skkn ứng dụng máy tính casio ,vinacal trong dạy và học môn toán

1

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẾN TRE
























2

Trong nhiều năm qua Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có chủ trương đưa máy tính
Casio và Vinacal vào giảng dạy trong chương trình THPT. Hàng năm đều có tổ chức
các cuộc thi giải toán trên máy tính Casio và Vinacal từ cấp tỉnh đến cấp Quốc gia,
tuy nhiên việc hướng dẫn cho học sinh vận dụng các loại máy tính bỏ túi một cách
sáng tạo trong quá trình học tập bộ môn toán nói riêng và các môn tự nhiên nói
chung vẫn còn hạn chế. Nhìn chung học sinh chỉ sử dụng máy tính ở m
ức độ thực
hiện các phép tính đơn giản mà chưa ứng dụng máy tính ở mức độ cao hơn như dự
đoán kết quả, tư duy toán học dựa trên công cụ máy tính
Qua quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm cho nội dung
nầy. Các vấn đề trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm là các chuyên đề đã được ứng
dụng trong giảng dạy và đã được phổ biến đến đồ
ng nghiệp trong các lần hội nghị
chuyên môn do SGD tổ chức trong các năm học qua. Bản thân tôi đã nhận được
nhiều ý kiến phản hồi khích lệ từ các đồng nghiệp trong và ngoài tỉnh. Sáng kiến
kinh nghiệm nầy là sự tổng kết có chọn lọc các chuyên đề của bản thân đã viết ra
trong thực tiễn giảng dạy cùng với sự đóng góp nhiệt tình của đồng nghiệp.

Lý do chọn đề tài của tôi xuất phát từ những lý do sau:
* Giúp cho học sinh trung bình biết cách kiểm tra kết quả bằng máy tính Casio
hoặc Vinacal. Ví dụ kiểm tra kết quả của các bài toán tính giới hạn, đạo hàm, tích
phân Điều nầy rất có ích khi HS làm các bài thi TN và ĐH. Nếu không hướng dẫn
cho HS những thủ thuật nầy thì các em sẽ mất nhiều thời gian khi kiểm tra lại toàn
bộ quá trình tính toán của mình.
* Giúp cho HS khá, giỏi có suy nghĩ dùng máy tính để dự đoán kết qu
ả. Ví dụ
dùng máy tính Casio nhẫm nghiệm để giải phương trình lượng giác, áp dụng tính
chất của hàm số liên tục kết hợp với máy tính để giải bất phương trình, dùng máy

tính để tìm quy luật dãy số
* Giúp cho các bạn đồng nghiệp có một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng
dạy bộ môn toán của mình. Qua chuyên đề nầy tôi hy vọng các bạn đồng nghiệp sẽ
yêu thích hơn các ứng dụng mà máy tính Casio, Vinacal đem lại cho chúng ta và
truyền sự say mê n
ầy đến các HS của mình. Thực tế một số Thầy Cô không thích sử
dụng máy tính Casio bởi vì kết quả của nó đa phần là kết quả gần đúng, nhưng trong
chuyên đề nầy các bạn sẽ thấy ta có thể dùng cái gần đúng để đi tìm cái đúng ( ứng
dụng máy tính Casio hoặc Vinacal trong việc giải các bất phương trình )

 Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường
trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp và
Cao đẳng - Đại học.
 Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:

3
* Không trình bày các vấn đề cơ bản về máy tính Casio, Vinacal (vì các vấn đề
cơ bản nầy được trình bày trong nhiều tài liệu ) mà chỉ minh họa các ứng dụng cụ thể và
có tính mới trong giải toán.
* Ứng dụng máy tính Casio, Vinacal dự đoán nghiệm để giải phương trình lượng
giác.
* Ứng dụng máy tính Casio, Vinacal trong giải các bất phương trình phức tạp.
* Ứng dụng máy tính Casio, Vinacal để kiểm tra kết quả và trong các dạng toán khác.

Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích:
* Chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về ứng dụng máy tính
Casio, Vinacal trong dạy và học môn toán.
* Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm.
* Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chuyên Bến Tre và của
Công Đoàn ngành Giáo dục phát động.

* SKKN nầy không trình bày lại các chức năng của máy tính Casio và Vinacal vì
các vấn đề nầy đã được nói đến trong nhiều tài liệu.
* SKKN nầy đề cập đến một số vấn đề trong dạy và học bộ môn toán THPT có
tính chuyên sâu dưới dạng các chuyên đề.
* SKKN nầy đặt ra một vấn đề mới để các bạn đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu
đó là phát huy tối đa khả năng của máy tính Casio và Vinacal một cách sáng tạ
o
trong việc dạy và học bộ môn toán THPT.
* Các chuyên đề về ứng dụng máy tính Casio, Vinacal trong giải phương trình
lượng giác và chuyển việc giải bất phương trình về việc giải phương trình là các
chuyên đề mới chưa được trình bày trên bất kì tài liệu nào về vấn đề ứng dụng máy
tính bỏ túi trong giải toán.

4


Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:
* Các kiến thức cơ bản về máy tính Casio, Vinacal.
* Các kiến thức toán học cơ bản trong chương trình THPT.
* Một số kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của máy tính cầm tay.


Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, các phần mềm toán học ngày
càng hỗ trợ đắc lực cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học môn toán, tuy
nhiên không phải học sinh nào cũng có điều kiện tạo cho mình một máy vi tính và
cài đặt các phần mềm thích hợp để học tập bộ môn toán, hơn thế nữa theo quy chế
học sinh không được đem máy vi tính vào phòng thi Trong khi mọi học sinh đều
có máy tính Casio hoặc Vinacal, do đó việc rèn luyện cho họ
c sinh sử dụng các loại
máy tính cầm tay nầy một cách thành thạo là một việc làm cần thiết. Thực trạng hiện
nay cho thấy kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay của học sinh còn rất yếu, đa số chỉ
biết dùng máy tính để thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và tính
giá trị của các hàm số lượng giác mà thôi. Do đó SKKN nầy đề cập đến một vấn đề
mới đ
ó là giúp học sinh khai thác tối đa các chức năng của máy tính Casio và
Vinacal trong tư duy giải toán. Nếu làm tốt công việc nầy thì chất lượng dạy và học
môn toán sẽ được nâng lên.



ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL DỰ ĐOÁN NGHIỆM GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A. Đặt vấn đề:
Khi giải các phương trình đa thức ta thường dùng cách nhẩm nghiệm để biến đổi
phương trình ấy về dạng phương trình tích. Vậy việc giải phương trình bậc cao được
chuyển về việc giải phương trình bậc thấp hơn. Trong chuyên đề nầy sẽ minh họa cho
việc ứng dụng t
ư tưởng nầy vào việc giải một số dạng phương trình lượng giác với sự
trợ giúp của máy tính cầm tay.
B. Nội dung phương pháp:
Để giải phương trình lượng giác bằng phương pháp nầy, ta sẽ tiến hành theo các
bước sau:
Bước 1:

Tiến hành phép thử để tìm một nghiệm đặc biệt. Ta thử với các giá trị đặc biệt sau:
235
0;;;;;; ; ;
6432 3 4 6

   

.


5
Bước 2:
Giả sử ở bước 1 đã tìm được nghiệm
6
x


. Ta tiếp tục thử với các giá trị đặc biệt

tương ứng liên kết với nghiệm ấy. Cụ thể:
+ Thử với giá trị đối của nó:
6
x


 , nếu thỏa mãn phương trình thì ta dự đoán
phương trình có nghiệm x sao cho
3
cos
2
x  , hay phương trình được đưa về dạng tích
với một thừa số là
(2cos 3)x 

+ Thử với giá trị bù với nó :
5
6
x

 , nếu thỏa mãn thì ta dự đoán phương trình có
nghiệm x sao cho
1
sin
2
x  , hay phương trình được đưa về dạng tích với một thừa số là
inx(2s 1) .
+ Thử với một giá trị hơn ( kém ) nó

, thử với

7
6
6
x





( hay thử với
5
6
6
x





 )
Nếu giá trị nầy thỏa mãn thì ta dự đoán phương trình có nghiệm x :
3
tanx
3

.
Hay có thể biến đổi phương trình về phương trình tích với một thừa số (3tanx 1)

.
C. Phương tiện dùng để nhẩm nghiệm:

Có thể dùng máy tính Casio fx 570 ES để tiến hành nhẩm nghiệm theo một trong
hai cách sau:
Cách 1:
Dùng chức năng
CALC
. Chức năng nầy có công dụng là tính giá trị của một hàm
số tại một điểm.
- Chuyển phương trình về dạng f(x) = 0. Giả sử cần thử với giá trị
6
x

 , ta thực
hiện như sau:
- Nhập vào máy hàm số f(x), nhấn phím
CALC
, máy hỏi x ? ta nhập vào
6

và
nhấn phím

.
Để thử với các giá trị khác, ta tiếp tục nhấn phím
CALC
…
Cách 2:
Dùng chức năng
SOLVE
. Chức năng nầy có công dụng là tìm nghiệm của
phương trình trong một lân cận của x đã chỉ ra. Ta thực hiện theo các bước sau đây:

- Chuyển máy tính về đơn vị độ.
- Nhập vào phương trình f(x) = 0.

6
- Nhấn phím
SOLVE
, máy hiển thị x ? ta nhập vào giá trị mà ta dự đoán là
nghiệm, chẳng hạn 30 ( 30
0
), máy sẽ dò tìm một nghiệm trong lân cận của 30
0
.
Tiếp tục nhấn phím
SOLVE
để kiểm tra nghiệm khác…

D. Các ví dụ minh họa:

Giải phương trình: 3cos2 5sin cos sin2 4
x
xx x.
Giải
Phân tích: Thực hiện phép thử, thu được 2 nghiệm
5
,
66
xx


. Do đó dự đoán

phương trình sẽ có nghiệm x :
1
sinx
2

. Vậy lời giải được trình bày theo hai cách sau:
Cách 1
Đặt sinx( 1)tt. Ta viết phương trình đã cho thành phương trình với ẩn số t:
2
3(1 2 ) 5 cos 2 cos 4tt xtx  
2
6(2cos5)(1cos)0txt x



 (*)
Theo dự đoán trên thì phương trình (*) có nghiệm
1
1
2
t

.
Áp dụng định lí Viet:
12 2
52cos 1cos
63
x
x
tt t



 
Vậy phương trình đã cho
1
sinx
2
3sin cos 1
x
x









Đến đây ta dễ dàng chỉ ra tập nghiệm của phương trình.

