skkn định hướng cách giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số bằng phương pháp sử dụng đạo hàm, thpt

Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

A.ĐẶT VẤN ĐỀ .
Thực hiện chủ đề năm học : “ Tiếp tục đổi mới quản lý và nâng cao chất
lượng giáo dục” và mỗi Thầy cô giáo là một tấm gương sáng tự học và
sáng tạo.Do đó bản thân mỗi Thầy cô giáo cần cố gắng về chuyên môn ,
nghiệp vụ sư phạm để có những bài giảng hay, truyền đạt kiến thức, kỹ
năng cho đối tượng học sinh mà mình phụ trách.Muốn làm được điều đó
cần đúc rút kinh nghiệp giảng dạy của mình sau từng mục, từng tiết dạy,
bài dạy để ngày càng nâng cao chất lượng giáo dục.
Nhiệm vụ của ngành giáo dục và đào tạo là : Đào tạo thế hệ trẻ có đủ
phẩm chất năng lực, giáo dục phát triển toàn diện trí,thể,mỹ. Đào tạo
nguồn nhân lực có trình độ tay nghề cao phục vụ đắc lực cho công cuộc
xây dựng và bảo vệ Tổ quốc xã hội chủ nghĩa trong thời kỳ công nghiệp
hoá- hiện đại hoá đất nước.
Trong chương trình giáo dục bộ môn toán đóng một vai trò hết sức
quan trọng, góp một phần không nhỏ trong giáo dục và phát triển trí tuệ
của học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo,lôgíc, trực quan,
thấy được ứng dụng của toán học trong cuộc sống.Toán học có rất nhiều
phân môn, lĩnh vực khác nhau, mỗi lĩnh vực có một vai trò và tầm quan
trọng riêng, có những đặc trưng riêng biệt .Cũng như các vấn đề khác
của toán học thì mảng kiến thức về phương trình ,và bất phương trình có
chứa tham số cũng có vai trò hết sức quan trọng trong việc phát huy tư
duy sáng tạo và lôgíc của học sinh .Người thầy phải cung cấp cho học
sinh những kiến thức phổ thông mà còn phải trang bị cho các em những
kỹ năng cơ bản cần thiết. Để làm tốt điều này mỗi người thầy phải tự học
tập nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ sư phạm, đúc kết những
kinh nghiệm giảng dạy,từ đó góp phần truyền đạt kiến thức cho học sinh
một cách hiệu quả nhất, để mỗi tiết học là một niềm đam mê khám phá
tri thức đối với mỗi học sinh.
B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ .

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Trong nhà trường THPT bộ môn toán đóng vai trò hết sức quan
trọng, nếu như học sinh học tốt bộ môn toán thì có thể học tốt các bộ
môn khác.Là một môn học yêu cầu học sinh phải có tư duy lôgíc sáng
tạo, phát hiện và giải quyết vấn đề một cách triệt để.Học sinh phải biết

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 1
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

vận dụng lý thuyết vào thực hành giải toán. Thành công sau mỗi tiết dạy
là học sinh có thể vận dụng tốt lý thuyết để giải một bài toán một cách
chính xác khoa học .Thực trạng giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT
thì tất cả các khối lớp đều học bộ môn Toán, là một môn hết sức chủ đạo
chiếm một thời lượng nhiều trong phân phối chương trình.Để học tốt bộ
môn Toán thì học sinh phải nắm vững những kiến thức cơ bản, và có kỹ
năng cần thiết. Các em học sinh không nắm vững kiến thức, kỹ năng dẫn
đến mất gốc gây nên tình trạng chán học, do đó cần khơi dạy niềm đam
mê học bộ môn Toán của học sinh là việc làm hết sức cần thiết.
Phương trình,bất phương trình có chứa tham số là một mảng kiến thức
quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong
các kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. Mặc dù học
sinh được cọ sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường
lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải. Nguyên nhân là vì :Thứ nhất,
Phương trình,bất phương trình có chứa tham số là mảng kiến thức
phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết
hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương
diện.Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài
liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song chưa định hướng
mỗi cách làm của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định
hình và chưa có cái nhìn tổng quát về cách giải .Thứ ba, đa số học sinh

đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm
ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà
có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho
các em.
II. KẾT QUẢ CỦA THỰC TRẠNG :
Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi ,ôn thi học sinh giỏi,
ôn luyện thi đại học – cao đẳng , tôi nhận thấy phần phương trình và bất
phương trình có chứa tham số là học sinh tương đối gặp khó khăn trong
cách giải, không biết phải sử lý tình huống như thế nào trên nền kiến
thức cơ bản các em đã biết. Nếu trang bị cho các em những kỹ năng ,tình
huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho
bản thân mình thì khi có vấn đề mới thì các em sẽ giải quyết được một
các nhanh chóng và cho lời giải tương đối đẹp.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Từ thực trạng và kết quả trên, để việc giải phương trình và bất
phương trình có chứa tham số của học sinh đạt hiệu quả tốt hơn tôi
mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài :“ Định hướng
cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng
phương pháp sử dụng đạo hàm,THPT”.

III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các giải phương trình và bất
phương trình có chứa tham số thường gặp trong các kỳ thi đại học- cao
đẳng và thi học sinh giỏi, tôi đã đúc kết thành những dạng toán cơ bản
như sau:

1.Dạng 1 Các bài toán về phương trình .

Định hướng cho học sinh đưa bài toán về dạng :
( ) ( )f x g m=
Chúng ta thực hiện các bước sau đây :
Bước 1: Xem đó là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
( )y f x=
và
( )y g m=
.Do đó số nghiệm của phương trình là số giao điểm
của 2 đồ thị .
Bước 2:Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D
• Tìm đạo hàm y
/
,rồi giải phương trình y
/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 3:Kết luận .
Dựa vào bảng biến thiên để suy ra kết luận .
Chú ý :Nếu hàm số
( )y f x=
liên tục trên D thì phương trình có nghiệm
⇔
min ( ) ( ) max ( )
x D
x D
f x g m f x
∈
∈

≤ ≤
.
Ví du1: Tìm m để phương trình
2
2x x m− =
(1) có nghiệm
[ ]
0;1x∈
.
Giải.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị y= f(x)=
2
2x x−
và y=m
Xét hàm số f(x)= x
2
-2x, hàm số này xác định và liên tục trên
[ ]
0;1
y
/
=2x-2.

/
0 1y x= ⇔ =

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 3
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Bảng biên thiên

Từ bảng biên thiên ta có:
ax ( )
0;1
m f x
 
 
 
= 0;
min ( )
0;1
f x
 
 
 
=-1
Vậy để phương trình (1) có nghiệm trên
[ ]
0;1
là: -1≤m≤0
Ví dụ 2 .Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2
1 1
2 2
( 1)log ( 2) ( 5)log ( 2) 1 0m x m x m
− − − − − + − =
(1) có hai nghiệm thõa mãn
điều kiện
1 2
2 4x x< < <
.

Định hướng
-Trước hết cho học sinh đưa bài toán về một bài toán tương đương bằng
cách đặt ẩn phụ .
-Chuyển PT đã cho về dạng
( ) ( )f x g m=
.
Giải
Điều kiện : x > 2.
Đặt
1
2
log ( 2)t x
= −
;
2 4 1x t< < ⇔ > −
.
Phương trình (1) trở thành : (m-1)t
2
- (m-5)t +m-1 = 0(2)
Bài toán quy về tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm thõa mãn
1 2
1t t
> > −
.
PT(2)
⇔

2
2
5 1

1
t t
m
t t
− +
=
− +
(3)
Bài toán quy về tìm m để PT(3) có 2 nghiệm thõa mãn
1 2
1t t> > −
Xét hàm số
2
2
5 1
( )
1
t t
f t
t t
− +
=
− +
trên
( )
1;− +∞
và
( )g m m=
Hàm số y=
( )f t

xác định và liên tục trên
( )
1;− +∞
.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 4
Y - 0 1 +

y - 0 +
y 0
-1
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…


2
2
5 1
1
lim ( ) lim 1
1 1
1
x x
t t
f t
t t
→+∞ →+∞
− +
= =
− +
;

