Rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số trong dạy học toán ở trung học phổ thông luận văn thạc sỹ giáo dục học

B GIáO DC Và đàO TO
TRUNG I HC VINH

nguyễn trờng sơn

RèN LUYệN CHO HọC SINH KHá, GIỏI Kỹ NĂNG
GIảI QUYếT CáC VấN Đề LIÊN QUAN ĐếN PHƯƠNG TRìNH
Và BấT PHƯƠNG TRìNH Có CHứA THAM Số TRONG
DạY HọC TOáN ở TRUNG HọC PHổ THÔNG
Chuyên ngành: LL & PPDH Bộ MÔN TOáN
MÃ sè: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GI¸O DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa hc: TS. Nguyễn văn thuận


2

NGHỆ AN - 2011


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU....................................................................................................................................5
1. Lý do chọn đề tài....................................................................................................................5
2. Mục đích nghiên cứu..............................................................................................................7
3. Nhiệm vụ nghiên cứu..............................................................................................................7
4. Phương pháp nghiên cứu........................................................................................................8
5. Giả thuyết khoa học................................................................................................................8
6. Đóng góp của luận văn...........................................................................................................8

7. Cấu trúc của luận văn.............................................................................................................9
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.......................................................................................10
1.1. Kĩ năng...............................................................................................................................10
1.1.1. Khái niệm kĩ năng...........................................................................................................10
1.1.2. Sự hình thành các kĩ năng...............................................................................................12
1.2. Về chủ đề phương trình và bất phương trình ở trường THPT..........................................16
1.3. Những tình huống điển hình liên quan đến phương trình, bất phương trình có chứa tham
số...............................................................................................................................................21
1.3.1. Giải và biện luận.............................................................................................................22
1.3.2. Tìm điều kiện của tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn tính chất cho trước.....27
1.3.3. Tìm điều kiện của tham số để tam thức khơng đổi dấu trên một miền.........................49
1.3.4. Tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn tính chất cho
trước..........................................................................................................................................50
1.4. Một số khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải quyết các vấn đề liên quan đến
phương trình và bất phương trình có chứa tham số trong dạy học Toán ở THPT..................58
1.4.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng........................................................59
1.5. Kết luận chương 1..............................................................................................................69
Chương 2
NHỮNG BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH
KHÁ, GIỎI KỸ NĂNG GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA
THAM SỐ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở THPT...................................................................70
2.1 Biện pháp 1: Giúp học sinh hiểu đúng bản chất, vai trò của tham số trong bài tốn........70
2.1.1. Tham số là gì?.................................................................................................................70
2.1.2. Giúp học sinh ý thức được tác động của tham số đến bài toán.....................................76
2.2. Biện pháp 2: Làm cho học sinh ý thức được việc phân chia trường hợp và hình thành kĩ
năng phát hiện các tiêu chí để phân chia trường hợp trong bài toán giải và biện luận...........78
2.2.1. Giúp cho học sinh ý thức được việc phân chia trường hợp trong bài toán giải và biện
luận............................................................................................................................................78

2.2.2. Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện ra các tiêu chí nhằm phân chia các trường
hợp trong bài toán giải và biện luận.........................................................................................81
2.3. Biện pháp 3: Hình thành khả năng phát hiện sự tương ứng để từ đó rèn luyện kĩ năng
chuyển đổi ngơn ngữ, cách phát biểu bài tốn.........................................................................87
2.3.1. Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tìm điều kiện cho ẩn phụ...............88


4
2.3.2. Khắc sâu mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ...................................................92
2.3.3. Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngơn ngữ, cách phát biểu bài tốn........97
2.4. Biện pháp 4: Trang bị kiến thức về các phép biến đổi tương đương cho học sinh, giúp
học sinh ý thức được diễn biến của tập nghiệm trong quá trình biến đổi.............................100
2.4.1. Giúp học sinh hiểu và sử dụng đúng các phép biến đổi cơ bản thường dùng trong dạy
học phương trình, bất phương trình........................................................................................100
2.4.2. Hình thành kĩ năng biến đổi phương trình, bất phương trình......................................107
2.4.3. Giúp học sinh ý thức được diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi phương trình
.................................................................................................................................................114
2.5. Biện pháp 5: Hình thành khả năng nhận dạng, định hướng phương pháp giải phương
trình và bất phương trình có chứa tham số.............................................................................116
2.5.1. Giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về các phương pháp..........................................117
2.5.2. Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích bài tốn để từ đó định hình phương pháp
giải...........................................................................................................................................119
2.6. Kết luận chương 2............................................................................................................121
Chương 3
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.................................................................................................123
3.1. Mục đích thực nghiệm.....................................................................................................123
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm...................................................................................123
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm....................................................................................................123
3.2.2. Nội dung thực nghiệm..................................................................................................124
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.........................................................................................126

3.3.1. Đánh giá định tính........................................................................................................126
3.3.2. Đánh giá định lượng.....................................................................................................128
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm.......................................................................................128
KẾT LUẬN.............................................................................................................................130
TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................................131