Cách 2
Phân tích
Do dự đoán được
1
sinx
2

, do đó nếu biến đổi phương trình về dạng phương trình
tích thì sẽ có một thừa số là (2sin 1)

x

. Vậy nên kết hợp hai số hạng nào với nhau để
có thừa số (2sin 1)
x
 ? Ta có thể thấy ngay nên kết hợp như sau :
cos sin 2 cos (1 2sin )
x
xx x  . Còn tổng (3cos2 5sin 4)?
x
x

 Một điều chắc chắn
rằng có thể phân tích tổng nầy thành thừa số mà có một nhân tử là (2sin 1)
x
 .
Thật vậy :
22
(3cos2 5sin 4) 3(1 2sin ) 5sin 4 6sin 5sin 1xx x x xx  
(2sin 1)(3sin 1)
x
x  

* Vậy lời giải được trình bày ngắn gọn như sau :
(cos sin 2 ) (3cos2 5sin 4)PT x x x x  

2
cos (1 2sin ) ( 6sin 5sin 1) 0xx xx
cos (1 2sin ) (1 2sin )(3sin 1) 0
x

xxx 
(1 2 sin )(cos 3sin 1) 0
x
xx  

7
Vậy phương trình đã cho
1
sinx
2
3sin cos 1
x
x









Đến đây ta dễ dàng chỉ ra tập nghiệm của phương trình.

Giải phương trình: cos3 cos2 sin 2 sin 5cos 3 (1)
x
xxx x
Phân tích
Thực hiện phép thử ta tìm được 2 nghiệm:
2

3
x

 . Vậy ta dự đoán phương trình
có nghiệm x :
1
cos
2
x

 .
Cách 1
Đặt cos ( 1)txt. Phương trình (1) trở thành:
32
(4 3 ) (2 1) 2 sin sinx 5 3tt t tx t   
32
4 2 (2sin 8) (sin 4) 0 (2)tt xt x  
Do thử nghiệm ở trên nên ta biết PT(2) có nghiệm
1
2
t

 . Thực hiện phép chia vế
trái của (2) cho
1
()
2
t 
. ta được:
2

1
(2) ( ) 4 (2sin 8) 0
2
PT t t x


   



Vậy
22
11
cos cos
(1)
22
4cos 2sin 8 0 2sin sin 2 0
xx
PT
xx xx






 



12
cos 2 ,( )
23
xxkk


 
Vậy phương trình có nghiệm :
2
2,( )
3
xkk



 
Cách 2
( Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích )
Do dự đoán trên nên khi biến đổi phương trình về dạng phương trình tích thì phải
có một nhân tử (2cos 1)
x
 .
Vậy ta nên kết hợp hai số hạng nào để có nhân tử (2cos 1)
x

?
- Có thể thấy ngay , nên kết hợp sin2 sinx
x

.

- (1) (sin 2 sinx) (cos3 cos2 5cos 3) 0PT x x x x

32
(sin2 sinx) (4cos 2cos 8cos 4) 0xxxx  
sin 2 sin sin (2cos 1)
A
xxx x 
32
4cos 2cos 8cos 4
B
xxx

8
Cũng từ dự đoán trên nên ta suy ra B có thể phân tích thành nhân tử và chắc chắn
có một thừa số là (2cos 1)
x
 . Do đó ta thực hiện phép chia B cho (2cos 1)
x

, ta
sẽ được:
2
(2cos 1)(2cos 4)Bx x .
Vậy
2
(1) (2 cos 1)(s inx 2 cos 4) 0PT x x

2
(2cos 1)( 2sin sin 2) 0xxx

12
cos 2 ,( )
23
xxkk


 
Vậy phương trình có nghiệm :
2
2,( )
3
xkk



 

Giải phương trình:
22
18 1
2cos cos ( ) sin2 3cos sin (1)
33 23
xx xx x






Giải

Thay cos( ) cos
x
x

 và
cos( ) sinx
2
x


.
(1) 6cos cos 2 3sin 2 9 sin 8 0 (2)PT x x x x 
Nhận thấy 2
2
x
k


 là nghiệm của phương trình. Vậy ta có sinx = 1.
Cách 1
Đặt sinx( 1)tt. Ta viết phương trình (2) thành phương trình với ẩn số t:
2
2 (9 6cos ) (6cos 7) 0txtx  
Phương trình bậc hai nầy có A + B + C = 0. Vậy :
sin 1
(2)
6cos 7
sin
2
x

PT
Cx
x
A








sin 1
2sin 6cos 7
x
xx








Mà phương trình : 2sin 6cos 7
x
x vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có
nghiệm :
2,( )
2

xkk


 
.
Cách 2
( Biến đổi phương trình về phương trình tích )
(1) (6 cos 3sin 2 ) (cos 2 9 sin 8) 0PT x x x x 

2
6cos (1 sin ) ( 2sin 9sin 7) 0xx xx
7
6cos (1 sin ) 2(sin 1)(sin ) 0
2
xx x x

(1 sin )(6cos 2sin 7) 0
x
xx   
sin 1
sin 1 2
6cos 2sin 7
2
x
x
xk
xx










Vậy phương trình đã cho có nghiệm : 2,( )
2
xkk


  .

9

Giải phương trình: sin3 6sin 2 9sin cos3 9cos 8 (1)
x
xxx x
Giải
- Nhận thấy 2
2
x
k


 là nghiệm phương trình. Vậy ta có sinx = 1.
-
Đặt sinx ( 1)tt. Thay :
33
sin3 3sin 4sin , os3 4cos 3cos

x
xxcx xx

.
-
Phương trình (1) trở thành:
32
4 4(cos ) (12 12cos ) (8cos 8) 0 (2)txt xtx


-
Thực hiện phép chia VT(2) cho ( t – 1 ), Ta có :
2
1
(2)
4(4cos4)88cos0(3)
t
PT
txt x





  

Ta có:
2
(3) 4sin (4cos 4).sinx 8 8cos 0 (4)xx x     
Nhận thấy 2

x
k

 là nghiệm của (4), vậy PT(4) có nghiệm x sao cho cosx = 1.
- Đặt u = cosx, PT(4) trở thành :