2
2 2
4 4
'( )
( 1)
t
f t
t t
−
=
− +


/
1 ( 1; )
( ) 0
1
t
f t
t
= − ∉ − +∞

⇔ = ⇔

=


Bảng biến thiên :
t -1 1

+∞
( )f t
0 - 0 +
f(t)

7
3
1
-3
Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (3) có 2 nghiệm thõa mãn
1 2
1t t
> > −
thì -3<m<1
Nhận xét: Bài toán này có thể giải bằng phương pháp sử dụng tam
thức bậc 2 theo kiến thức ở lớp 10 nhưng nếu giáo viên định hướng cho
học sinh làm theo cách sử dụng đạo hàm sẽ thấy cách này gọn gàng
hơn , hợp với kiến thức mà học sinh đã học ở lớp 12 hơn, cho lời giải
nhanh chóng và đẹp.
Vì vậy dùng phương pháp đạo hàm của hàm số có lợi thế hơn các
phương pháp khác ,có nó chúng ta sẽ giải quyết được một số các bài
toán có chứa tham số phức tạp hơn trong các trong các đề thi .Chúng ta
sẽ xét một số các bài toán sau đây:
Ví dụ 3 .
Tìm m để phương trình :

2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − −
(1) có nghiệm .
( Trích đề thi Đại học -Cao đẳng khối B ,

2004).

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 5
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Định hướng
Khi nhìn vào bài toán này học sinh sẽ rất hoang mang bởi vì bài toán đã
chứa căn lại còn có chứa cả tham số nên việc giải quyết là rất khó khăn
song nếu giáo viên hướng dẫn cho học sinh đặt ẩn phụ t=
2 2
1 1x x+ − −
v à biết quy về một bài toán tương đương thì bài toán lại trở nên quen
thuộc .
Giải
Điều kiện : -1
≤
x
≤
1.
Đặt t=
2 2
1 1x x+ − −

Khi đó t
≥
0.
Ta có t
2
=2-2
4

1 2x− ≤
.Vậy
0 2t≤ ≤

4 2
0 2.
2 1 2
t
x t
⇒ ≤ ≤
⇒ − = −
.
Phương trình (1)có dạng : m(t+2) = 2-t
2
+t (2).
Vì
0 2t≤ ≤
Nên ta có t+2 >0 phương trình (2) trở thành :

2
2
2
t t
m
t
− + +
=
+
.
Bài toán quy về tìm điều kiện của tham số m để phương trình :

2
2
2
t t
m
t
− + +
=
+
có nghiệm
0 2t≤ ≤
.
Xét hàm số
2
2
( )
2
t t
y f t
t
− + +
= =
+
trên
0 2t≤ ≤
.
Ta có
2
/

2
4
( )
( 2)
t t
f t
t
− −
=
+
<0 với
0; 2x
 
∀ ∈
 
ta có bảng biến thiên sau :
x 0
2
/
( )f x
-
( )f x


0; 2
0; 2
min ( ) ( 2) 2 1; max ( ) (0) 1f t f f t f
 
 
 

 
= = − = =
Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
2
-1
≤
m
≤
1.
Ví dụ 4 Tìm m để phương trình

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 6
1
2
-1
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…


2 2 4 2
( 1 1) 2 1 2m x x x x x x+ − + = − + + − +
(1) có nghiệm .
Giải . Điều kiện : -1
≤
x
≤
1.
Đặt
2 2
2
2 2

1 2 1
1 0
(1 1)( 1 ) 2
t x x
t x x
t x x

= + −

= + − ≥ ⇒

 ≤ + + − =

Vậy
1 2t≤ ≤
.
Ta có phương trình (1) trở thành
2
( 1) 1, 1; 2m t t t t
 
+ = + + ∈
 
(2)
Do t+1 >0 nên phương trình (2)
⇔
2
1
1
t t
m

t
+ +
=
+
với
1; 2t
 
∈
 
Bài toán quy về tìm điều kiện của m để phương trình
2
1
1
t t
m
t
+ +
=
+
(3)có
nghiệm
1; 2t
 
