bài toán liên quan khảo sát hàm số 12

Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 1



1. Tập xác ñịnh.
2. ðạo hàm
y
′
.
3. Tìm m sao cho tập nghiệm bất phương trình
(
)
0 0
y y
′ ′
≥ ≤
chứa tập T.
Riêng với hàm số hữu tỷ cần chú ý nghiệm của mẫu không thuộc tập T.
Bài 1 : Tìm tham số m ñể hàm số
(
)
2
y x m x m
= − −
nghịch biến trên khoảng
(
)
;0
− ∞

3 2
y x mx m
= − + −
,
2
3 2
y x mx
′
= − +
(
)
3 2
x x m
= − + ,
0
0
2
3
x
y
m
x
=

′
= ⇔

=




*)
0
m
=
:
0
y
′
=
có nghiệm kép
0
x
=

0,y x
′
≤ ∀ ∈
ℝ
⇒
hàm số nghịch biến trên
ℝ
nên nghịch biến trên
(
)
;0
− ∞
.

*)
0
m
≠
:
x 0
2
3
m




2
3
m

0
0
m
>

y
′

−

0 + 0
−

0
m
<

−

0 + 0
−

Vậy
(
)
0, ; 0
y x
′
≤ ∀ − ∞
0
m
⇔ >

ðS:
0
m
≥

Bài 2 : Tìm tham số m ñể hàm số
2 2
2 3
2

x mx m
y
x m
− +
=
−
ñồng biến trên khoảng
(
)
1;
+ ∞

Giải
{
}
\ 2
D m
=
ℝ

( )
2 2
2
4
, 2
2
x mx m
y x m
x m
− +

′
= ∀ ≠
−

2
x m
∀ ≠
dấu của
y
′
theo dấu của
(
)
2 2
4
h x x mx m
= − +
0
y
′
=
( )
2 2
2
4 0
x m
h x x mx m
≠



⇔

= − + =


2 2 2
2 2
4 8 0
4 0
m m m
x mx m

− + ≠

⇔

− + =


( ) ( )
1 2
0
2 3 , 2 3
m
x m x m
≠


⇔


= + = −



Hàm số ñồng biến trên
(
)
1;
+ ∞
khi và chỉ khi
(
)
(
)
0, 1;h x x
≥ ∀ ∈ +∞
và
(
)
(
)
2 1 2 1;m m
≤ ∉ + ∞
.
x
2
x


1

x



1
x


2
x


0
m
>

y
′

+ 0
−

0 +

0
m
<

+ 0
−

0 +
Vậy
(
)
(
)
0, 1;h x x
≥ ∀ ∈ +∞
2 1
1 2
0
1
0
1
m
x x
m
x x
 >



< ≤


⇔

<




< ≤



( )
( )
0
2 3 1
0
2 3 1
m
m
m
m

>




+ ≤




⇔

<





− ≤




0
2 3
0
2 3
m
m
m
m
 >




≤ −



⇔

<






≤ +



0 2 3
0
m
m

< ≤ −
⇔

<


ðS:
( )
(
; 0 0; 2 3
m

∈ −∞ ∪ −

và
1
2

m
≤
hay
( )
(
; 0 0; 2 3
m

∈ −∞ ∪ −

vì
1
2 3
2
− <

Bài 3 : Tìm tham số
0
m
≠
ñể hàm số
( )
3 2
1
1 4
3
y mx m x x
= − + +
ñồng biến trên nửa khoảng
[

)
2;
+∞

ðS:
1
m
≥

Bài 4 : Tìm tham số m ñể hàm số
( )
3 2
1 1
1
3 2
y x m x m x
= + − −
thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
1) Bài toán tìm tham số m ñể hàm số
(
)
;
y f x m
= ñồng biến (nghịch biến) trên tập T
BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT
HÀM SỐ
Bi toỏn liờn quan kho sỏt hm s
Nguyn Tớch c TCV 8/2013
trang 2
a) ng bin trờn khong