2
4(1 ) (4 4)sinx 8 8 0uu u   
2
4 (4sin 8) (4 4sin ) 0uxu x



2
4(4sin8)(44sin)0 1 1sinxuxu xuu  

cos 1 sinx cos 1
x
x. Vậy phương trình có 2 họ nghiệm:

2, 2 ( )
2
xk x k k





Giải phương trình:
sin 2 sin cos8 cos6 cos7 (1)xx x x x

Nhận xét:
Thực hiện phép thử, ta được
2
3
x

 là nghiệm. Vậy nên nhóm các số hạng sao
cho xuất hiện thừa số chung ( 2cosx + 1). Bài nầy không nên quy về phương trình với
ẩn số t = cosx vì sẽ được phương trình bậc cao. Do đó ta phải dùng phương pháp phân
tích thành nhân tử với định hướng làm xuất hiện thừa số ( 2cosx + 1).
Giải

(1) sin (2cos 1) 2cos7 .cos cos7PT x x x x x 

sin (2cos 1) cos7 (2cos 1) (2cos 1)(sin cos7 )
x
xxx xxx 

Từ đây suy ra phương trình có các họ nghiệm:

2
2, , ( )
364123
kk
kx x k
x

  


 


Giải phương trình: 4sin cos 3sin .tan 3tan 3 (1)
x
xxxx  
Giải

Điều kiện:
cos 0
x


 Thực hiện phép thử được hai nghiệm
4
x



và
3
4
x


. Vậy cần nhóm
các số hạng để xuất hiện thừa số
(tanx 1)

.

 (1) (sinx cos ) (3sin 3sin .tan ) 3(tan 1)
P
Txxxxx   
cos (tan 1) 3sin (tan 1) 3(tan 1)xx xx x 

10
(1 tan )(cos 3sin 3) 0
x
xx  

tan 1
cos 3sin 3
x
x
x





 ( Đến đây các em HS có thể giải tiếp đươc)

Giải phương trình:
2(sin 2 cos2 ) tan 1 (1)xxx




Giải

Điều kiện: cos 0x 
Thực hiện phép thử được cặp nghiệm
4
x


và
3
4
x


 . Vậy ta dự đoán
phương trình có nghiệm x sao cho tanx = 1

Cách 1

Đặt t = tanx, phương trình (1) trở thành:

2
22
21
1
11
2
tt
t
tt








32
330ttt


Vậy:
3tanx 1 tanx  .

Kết quả: phương trình có các họ nghiệm:

43
,()kkxx k





 

Cách 2

Ta nhóm các số hạng để xuất hiện thừa số: ( tanx – 1)

(1) 2 sin 2 2 cos 2 2 tan 1PT x x x

2
tan 14sin cos 4cos
x
x
x
x



2
tan 1
1) 0
1
cos2
2
(tan 1)(4cos
x
x
x
x









Kết quả: phương trình có các họ nghiệm:

43
,()kkxx k




E. Bài tập rèn luyện:

Giải các phương trình:
1) sin 2 3sin 2 cos 3xx x 

2)sin5 sin 2 cos6 cos4 cosxx x xx  
3)1 cos cos2 sin 2 sin3 sin4xxxxx   
4)sin cos2 sin cos 1 0xxxx

5)cos2 cos cos4 sin3 sin 2xx x x x  
6)sin 2 10cos sin 5xxx
7)4sin cos 1 tan 3sin .tanxx x xx




11

ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
A. Đặt vấn đề:
Nhằm mục đích trang bị cho học sinh các phương pháp giải toán hữu hiệu để giải
quyết tốt các dạng toán của đề thi tuyển sinh đại học, qua quá trình giảng dạy nhiều năm
ở các lớp cuối cấp chúng tôi đã đúc kết được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn

học sinh giải quyết các bài toán về bất phương trình. Chúng tôi thấy rằng việc giải một
bất phương trình có dạng f(x) > 0 ( f(x)  0, f(x) < 0, f(x) 0) thì phức tạp hơn nhiều so
với việc giải phương trình f(x) = 0. Thực chất của bài toán giải bất phương trình là quy
về việc xét dấu của biểu thức f(x) trên miền xác định D của nó. Do vậy nội dung của
chuyên đề nầy là quy việc giải các bất phương trình về việc giải phương trình f(x) = 0,
sau đó lập bảng xét dấu của f(x) và từ đó suy ra tập hợp nghiệm của bất ph
ương trình.

B. Nội dung phương pháp:
Nội dung của phương pháp nầy dựa trên tính chất sau đây:


Tính chất: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên miền K ( K có thể là (a ; b ) ;
[a ; b] ; (a ; b]; [a ; b); (- ; a) ; (- ; a]; (a ; + ); [ a ; + ) ; R ). Nếu
phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên miền K thì f(x) không đổi dấu trên
K.
Phương pháp giải bất phương trình:
Dựa trên tính chất trên ta suy ra phương pháp giải bất phương trình dạng f(x) > 0
( f(x) < 0, f(x)
 0, f(x) < 0, f(x)  0) như sau :
* Tìm tập xác định
D của hàm số f(x).
* Giải phương trình f(x) = 0.
* Lập bảng xét dấu của f(x) (Để xác định dấu của f(x) trên các khoảng con
K của
D mà f(x) vô nghiệm, ta chỉ cần xác định dấu của f(x
0
) với x
0
là một phần tử bất kì của

K).

Chú ý: Để tính giá trị của hàm số tại một điểm một cách nhanh chóng ta có thể
dùng máy tính Casio hay Vinacal.


