
x
sin
.
2 sin
2
Bài 11.
a) Chứng minh rằng:
x
x
x
1
cot cot
sin 2
.
b) Tính
n
n
S k
1
1
1 1 1
(2 )
sin sin2
sin2
ĐS:
n
S
1
cot cot 2
2
Bài 12.
a) Chứng minh rằng:
x x x x
2
tan .tan2 tan2 2tan
.
b) Tính
n
n
n n
a a a a a
S a
2 2 1 2
2 1
tan .tan 2tan .tan 2 tan .tan
2 2
2 2 2
ĐS:
n
n
n
a
S a
tan 2 tan
2
Bài 13. Tính
x
2
sin 2 ,
biết:
x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1
7
tan cot sin cos
ĐS:
8
9
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 23
Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x x
cot tan 2tan2 4cot 4
b)
x x
x x
2
1 2sin 2 1 tan2
1 sin4 1 tan2
c)
x
x
x x
2
6
6 2
1 3tan
tan 1
cos cos
d)
x x
x
x x x
1 sin2 cos2
tan4
cos4 sin2 cos2
e)
x x x x x x
tan6 tan4 tan2 tan2 .tan4 .tan6
f)
x
x x x
x
sin7
1 2cos2 2cos4 2cos6
sin
g)
x x x x x x
cos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4
Bài 15.
a) Cho
a b b
sin(2 ) 5sin
. Chứng minh:
a b
a
2tan( )
3
tan
b) Cho
a b a
tan( ) 3tan
. Chứng minh:
a b a b
sin(2 2 ) sin2 2sin2
Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
A B C
A B C
sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
b)
A B C
A B C
cos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
c)
A B C A B C
sin2 sin2 sin2 4sin .sin .sin
d)
A B C A B C
cos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cos
e)
A B C A B C
2 2 2
cos cos cos 1 2cos .cos .cos
f)
A B C A B C
2 2 2
sin sin sin 2 2cos .cos .cos
Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết:
a) B C vaø B C
1
sin .sin .
3 2
ĐS: B C A, ,
2 6 3
b)
B C vaø B C
2 1 3
sin .cos .
3 4
ĐS:
A B C
5
, ,
3 12 4
Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông:
a)
A B C
cos2 cos2 cos2 1
b)
A B C
tan2 tan2 tan2 0
c)
b c a
B C B C
cos cos sin .sin
d)
B a c
b
cot
2
Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a)
A B
a A b B a btan tan ( )tan
2
b)
B C B C
2
2tan tan tan .tan
c)
A B
A B
A B
sin sin 1
(tan tan )
cos cos 2
d)
C A B
C
2sin .sin
cot
2 sin
Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều:
a) A B C
3 3
sin sin sin
2
HD: Cộng
sin
3
vào VT.
b) A B C
3
cos cos cos
2
HD: Cộng
cos
3
vào VT.
c) A B C
tan tan tan 3 3
(với A, B, C nhọn)
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 24
d) A B C
1
cos .cos .cos
8
HD: Biến đổi A B C
1
cos .cos .cos
8
về dạng hằng đẳng thức.
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) khi
5 3
cos2 , sin2 , tan2 cos ,
13 2
b) khi
cos2 , sin2 , tan2 tan 2
c) khi
4 3
sin , cos sin2 ,
5 2 2
d)
khi
7
cos2 , sin2 , tan2 tan
8
Bài 6. Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
o o o o
A
cos20 .cos40 .cos60 .cos80
ĐS:
1
16
b)
o o o
B
sin10 .sin50 .sin70
ĐS:
1
8
c)
C
4 5
cos .cos .cos
7 7 7
ĐS:
1
8
d)
D
0 0 0
cos10 .cos50 .cos70
ĐS:
3
8
e)
o o o o
E
sin6 .sin42 .sin66 .sin78
ĐS:
1
16
f) G
2 4 8 16 32
cos .cos .cos .cos .cos
31 31 31 31 31
ĐS:
1
32
h)
o o o o o
H
sin5 .sin15 .sin25 sin75 .sin85
ĐS:
2
512
i)
I
0 0 0 0 0
cos10 .cos20 .cos30 cos70 .cos80
ĐS:
3
256
k) K
96 3sin .cos .cos cos cos
48 48 24 12 6
ĐS: 9
l) L
2 3 4 5 6 7
cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15
ĐS:
1
128
m) M
sin .cos .cos
16 16 8
ĐS:
2
8
Bài 7. Chứng minh rằng:
a)
n
n
n
a a a a a
P
a
2 3
sin
cos cos cos cos
2
2 2 2
2 .sin
2
b)
n
n
Q
n n n
2 1
cos .cos cos
2 1 2 1 2 1
2
c)
n
R
n n n
2 4 2 1
cos .cos cos
2 1 2 1 2 1 2
BÀI ÔN TẬP CHƯƠNG VI – ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO.
Trần Duy Tiến Sưu tầm 25
Bài 8. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
x x
4 4
3 1
sin cos cos4
4 4
b)
x x x
6 6
5 3
sin cos cos4
8 8
c)
x x x x x
3 3
1
sin .cos cos .sin sin4
4
d)
x x
x x
6 6 2
1
sin cos cos (sin 4)
2 2 4
e)
x
x
2
1 sin 2sin
4 2
f)
x
x x
2
2
1 sin
1
2cot .cos
4 4
g)
x
x
x
1 cos
2
tan . 1
4 2
sin
2
h)
x
x
x
1 sin2
tan
4 cos2
i)
x x
x
cos
cot
1 sin 4 2
k)
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan .tan 2
l)
x x x
tan cot 2cot
m) x x
x
2
cot tan
sin2
n)
x
x vôùi x
1 1 1 1 1 1
cos cos , 0 .
2 2 2 2 2 2 8 2
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI
Bài 9. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x
x
x x x
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin
b)
x x x x x
2
(tan2 tan )(sin2 tan ) tan
c)
x
x x
x
2 2
6 2cos4
tan cot
1 cos4
d)
x x x
x x x
1 cos 1 cos 4cot
1 cos 1 cos sin
e)
x x
x x
x x
2 2
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
f)
x x x
0 0
cos cos(120 ) cos(120 ) 0
g)
x x
x
x x
2 cos 2cos
4
tan
2sin 2sin
4
h)
x x
x x
x
2 2
2 2
3
cot cot
2 2
8
3
cos .cos . 1 cot
2 2
