CHƯƠNG 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH pptx

Chương 5
TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I. Tính gần đúng các giá trị đạo hàm.
1. Áp dụng đa thức nội suy.
-
Hàm f(x) được cho dưới
dạng bảng;
-
Biểu thức giải tích của hàm
quá phức tạp;
-
Thay f(x) bằng đa thức nội
suy P
n
(x).
-
Coi P’
n
(x)là giá trị gần đúng
của f’(x).
);()( xP
dx
d
xf
dx
d
n
≅
( 1 )
a/ Đa thức xấp xỉ trực tiếp:

f(x) = P
n
(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ . . . ( 2 )
f’(x) = P’
n
(x) = a
1
+ 2a
2
x + 3a
3
x
2
+ . . .
( 3 )
f”(x) = P”
n
(x) = 2a

2
+ 6a
3
x + . . .
( 4 )

b. Đa thức nội suy Niutơn.
P
n
(x) = P
n
(t) với
;
0
h
xx
t
−
=
;
1
hdx
dt
=
);(
1
)()()()('
'
tP
dt

d
hdx
dt
tP
dt
d
tP
dx
d
xPxf
nnnn
⋅====
;
!
)1) (1(
!2
)1(
)()(
2
o
n
ooonn
y
n
nttt
y
tt
ytytPxP ∆
+−−
+⋅⋅⋅+∆

−
+∆+==
⋅⋅⋅+∆
−+−
+
+∆
+−
+∆
−
+∆+=
0
4
234
3
23
2
!4
6116
!3
23
!2
)1(
)(
y
tttt
y
ttt
y
tt
ytytP

oooon




⋅⋅⋅+∆
−+−
+
+∆
+−
+∆
−
+∆=⋅=
0
4
23
0
3
2
0
2
0
12
31192
6
263
2
121
)(
1

)('
y
ttt
y
tt
y
t
y
h
tP
dt
d
h
xf
n
Với công thức nội suy tiến:








⋅⋅⋅+∆
+−
+∆−+∆=⋅=
0
4
2

0
3
0
2
2
12
11186
)1(
1)('1
)(" y
tt
yty
h
dt
tdP
h
xf

Với công thức nội suy lùi, có kết quả tương tự:








⋅⋅⋅+∆
++
+∆

+
+∆=
−−− 3
3
2
2
2
1
6
263
2
121
)('
nnn
y
tt
y
t
y
h
xf
Chú ý: Tính đạo hàm theo đa
thức nội suy thường chứa sai
số lớn.
(xem hình vẽ).
Nếu sai số của hàm là
r(x) = f(x) – P
n
(x)
sai số của đạo hàm

ε(x) = f’(x) – P’
n
(x) = r’(x).
dx
xdf )(
dx
xdP
n
)(
f(x)
P
n
(x)

2. Áp dụng định nghĩa của đạo hàm.
;
)(
lim)('
0
h
xf
xf
h
∆
=
→
( 7a )
;
)()()(
h

xfhxf
h
xf −+
=
∆
( 7b )
h
xf )(∆
-
Để tìm h thích hợp tính theo một chuỗi các giá
trị giảm dần của h.
- Coi
khi h đủ nhỏ độ chính xác tới d số
sau dấu phẩy;
)('
)(
xf
h
xf
≈
∆
-
Việc tính dừng lại khi sai số tiệm cận
có giá trị đủ nhỏ.
h
xf
xfhE
)(
)(')(
∆

−=
-
Thực tế không biết giá trị của f’(x) E(h) ~ sai lệch giữa hai
lần ước lượng liên tiếp
ΔD(h) = D(h) – D(h
trước
); ( 8 )
;
)(
)(
h
xf
hD
∆
=
trong đó:

- Việc tính sẽ dừng lại khi
d
D
−
<∆ 10
Các bước tính:
+ Cho trước giá trị ban đầu h, tỷ lệ rút nhỏ r, độ chính xác cần
có (số con số đáng tin sau dấu phẩy).
+ Tính
;
)(
)(
h

xf
hD
∆
=
+ Tính ΔD(h).
+ Lặp lại cho đến khi .
d
D
−
<∆ 10
Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại x = 0.
- Đã biết:
;1)0cos()(sin)('
0
===
=x
x
dx
d
xf
- Tính theo ph/pháp gần đúng:
+ Chọn tuỳ ý h ban đầu, ví dụ h = 1; tỷ lệ rút gọn r = 4.
+ Độ chính xác tới 4 con số sau dấu phẩy.
;
)0sin()0sin()()()(
)(
h
h
h
xfhxf

h
xf
hD
−+
=
−+
=
∆
=
+ Tính
+ Tính ΔD(h) và E(h).

Kết quả tính toán cho trong bảng sau:
h D(h) ΔD(h)
E(h)=f’(x)-D(h)
1 0,841471 0,158529
1/4=0,25 0,989616 0,01384
0,148145
1/16=0,0625 0,999349 0,000651
0,009733
1/64=0,015625 0,999959 0,000041
0,000610
1/256=0,003906 0,999997 0,000003
0,000038
1/1024=0,00097656 1,000000 0,000000
0,000003
1 0,841471 0,158529
Nhận xét







≈=






−






64
1
000038,0
64
1
256
1
EDD
Có thể dùng để đánh giá xấp xỉ sai lệch ở bước tính h
trước
.
Quá trình tính có thể dừng khi ΔD(h) < 10

-d
.
Ở ví dụ này, q/trình tính dừng lại ở bước h = 1/256; khi đó
ΔD(h) = 0,000038 < 0,5.10
-4
.