(
)
1;
+

b) Nghch bin trờn khong
(
)
1;3

S: a)
1
m

b)
3
m


Bi 5 : Cho hm s
4 2
2 3
y x mx
= +
(*)
a) Kho sỏt v v ủ th hm s (*) khi
1
m
=

b) Xỏc ủnh
m
ủ hm s (*) ủng bin trờn tng khong sau:
i)
(
)
0;
+
ii)
(
)
1;
+

S: b.i)
0
m

ii)
1
m


Bi 6 : Tỡm tham s
0
m

ủ hm s
( )
3 2

1
1 4
3
y mx m x x
= + +
ủng bin trờn ủon
[
]
2;2

S:
[
)
(
]
1;0 0;1
m

HNG DN GII
Bi 3:
2
0 2,y x x
m

= = =
*
1 0
m

= =

,
y

cú nghim kộp v
0,y x



. Hm s ủng bin trờn
[
)
2;
+

*
1 0
m

>
. Bi toỏn tng ủng
[
)
0, 2;y x

+

x
1
x

2
x



1
x


2
x


0
m
>

y


+ 0


0 +
0
m
<

0 + 0


Vy
[
)
0, 2;y x

+
0
1
2
2
m
m
m
>


>

<






Cỏch 1

:
(
)
( )
0
;
;
0
0 (*)
ủoồi daỏu tửứ dửụng sang aõm khi x ủi
qua x
f x m
f x m


=






T
(
)
*

m
, kim tra vic ủi du ca
y

vi nhng giỏ tr m tỡm ủc, ri kt lun.
Cỏch 2
:
(
)
( )
0
0
; 0
; 0
f x m
f x m


=



<



Bi 7 : Tỡm tham s m ủ hm s
(
)
3 2
4 3
y x m x mx
= + + +

ủt cc tiu ti
1
3
x =


( )
2
1 1 1
12 2 3 0 2
3 3 3
y m m m


= + + + = =



Vi
2
m
=
,
3 2
4 5 2
y x x x
= + +
2
12 10 2
y x x

= + +

Cỏch 1
:
x




1
2



1
3



+

y


+ 0


0 +
Cỏch 2:

1
2 0
3
y


= >



Bi 8 : Tỡm tham s m ủ hm s
( )
3 2 2
1
1 1
3
y x mx m m x
= + + +
ủt cc ủi ti
1
x
=
.
S:
2
m
=
.
2) Bi toỏn tỡm tham s m ủ hm s
(

)
y f x; m
=
ủt cc ủi ti x
0

Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 3



1. Tập xác ñịnh.
2. ðạo hàm
y
′
.
3. Tìm m ñể phương trình
0
y
′
=
có nghiệm và ñổi dấu khi ñi qua các nghiệm.
Trong các hàm số của chương trình 12, ñạo hàm
y
′
phụ thuộc dấu một tam thức bậc hai
(
)
g x

. Vậy
phương trình
0
y
′
=
có nghiệm và ñổi dấu khi ñi qua các nghiệm
( )
( )
0
0
0
g x
g x
∆ >


⇔

≠


với
0
x
là nghiệm (nếu có) của
mẫu hàm số
(
)
;

f x m
.
Nếu gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của g(x) (tương ứng
1 2
,
y y
và
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
M x y N x y
). Khi này, bài toán ñược
mở rộng thêm theo những hướng sau:
Hướng 1: Liên quan giữa hai nghiệm
1 2
,
x x
của tam thức bậc hai
* Hai nghiệm thoả ñẳng thức
(
)
1 2
; 0

P x x
=
: ta có hệ
( )
1 2
1 2
1 2
; 0
P
b
x x
a
c
x x
a
x x

+ = −


=


=



Hệ 3 ẩn
(
)

