BÀI GIẢNG MÔN KINH TẾ LƯỢNG của ĐH TRÀ VINH Chương 3: PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI

Chương 3: PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI
1. Bản chất hiện tượng phương sai sai số thay đổi
2. Hậu quả của phương sai sai số thay đổi
3. Cách phát hiện phương sai sai số thay đổi
4. Cách khắc phục phương sai sai số thay đổi

07/20/14 12:03

1


3.1. BẢN CHẤT
Xét ví dụ mơ hình hồi quy 2 biến trong đó biến phụ
thuộc Y là chi tiêu của hộ gia đình và biến giải thích
X là thu nhập khả dụng của hộ gia đình

07/20/14 12:03

2


3.1. BẢN CHẤT

Y

Y
(a)

0

X1

X2

(b)

Xn

X 0

X1

X2

Xn

Hình 3.1: (a) Phương sai của sai số không đổi (b) Phương sai của sai số thay đổi

07/20/14 12:03

3

X


3.1. BẢN CHẤT
Hình 3.1a chỉ ra rằng khi thu nhập khả dụng tăng lên,
giá trị trung bình của chi tiêu cũng tăng lên nhưng
phương sai của sai số quanh giá trị trung bình của nó
khơng thay đổi tại mọi mức thu nhập khả dụng.
Đây là trường hợp của phương sai sai số không đổi,

hay phương sai bằng nhau.
E(ui2) = σ2

07/20/14 12:03

4


3.1. BẢN CHẤT
Trong hình 3.1b, mặc dù giá trị trung bình của chi
tiêu cũng tăng lên nhưng phương sai của sai số
không bằng nhau tại mỗi mức thu nhập khả dụng –
phương sai tăng lên với thu nhập khả dụng.
E(ui2) = σi2

07/20/14 12:03

5


Giải thích
Những người có thu nhập cao, nhìn chung, sẽ chi
tiêu nhiều hơn so với người có thu nhập thấp
nhưng sự biến động của chi tiêu sẽ cao hơn.
Đối với người có thu nhập thấp, họ chỉ có một ít
thu nhập để chi tiêu.
Phương sai sai số của những hộ gia đình có thu
nhập cao có thể lớn hơn của những hộ có thu nhập
thấp.

07/20/14 12:03

6


Ví dụ về phương sai sai số thay đổi
Khi thu nhập tăng, mọi người có nhiều sự lựa chọn cho
việc sử dụng tiền của mình hơn, nên σi2 có thể tăng cùng
với thu nhập.
Những cơng ty có lợi nhuận lớn hơn có thể có thể có sự
biến động của mức chia cổ tức lớn hơn.
Do quá trình “học hỏi từ cơng việc”, số lỗi đánh máy của
một thư ký có thể giảm dần theo thời gian làm việc. Đồng
thời, sự biến động của số lỗi so với số lỗi trung bình cũng
giảm dần.

07/20/14 12:03

7


3.2. HẬU QUẢ CỦA PHƯƠNG SAI
SAI SỐ THAY ĐỔI
1.

Ước lượng OLS vẫn tuyến tính. Chúng vẫn là ước lượng
khơng chệch. Tuy nhiên, chúng sẽ khơng cịn có phương
sai nhỏ nhất nữa; nghĩa là, chúng sẽ khơng cịn hiệu quả
nữa.

2.

Cơng thức thông thường để ước lượng phương sai của
ước lượng OLS, nhìn chung, sẽ chệch. Theo đó, các
khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết thông thường dựa
trên phân phối t và F sẽ khơng cịn đáng tin cậy nữa. Do
vậy, nếu chúng ta áp dụng các kỹ thuật kiểm định giả
thuyết thông thường sẽ cho ra kết quả sai.

07/20/14 12:03

8


3.3. PHƯƠNG PHÁP PHÁT HIỆN
PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ THAY ĐỔI
1.

Xem xét đồ thị của phần dư

2.

Kiểm định Park

3.

Kiểm định Glejser

4.

Kiểm định tương quan hạng của Spearman

5.

Kiểm định Goldfeld – Quandt

6.