II. Tính gần đúng các tích phân xác định.
- Xét tích phân xác định:
∫
=
b
a
dxxfI ;)(
- Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x)
);()()( aFbFdxxfI
b
a
−==
∫
- Thực tế:
+ thường khó khăn khi tìm nguyên hàm
+ Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng số.
-
Tính gần đúng giá trị của tích phân thay hàm dưới dấu
tích phân bằng một đa thức xấp xỉ.
;)()(
∫∫
≅=
b

a
n
b
a
dxxPdxxfI

1. Đa thức xấp xỉ trực tiếp:
⋅⋅⋅+++=
2
210
)( xaxaaxP
n
)
32
(
3
2
2
1
0
⋅⋅⋅+++= x
a
x
a
xaI
a
b
2. Đa thức Niutơn thứ nhất:
;)()()(
)(

)(
∫ ∫∫
=≈=
b
a
bt
at
nn
b
a
dttPhdxxPdxxfI
(với dx = hdt)
x = x
0
+ ht
;)(
0
0
∫
+=
t
n
dthtxPhI
Chọn điểm cơ sở là điểm a (x
0
= a) thì tại đó t(a) = 0 và
x = b ứng với t = k;
-
- Chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các nút x
i

:
;
110
bxxxxxa
nni
=<<⋅⋅⋅⋅⋅⋅<<=
−
x
i
= a + ih ;
;
n
ab
h
−
=

Bậc của đa thức được chọn công thức tính tương ứng.
n = 0 công thức hình chữ nhật;
n = 1 công thức hình thang;
n = 2 công thức Simsơn 1/3;
n = 3 công thức Simsơn 3/8;
a/ Công thức hình thang.
;)()()()(
1
2
1
1
0
∫∫∫∫

=
=
−
+⋅⋅⋅++=
n
n
xb
x
x
x
x
xa
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxf
- Thay f(x) bằng đa thức nội suy P
n
(x).
;
!1
)(
001
y
t
yxP ∆+=
- Công thức hình thang n = 1
- Đổi biến: x = x
0
+ ht dx = hdt
x = x

0
t = 0; x = x
1
t = 1
)
2
()()(
0
2
0
1
0
001
1
0
y
t
tyhdtytyhdxxP
x
x
∆+=∆+=
∫ ∫
t=0
t=1
;
2
)
2
1
()(

10
0
1
0
yy
hyyhdxxf
o
x
x
+
=∆+≅
∫
Tích phân thứ 1:

- Ý nghĩa hình học của công thức:
Thay diện tích hình thang cong bằng
diện tích của hình thang thường.
- Tích phân thứ i+1:
;
2
)()(
1
1
0
1
+
+
=∆+≅
∫ ∫
+

ii
x
x
ii
yy
hdtytyhdxxf
i
i
x
0
x
1
M
0
M
1
[ ]
;)()()(
2
12110 nn
yyyyyy
h
I ++⋅⋅⋅++++=
−
);222(
2
121
0
nn
yyyyy

h
I +⋅⋅⋅+++=
−
- Đã chứng minh được sai số của công thức là
);(
12
2
abh
M
R −=
;;)("max bxaxfM ≤≤=

b/ Công thức Simsơn 1/3.
- Chia [a, b] thành 2n đoạn con bởi các nút x
i
.
;
2210
bxxxxxa
ni
=<⋅⋅⋅<⋅⋅⋅<<=
ni
n
ab
hihax
i
2, ,2,1,0;
2
; =
−

=+=
- Cho hàm f(x):
;)()()()(
2
22
4
2
2
0
∫∫∫∫
=
=
−
+⋅⋅⋅++=
n
n
xb
x
x
x
x
xa
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxf
- f(x) đa thức nội suy Niutơn bậc 2:
;
!2
)1(
!1

)(
0
2
002
y
tt
y
t
yxP ∆
−
+∆+=
;)()(
2
0
2
0
2
∫∫
≅
x
x
x
x
dxxPdxxf
- Đổi biến: x = x
0
+ ht; dx = hdt;
x = x
0
t = 0; x = x

2
t = 2;

;)
!2
)1(
()(
0
2
2
0
0
02
2
0
dty
tt
ytyhdxxP
x
x
∆
−
+∆+=
∫ ∫
;2;
0120
2
010
yyyyyyy +−=∆−=∆







∆








−+∆+=
0
2
23
0
2
0
232
1
2
y
tt
y
t
tyh
0

2






∆








−+∆+=
0
2
00
2
4
3
8
2
1
22 yyyh
);4(
3
21

0
yyy
h
++=
- Các tích phân sau cũng tính tương tự
);4(
3
)(
2212
2
22
2
++
++=
∫
+
ii
i
x
x
yyy
h
dxxf
i
i

Cộng tất cả:
[ ]
;)4()4()4(
3

)(
212
22
43
2
21
0
nn
n
b
a
yyyyyyyyy
h
dxxf +++⋅⋅⋅++++++=
−
−
∫
);(
12
2
abh
M
R −=
n
ab
h
2
−
=
với

- Sai số:
;;)(max
)4(
bxaxfM ≤≤=
với
[ ]
;)(4)(2)(
3
)(
1231224220 −−
+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++=
∫
nnn
b
a
yyyyyyyy
h
dxxf