1 2
; ;
x x m
, cần khử
1 2
,
x x
ñể tìm m và ñối chiếu ñiều kiện tồn tại cực trị ñể kết luận nghiệm bài
toán.
* Hai nghiệm cùng dấu, trái dấu, thuộc khoảng ñoạn cho trước (so sánh 2 nghiệm với một số).
* Biểu thức
(
)
1 2
;P
x x
(thường là biểu thức ñối xứng) ñạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Hướng 2: Liên quan giữa
1 2
,
y y
.
Lúc này
1 2
,
y y
biểu diễn ñược theo
1 2
,
x x

nên tương ứng có những yêu cầu như hướng 1.
Chú ý: Kỹ thuật tính giá trị cực trị của một số dạng hàm số trong những trường hợp nghiệm
1 2
,
x x
của
phương trình
0
y
′
=
quá phức tạp:
* Với hàm số có dạng phân thức hữu tỉ
( )
( )
( )
u x
y x
v x
=

Ta có
( )
(
)
(
)
(
)
(

)
( )
2
u x v x v x u x
y x
v x
′ ′
−
′
= , hàm số ñạt cực trị tại
0
x
thì
(
)
0
0
y x
′
=

(
)
(
)
(
)
(
)
( )

0 0 0 0
2
0
0
u x v x v x u x
v x
′ ′
−
⇔ =
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0
0
u x v x v x u x
′ ′
⇒ − =
(
)
( )
(
)
( )
0 0
0 0

u x u x
v x v x
′
⇒ =
′

Vậy
(
)
1 1
y y x
=
(
)
( )
1
1
u x
v x
=
(
)
( )
1
1
u x
v x
′
=
′

;
(
)
( )
2
2
2
u x
y
v x
′
=
′

* Với hàm số có dạng ña thức: Thực hiện phép chia ña thức
(
)
y x
của hàm số cho
(
)
y x
′
, ta ñược:
(
)
(
)
(
)

(
)
.
y x y x q x r x
′
= + .
Rõ ràng
1 2
,
x x
là nghiệm của
y
′
nên
(
)
(
)
1 2
0
y x y x
′ ′
= =

Vậy
(
)
(
)
1 1 2 2

;
y r x y r x
= = .
Hướng 3: Liên quan giữa hai ñiểm cực trị của ñồ thị
1. Hai ñiểm cực trị nằm cùng một phía hoặc khác phía so với ñường thẳng cho trước.
2. Viết phương trình ñường thẳng qua hai ñiểm cực trị (dựa cách tính
1 2
,
y y
).
3. Hai ñiểm cực trị cùng với ñiểm
(
)
0 0 0
;
M x y
cho trước thẳng hàng.
4. Hai ñiểm cực trị nhận
(
)
0 0 0
;
M x y
làm trung ñiểm.
3) Bài toán tìm tham số m ñể hàm số
(
)
y f x; m
= có cực trị (ñiểm cực trị, giá trị cực trị)
Bài toán liên quan khảo sát hàm số

Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 4
5. Hai ñiểm cực trị ñối xứng qua ñường thẳng (d) cho trước.
6. Khoảng cách giữa hai ñiểm cực trị nhỏ nhất.
7. Khoảng cách từ hai ñiểm cực trị ñến ñường thẳng (d) thoả mãn ñiều kiện (thường là cách ñều).
8. Quỹ tích trung ñiểm của ñoạn thẳng nối 2 ñiểm cực trị.
9. ðường thẳng qua 2 ñiểm cực trị tạo với ñường thẳng (d) cho trước một góc
ϕ
.
Các dạng trong hướng 3, bạn phải vận dụng kiến thức “tọa ñộ trong mặt phẳng” ñể giải.
ðồ thị hàm số
y ax bx c
= + +
4 2
,
(
)
2
2 2
y x ax b
′
= +
khi có 3
ñiểm cực trị
(
)
0;
A c
,
;

2
B
b
B y
a
 
−
 
 
 