Cách tính : dùng chức năng CALC được minh họa qua ví dụ sau:

Ví dụ: Tính giá trị của hàm số y = x
2
+3x -12 với x = 7, x = 8 thực hiện như sau :
* Nhập biểu thức ấn :
2
312ALPHA Y ALPHA X X ALPHA X 
* Lưu biểu thức ấn :
CALC
* Tính giá trị của y với x = 7 ấn : 7


* Tính giá trị của y với x = 8 ấn :
8CALC


* Tính giá trị của y với x =
2
3
ấn :
/
23
bc

CALC a


Nói chung khi đã nhập biểu thức y vào xong thì ta có thể tính giá trị của y tại các điểm
x
1
, x
2
, … Ở đây vấn đề mà ta quan tâm là dấu của y tại các điểm x
1
, x
2
, … ( các giá
trị của y tại các điểm nầy có thể là các giá trị gần đúng. Điều nầy không ảnh hưởng gì
kết quả nghiệm của bất phương trình).




12
C. Các ví dụ minh họa:
a)Giải các bất phương trình vô tỉ.


Giải bất phương trình :
2
2
40
16
16

xx
x


(1)

Cách 1:
(Phương pháp cơ bản)
BPT (1)

22 2 2
16 16 40 16 24 (2)xx x xx x  
Xét các trường hợp sau đây :
a) Nếu x = 0 thì BPT(2) luôn thỏa mãn.
b) Nếu x < 0 thì BPT(2)

2
2
2
2
2
2
2
22 22
24
26 0
0
26
24
24

16
16
26
026
24
0
( 16) (24 )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x





















  






































22
26 0
26 0
26
26
0
26
26
3

026
026
3
64 24
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x































































. Kết hợp với x < 0 ta được x < 0.
c) Nếu x > 0 thi BPT(2)

2
2
2
2
2
2
22
24
0
26

26
24
16 0 3
026
026
24
16
33
64 24
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x

















 










 








Tóm lại : Nghiệm của BPT là

0
03
03
x
xx
x








.

Cách 2:
( Dùng phương pháp trên)
* Tập xác định D = R.
* Xét hàm số
2
2
40
() 16
16
fx x x
x
  

, hàm số f(x) liên tục trên R.

* PT f(x) = 0

22
16 24
x
xx



22 22 2
( 16) (24 ) 64 576 3xx x x x

   .
Thử lại thấy chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình f(x) = 0.

* Bảng xét dấu f(x) :


13
_
0
x
f (x)
-

+

3
+

* Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm
trên các khoảng : (-
 ; 3); (3 ; + )
nên trên từng khoảng nầy f(x) không
đổi dấu.
Ta có f(0) = -6 < 0 , f(4) = 2,58 > 0
Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra
BPT f(x)
 0 có nghiệm x  3.



Giải phương trình :
2
321 (1)
32
x
xx
x



Cách 1 Điều kiện x >
2
3
.
BPT(1)

2
(3 2) (1 ) 3 2 ( 1)( 2) ( 1) 3 2 0xx xx xx x x   


2
2
1
1
20
20
10
(3 2) (2 )
322
2
(1)(2 32)0
1
10
3
20
322
32(2)
x
x
Vx
x
x
x
x
xx
xx x
x
x
x

xx
xx





























  





















 






2

2
2
2
12
12
2
16
76
2
12
2
3
1
2
2
3
1
1
3
3
1
760
6
x
x
x
x
x
x
xx

xx
x
x
x
x
xx
x









































































.
Tóm lại BPT có nghiệm x >
2
3
.
Cách 2: Điều kiện x >
2
3
. BPT(1)  f(x) =
2
32 10
32

x
xx
x




PT f(x) = 0

2
20
(1)(2 32)0 1 322 1
32(2)
x
xx x x Vx xxV
x
x


  

 


x = 1 V
2
2
2
1
3

760
x
x
xx










14
+
1
0
x
f (x)
2
3
+

+

* Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm
trên các khoảng : (
2
3

; 1); (1 ; + ) nên
trên từng khoảng nầy f(x) không đổi
dấu.
Ta có f(
5
6
) = 0,108 > 0 , f(2) = 1 > 0
Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra
BPT f(x)
 0 có nghiệm x >
2
3
.


Giải bất phương trình :
11 (1)xxx 
Cách 1 Điều kiện : -1  x  1.
BPT(1)
2
10
()
1(1)
11
10
()
10
xx
A
xx x

xx x
x
B
xx







  


 













1) Xét hệ (A) :
2

10
1(1)
xx
x
xx




  



2
2
0
01
01
10
10
10
101 11
0
15 15
10
1
22
x
x
x

x
x
x
x
xxx x
x
xx
x
xx
 









 





 
   









 
















Hệ (A)

22
11 11
1121212(2)
xx
xx x x x x x xx
   





    



+ Nếu x = 0 thì (2) đúng
+ Nếu x < 0 thì (2)

22
21 2 4(1 ) (2 ) 0xx x xx   
vô nghiệm trên [-1 ; 0 ).
+ Nếu x > 0 thì (2)

22
21 2 4(1 ) (2 ) 0xx x xx   
đúng trên (0 ; 1].
Vậy hệ (A) có nghiệm 0
 x  1.
2) Xét hệ (B) :
10
10
x
xx









2
2
10
11
15
11
10
0
2
10
1
1
15
2
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
x
 




 



 
 


 


  
 



















vô nghiệm
Tóm lại: BPT có nghiệm 0  x  1.

Cách 2: Điều kiện : -1  x  1.
Xét hàm số f(x) =
11
x
xx  với x  [-1 ; 1 ]. BPT(1)  f(x)  0.