∈
 
Xét hàm số
( )y f t= =
2
1
1

t t
t
+ +
+
,
1; 2t
 
∈
 
2
/
2
2
( ) 0,
( 1)
t t
f t
t
+
= > ∀
+
1; 2t
 
∈
 
nên
( )y f t=
đồng biến trên
1; 2t
 

∈
 
PT (1) có nghiệm
⇔
Phương trình (3) có nghiệm
⇔
1; 2
1; 2
min ( ) max ( )f t m f t
 
 
 
 
≤ ≤
.
(1) ( 2)f m f⇔ ≤ ≤

3
2 2 1
2
m⇔ ≤ ≤ −
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
3
2 2 1
2
m≤ ≤ −
Ví dụ 5 .Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

2 2 2
( 2 ) 4 ( 2 ) 3 1 0x x m x x m+ − + + + =

.
Định hướng : Khi gặp bài toán như thế này chúng ta thường đưa về
một bài toán gọn hơn thông qua một bước đặt ẩn phụ và khi đã đặt ẩn
phụ thì cần lưu ý tới điều kiện của ẩn phụ .Sau đó ta chuyển bài toán đã
cho về một bài toán tương đương với nó .
Giải

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 7
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Ở ví dụ này ta có thể chuyển về bài toán tương đương bằng cách đặt :
2 2
2 ( 1) 1 1t x x x t
= + = + − ⇒ ≥ −
.
Bài toán đã cho trở thành :
Tìm m để PT
2
4 3 1 0, 1t mt m t
− + + = ≥ −
(1) có nghiệm .

⇔

2
1 (4 3) (2)t m t+ = −

Ta thấy
3
4

t
=
không là nghiệm phương trình (2) nên chia 2 vế phương
trình cho (4t-3)
0≠
ta có
2
1
4 3
t
m
t
+
=
−
.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của 2 đồ thị

2
1
( )
4 3
t
y f t
t
+
= =
−
và
y m=

Xét hàm số
2
1
( )
4 3
t
f t
t
+
=
−
trên
[
)
3
1; \
4
 
− +∞
 
 
Đạo hàm
2
2
2(2 3 2)
'( ) ;
(4 3)
'( ) 0
1

2
2
t t
f t
t
f t
t t
− −
=
−
=
⇔ = − ∨ =
.
Bảng biến thiên :
t
-1
1
2
−

3
4
2
+
∞
/
( )f t
+ 0 - - 0 +
( )f t

1
4
−
+
∞
+
∞

2
7
−
-
∞
1

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 8
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi và
chỉ khi
1
1
4
m m
−
≤ ∨ ≥
.
Bài tập tương tự
1.Tìm m để phương trình :
2

2 2 1x mx x+ + = +
có 2 nghiệm phân biệt .
2. Tìm m để phương trình có nghiệm :
2 2 (2 )(2 )x x x x m
− + + − − + =
.
3.Tìm m để phương trình có nghiệm :
6 9 6 9
6
x m
x x x x
+
+ − + − − =
.
4. Tìm m để phương trình 2
2 2
5 4 5x x x x m− + = − +
(1) có 4 nghiệm phân
biệt .
2.Dạng 2 .Tìm điều kiên của tham số m để bất phương trình
( ) ( )f x g m≥
có nghiệm với
x D∈
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D
• Tìm đạo hàm y
/
,rồi giải phương trình y

/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
• Bất phương trình có nghiệm
x D∈
⇔
max ( ) ( )
x D
f x g m
∈
≥
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn
t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
1 4x x m+ − − ≥
(1).
Định hướng : -Đặt điều kiện của ẩn số .
- Chuyển về bài toán tương đương .
-Xác định bài toán thuộc loại nào .
-Bài đó được áp dụng kiến thức nào .
Giải
ĐK : -1
≤
x
≤
4.

Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
1 4x x m+ − − ≥

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 9
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

có nghiệm -1
≤
x
≤
4.
Ta có f
/
(x)=
1 1
0
2 1 2 4x x
+ >
+ −
.
Bảng biến thiên :
x -1 4
/
( )f x
+
( )f x

5

5−

Bất phương trình có nghiêm khi và chỉ khi
1 4
( ) 5
x
Max f x m m
− ≤ ≤
≥ ⇔ ≤
.
Ví dụ 2 .Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
3 1mx x m− − ≤ +
(1)
Giải.
Điều kiện : x
3
≥
.
Đặt
3 0t x= − ≥
.
Phương trình (1) tương đương với
2
( 3) 1m t t m+ − ≤ +

2
( 2) 1m t t⇔ + ≤ +

2
1
(2)
( 2)

t
m
t
+
⇔ ≤
+
Đặt
2
1
( )
( 2)
t
f t
t
+
=
+
. Bất pt (2)
( )m f t⇔ ≤
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
( )f t m≥
(3) có nghiệm
0t
≥
.
Xét hàm số
2
1
( )
( 2)

t
f t
t
+
=
+
2
/
2 2
2 2
( )
( 2)
t t
f t
t
− − +
=
+
/
( ) 0 1 3f t t= ⇔ = − ±
Giới hạn
lim ( ) 0
x
f t
→+∞
=
Bảng biến thiên :

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 10
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình có nghiệm
0
3 1
( )
4
t
Max f t m m
≥
+
≥ ⇔ ≤
Dạng 3 .Tìm điều kiên của tham số m để bất phương trình
( ) ( )f x g m≤
có nghiệm với
x D∈

Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D
• Tìm đạo hàm y
/
,rồi giải phương trình y
/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
• Bất phương trình có nghiệm
⇔
min ( ) ( )

x D
f x g m
∈
≤
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn
t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình
9 .3 3 0
x x
m m− − + ≤
(1) có ít nhất một
nghiệm .
Giải
Đặt
3 0
x
t = >
.
Bất phương trình (1) tương đương với
2
3 0t mt m− − + ≤

⇔
2
3 ( 1)t m t+ ≤ +

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 11

t 0 -1+ +
f(t) + 0 -

f(t)
0
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…


⇔
2
3
1
t
m
t
+
≤
+
(2) ( Do t>0)
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm t>0.
Xét hàm số y=f(t)=
2
3
1
t
t
+
+
,t>0
2

/
2
2 3
( )
( 1)
t t
f t
t
+ −
=
+

/
1
( ) 0
3
t
f t
t
=

= ⇔

= −

Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy bất phương trình (2) có ít nhất một
nghiệm khi và chỉ khi
0
min ( )

t
f t m
>
≤
2m
⇔ ≥
.
Ví dụ 2 . (Thi HSG tỉnh Thanh Hóa lớp 12 THPT năm học 2012-
2013).
Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có
nghiệm thực
3
1
2 0 (1)
4 3.2 4 0 (2)
x x x x
x mx
+ +

− + ≤


− − ≤


Giải .
Điều kiện :
0x
≥
Bất phương trình (2) tương đương với

( ) ( )
( )
2 2 2 4.2 0
2 4.2 0
2
x x x x
x x
x x
+ − ≤
⇔ − ≤
⇔ ≤ +
0 2.
0 4 (*)
x
x
⇔ ≤ ≤
⇔ ≤ ≤

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 12
x - -3 -1 0 1 +
y 0 - 1 +
y 3 +
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Hệ bất phương trình có nghiệm tương đương với bất phương trình (1) có
nghiệm thõa mãn (*).
Bất PT (1)
⇔
3

2 0x mx− + ≤

⇔
3
2x mx+ ≤
) (2)
Xét x=0 thì bpt (1) không thõa mãn .
Với
0 4x
< ≤
Thì bpt (2)
⇔
2
2
m x
x
≥ +
(3)
Bài toán quy về tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình (3) có
nghiệm
0 4x
< ≤
.
Xét hàm số
2
2
( )f x x
x
= +

/
2
2
( ) 2f x x
x
= −

/
( ) 0 1f x x= ⇔ =
.
Bảng biến thiên
x 0 1 4
f
/
(x)
- 0 +
f(x)


Bất phương trình có nghiệm
[ ]
0;4
min ( )
x
m f x
∈
⇔ ≥

3m
⇔ ≥

Vậy
3m
≥
thì hệ bất phương trình có nghiệm thực .
Dạng 4 . Tìm điều kiện để bất phương trình dạng
( ) ( )f x g m≥
đúng với
x D
∀ ∈
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D
• Tìm đạo hàm y
/
,rồi giải phương trình y
/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
• Bất phương trình nghiệm đúng với
x D∀ ∈ ⇔
min ( ) ( )
x D
f x g m
∈
≥
.
Chú ý chung :