5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ở trường phổ thông, theo A. A. Stoliar, dạy Toán là dạy hoạt động tốn
học. Đối với học sinh, có thể xem giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt
động tốn học. Dạy học giải Tốn có vai trị đặc biệt trong dạy học Tốn ở
trường phổ thơng. Các bài tốn là phương tiện có hiệu quả khơng thể thay thế
được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành
kĩ năng và kĩ xảo. Rèn luyện năng lực giải tốn là nhiệm vụ cơ bản của q
trình dạy tốn, học Tốn. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Tốn có
vai trị quyết định đối với chất lượng dạy học Toán.
Dạy học giải bài tập Tốn được xem là một trong những tình huống
điển hình trong dạy học mơn Tốn. Khối lượng bài tập Tốn ở trường phổ
thông là vô cùng nhiều và hết sức phong phú, đa dạng. Có những bài tốn có
thuật giải nhưng phần lớn là những bài tốn chưa có hoặc khơng có thuật giải.
Đứng trước những bài tốn đó, giáo viên gợi ý và dẫn dắt, hướng dẫn học sinh
như thế nào để giúp họ giải quyết được bài toán đó chính là vấn đề hết sức
quan trọng. Tuy nhiên, đây cũng là vấn đề rất khó khăn bởi vì đề ra được
những gợi ý hợp lý, đúng lúc, đúng chỗ cịn là nghệ thuật sư phạm của chính
người giáo viên.
Với một bài tốn, học sinh khơng chỉ dừng lại ở việc tìm ra kết quả mà
ln đưa ra các cách chứng minh khác nhau qua đó thể hiện hiện khả năng tư

duy, suy luận sáng tạo để học tốt bộ mơn này .
Trong chương trình Tốn phổ thơng có rất nhiều bài tốn phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình chứa tham số.
Khơng những bài toán được đặt ra dưới dạng giải và biện luận, mà còn rất
nhiều dạng khác nữa, chẳng hạn như: tìm điều kiện tham số để phương trình,


6
bất phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; tìm điều kiện để
hai phương trình tương đương với nhau; v.v...
Thực tiễn sư phạm cho thấy, khi đứng trước những phương trình và bất
phương trình chứa tham số, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn và lúng
túng, đồng thời cũng nhiều khi mắc phải những sai lầm. Rất nhiều giáo viên
có kinh nghiệm đã đúc kết rằng: “Những bài tốn có tham số ln khơng dễ
đối với học sinh và bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì
thường có tâm lý e ngại, thậm chí sợ sệt dạng Tốn này”. Giáo viên nhiều
người có tâm lý lảng tránh phương trình và bất phương trình chứa tham số
trong q trình dạy, bởi vì nó địi hỏi những lập luận tương đối phức tạp đối
với học sinh.
Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, tư duy và tính cách (Nguyễn Cảnh
Tồn); trong đó dạy kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu
khơng có kỹ năng thì sẽ khơng phát triển được tư duy và cũng không đáp ứng
được nhu cầu giải quyết vấn đề.
Kỹ năng giải quyết những vấn đề liên quan đến phương trình và bất
phương trình có chứa tham số là cực kì thiết thực đối với học sinh THPT. Nếu
có kỹ năng này thì hiệu quả học tập mơn Tốn sẽ được nâng cao; ngược lại,
nếu kỹ năng này bị hạn chế thì học sinh sẽ gặp phải rất nhiều khó khăn trong
việc chiếm lĩnh và kiến tạo tri thức Toán học.
Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến phương trình và bất
phương trình chứa tham số chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển các loại hình

tư duy tốn học. Thơng qua những bài tốn đó, học sinh có dịp rèn luyện
nhiều hoạt động trí tuệ, ngược lại bằng hoạt động trí tuệ, học sinh có khả năng
giải quyết những vấn đề này (Đó là hoạt động tư duy hàm nhằm phát hiện và
nghiên cứu những sự tương ứng; hoạt động ngôn ngữ - lôgic; hoạt động phân
chia trường hợp; hoạt động nhận dạng và thể hiện; v.v...).


7
Một trong những đặc điểm của chương trình tốn THPT là: Đi sâu
nghiên cứu những phương trình và bất phương trình chứa tham số (Cịn
phương trình và bất phương trình khơng chứa tham số thì đã bắt đầu được học
từ bậc THCS). Phần phương trình và bất phương trình được lặp lại theo chiều
hướng nâng cao và đi sâu vào những vấn đề có chứa tham số. Đối với học sinh
khá, giỏi thì các bài tốn chứa tham số lại càng có vai trị quan trọng hơn nữa.
Thực tiễn dạy học Tốn ở trường phổ thơng địi hỏi phải có những cơng
trình nghiên cứu nhằm đưa ra những thủ pháp dạy học, những hướng dẫn sư
phạm để giúp người giáo viên giảng dạy tốt những kiến thức trong chương
trình, nhất là những kiến thức tương đối phức tạp nhưng giàu tính ứng dụng
và khá điển hình.
Mặc dù có nhiều cơng trình liên quan đến rèn luyện kỹ năng, nhưng cho
đến nay vẫn chưa có cơng trình nào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải
quyết các vấn đề liên quan tới phương trình, bất phương trình chứa tham số.
Vì những lí do trên đây, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn
là: “Rèn luyện cho học sinh khá, giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên
quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số trong dạy học
Tốn ở Trung học phổ thơng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹ
năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số trong dạy học Đại số và

Giải tích ở bậc THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
3.1. Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là như thế nào?