15
PT : f(x) = 0 
22 2
1 1 1 ( 1 ) 1 1 21 21 2
x
xxxxx xxxxxxxxx        
2
021 2 04(1)(2) 0.xV x xxV x x x     
Thử lại thấy x = 0 là nghiệm của phương trình f(x) = 0.

Bảng xét dấu của f(x)
_
0
0
x
f (x)
-1
1

+

* Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm
trên các khoảng : [-1; 0); (0 ; 1] nên
trên từng nửa khoảng nầy f(x) không
đổi dấu.
Ta có f(
1
2

) = - 0,017 < 0 , f(
1
2
) =
0,017 > 0
Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra
BPT f(x)
 0 có nghiệm 0  x  1.


b) Giải các BPT mũ, logarit
Giải BPT :
221x 1x x
(x x 1) (x x 1)


  
(*)
Cách 1 Điều kiện :
1x 0

1x 0






-1  x  1 (1)
* Ta có x
2
+x +1 > 0 ,  x  R. Ta xét 3 trường hợp :
a) Trường hợp : x
2
+x +1 = 1  x
2
+ x = 0  x = 0 V x = -1 thỏa mãn BPT (*).
b) Trường hợp : x
2
+x +1 > 1  x
2
+ x > 0  x < -1 V x > 0, kết hợp với đk (1) ta được
0 < x
 1 (2)
BPT(*)

2
1x 1x x x 1x 1x x (1x)2x1x 1x      
22
21x2x04(1x)x4x4x0x0loaïi (do ñk (2) ). 

c) Trường hợp x
2
+ x+ 1 < 1  x
2
+ x < 0  -1 < x < 0 (3)
BPT(*)

2
1x 1x x 1x (1x)x 2x1x x221x 0 (do x < 0)     

22
21 x x 2 4(1 x) x 4x 4 x 0 x 0loaïi ( do ñk (3) )
Tóm lại: bất phương trình có nghiệm x = 0; x = -1.

Cách 2: Điều kiện –1  x  1. Xét hàm số :
221x 1x x
f(x) (x x 1) (x x 1)


 
BPT(*)
 BPT f(x)  0 . Bây giờ ta giải PT f(x) = 0.
Ta có :
2
2
2
xx11
1x1
x0Vx 1 x0Vx 1
x0

x ( 1;1] \{0} x ( 1;1] \{0}
f(x) 0
x x11
x1
1x1xx 2x1x 21x x 2
1x1
1x 1x x





 
 







 

   














   
 






 





16
Thử lại ta thấy PT f(x) = 0 có nghiệm x = 0 ; x = -1. Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm
trên các khoảng (-1; 0) và (0 ; 1] nên trên các khoảng nầy f(x) không đổi dấu.
Ta có
1
f( )
2



- 0,0035 < 0 và
1
f( )
2

- 0,0147 < 0
Từ đó suy ra BPT(*) có nghiệm x = -1; x = 0.


Giải bất phương trình:
2
1
1
3
3
11
(1)
log (x 1)
log 2x 3x 1




Cách 1 : Điều kiện :
2
0 2x 3x11
133
x ( 1 ; 0) (0 ; ) (1 ; ) ( ; ) (2)
222
0 x11



    




Khi đó BPT(1)

22
33
33
11 11
(3)
log (x 1) log (x 1)
log 2x 3x 1 log 2x 3x 1
 
 
 

Xét 4 trường hợp sau :
a) Trường hợp 1 :
-1 < x < 0 . Khi đó :
2
2
3
3
2x 3x 1 1
log 2x 3x 1 0
x11

log (x 1) 0












 (3) vô
nghiệm.
b) Trường hợp 2 :

1
0x
2

. Khi đó :
2
2
3
3
2x 3x 1 1
log 2x 3x 1 0
x11
log (x 1) 0















Suy ra BPT(3) nghiệm đúng với mọi x :
1
0x
2

 .
c) Trường hợp 3:

3
1x
2

. Khi đó :
2
2
3

3
2x 3x 1 x(2x 3) 1 1
log 2x 3x 1 0
x11
log (x 1) 0


 










Suy ra BPT(3) nghiệm đúng với mọi x :
3
1x
2

 .
d) Trường hợp 4:

3
x
2


. Khi đó :
2
2
3
3
2x 3x 1 1
log 2x 3x 1 0
x11
log (x 1) 0














BPT(3)

2222
33
log 2x 3x 1 log (x 1) 2x 3x 1 x 1 2x 3x 1 x 2x 1   
 x(x-5)> 0  x > 5.
Suy ta BPT có tập nghiệm :

13
T(0;)(1;)(5; ).
22


Cách 2 Điều kiện :
2
0 2x 3x11
133
x ( 1 ; 0) (0 ; ) (1 ; ) ( ; ) (2)
222
0 x11


    




Xét hàm số
22
1
1
3
3
11
ln( ) ln( )
11
33
f(x)

log(x1) ln(x1)
log 2x 3x 1 ln 2x 3x 1



 

Với đk (2) thì f(x) = 0
2222
ln2x 3x1 ln(x1) 2x 3x1(x1) 2x 3x1x 2x1
 x
2
– 5x = 0  x = 0 V x = 5 . So với đk (2) thì f(x) = 0  x = 5.