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 13
-2
3
33
2
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn
t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1. Tìm m để bất phương trình
3
3
1
3 2x mx
x
−
− + − ≤
thõa mãn với mọi
1x ≥
.
Giải .
Biến đổi bất phương trình về dạng
3
3
1
3 2mx x
x
≤ + −

6 3
4
2 1
3
x x
m
x
+ −
⇔ ≤
(Do
1x ≥
).
Xét hàm số
6 3
4
2 1
( )
x x
f x
x
+ −
=
.
Miền xác định : D=
[
)
1;+∞
6 3
/
5

2 2 4
( ) 0
x x
f x x D
x
− +
= > ∀ ∈
Giới hạn :
lim ( )
x
f x
→+∞
= +∞
Bảng biến thiên
:
Bất phương trình nghiệm đúng với
1x ≥
⇔
min ( ) ( )f x g m≥

⇔
2
3m≥

⇔

2
3
m ≤
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với

1x ≥
⇔

2
3
m ≤
Ví dụ 2 Tìm m để bất phương trình
2
2
2
2
log
log 1
x
m
x
≥
−
nghiệm đúng với mọi
0x >
Giải

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 14
x
1 +
y +


y +
2

Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Đặt
2
2
logt x=
.
⇔
1t >
.
Bất phương trình tương đương với
1
t
m
t
≥
−
Xét hàm số :
( )f t =
1
t
t −
.
Miền xác định :
(1; )D = +∞
Đạo hàm :
/
3
2
( )

2 ( 1)
t
f t
t
−
=
−
/
( ) 0 2f t t= ⇔ =
Giới hạn :
lim ( )
x
f t
→+∞
= +∞

1
lim ( )
x
f t
+
→
= +∞
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình nghiệm đúng với mọi x>0
⇔
min ( ) ( )f t g m≥

⇔
2

m≥

⇔

2m ≤
Vậy
2m ≤
thõa mãn điều kiện của bài toán .
Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi
1
2
x ≥
2 2 2
2 2 2
9 2( 1)6 ( 1)4 0
x x x x x x
m m
− − −
− − + + ≥
.
Giải
Chia cả 2 vế cho
2
2
4
x x−
ta có
2
2(2 )
3

( )
2
x x−
-
2
2
3
2( 1) ( 1) 0
2
x x
m m
−
− + + ≥

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 15
x 1 2 +
y - 0 +
y + +
2

Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Đặt
t =
2
2
3
2
x x−
, do

1
2
x ≥
nên
1t
≥
.
Bất phương trình (1)
⇔
2
2 1
2 1
t t
m
t
+ +
≤
−
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
2
2 1
2 1
t t
m
t
+ +
≤
−
nghiệm đúng với
mọi

1t
≥
Xét hàm số
2
2 1
( )
2 1
t t
y f t
t
+ +
= =
−
,
1t
≥
.
2
/
2
2 2 4
( )
(2 1)
t t
f t
t
− −
=
−
/

( ) 0 2f t t= ⇔ =
Bảng biến thiên :
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm
1
min ( )
t
m f t
≥
≤
3m⇔ ≤
Dạng 5. Tìm điều kiện để bất phương trình dạng
( ) ( )f x g m≤
đúng với
x D∀ ∈
Ta thực hiện các bước sau đây:
Bước 1. Xét hàm số
( )y f x=
• Tìm tập xác định D
• Tìm đạo hàm y
/
,rồi giải phương trình y
/
=0
• Lập bảng biến thiên của hàm số .
Bước 2. Kết luận
• Bất phương trình nghiệm đúng với
x D
∀ ∈ ⇔

max ( ) ( )

x D
f x g m
∈
≤
.
Chú ý chung :
Nếu bài toán có thể đặt ẩn phụ
( )t h x=
.Ta chuyển bài toán từ ẩn x sang ẩn
t , từ điều kiện của x chuyển thành điều kiện của t .
Ví dụ 1.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 16
x - 1 2 +
y - 0 +
4 +
y
3
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Tìm m để bất phương trình sau

2
( 4)(6 ) 2 (1)x x x x m
+ − − + ≤
nghiệm đúng với mọi x
∈
[-4,6].
Định hướng
-ĐK ẩn phụ .