8
3.2. Những tình huống điển hình nào thường gặp trong quá trình giải
quyết những vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình chứa
tham số?
3.3. Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình
và bất phương trình chứa tham số, học sinh thường gặp những khó khăn và sai
lầm nào?
3.4. Những biện pháp sư phạm nào được sử dụng để rèn luyện cho học
sinh kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương
trình có chứa tham số?
3.5. Kết quả của thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, luận văn sử dụng những phương pháp sau:
Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất và thực hiện những biện pháp, những hướng dẫn sư phạm
thích hợp thì sẽ rèn luyện được cho học sinh THPT kỹ năng giải quyết các
vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình chứa tham số, góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học Tốn ở trường phổ thơng.
6. Đóng góp của luận văn
Nêu lên sự khác biệt giữa nội dung phương trình, bất phương trình của
hai cấp học THPT và THCS, đồng thời chỉ ra được những khó khăn và sai
lầm mà học sinh thường gặp phải trong quá trình giải quyết các nội dung liên
quan đến phương trình và bất phương trình có chứa tham số.

Xây dựng được các biện pháp sư phạm theo quan điểm hoạt động,
nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến
phương trình và bất phương trình có chứa tham số.


9
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của
Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1. Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Những biện pháp nhằm rèn luyện cho học sinh khá,
giỏi kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến
phương trình và bất phương trình có chứa tham số
trong dạy học Tốn ở Trung học phổ thông
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm


10
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra những nhiệm vụ nhận thức hay thực
hành nhất định cho con người. Để giải quyết được công việc con người vận
dụng vốn hiểu biết, kinh nghiệm, của mình nhằm tách ra những mặt của hiện
thực là bản chất đối với nhiệm vụ và thực hiện những biến đổi có thể dẫn tới
chỗ giải quyết được nhiệm vụ. Với quá trình đó con người dần hình thành cho
mình cách thức (kĩ năng) để giải quyết các vấn đề đặt ra.
Theo giáo trình Tâm lí học đại cương thì: “Kĩ năng là năng lực sử dụng
các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để

phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành cơng
những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” [23, tr. 149].
Theo Từ điển tiếng Việt thì: “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [40, tr. 462].
Nói chung, dù phát biểu khái niệm ở bất cứ góc độ nào, các tác giả đều
thống nhất kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức,
phương pháp, ...) để giải quyết một nhiệm vụ mới.
Tuy nhiên thực tiễn giáo dục đã chứng tỏ học sinh gặp rất nhiều khó
khăn trong việc vận dụng những khái niệm và những nguyên tắc đã lĩnh hội
được vào việc giải quyết những nhiệm vụ cụ thể. Học sinh thường khó tách ra
những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối tượng nhận thức, đồng thời
cũng không phát hiện được mối liên hệ bản chất giữa tri thức và đối tượng đó.
Trong trường hợp này tri thức không biến thành công cụ của hoạt động nhận
thức mà chúng trở thành một khối tri thức chết, không gắn liền với thực tiễn
và không biến thành cơ sở của các kĩ năng.


11
Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh những
thuộc tính khác nhau của các sự vật, những thuộc tính bản chất về các mặt
phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định. Như vậy, để tri thức trở
thành cơ sở để lựa chọn đúng đắn các hành động (kĩ năng) thì cần phải biết
lựa chọn và vận dụng đúng. Nói cách khác cần: lựa chọn tri thức phản ánh
thuộc tính của sự vật; lựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất phù hợp
với mục tiêu đặt ra trước hành động; làm sao cho hành động đảm bảo biến đổi
đối tượng để đạt được mục tiêu. Để minh họa ta xem xét ví dụ sau: “Tìm m để
phương trình sau có nghiệm”:
sin2x + 3. cosx - m = 0
Tri thức phản ánh trong sự vật ở đây có rất nhiều: tham số, cơng thức
lượng giác, phương trình dạng bậc hai, ... Để tiến hành hoạt động giải Toán ta

phải lựa chọn tri thức phù hợp với mục tiêu là tìm m để phương trình có
nghiệm. Ta nhận thấy phương trình trên có thể đưa về dạng bậc hai, khi đó
bài tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm có thể được giải quyết (mục
tiêu) và do đó ta có thể lựa chọn phép biến đổi:
sin2x = 1 - cos2x
Như vậy hành động biến đổi sẽ nhằm đạt được mục tiêu, phương trình
trở thành:
- cos2x + 3.cosx +1 - m = 0”.
Khi hình thành kĩ năng thì yếu tố quan trọng nhất là năng lực nhận ra
kiểu bài toán, phát hiện, nhìn thấy trong các dữ kiện đã có những thuộc tính
những quan hệ là bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. Trong khi tiến
hành hoạt động, các nhà Tâm lí học đã phát hiện ra một loạt nhân tố thúc đẩy
hay cản trở sự hình thành các kĩ năng. Một trong những nhân tố như vậy là:
Tách ra một cách rõ ràng hay ngược lại che đậy quan hệ bản chất của
bài toán trong các dữ kiện xuất phát. “Tìm m để phương trình sau có nghiệm
thực:


12
3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1 ”.
Thực chất nếu học sinh đưa về được phương trình:
24

x −1
x −1
−3
=m
x +1
x +1

Phương pháp giải là khơng q khó, tuy nhiên bằng sự che đậy quan hệ
bản chất bằng những phép chia căn nên nó gây cho học sinh khó khăn trong
việc phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa trong bài tốn.
Nhân tố quan trọng để nhìn thấy mối quan hệ bản chất đối với bài tốn
- đó là thâu tóm được tồn bộ tình huống chứ khơng phải những yếu tố riêng
biệt của nó. Như ví dụ trên, vấn đề là phải quan sát tồn bộ phương trình chứ
khơng được tập trung chú ý vào một hạng tử, có như vậy mới phát hiện được
mối quan hệ bản chất đó là:
x2 - 1= (x + 1)( x - 1).
Để làm xuất hiện các thuộc tính bản chất của sự vật phù hợp với mục
tiêu hoạt động, các nhà Tâm lí học sư phạm đã đưa ra một số thủ thuật làm dễ
dàng cho sự suy xét, đó là:
+) Những nguyên tắc giải;
+) Tách ra một cách rõ rệt hay nhấn mạnh những cứ liệu và những quan
hệ bản chất đối với bài tốn;
+) Phân tích bài tốn.
1.1.2. Sự hình thành các kĩ năng
Sự hình thành kĩ năng - đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp
các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và
tiếp thu được từ các đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thơng tin với
các hành động.
Kĩ năng chỉ được hình thành thơng qua q trình tư duy để giải quyết
các nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi,