1
7
* Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm trên các khoảng : (-1 ; 0); (0 ;
1
2
);(1 ;
3
2
); (
3
2
; 5);(5
;+
 ) nên trên từng nửa khoảng nầy f(x) không đổi dấu.
Ta có f(
1

2

) = -3,584 < 0 ; f(
1
4
) = 7,163 > 0 ;
5
f( )
4

3,594 > 0 ; f(2) = -1 < 0 ;f(6) =
0,016 > 0
+
_
+

5
+
3
2
1
2
_
0
0
x
f (x)
-1
1
+

Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra BPT f(x) > 0 có tập nghiệm
13
T(0;)(1;)(5; ).
22



Giải bất phương trình :
2
6
sin
cos
2
3 log 2005 0
3
x
x






Nhận xét: Nếu dùng máy tính ta sẽ có :
6
log 2005 4,243537


Dễ thấy :

2
0
1
sin
cos
22
334
33
x
x
 

 
 

Từ đây suy ra bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Nếu không dùng máy tính thì việc giải phương trình nầy sẽ gặp khó
khăn.



BỔ SUNG THÊM MỘT SỐ VẤN ĐỀ GIẢI TOÁN VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA
MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL

1) Dùng máy tính để chứng minh phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ: Cho hàm số :
24
646yx x x . Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị.
Ta có :

3
'4 12 4yx x. Ta chỉ cần chứng minh PT y ‘ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt.
Dùng máy tính ta biết được 3 nghiệm :
123
1, 8 ; 0, 3 ; 1, 5xxx

 .
Sau đó áp dụng định lí về hàm số liên tục cho hàm số g(x) =
3
4124xx trên các
đoạn:
[-2 ; -1], [0 ; 1], [1 ; 2] ta được điều phải chứng minh.
2) Dùng máy tính dạy bài nhận dạng tam giác.
Trong tiết học về nhận dạng tam giác cho học sinh bài toán : Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức

18
T = cosA + cosB + cosC với A, B, C là các góc của một tam giác. Yêu cầu mỗi
em hãy tính giá trị của T ứng với một tam giác cụ thể và viết các kết quả lên
bảng, từ đó rút ra kết luận :
T
3
2

sau đó dùng lý luận để chứng minh phát hiện nầy.
* Một thí dụ khác xét bài toán : Nhận dạng tam giác ABC biết:


Giáo viên có thể yêu cầu học sinh thay vào đẳng thức trên các giá trị của A, B, C

cụ thể để từ đó rút ra kết luận :
33
sin sin sin
2
ABC
. Sau đó dùng lý luận để
chứng minh bất đẳng thức nầy và chỉ ra đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi tam giác
ABC đều.
3) Dùng máy tính giải các dạng toán về phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ:
Giải phương trình:
28
12 432 114
1
x
xx x
x

  


Giải
Điều kiện: 1
x

Xét các hàm số :
28
() ,
1
[1; )

x
fx x
x






() 1 2 4 32 1 14, [1; )gx x x x x   
Dùng đạo hàm, dễ dàng chứng minh được trên miền
[1; )


hàm số f(x) nghịch
biến và hàm số g(x) đồng biến.
Do đó phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm.
Dùng chức năng
SOLVE ta tìm được nghiệm x = 5.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5.
Nhận xét:
Nếu không rèn luyện cho học sinh sử dụng máy tính Casio, Vinacal một cách
thành thạo thì thì các em sẽ gặp khó khăn khi tìm ra nghiệm x = 5. Trong bài toán
trên nếu ta thay x bởi 3x – 55 thì ta sẽ được phương trình:

Bằng cách lý luận như trên, ta cũng chứng minh được phương trình có nhiều nhất
một nghiệm. Sau đó ta phải nhẩm một nghiệm để kết thúc bài toán, nếu không sử dụng
máy tính thành thạo thì khó mà tìm được nghiệm nầy!
( PT nầy có nghiệm duy nhất x = 20
4) Dùng máy tính Casio, Vinacal kiểm tra lại kết quả giới hạn của hàm số.

Máy tính Casio và Vinacal không có chức năng tính giới hạn của hàm số, tuy
nhiên ta có thể dự đoán kết quả của giới hạn qua ý tưởng sau:
Giả sử cần tính
()lim
xa
f
x

, ta dùng chức năng CALC để tính giá trị của hàm số
f(x) tại các giá trị của x rất gần a. Sau đây là các ví dụ minh họa:

19
Ví dụ 1: Tính
3
2
2
725
32
lim
x
xx
x
x

 


Bằng phương pháp gọi số hạng vắng, ta viết:
33
22

22
725(73)(253)
32 32
lim lim
xx
xx x x
x
xxx

     

 

3
22
22
(73) (253)
32 32
lim lim
xx
xx
x
xxx

  

 

Từ đây ta dễ dàng tìm được giá trị của giới hạn đã cho là
7

54
.
Sau đó ta dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả, bằng cách tính giá trị của hàm số
3
2
725
()
32
xx
fx
x
x
 


tại giá trị của x rất gần với số 2, chẳng hạn tính:
f(1,99999999),
ta sẽ được kết quả là 0.1300000, đây cũng chính là giá trị
gần đúng của
7
54
.
5) Dùng máy tính Casio, Vinacal kiểm tra lại kết quả của tích phân.
Giả sử tính tích phân : ()
b
a
f
xdx

, ta được kết quả là m. GV nên hướng dẫn HS

dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả sau:
-
Nhập vào máy tính :
()
b
a
f
xdx m


, nếu máy tính hiển thị kết quả rất gần với
số 0 thì giá trị của tích phân là m. Điều nầy giúp cho học sinh tự tin hơn khi làm
bài thi đại học.