-Chuyển về bài toán tương đương.
Giải
Đặt t =
2 2
( 4)(6 ) 24 2 25 (1 )x x x x x
+ − = + − = − −
,
0 5t
≤ ≤
Bất phương trình (1) tương đương với
2
24t t m+ − ≤
.
Bài toán quy về tìm m để bất phương trình
2
24t t m+ − ≤
nghiệm đúng với
0 5t
≤ ≤
.
Xét hàm số
2
( ) 24,0 5f t t t t= + − ≤ ≤
/
( ) 2 1f t t= +
⇔
/
1
( ) 0
2

f t t
−
= ⇔ =
Bảng biến thiên :
x
0
1
2
−

5
f
/
(x
)
- 0 +
f(x) 6

Bất phương trình nghiệmđúng với mọi x
∈
[-4,6] khi và chỉ khi

0 5
( ) . 6
t
Max f t m m
≤ ≤
≤ ⇔ ≥
Ví dụ 2.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x .
4

( 1) 4m x x+ ≥
(1)
Giải .
TXĐ : D=R.
Bất phương trình (1)
⇔
4
4
1
x
m
x
≥
+
.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 17
-
-24 6
97
4
−
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Xét hàm số
4
4
( )
1
x

f x
x
=
+
4
/
4 2
4 12
( )
( 1)
x
f x
x
−
=
+
/
4
1
( ) 0
3
f x x= ⇔ = ±
Giới hạn
lim 0
x→±∞
=
Bảng biến thiên :
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì

4

( ) ( ) ( ) 27Maxf x g m Maxf x m m≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
Vậy
4
27m ≥
thõa mãn điều kiện của bài toán .
Nhận xét Sử dụng phương pháp này cho kết quả nhanh,lời giải gọn
gàng
Ví dụ 3 .Tìm tất cả các giá trị m để ∀x ∈
[ ]
0;2
đều là nghiệm của bất
phương trình
2
2
log 2x x m− +
+
2
4
4 log ( 2 ) 5x x m− + ≤
Giải
Điều kiện : (x
2
-2x+m)≥1
Bất phương trình
⇔
2
2
log 2x x m− +
+
2

4
4 log ( 2 ) 5x x m− + ≤
Đặt t =
2
( 2 )
log
4
x m
x
− +
;t≥0 Bất phương trình
2
4 5 0t t⇔ + − ≤
,
5 1t
− ≤ ≤
Kết hợp với t≥0 ta có 0 ≤ t ≤ 1
Suy ra 0 ≤ log
4
(x
2
-2x+m) ≤1

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 18
x +


y - 0 + 0 -
y 0

- 0
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

⇔
2
2 1
2
2 4
x m
x
x m
x





− + ≥
− + ≤
⇔
2
2 1
2
2 4
x x m
x x m






− ≥ −
− ≤ −
Khi đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
thuộc
[ ]
0;2
⇔
2
( 2 ) 1
min
0;2
2
( 2 ) 4
max
0;2
x m
x
x m
x
 
 
 
 
 
 










− ≥ −
− ≤ −

⇔
1 1
2 4
4 0
m
m
m



− ≤ −
⇔ ≤ ≤
− ≥
Vậy
[ ]
2;4m∈
thõa mãn điều kiện bài toán .
Bài tập tương tự
1. Tìm m để bất phương trình m
2
x +m(x+1) -2(x-1)>0 đúng với -2
≤