,
;
2
C
b
C y
a
 
 
 
 
sẽ gặp một số
yêu cầu sau:
a) 3 ñiểm cực trị tạo thành tam giác vuông
b) 3 ñiểm cực trị tạo thành tam giác ñều
c) 3 ñiểm cực trị tạo thành tam giác nhận O làm trọng tâm hoặc
làm tâm ñường tròn ngoại tiếp
d) 3 ñiểm cực trị ñều nằm trên các trục tọa ñộ
e) Viết phương trình Parabol ñi qua 3 ñiểm cực trị.
-2 -1 1 2

-2
-1
1
2
x
y

Bài 9 : Xác ñịnh m sao cho hàm số
(
)
2
2 4 4 1
1
mx m x m
y
x
+ − + −
=
−
có hai cực trị trong miền
0
x
>

Giải
* TXð:
{
}
\ 1
ℝ

*
( )
2
2
2 1
, 1
1
mx mx
y x
x
− −
′
= ∀ ≠
−

* Hàm số có hai cực trị
0
y
′
⇔ =
(*) có hai nghiệm phân biệt
( )
2
2 1 0
g x mx mx
⇔ = − − =
có hai nghiệm phân biệt khác 1
(
)

2
1 0
0
0
g
m
m m
 ≠

⇔ ≠


′
∆ = + >


1
0
1 0
m
m
m m
≠ −


⇔ ≠


< − ∨ >


Hai cực trị trong miền
0
x
>
khi
(
)
0
g x
=
có hai nghiệm dương
1 2
1 2
0
. 0
S x x
P x x
= + >

⇔

= >

2 0
1
0
m
>



⇔

− >



0
m
⇔ <

ðS:
(
)
; 1
m
∈ −∞ −
.
Bài 10 : Cho hàm số
(
)
( )
3 2 2 3 2
3 3 1 1
y x mx m x m m=− + + − + − (m là tham số )
Viết phương trình ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1).
ðS:
2
2
y x m m

= − +
.
Bài 11 : Cho hàm số
(
)
3 2
2 3 3 11 3
y x m x m
= + − + − .
Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị
,
M N
và ba ñiểm
(
)
, , 0; 1
M N A
−
thẳng hàng.
HD:
(
)
2
6 6 3
y x m x
′
= + −
* Hàm số có hai cực trị
3
m

⇔ ≠
.
* Ba ñiểm thẳng hàng
Chia
y
cho
y
′
, ta ñược:
( )
2
1 3
. 3 11 3
3 6
m
y y x m x m
−
 
 
′
= + + − − + −
 
 
 

ðường thẳng MN ñi qua các ñiểm cực trị của ñồ thị là
( )
2
: 3 11 3
d y m x m

= − − + −
(
)
, , 0; 1
M N A
−
thẳng hàng
A d
⇔ ∈
1 11 3
m
⇔ − = −
4
m
⇔ =
.
ðS:
4
m
=
.
Bài 12 : Cho hàm số
3 2
3
y x x mx m
= − + +
. Tìm tham số m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu và các ñiểm cực ñại,
cực tiểu ñối xứng nhau qua ñường thẳng (d):
2 5 0
x y

− − =
.
Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 5
HD:
2
3 6
y x x m
′
= − +
là tam thức bậc hai
* Hàm số có cực ñại và cực tiểu
⇔
pt
0
y
′
=
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
( )
/
3 3 0 3
m m
⇔ ∆ = − > ⇔ <

Toạ ñộ các ñiểm cực trị là

(
)
1
1
2 6 4
;
3
m x m
M x
 − + 
 
 
,
(
)
2
2
2 6 4
;
3
m x m
N x
 − + 
 
 
với
1 2
2
x x
+ =

,
1 2
3
m
x x
=

* Hai ñiểm cực trị M, N ñối xứng qua ñường thẳng (d)
MN u
I d

⊥

⇔

∈


 

trong ñó I
1 2 1 2
2 6 4
;
2 3 2 3
x x x x
m m
+ +
−
 

+
 
 
=
(
)
1;2 2
m
−
là trung ñiểm ñoạn MN,
(
)
2;1
u =

là VTCP của (d)
0
I d m
∈ ⇔ =
(
)
(
)
1 1 2 2
; 2 , ; 2
M x x N x x
⇒ − −
(
)
(

)
2 1 1 2
;2
MN x x x x
⇒ = − −

. Rõ ràng
MN u
⊥
 

ðS:
0
m
=
.
Bài 13 : Cho hàm số
2
2 2
1
x mx
y
x
+ +
=
+
. Tìm m ñể ñồ thị hàm số có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu và khoảng cách
từ chúng ñến ñường thẳng
2 0
x y