13
phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới. Tất cả
những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được biểu
hiện bằng các từ. Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích - tổng
hợp, trừu tượng hóa - khái qt hóa cho tới khi hình thành được mơ hình về

một mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán
đã cho. Ở đây mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối
tượng, thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của
tư duy. Vì các khía cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong các khái
niệm mới, tư duy diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần. Chẳng
hạn, Bài toán:
“Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng
phương trình sau ln có nghiệm:
a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) + c(x - a)(x - b) = 0
Tiến hành phân tích đối tượng ta nhận thấy đối tượng tư duy là một
phương trình dạng bậc hai:
(a + b + c)x2 + 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0
Đây là phương trình dạng bậc hai nên để chứng minh nó có nghiệm
nghĩa là phải chỉ ra:
+) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình: 2(ab + bc + ca)x + 3abc = 0 có
nghiệm.
+) Nếu a + b + c ≠ 0 thì ∆’ = (ab + bc + ca)2 - 3abc(a + b + c) ≥ 0
Đó chính là sự diễn đạt lại bài toán và tiếp theo chủ thể lại phải diễn đạt
bài tốn theo khía cạnh mới”.
Cũng khơng loại trừ có chủ thể diễn đạt lại bài tốn như sau: chứng
minh phương trình ln có nghiệm có nghĩa là ta chỉ cần chỉ ra phương trình
ln có 1 nghiệm nào đó với mọi giá trị a, b, c.


14
Tuy nhiên, chủ thể phải nhận thấy cách diễn đạt nào phù hợp với đối
tượng, để có thể tiến hành hoạt động giải tốn. Điều này khơng phải mọi học
sinh đều có thể thực hiện tốt.
Q trình tư duy của con người diễn ra một cách liên tục và có tính kế
thừa. Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sự phân tích và tổng hợp

những kết quả của giai đoạn trước, được thể hiện trong các khái niệm. Khi
hồn thành việc nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ
ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng và nó ít nhiều sẽ giúp ích cho
hoạt động sau này. Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tư duy tiến lên nhằm
chinh phục đỉnh cao mới và nó làm cho con người ln khơng tìm ra giới hạn
của tri thức nhân loại. Chẳng hạn, như X. L. Rubinstein đã chứng minh:
Trong quá trình tư duy nhờ phân tích và tổng hợp, đối tượng tham gia vào
những mối liên hệ ngày càng mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất ngày
càng mới, những phẩm chất này được ghi lại trong những khái niệm mới. Như
vậy, từ đối tượng dường như khai thác được nội dung ngày càng mới, nó
dường như mỗi lần quay lại một khác và trong nó lại xuất hiện những thuộc
tính mới [23, tr. 155].
Theo quan điểm này, sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trước hết như
những sản phẩm của tri thức ngày càng được đào sâu. Các kĩ năng được hình
thành trên cơ sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau
về đối tượng đang được nghiên cứu. Các con đường chính của sự hình thành
các kĩ năng - đó là học sinh phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau
trong đối tượng, vận dụng vào đối tượng. Những tri thức khác nhau diễn đạt
mối quan hệ đa dạng giữa đối tượng và tri thức.
Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đường khác nhau.
Một trong những con đường đó là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần
thiết, rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán về vận dụng tri thức đó. Và
bản thân học sinh tìm tịi cách giải, bằng con đường thử nghiệm và sai lầm


15
(thử các phương pháp và tìm ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các
mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ
thuật hoạt động. Đôi khi người ta gọi con đường dạy học này là dạy học nêu
vấn đề. Cũng có thể dạy học kĩ năng bằng con đường: dạy cho học sinh biết

những dấu hiệu mà theo đó có thể đốn nhận được một cách dứt khoát kiểu
bài toán và những thao tác cần thiết để giải bài tốn đó. Người ta gọi con
đường này là dạy học angorit hóa hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ.
Cuối cùng, con đường thứ ba là như sau: người ta dạy học sinh chính hoạt
động tâm lí cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. Trong trường hợp này nhà
giáo dục khơng những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn
lọc các dấu hiệu và các thao tác mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trong
việc cải biến, sử dụng thông tin đã thu được để giải các bài toán đặt ra. Con
đường này đã được các nhà Tâm lí học Xơviết nghiên cứu, chẳng hạn như: P.
Ja. Galperin, N. F. Talyzyna và những người khác [23, tr. 156]. Họ cho rằng,
để dạy được những điều nêu trên giáo viên phải dẫn dắt học sinh một cách có
hệ thống trải qua tất cả những giai đoạn hoạt động đòi hỏi phải định hướng
vào các dấu hiệu đã được ghi lại trong khái niệm đang được nghiên cứu.
Trong giai đoạn đầu, những mốc định hướng (những dấu hiệu bản chất)
của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn. Được vật chất
hóa dưới dạng sơ đồ, kí hiệu các đối tượng, cịn các thao tác tách ra các mốc
định hướng thì được thực hiện dưới hình thức những hành động có đối tượng.
Chẳng hạn, bài tốn về kĩ năng giải phương trình bậc hai như: x 2 - 5x + 6 = 0
thì phương pháp giải đầu tiên được giới thiệu là phân tích đa thức vế trái
thành nhân tử bằng cách ghép bình phương đủ, như vậy lời giải dựa trên các
mốc định hướng có đối tượng. Ở giai đoạn hai, các mốc định hướng và các
thao tác có đối tượng được thay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngơn
ngữ. Trong ví dụ trên người ta khơng cịn sử dụng phép phân tích đa thức
thành nhân tử để giải mà thay vào đó là các kí hiệu ∆ và công thức nghiệm, ở