Kiểm định White
………………………

07/20/14 12:03

9


1. Xem xét đồ thị của phần dư
•

Biến
phụ
thuộc

•

• •
•

•

•

•

• •

•
•

•

•
•
•
•

•
• •

• •

•

•

•
• • •

•

•

•

•
•

•

Đường hồi quy ước lượng
•
•

•

• • • •

•

•

•

•

Biến độc lập
07/20/14 12:03

10

2. Kiểm định Park
Park cho rằng σi2 là một hàm số nào đó của biến giải
thích X.
Park đã đưa ra dạng hàm số giữa σi2 và X như sau:
trong đó vi là phần sai số.
Park đã đề nghị chúng ta có thể sử dụng ei thay cho

σi và chạy mơ hình hồi quy sau:
lnei2 = B1 + B2 ln|Xi|+ vi (*)
07/20/14 12:03

11


ˆ
Yi

2. Kiểm định Park
ei2 có thể được thu thập từ mơ hình hồi quy gốc. Kiểm định Park
được tiến hành theo các bước sau đây:
1) Chạy hàm hồi quy gốc bất chấp vấn đề phương sai của sai số thay
đổi, nếu có.
2

Từ hàm hồi quy này, tính phần dư ei, sau đó, bình phương chúng và
lấy log chúng: lnei2.

3) Chạy hàm hồi quy (*), sử dụng biến giải thích của hàm hồi quy ban
đầu. Nếu có nhiều biến giải thích, chúng ta sẽ chạy hồi quy cho

từng biến giải thích đó. Hay cách ∧
khác, chúng ta có thể chạy hồi
quy mơ hình với biến giải thích là

07/20/14 12:03

Yi

, ước lượng của Y.

12


2. Kiểm định Park
4) Kiểm định giả thuyết H0: B2 = 0, nghĩa là, khơng có
phương sai của sai số thay đổi. Nếu giả thuyết H0 bị
bác bỏ, mối quan hệ giữa lnei2 và lnX có ý nghĩa
thống kê, có phương sai của sai số thay đổi.
5) Nếu giả thuyết H0 được chấp nhận, B1 trong mơ hình
(*) có thể được xem là giá trị chung của phương sai
của sai số không đổi, σ2.

07/20/14 12:03

13


3. Kiểm định Glejser
Tương tự như kiểm định Park: Sau khi thu thập được
phần dư từ mơ hình hồi quy gốc, Glejser đề nghị chạy

hồi quy giá trị tuyệt đối của ei, | ei |, theo biến X nào mà
có quan hệ chặt chẽ với σi2.
Glejser đề xuất một số dạng hàm hồi quy sau:
|ei| = B1 + B2Xi + vi

ei = B1 + B2 X i + vi
1
ei = B1 + B2
+ vi
Xi
07/20/14 12:03

14


3. Kiểm định Glejser

ei = B1 + B2

1
+ vi
Xi

ei = B1 + B2 X i + vi
ei =

B1 + B2 X i2 + vi

Giả thuyết H0 trong mỗi hàm số trên là phương
sai của sai số không đổi, nghĩa là, H0: B2 = 0.

Nếu giả thuyết này bị bác bỏ thì có thể có hiện
tượng phương sai sai số khơng đồng đều.
07/20/14 12:03

15


3. Kiểm định Glejser
Goldfeld và Quandt đã chỉ ra rằng sai số vi trong các mơ hình
hồi quy của Glejser có một số vấn đề, như giá trị kỳ vọng của
nó khác khơng, nó có tương quan chuỗi.
4 mơ hình đầu cho kết quả tốt khi sử dụng OLS
2 mô hình sau (phi tuyến tính tham số) khơng sử dụng
OLS được
Do vậy, kiểm định Glejser có thể được dùng để chẩn đoán
đối với những mẫu lớn.

07/20/14 12:03

16


4. Kiểm định tương quan hạng của Spearman

Hệ số tương quan hạng của Spearman, rS, được xác
định như sau:
 ∑d i2 
rS = 1 − 6 

2

 n( n −1 ) 



Trong đó di là hiệu của các hạng được gán cho 2 đặc
trưng khác nhau của cùng một phần tử thứ i và n là
số các phần tử được xếp hạng.

07/20/14 12:03

17


4. Kiểm định tương quan hạng của Spearman
Xét mơ hình hồi quy sau:
Yi = β1 + β2Xi + ui
Các bước thực hiện kiểm định tương quan hạng như sau:
1.

Ước lượng mơ hình hồi quy trên dựa trên bộ mẫu cho trước,
thu thập phần dư ei.

2.