+ + =
bằng nhau.
HD:
( )
2
2
2 2 2
1
x x m
y
x
+ + −
′
=
+


0
y
′
=
( )
2
2 2 2 0
1
f x x x m
x

= + + − =


⇔

≠



Hàm số có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu ⇔ pt
( ) 0
f x
=
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;
x x
khác
1
−

(
)
/
1 0
3 2 0
f
m
 − ≠

⇔

∆ = − >




3
2
m
⇔ <

Toạ ñộ các ñiểm cực trị
(
)
(
)
1 1 2 2
;2 2 , ;2 2
M x x m N x x m
+ + với
1 2 1 2 1 2
, 2, 2 2
x x x x x x m
≠ + = − = −

Theo ñề bài ta có :
( )
1 1 2 2
3
2
2 2 2 2 2 2
*
2 2

m
x x m x x m

<



+ + + + + +

=




1 2
x x
≠
nên (*)
1 2
3 2 2 3 2 2
2 2
x m x m
+ + + +
⇔ = −
1 2
3 2 2 3 2 2
x m x m
⇔ + + = − − −

(
)
1 2
3 4 4 0
x x m
⇔ + + + =
6 4 4 0
m
⇔ − + + =
4 2
m
⇔ =

ðS :
1
2
m
=

Bài 14 : Cho hàm số
3 2
1
1
3
y x mx x m
= − − + +
. Chứng minh rằng với mọi tham số m hàm số luôn có cực ñại,
cực tiểu. Tìm m ñể khoảng cách giữa các ñiểm cực ñại và cực tiểu là nhỏ nhất.
HD:
2

2 1
y x mx
′
= − −

2
1 0,
m m
′
∆ = + > ∀
⇒
0
y
′
=
luôn có 2 nghiệm phân biệt, hay ñồ thị hàm số luôn có ñiểm cực ñại và ñiểm
cực tiểu:
( ) ( )
2 2
1 1 2 2
2 2 2 2
; 1 1 , ; 1 1
3 3 3 3
M x m x m N x m x m
   
− + + + − + + +
   
   
với
1 2 1 2

2 ; . 1
x x m x x
+ = = −


( )
( )
( )
2
2 2
2 2
1 2 1 2
4
1
9
MN x x m x x
= − + + −
=
( )
( )
2
2
2
1 2
1
9 4 1
9
m x x
 
+ + −

 
 

=
( )
( )
2
2
2
1 2 1 2
1
9 4 1 4
9
m x x x x
 
 
+ + + −
 
 
 
=
( )
( )
2
2 2
1 1 13.4
4 1 9 4 4 4 9 4
9 9 9
m m
 

 
+ + + ≥ + =
 
 
 

Vậy
MN
nhỏ nhất khi
2
13
3
MN =
và lúc ñó
0
m
=
.
Bài 15 : Cho hàm số
(
)
2
2 3 2
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+

Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 6
Xác ñịnh m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu. Gọi các giá trị cực trị là
1 2
;
y y
. Chứng minh
2 2
1 1
1
2
y y
+ >

ðS:
1
2
m
> −

( ) ( )
2
2 2
1 2
2 2 4 2 8
y y m m
 
+ = + − + −

 

Bài 16 : Cho hàm số
(
)
3 2
2 3 3 11 3
y x m x m
= + − + − (m là tham số ). Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị
sao cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị vuông góc với ñường thẳng
: 2 1 0
d x y
− + =