16
giai đoạn này giải phương trình bậc hai bằng ngơn ngữ và kí hiệu. Ở giai đoạn
thứ ba, các hành động ngôn ngữ rơi rụng dần đi và thay thế chúng là những
thao tác diễn ra theo sơ đồ gọn hơn: “Phương trình x 2 + 5x + 6 = 0 có hai

nghiệm phân biệt là x = - 2 và x = - 3”.
Người ta còn gọi ý đồ dạy học trên là phương pháp hình thành các hành
động trí tuệ qua từng giai đoạn.
Trong thực tế khi hình thành những tri thức mới (có nội dung chứ
khơng phải khái niệm từ ngữ thuần túy), ai cũng phải trải qua các giai đoạn
này. Tuy nhiên, trong dạy học thông thường những giai đoạn khơng được tổ
chức một cách có ý thức. Vì thế học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu
cảm tính hay những dấu hiệu lơgic, mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa
chọn những hành động thích hợp để làm điều đó. Do vậy, không thể tránh
khỏi các sai lầm và các tri thức khơng phải bao giờ cũng được hình thành đầy
đủ và đúng đắn. Để cho các khái niệm được hình thành đầy đủ và đúng đắn,
hoạt động tương ứng của học sinh phải được xây dựng trên một cơ sở định
hướng đầy đủ. Nói một cách khác, giáo viên phải truyền thụ cho học sinh tất
cả những dấu hiệu bản chất của các đối tượng dưới dạng có sẵn và dạy cho họ
những thao tác cần thiết để phát hiện hay tái tạo những dấu hiệu.
Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy
các khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độ lĩnh hội các tri thức, đảm bảo được
tính mềm dẻo và đầy đủ của chúng, vận dụng chúng đúng đắn cịn cho phép
hình thành những tri thức trừu tượng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn nhiều.
1.2. Về chủ đề phương trình và bất phương trình ở trường THPT
Phương trình và bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản
của chương trình mơn Tốn ở nhà trường phổ thơng. Những vấn đề lí luận
như khái niệm phương trình, bất phương trình; quan hệ tương đương đối với
hai phương trình, bất phương trình; phương pháp giải phương trình, bất


17
phương trình được đưa dần ở mức độ thích hợp với từng bậc lớp có phần lặp
đi lặp lại và nâng cao dần qua các lớp từ lớp 8 đến lớp 10. Đồng thời học sinh
cũng được dần dần làm việc với từng loại phương trình, bất phương trình

thích ứng với những yếu tố nội dung đã học.
Ở đầu bậc THPT, cụ thể là SGK Đại số 10 ( Nâng cao), học sinh được
học về phương trình, bất phương trình với các khái niệm và cũng giới thiệu
phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn cùng cách giải chúng.
Nếu là một người đọc “thờ ơ” thì có thể rút ra kết luận: kiến thức này là sự
trình bày lại những gì mà học sinh đã được làm quen ở bậc THCS. Thực chất
ở đây có sự lặp lại về hình thức nhưng lại có sự khác biệt về nội dung.
Xem xét sự khác nhau về khái niệm phương trình và bất phương trình
được trình bày ở cấp THCS và cấp THPT. Trong mục này ta nói đến phương
trình cịn bất phương trình có sự tương tự.
Sự khác biệt là khá lớn ở hai cấp học THCS và THPT thể hiện ngay ở
khái niệm phương trình:
SGK Tốn 8, Tập hai, định nghĩa: “Một phương trình ẩn x có dạng
A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng
một biến x”.
SGK Đại số 10 (Nâng cao) định nghĩa: “Cho hai hàm số y = f(x) và
y = g(x) có tập xác định lần lượt là D f và Dg. Đặt D = Df ∩ Dg, mệnh đề chứa
biến “f(x) = g(x)” được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn) và
D gọi là tập xác định của phương trình. Số x0 thuộc D gọi là nghiệm của
phương trình f(x) = g(x) nếu “f(x0) = g(x0)” là mệnh đề đúng”.
Ở định nghĩa phương trình và bất phương trình ở bậc THPT có đưa vào
khái niệm mới là mệnh đề chứa biến, đây là khái niệm không được xây dựng
ở THCS. Bậc THPT khái niệm tập xác định phương trình đã được đưa vào,
điều này là một điểm mới so với bậc THCS. Dễ nhận thấy khái niệm phương
trình ở bậc THPT là sự kế thừa và phát triển khái niệm phương trình ở bậc