x
≤
1.
2. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
4 2 2
3cos 5cos3 36sin 15cos 36 24 12 0x x x x m m
− − − + + − >
3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
2
4 3 2 6 0x x mx− + + − >
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Kết quả nghiên cứu :
Đề tài đã được áp dụng thường xuyên ở các lớp kết quả đạt được
tương đối tốt, học sinh đã giải quyết được rất nhiều bài toán về giải
phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng phương pháp
sử dụng đạo hàm, các em đã thích dần với bài tập loại này , học tập
hăng say và tích cực hơn rất nhiều ,tạo cho các em một niềm tin khi giải
toán, góp phần nâng cao kết quả thi đại học và học sinh giỏi cấp tỉnh bộ
môn Toán,hạn chế việc học sinh sợ khi phải giải các phương trình và bất
phương trình có chứa tham số đồng thời tạo được hứng thú cho học sinh
góp phần năng cao chất lượng dạy và học phát huy được tính tích cực
của học sinh, khơi nguồn cho các em sự tìm tòi ,sáng tạo trong quá trình
giải một bài toán có chứa tham số .Đề tài đã được các thành viên trong tổ

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 19
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

Toán – Tin góp ý và đánh giá tốt, đề tài đã được các thầy cô áp dụng
rộng rãi với các đối tượng học sinh lớp mình phụ trách, đem lại hiệu quả
rất thiết thực trong giảng dạy bộ môn Toán ở Trường THPT hiện nay. So

với cách làm cũ không chỉ giải các phương trình,bất phương trình bình
thường , không giúp cho các em thấy được dạng quen thuộc, những kỹ
năng cần thiết. Nếu trang bị cho các em những kỹ năng cần thiết thì
nhìnvào bài toán như vậy các em sẽ định hướng được cách giải , giải
nhanh và thành thạo .
Trong năm học 2009 -2010, 2010 -2011, 2011 -2012, 2012-2013 tôi
đã thực nghiệm đề tài của mình ở các lớp ,12 A,12B và12D, 12 E kết
quả cụ thể như sau :
Loại
Đối tượng
Loại
giỏi
Loại
khá
Loại
trung
bình
Loại yếu
Áp dụng thường
xuyên ở lớp 12 A
20 % 50 % 30 % 0 %
Áp dụng thường
xuyên ở lớp 12 B
15 % 50 % 30 % 5 %
Không áp dụng
thường xuyên ở lớp
12 D
0 % 30 % 50 % 20 %
Không áp dụng
thường xuyên ở lớp

12 E
0 % 20 % 55 % 25%
Trên đây là một số kinh nghiệm thực tiễn của bản thân qua nhiều năm
giảng dạy môn toán phần phương trình và bất phương trình có chứa tham
số . Với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp cho các em học sinh biết cách sử
dụng đạo hàm vào giải toán và cải tiến phương pháp học tập.
2. Kiến nghị và đề xuất :
Công tác nghiên cứu khoa học ở các cấp cần được phát huy hơn nữa,
để công tác dạy và học ngày càng đạt hiệu quả cao. Để có những bài

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 20
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

giảng hay ,sáng kiến đổi mới trong giảng dạy bộ môn Toán, góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học, phù hợp với sự phát triển của Đất nước.
Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi
về chuyên môn,xây dựng các tiết dạy phù hợp với từng đối tượng học
sinh, phải xem sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn là công việc để trau dồi
về chuyên môn, tự học tập lẫn nhau giúp nhau cùng tiến bộ.
Đề tài đã được các đồng nghiệp góp ý chân thành.Để đề tài thực hiện
tốt thì cần có những buổi sinh hoạt, xêmina về toán học để các em học
sinh bày tỏ quan điểm của mình cũng như tự giúp các em phát hiện ra sai
lầm của nhau thông qua các bài giải
Đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót và để hoàn thiện
hơn nữa tác giả rất mong được sự bổ sung và góp ý chân thành của các
đồng nghiệp./.
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm không có sự
sao chép .

Hậu lộc , ngày 25 tháng 5 năm

2013
Người viết sáng kiến kinh
nghiệm


LÊ THỊ HẠNH
Tài liệu tham khảo
1. Phương trình và bất phương trình (Phan Huy Khải -Nhà xuất bản GD
- Năm 2009).
2. Sách giáo khoa và sách bài tập toánTHPT
3.Đề thi đại học, cao đẳng của Bộ giáo dục
4.Đề thi học sinh giỏi môn toán Tỉnh Thanh hóa

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 21
Định hướng cách giải phương trình , bất phương trình có chứa tham số bằng…

5.Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.

GV: Lê Thị Hạnh –Trường THPT Hậu Lộc 3 22