ðS:
3 2
m = ±



Dạng 1
: Tiếp tuyến với ñường cong
(
)
(
)
:
C y f x
= tại ñiểm
(

)
0 0
; ( )
M x f x

• Hệ số góc tiếp tuyến:
(
)
0
f x
′

• Phương trình tiếp tuyến:
(
)
(
)
(
)
0 0 0
y f x f x x x
′
− = −
Chú ý: 1) Có thể thay cụm từ “tại ñiểm” bởi “tại ñiểm có hoành ñộ
0
x
” hoặc “tại ñiểm có tung ñộ
0
y
”.

2) Kỹ thuật tính hệ số góc của tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ
0
x
là giao ñiểm của ñồ thị hàm số
(
)
( )
u x
y
v x
= với trục hoành như sau:
* Phương trình hñộ giao ñiểm của ñồ thị với trục hoành:
(
)
( )
( )
0 0
u x
u x
v x
= ⇒ =
(*), gọi
0
x
là nghiệm của (*)
*
(
)
(
)

(
)
(
)
( )
2
. .
u x v x v x u x
y
v x
′ ′
−
′
=
⇒
( )
(
)
( )
0
0
0
u x
y x
v x
′
′
= .
Dạng 2
: Tiếp tuyến với ñường cong

(
)
(
)
:
C y f x
= biết hệ số góc k của tiếp tuyến (song song, vuông góc, tạo
với ñường thẳng cho trước góc
ϕ
)
• Gọi
0
x
là hoành ñộ tiếp ñiểm
• Hệ số góc tiếp tuyến:
(
)
0
f x
′

• Giải phương trình
(
)
0
f x k
′
=
theo
0

x

Chú ý: Cho 2 ñường thẳng :
d y ax b
= +
, :
d y a x b
′ ′ ′
= +

*
//
a a
d d
b b
′
=

′
⇔

′
≠

*
. 1
d d a a
′ ′
⊥ ⇔ = −
*


(
)
;d d
ϕ
′
=
2 2
. 1
cos
1. 1
a a
a a
ϕ
′
+
⇔ =
′
+ +

Dạng 3
: Tiếp tuyến với ñường cong
(
)
(
)
:
C y f x
= ñi qua ñiểm
(

)
0 0
;
M x y

Cách 1: * Gọi
1
x
là hoành ñộ tiếp ñiểm
* Phương trình tiếp tuyến
(
)
(
)
(
)
1 1 1
y f x f x x x
′
− = −
* Tiếp tuyến ñi qua
(
)
0 0
;
M x y
nên có phương trình
(
)
(

)
(
)
0 1 1 0 1
y f x f x x x
′
− = − ẩn là
1
x

Cách 2: * Gọi (d) là ñường thẳng ñi qua
M
có hệ số góc k, phương trình (d):
(
)
0 0
y k x x y
= − +

* (d) tiếp xúc với
(
)
C
khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
(
)
(
)
( )
0 0

f x k x x y
f x k

= − +


′
=




Bài 17 : Tìm trên ñường thẳng (d):
1
y x
= −
những ñiểm mà từ ñó kẻ ñúng một tiếp tuyến với ñồ thị hàm số
( )
2
2
1
x
y
x
−
=
−
.
Giải: TXð:
{

}
\ 1
ℝ

( )
2
2
2
, 1
1
x x
y x
x
−
′
= ∀ ≠
−

Cách 1
:
4) Bài toán tiếp tuyến
Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 7
Gọi
1
x
là hoành ñộ tiếp ñiểm
(
)

1
1
x
≠

Phương trình tiếp tuyến
(
)
( )
( )
2
2
1
1 1
1
2
1
1
2
2
1
1
x
x x
y x x
x
x
−
−
− = −

