Tính gần đúng đạo hàm tích phân

Chửụng 5
TNH GAN ẹUNG
ẹAẽO HAỉM VAỉ TCH PHAN

I. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM :
Cho hàm y = f(x) và bảng số
y
o
y
1
y
2
. . . y
n
y
x
o
x
1
x
2
. . . x
n
x
Để tính gần đúng đạo hàm, ta xấp xỉ hàm
bằng đa thức nội suy Lagrange L
n
(x)
Ta có
/ /

/ / / /
( ) ( )
( ) ( )
n
n
f x L x
f x L x
≈
≈

1. TH bảng chỉ có 2 điểm nút :
y
0
y
1
y
x
0
x
1
x
h = x
1
- x
0
y
0
= f(x
0
)

y
1
= f(x
1
) = f(x
0
+h)
Đa thức nội suy Lagrange
0
1
0 1
0 1 1 0
0
1
1 0
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
n
x x
x x
L x y y
x x x x
x x
x x
y y
h h

−
−
= +
− −
−
−
= −
Do đó với mọi x ∈ [x
0
, x
1
] ta có
1 0 0 0
( ) ( )
'( )
y y f x h f x
f x
h h
− + −
≈ =


Công thức sai phân tiến :
0 0
0
( ) ( )
'( )
f x h f x
f x
h

+ −
≈

Công thức sai phân lùi :
1 0
1
'( )
y y
f x
h
−
≈
Thay x
1
bằng x
0
0 0
0
( ) ( )
'( )
f x f x h
f x
h
− −
≈


Công thức sai số :
0 1
2

2
[ , ]
max | "( ) |
2
x x x
M h
với M f x
∈
∆ = =

Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x. Tính Xấp xỉ
f’(1.8) và sai số với h = 0.1, 0.01, 0.001
Ta có
(1.8 ) (1.8)
'(1.8)
f h f
f
h
+ −
≈
Sai số
2
1
"( )f x
x
= −
2
2
1
max | "( ) |

1.8
M f x⇒ = =
2
2(1.8)
h
∆ =
giải

0.16x10
-3
0.5554012920.001
0.16x10
-2
0.5540180370.01
0.0160.5406722120.1
∆f’(1.8)h
2. TH bảng có 3 điểm nút cách đều :
y
0
y
1
y
2
y
x
0
x
1
x
2

x
h = x
2
- x
1
= x
1
- x
0
y
0
= f(x
0
)
y
1
= f(x
1
) = f(x
0
+h)
y
2
= f(x
2
) = f(x
0
+2h)

ẹa thửực noọi suy Lagrange

0 2 0 1
1 2
0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
0 1 0 2
1 2
2 1 0
2 2 2
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
2 2
n
x x x x x x x x
x x x x
L x y y y
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
y y y
h h h


= + +

= +
Do ủoự vụựi moùi x [x
0
, x
2
] ta coự
0
1 2
2 1 2 0 0 1
2 2 2
( )
( ) ( )
'( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )
2 2 2
x x
x x x x
f x y y y y y y
h h h


+ + +
2 1 0
2
( 2 )
"( )
y y y
f x
h
+

Suy ra đạo hàm cấp 1
0 1 2
0
2 0
1
0 1 2
2
( 3 4 )
'( )
2
( )
'( )
2
( 4 3 )
'( )
2
y y y
f x
h
y y
f x
h
y y y
f x
h
− + −
≈
−
≈

− +
≈
Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiến
0 0 0
0
3 ( ) 4 ( ) ( 2 )
'( )
2
f x f x h f x h
f x
h
− + + − +
≈