Xếp hạng | ei| và Xi theo thứ tự tăng dần hay giảm dần, tính
d = hạng | ei| - hạng Xi, sau đó tính hệ số tương quan hạng
Spearman.

07/20/14 12:03

18


4. Kiểm định tương quan hạng của Spearman
3.

Giả sử hệ số tương quan hạng của tổng thể là ρ =
0 và n > 8 thì ý nghĩa của hệ số tương quan hạng
mẫu rS có thể được kiểm định bằng tiêu chuẩn t
sau:
rS n −
2
với bậc tự do df = n – 2.
t =
1− S
r2
Nếu giá trị t tính được lớn hơn giá trị tra bảng t với
mức ý nghĩa đã cho thì chúng ta có thể chấp nhận giả
thuyết phương sai sai số thay đổi; ngược lại chúng ta
bác bỏ giả thuyết này.

07/20/14 12:03

19


5. Kiểm định Goldfeld - Quandt
Xét mơ hình hồi quy sau:
Yi = β1 + β2Xi + ui
Giả sử σi2 có quan hệ dương với biến X theo cách sau:

σi2 = σ2Xi2

trong đó σ2 là hằng số.

Các bước thực hiện kiểm định Goldfeld - Quandt như sau:
1.

Sắp xếp các quan sát theo thứ tự tăng dần về giá trị của
biến X.

2.

Bỏ qua quan sát ở giữa theo cách sau:

07/20/14 12:03

20


5. Kiểm định Goldfeld - Quandt
2.

Bỏ qua quan sát ở giữa theo cách sau:
Đối với mơ hình 2 biến:
c = 4 nếu cỡ mẫu khoảng n = 30;
c = 10 nếu cỡ mẫu khoảng n = 60.
và chia số quan sát cịn lại thành 2 nhóm, trong đó
mỗi nhóm có (n – c)/2 quan sát.

07/20/14 12:03

21


5. Kiểm định Goldfeld - Quandt
3.

Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất để ước lượng
tham số của các hàm hồi quy đối với (n – c)/2 quan sát đầu
và cuối;
Thu thập tổng bình phương của các phần dư RSS1 và RSS2
tương ứng. Trong đó RSS1 đại diện cho RSS từ hồi quy ứng
với các giá trị của Xi nhỏ hơn và RSS2 ứng với các giá trị Xi
lớn hơn.
n −c
−k
2
Bậc tự do tương ứng là
hoặc (n – c – 2k)/2.
Trong đó, k là các tham số được ước lượng kể cả hệ số
chặn (trường hợp 2 biến: k = 2).

07/20/14 12:03

22


5. Kiểm định Goldfeld - Quandt
4.

Tính tỷ số

RSS 2 / df
λ=
RSS1 / df

Nếu ui theo phân phối chuẩn và nếu giả định về
phương sai có điều kiện khơng đổi được thỏa mãn
thì λ tuân theo phân phối F với bậc tự do ở tử số và
mẫu số là
n − c − 2k
2
Nếu λ tính được lớn hơn giá trị tra bảng F ở mức ý nghĩa mong
muốn, thì chúng ta có thể bác bỏ giả thuyết H 0, nghĩa là chúng
ta có thể nói phương sai của sai số thay đổi.
--------------------------------07/20/14 12:03

23


6. Kiểm định White
Xét mơ hình : Yi = β1+ β2X2i + β3X3i +Ui
Bước 1 : Ước lượng mơ hình gốc, thu
Bước 2 : Hồi quy mơ hình phụ sau, thu hệ số xác định của hồi
quy phụ:
ei2 = α1 + α 2 X 2i + α 3 X 3i + α 4 X 2i + α 5 X 2i + α 6 X 2iX 3i + Vi
2
3

Bước 3 : Kiểm định

H0 : Phương sai sai số không đổi.

Nếu nR2 không lớn hơn giá trị tra bảng χ2(df), chúng ta chấp
nhận giả thuyết H0. Ngược lại, chúng ta bác bỏ H0 và như
vậy, có hiện tượng phương sai sai số thay đổi.

07/20/14 12:03

24


3.4. Biện pháp khắc phục
phương sai sai số thay đổi
Trường hợp đã biết σ i2
→ Dùng PP bình phương tối thiểu có trọng số (WLS)

Trường hợp chưa biết σ i2
Phương sai sai số tỷ lệ với biến giải thích:

07/20/14 12:03

25