18
THCS. Với sự chính xác, khoa học của khái niệm phương trình ở bậc THPT,
tạo điều kiện thuận lợi cho việc đi sâu nghiên cứu các phép biến đổi phương

trình, hiểu đầy đủ hơn về khái niệm nghiệm của phương trình. Những khái
niệm này ở bậc THCS được hiểu một cách rất trực quan, chẳng hạn như khái
niệm nghiệm của phương trình được hiểu thơng qua hoạt động: “Khi x = 6,
hãy tính giá trị mỗi vế phương trình: 2x + 5 = 3(x - 1) + 2” và học sinh sẽ tự
hiểu nơm na: nghiệm của phương trình là số để hai vế phương trình bằng
nhau. Cịn ở bậc THPT nhờ khái niệm mệnh đề chứa biến mà khái niệm
nghiệm của phương trình được đưa vào khá lơgic và hợp lí.
Chính Sách giáo viên Tốn 8, Tập hai, cũng đã viết: “Các tác giả đã
chọn phương án không xây dựng khái niệm phương trình một cách hồn chỉnh
mà chỉ giới thiệu thuật ngữ phương trình thơng qua ví dụ cụ thể. Ngay cả “tập
xác định của phương trình” - cũng chỉ đề cập đến một cách đơn giản (gọi là
điều kiện xác định), ở vào thời điểm thích hợp, đó là khi nói về giải phương
trình có ẩn ở mẫu”.
Việc đưa ra khái niệm phương trình, bất phương trình như trong SGK
Đại số 10, Nâng cao, thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ định lí
về phép biến đổi tương đương.
SGK Đại số 10, Nâng cao, đưa ra định lí về phép biến đổi tương
đương: “Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định là D; y = h(x) là một
hàm số xác định trên D (h(x) có thể là một hằng số). Khi đó trên D, phương
trình đã cho tương đương với phương trình sau:
+) f(x) + h(x) = g(x) + h(x).
+) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x) ≠ 0 với mọi x thuộc D”.
Phép biến đổi chỉ tương đương trên tập xác định phương trình. Định lí
này hồn tồn hợp lí với những gì học sinh được học ở cấp THCS, SGK Đại
số 10, Nâng cao, đã viết: “Hai quy tắc biến đổi phương trình đã biết ở lớp
dưới (quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số khác 0) là những phép


19
biến đổi tương đương”. Bậc THPT học sinh đã có cái nhìn sâu sắc, tường

minh về phép biến đổi tương đương thơng qua việc nắm nội dung, chứng
minh định lí về phép biến đổi tương đương. Đây là điều mà học sinh THCS
chưa làm được bởi phép biến đổi tương đương chỉ được giới thiệu dưới dạng
qui tắc biến đổi và được thừa nhận. Chính việc thừa nhận làm cho khơng ít
học sinh hiểu máy móc, khơng nắm được bản chất vấn đề. “Tại sao lại chuyển
vế đổi dấu?” là câu hỏi mà nhiều học sinh thắc mắc, nhưng việc trình bày như
vậy là hồn tồn phù hợp với thực tiễn sư phạm vì khơng thể đưa ra nhiều
khái niệm trừu tượng như ở bậc THPT. Thực chất ở bậc THCS học sinh chủ
yếu thao tác trên các phương trình với hệ số bằng hằng số và chỉ yêu cầu kĩ
năng giải các phương trình cơ bản, nhằm tạo điều kiện cho học sinh làm quen
và xây dựng khái niệm phương trình để tiếp tục đi sâu ở bậc THPT. Việc
khơng trình bày hồn thiện kiến thức về phương trình ở bậc THCS, đem lại
cho học sinh ít nhiều thắc mắc và giáo viên cũng thấy khó khăn khi giải thích
những thắc mắc cho học sinh. Chẳng hạn, khi dạy bài: “Phương trình chứa ẩn
ở mẫu”, trong SGK Tốn 8, Tập hai, ngay trong ví dụ mở đầu viết:
“Ta thử giải phương trình x +

1
1
=1+
bằng phương pháp quen
x +1
x +1

thuộc như sau:
Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế: x +

1
1
−1−

=0
x +1
x +1

Thu gọn vế trái ta tìm được: x = 1”.
Việc giải phương trình này dùng phương pháp cũ, vậy mà x = 1 khơng
là nghiệm thì thật khó chấp nhận, có thể kiến thức được học là sai? Để giải
thích điều này địi hỏi giáo viên phải dành thời gian để chỉ cho học sinh một
cách rõ ràng, giúp học sinh tránh được trở ngại tâm lý.
Tiếp đến khi trình bày lời giải bài tốn phương trình chứa ẩn ở mẫu,
học sinh không nắm bắt được tại sao khi dùng phép biến đổi suy ra (⇒) khi


20
nào thì dùng phép biến đổi tương đương (⇔). Xem xét khó khăn ở bậc THCS,
mới thấy hết sự hợp lí, lơgic của khái niệm phương trình, bất phương trình
được đưa ra ở SGK Đại số 10, Nâng cao.
Về mặt kĩ năng giải các phương trình cũng có sự khác biệt giữa hai cấp
học THCS và THPT. Cũng là các nội dung xoay quanh việc nghiên cứu cách
giải phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn số,.... Nhưng mục tiêu ở hai cấp học là không giống nhau.
Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao viết: “Các vấn đề phương trình bậc nhất và
bậc hai mà học sinh đã được học ở các lớp dưới nay chỉ nhắc lại rất sơ lược,
thậm chí coi như học sinh đã nắm vững nhằm tập trung cho các vấn đề mới. Cụ
thể, vấn đề mới ở đây là phương pháp giải và biện luận các phương trình có
tham số”. Tác giả Nguyễn Bá Kim (chủ biên) viết: “Trong khi ở trường THCS
học sinh làm việc chủ yếu với những phương trình có hệ số bằng số thì ở lớp 10
đi sâu vào những phương trình có tham biến địi hỏi học sinh phải biện luận
trong khi giải” [19, tr. 66]. Như vậy, phương trình, bất phương trình có chứa
tham số trở thành nội dung chính trong chương trình Tốn ở bậc THPT. Sự