Nhận thấy nếu biết kết hợp việc dạy và học môn toán với sự trợ giúp của máy
tính bỏ túi một cách linh hoạt thì hiệu quả thu được sẽ rất tốt. Chúng tôi đã thực nghiệm
phương pháp trên ở các lớp12 ôn thi đại học, Với các bài tập về giải bất phương trình ,
các dạng toán về phương trình lượng giác có nghiệm đặc biệt tương tự như các ví dụ
nêu trên, nếu dùng ph
ương pháp truyền thống thì không đến 30% học sinh cho lời giải
đúng, nhưng nếu ứng phương pháp trong các chuyên đề trên thì đa số các em giải được
dễ dàng. Qua việc ứng dụng phương pháp nầy còn giúp học sinh vận dụng kiến thức
giải tích để soi sáng một dạng toán đại số, rèn kĩ năng sử dụng thành thạo máy tính bỏ
túi, đây cũng là một yêu cầu được Bộ giáo dục đề ra.
Còn rấ
t nhiều dạng toán mà nếu giải bằng phương pháp bình thường sẽ gặp nhiều
khó khăn. Biết khai thác những thế mạnh mà máy tính đem lại sẽ giúp cho học sinh dễ
dàng định hướng và làm cho công việc học toán bớt nặng nề hơn. Cùng với các phương
pháp truyền thống về giải bất phương trình, phương trình lượng giác mà học sinh đã

biết, hy vọng việc bổ sung thêm các chuyên đề nầy sẽ làm phong phú thêm kinh nghiệm
giải toán cho học sinh, góp phần hình thành lòng đam mê, yêu thích bộ môn, từ đó
hướng các em vào việc nghiên cứu để tìm ra những ứng dụng mới, không hài lòng với

2
0
những kiến thức đã biết mà luôn luôn có tinh thần tìm tòi sáng tạo để tự mình tìm ra
kiến thức mới.



Qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy rằng vấn đề nào mà giáo viên quan tâm và
truyền thụ cho học sinh bằng lòng say mê và nhiệt tình của mình thì sẽ cuốn hút các
em vào con đường nghiên cứu. Đưa máy tính cầm tay vào giảng dạy trong chương
trình phổ thông không phải là vấn đề mới, nhưng thực tế cho thấy còn nhiều Thầy
Cô chưa quan tâm đúng mức về vấn đề nầy. Với SKKN nầy hy vọng góp phần thực
hiện tố
t chỉ đạo của BGD là đưa máy tính vào thực tế giảng dạy phổ thông và bồi
dưỡng để hàng năm có nhiều học sinh đạt giải cao trong các kỳ thi học sinh giỏi về
giải toán trên máy tính Casio, Vinacal cấp tỉnh và khu vực.


Tôi viết SKKN nầy nhằm mục đích chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh
những kinh nghiệm mà bản thân tích lũy được trong quá trình giảng dạy. Các chuyên
đề được trình bày trong SKKN nầy thể hiện các ý tưởng mới, mong muốn khai thác
và sử dụng máy tính cầm tay một cách thật hiệu quả trong công việc giảng dạy và
học tập bộ môn toán. Những vấn đề được trình bày trong SKKN nầy là những gợi ý,
hy vọng rằng quý đồng nghi
ệp sẽ tiếp tục nghiên cứu để đưa ra ngày càng nhiều các
thủ thuật ứng dụng máy tính cầm tay sao cho thật hiệu quả. Nếu làm tốt công việc

nầy sẽ giúp cho việc học toán của học sinh được nhẹ nhàng hơn và giúp cho các em
đạt kết quả tốt trong các kỳ thi tốt nghiệp và đại học.


SKKN nầy có thể triển khai ứng dụng như chuyên đề để bồi dưỡng cho các học
sinh lớp 10, 11, 12, các học sinh ôn tập thi tốt nghiệp và đại học. Trong điều kiện hiện
nay mọi học sinh đều có máy tính cầm tay nên việc rèn luyện cho học sinh có tư duy
giải toán với sự trợ giúp của máy tính là một việc làm khả thi. Để đạt được hiệu quả cao
trong công việc thì giáo viên cần phải có tinh thần nghiên cứu và sáng t
ạo, có như vậy
giáo viên mới phát hiện ra các vấn đề mới trong ứng dụng và đây chính là yếu tố quan
trọng thu hút sự quan tâm của học sinh.

Qua SKKN nầy tôi muốn chia sẻ với các bạn đồng nghiệp một số kinh nghiệm
mà tôi đã tích lũy được trong quá trình giảng dạy môn toán và bồi dưỡng cho đội
tuyển Quốc gia về giải toán trên máy tính Casio, Vinacal. Hy vọng quý Thầy Cô sẽ
lồng ghép nội dung về kỹ thuật giải toán với sự trợ giúp của máy tính cầm tay vào
bài giảng của mình.
Chúng tôi mong nhận được sự trao đổi, góp ý cho chuyên đề từ các anh chị đồng
nghiệp và các em h
ọc sinh. Hy vọng SKKN này sẽ góp phần nâng cao chất lượng
dạy và học toán ở trường THPT.

2
1



Thành phố Bến Tre, ngày 20 tháng 3 năm 2011.
Người viết

Nguyễn Văn Quí

2
2


Trang
Phần mở đầu
2
Phần nội dung
4
CHUYÊN ĐỀ 1: ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL
DỰ ĐOÁN NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

4
CHUYÊN ĐỀ 2: ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

11
CHUYÊN ĐỀ 3: BỔ SUNG THÊM MỘT SỐ VẤN ĐỀ GIẢI TOÁN
VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL
17
Phần kết luận
20




1) Các tài liệu hướng dẫn sử dụng máy tính Casio của BGD
2) Sách giáo khoa
3) Tạp chí Toán học và tuổi trẻ