−
−

Gọi
(
)
(
)
; 1
M a a d
− ∈ . Tiếp tuyến ñi qua
M
khi và chỉ khi
(
)
( )
( )
2
2
1
1 1
1
2
1
1
2
2
1
1
1

x
x x
a a x
x
x
−
−
− − = −
−
−

( )( ) ( ) ( )
(
)
( )
2 2
2
1 1 1 1 1 1
1 1 2 1 2
a x x x x x a x
⇔ − − − − − = − −
2
1
x

( )
(
)
(
)

( )
2 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 4 4 1 2 2
a x x x x x ax x ax x
⇔ − − + − − + − = − − +

( ) ( ) ( )
(
)
2 3 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 5 8 4 2 2
a x a x a x x x ax x ax x
⇔ − − − + − − − + − = − − +
2
1 1
2 6 3 0
x x a
⇔ − + + =
(*)
Vậy từ M có ñúng một tiếp tuyến ñến ñồ thị khi và chỉ khi phương trình (*) có ñúng một nghiệm
1
x
hay khi
3
3 2 0
2
a a
′

∆ = − = ⇔ =

Cách 2:
Gọi
(
)
; 1
M a a
−
là ñiểm cần tìm,
k
là hệ số góc của ñường thẳng d ñi qua
M
, ta có:
(
)
: 1
d y k x a a
= − + −

Từ
M
có ñúng một tiếp tuyến với ñồ thị khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
( )
( )
( )
2
2
2
2

1
1
2
1
x
k x a a
x
x x
k
x

−
= − + −

−


−

=

−


( )( )
(
)
( ) ( ) ( )
2
2 2 2

1 2 2 1 1 2 6 3 0
x x x x x a x a x x a
⇒ − − = − − + − − ⇔ − + + =
(*)
Hệ có nghiệm duy nhất
⇔
(*) có nghiệm kép khác 1
2
1
3
2.1 6.1 3 0
3
2
9 2 6 0
2
a
a
a
a
a
≠


− + + ≠
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
=
′
∆ = − − =






ðS:
3 1
;
2 2
 
 
 
là tọa ñộ ñiểm cần tìm
Bài 18 : Cho hàm số
2
2
x m x m
y
x
+ +
=
+
. Tìm m ñể ñồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt và tiếp
tuyến tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau.
Giải:
{
}
\ 2
D
= −

ℝ


( )( )
(
)
( )
2
2
2 2
2
x m x x m x m
y
x
+ + − + +
′
=
+
( )
2
2
4
2
x x m
x
+ +
=
+

ðồ thị cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt khi và chỉ khi

2
0
2
x m x m
x
+ +
=
+
có hai nghiệm phân biệt
( )
2
0
f x x m x m
⇔ = + + =
(*) có hai nghiệm phân biệt khác
2
−

(
)
2
2 0
4 0
f
m m
− ≠
⇔
− >






2
4 0
4 0
m
m m
− ≠
⇔
− >



0 4
m m
⇔ < ∨ >

Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của (*), ta có
1 2 1 2
,
x x m x x m
+ = − =

Hệ số góc của hai tiếp tuyến:
( )

( )( )
(
)
( )
2
1 1 1 1
1
2
1
2 2
2
x m x x mx m
y x
x
+ + − + +
′
=
+
1
1
2
2
x m
x
+
=
+
( )
2
2

2
2
,
2
x m
y x
x
+
′
=
+

Hai tiếp tuyến vuông góc nhau
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
2 2
1 . 1
2 2
x m x m
y x y x
x x
+ +
′ ′
⇔ = − ⇔ = −
+ +

Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013

trang 8
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
2 2 2 2
x m x m x x
⇔ + + = − + +
( )( )
2
1 2 1 2
5 2 2 4 0
x x m x x m
⇔ + + + + + =

2
3 4 0
m m
⇔ − + + =
1 4
m m
⇔ = − ∨ =

ðS:
1

m
= −
.
Bài 19 : Tìm trên ñồ thị
2
2
1
x x
y
x
+ +
=
−
các ñiểm A ñể tiếp tuyến với ñồ thị tại A vuông góc với ñường thẳng ñi
qua A và tâm ñối xứng của ñồ thị.
ðS:
4 4
4
4
1 8; 3 8
8
 