khác biệt thể hiện rõ ràng ngay trong SGK ở hai cấp học. Ở đây ta so sánh việc
trình bày nội dung phương trình bậc nhất một ẩn số ở hai cấp học.
SGK Toán 8, Tập hai, đưa ra khái niệm phương trình bậc nhất 1 ẩn, sau
đó đưa ra hai quy tắc vận dụng để giải. Ở cuối tiết phương trình bậc nhất 1 ẩn,
SGK đưa ra cách giải tổng quát phương trình:
ax + b = 0 (với a ≠ 0), được giải như sau:
b
ax + b = 0 ⇔ ax = - b ⇔ x = − .
a
Vậy phương trình bậc nhất ax + b = 0 ln có nghiệm duy nhất x = −
.

b
a


21
SGK Đại số 10, Nâng cao, đưa ra phương pháp giải và biện luận
phương trình dạng ax + b = 0 như sau:
b
+) a ≠ 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x = − .
a
+) a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vơ nghiệm.
+) a = 0 và b = 0: Phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập hợp
số thực.
Tương tự như vậy phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc
nhất hai ẩn thì ở THCS chú ý rèn luyện kĩ năng giải với hệ số là hằng số đã
cho, còn ở bậc THPT đi sâu vào phương pháp giải và biện luận phương trình,
bất phương trình có chứa tham số. Hệ thống bài tập sau mỗi bài học cũng thể
hiện sự khác biệt lớn, ở cấp THCS gần như khơng có sự xuất hiện của tham

số, ở bậc THPT thì phần nhiều là bài tốn về phương trình và bất phương
trình có chứa tham số.
Như vậy, chủ đề phương trình, bất phương trình ở hai cấp THCS và
THPT là có sự khác biệt rõ rệt. Mặc dù chủ đề phương trình và bất phương
trình đã từng xuất hiện ở các lớp dưới, nhiều vấn đề về phương trình có vẻ lặp
đi lặp lại, nhưng thực ra nó có một sự biến đổi về chất rất quan trọng đó là: Sự
xuất hiện của phương trình và bất phương trình có chứa tham số. Hay nói cách
khác, là có sự “đồng tâm xốy trơn ốc” của kiến thức về phương trình, bất
phương trình ở hai cấp. Có điều càng về sau lại có sự xuất hiện dạng phương
trình, bất phương trình phức tạp hơn đó là: phương trình và bất phương trình
siêu việt.
1.3. Những tình huống điển hình liên quan đến phương trình, bất phương
trình có chứa tham số
Trong chương trình Tốn THPT thường hay gặp các bài tập về phương
trình và bất phương trình có chứa tham số, mà muốn giải được các bài tốn có


22
chứa tham số người giải phải nắm được kiến thức một cách có hệ thống, biết
suy luận chính xác, biết phân tích và tổng hợp. Bài tốn chứa tham số đòi hỏi
người giải quyết phải vận dụng khả năng tư duy cao độ và do vậy nó là chủ đề
mà học sinh vẫn thường gặp rất nhiều khó khăn. Tuy nhiên, những bài tốn về
phương trình và bất phương trình có chứa tham số ln giúp cho học sinh có
cái nhìn đầy đủ, sâu sắc, tồn diện hơn về một vấn đề và cũng có thể nói dạng
tốn này là thước đo chính xác về mức độ nắm vững kiến thức phương trình,
bất phương trình của học sinh. Dạng tốn liên quan đến phương trình và bất
phương trình có chứa tham số là vô cùng đa dạng và phong phú nên chúng tơi
khơng có ý định thống kê tất cả, mà chỉ điểm qua những tình huống điển hình
cơ bản thường gặp trong chương trình Tốn THPT. Ở mỗi tình huống điển
hình, sẽ nêu lên đặc điểm của từng dạng và có thể sẽ tiến hành phân tích, tìm

lời giải một số ví dụ cụ thể để người đọc nhận thức sâu sắc, cảm nhận tốt hơn
về các dạng toán.
Trong Mục này, sẽ phân chia bài tốn có chứa tham số thành từng dạng
dựa trên yêu cầu của bài toán.
1.3.1. Giải và biện luận
Giải và biện luận phương trình, bất phương trình có nghĩa là tùy theo
các giá trị của tham số tiến hành giải phương trình, bất phương trình đó. Đây
là dạng tốn cơ bản trong bài tốn có chứa tham số, việc giải và biện luận
cũng giống như giải một bài toán tổng quát, mà ứng với mỗi giá trị cụ thể của
tham số ta có được trường hợp riêng của bài tốn đó. Dạng tốn giải và biện
luận địi hỏi người học phải có năng lực tư duy, nên chưa phù hợp để đưa vào
dạy ở bậc THCS. Ngay từ đầu cấp THPT việc giải và biện luận phương trình,
bất phương trình được dạy một cách đầy đủ, chặt chẽ, lôgic. SGK Đại số 10,
Nâng cao, lần lượt giới thiệu phương pháp giải và biện luận phương dạng ax
+ b = 0, giải và biện luận phương dạng ax 2 + bx + c = 0, giải và biện luận hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn, giải và biện luận phương bất phương trình bậc


23
nhất một ẩn. Sách giáo viên Đại số 10, Nâng cao, chỉ rõ các kĩ năng giải, biện
luận cần đạt của học sinh là:
+) Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn.
+) Phương trình dạng ax + b = cx + d và phương trình chứa ẩn
ở mẫu.
+) Phương trình trùng phương.
+) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số.
+) Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất, bậc hai đơn giản
có chứa tham số.
Nội dung giải và biện luận phương trình, bất phương trình chứa một
thời lượng khá lớn trong nội dung phương trình và bất phương trình, điều này

được thể hiện ngay trong bài giảng và bài tập rèn luyện sau mỗi tiết học. Số
lượng bài tập giải và biện luận mà SGK Đại số 10, Nâng cao, đưa ra là tương
đối lớn. Tuy nhiên bài tập giải và biện luận có nhiều mức độ khác nhau nhằm
vào các mục đích: củng cố kiến thức được học, tăng cường khả năng vận
dụng kiến thức và rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh.
Bài tập củng cố kiến thức được học, chẳng hạn như:
Ví dụ 1: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) (2m2 + 3)x + 2m = x + 4.
b) (m + 1)x2 + 4x - 2 = 0.
Đối với dạng bài tập này, chỉ cần học sinh hiểu kiến thức được học và
tiến hành gần như tương tự thì sẽ giải quyết được.
Ở mức độ khó hơn SGK, đưa ra những bài tập đòi hỏi sự vận dụng linh
hoạt kiến thức đã có, chẳng hạn như:
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo tham số m:
m - x 2 − 3x + 2 = 2

(1)


24
x ≥ 2
⇔
x − 3x + 2 ≥ 0
x ≤ 1
2

Điều kiện:

Giáo viên phải dẫn dắt học sinh đến phương trình dạng:
(1)

A=B

⇔ x 2 − 3x + 2 = m − 2

(2)

Bây giờ biện luận theo tham số m:
Nếu m - 2 < 0 ⇔ m < 2 phương trình đã cho vô nghiệm.
Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2 thì (2) ⇔ x2 - 3x + 2 = 0 ⇔ x = 2; x = 1 (t/m)
Nếu m - 2 > 0 ⇔ m > 2 bình phương hai vế của ( 2) cho ta:
x2 -3x +2 = m2 - 4m + 4
⇔

x2 - 3x - m2+ 4m - 2 = 0

(3)

Ta có ∆ = 4m2 - 16m + 17 = (2m - 4)2 + 1 > 0

3 + (2m − 4) 2 + 1
>2
 x1 =
2

⇔

3 − (2m − 4) 2 + 1
x 2 =
<1


2
Kết luận:
Với m ≥ 2 phương trình có hai nghiệm.
Với m < 2 phương trình vơ nghiệm
Như vậy, đối với dạng tốn ở Ví dụ 2, địi hỏi học sinh phải vận dụng
linh hoạt, sáng tạo kiến thức cơ bản đã được học. Nó khơng cịn là bài tập vận
dụng máy móc, đơn thuần như ở Ví dụ 1. Tuy nhiên, chưa dừng lại ở khả
năng vận dụng, có rất nhiều bài tốn giải và biện luận địi hỏi người giải phải
suy nghĩ, phải tư duy.
Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình:
x2 − x = a + 1 − x

(1)

Để giải phương trình trên thì cần có điều kiện để biểu thức trong căn có
nghĩa.


25
x 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0 hay x ≥ 1

(2)

Đây là bước mà học sinh bình thường đều có thể tiến hành, bởi thực
chất phương trình đã cho là phương trình chứa căn
Phương trình (1) có nghĩa ⇔ a + 1 - x ≥ 0
⇔ a +1≥ x

(3)

Với điều kiện (2) và (3) ta bình phương hai vế của (1) cho ta:
x 2 − x = (a + 1 − x) 2
⇔ x 2 − x = (a + 1) 2 − 2(a + 1)x + x 2
⇔ (2a + 1)x = (a + 1) 2

(4)

Vấn đề cần sự tư duy, ở đây là sự tương quan giữa nghiệm của hai
phương trình (1) và (2). Mối tương quan này cần được xem xét kĩ càng nếu
không rất dễ mắc phải sai lầm. Có thể phương trình (2) tồn tại nghiệm nhưng
phương trình (1) và (4). Mối tương quan này cần phải xem kỹ nếu không dễ
mắc sai lầm. Có thể phương trình (4) có nghiệm nhưng phương trình (1) lại
vơ nghiệm . Tất nhiên, là nếu phương trình (4) vơ nghiệm thì phương trình (1)
cũng vơ nghiệm. Câu hỏi đặt ra là: phương trình (4) như thế nào phương trình
(1) có nghiệm? Đây là vấn đề học sinh cần phải tư duy, (giáo viên không nên
giải quyết) mà cần phải để học sinh tự suy nghĩ, có như thế tư duy học sinh
mới được phát triển.
Học sinh cần nhận thức ra vấn đề phương trình (1) sẽ có nghiệm nếu
phương trình (4) có nghiệm . Khi học sinh hiểu được vấn đề này thì mới có
thể tiến hành giải và biện luận bài toán. Xin đưa ra lời giải để phần nào minh
họa dạng toán giải và biện luận.
Trường hợp 1:
Nếu 2a + 1 = 0 ⇔ a = −
trình (1) vơ nghiệm.

1
phương trình (4) vơ nghiệm nên phương
2