+ + +
 
 
và
4 4
4
4
1 8; 3 8

8
 
− − −
 
 

Bài 20 : Tìm trên trục hoành các ñiểm mà từ ñó kẻ ñược 2 tiếp tuyến ñến ñường cong
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
+
và hai tiếp
tuyến ñó vuông góc với nhau.
ðS:
(
)
(
)
1 3;0 , 1 3;0
− + − −
.
BÀI TẬP

Câu 1: Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị
3

3
y x x
= −
, biết tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng
1
3
y x
=
.
ðS:
3
y x
= −

Câu 2: Trong tất cả các tiếp tuyến với ñồ thị
3 2
1
1
3
y x mx x m
= − − + +
hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
ðS:
( )
2 3
1
1 1
3
y m x m m
= − + + + +

.
Câu 3: Cho ñồ thị
2
( ) :
2
x x
C y
x
+
=
−
và ñường thẳng
( )
∆
ñi qua ñiểm
(0; )
B b
ñồng thời song song với tiếp tuyến
của
( )
C
tại ñiểm
(0;0)
O . Xác ñịnh
b
ñể
( )
∆
cắt
( )

C
tại hai ñiểm phân biệt
,
M N
. Chứng minh trung ñiểm
I

của ñoạn
MN
nằm trên một ñường thẳng cố ñịnh khi
b
thay ñổi.
ðS:
( )
1
2
y x b
∆ = − +
,
0 12
b b
< ∨ >
, trung ñiểm
I
nằm trên ñường thẳng
5 2 0
x y
− =

Câu 4: Cho hàm số

2
1
1
x x
y
x
+ −
=
−

a) Tìm trên trục tung các ñiểm từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số. Trong các ñiểm ñó những
ñiểm nào mà hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
b) Tìm tập hợp các ñiểm trên mặt phẳng toạ ñộ mà từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến với ñồ thị và hai tiếp tuyến
này vuông góc với nhau.
ðS: a) Có 2 tiếp tuyến từ
(
)
0;
y
với
1, 2
y y
> ≠

Hai tiếp tuyến vuông góc từ
(
)
0;
y
với

3 3
y = ±
Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 9

* ðồ thị hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+

- Nhận ñường thẳng
0
y y
=
làm tiệm cận ngang
0
a
y
c
⇔ =

- Nhận ñường thẳng
0
x x
=
làm tiệm cận ñứng

0
0
0
0
0
c
cx d
ax b
≠


⇔ + =


+ ≠


* ðồ thị hàm số
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+

- Nhận ñường thẳng
0
y y
=

làm tiệm cận ngang
0
0
a
b
y
m
=


⇔

=



- Nhận ñường thẳng
0
x x
=
làm tiệm cận ñứng
0
2
0 0
0
0
0
m
mx n
ax bx c


≠

⇔ + =


+ + ≠


- Nhận ñường thẳng
y kx q
= +
làm tiệm cận xiên
2
0 0
2
0
0
,
m
ax bx c
a bm an
k q
m
m


≠



⇔ + + ≠


−

= =


trong ñó
0
n
x
m
= −

Bài 21 : Tìm tham số m ñể ñồ thị hàm số
(
)
2 2
3 2 2
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
nhận ñường thẳng
2
y x

= −
làm tiệm cận
xiên.
HG:
(
)
2 2
2
3 2 2
lim lim
3
x x
mx m x
y
a m
x
x mx
→±∞ →±∞
+ − −
= = =
+


[ ]
(
)
2 2
3 2 2
2 2
lim lim lim 2

3 3
x x x
mx m x
x
b y mx mx
x m x m
→±∞ →±∞ →±∞
 
+ − −
− −
 
 
= − = − = = −
 
 
+ +
 
 

Vậy
2
y x
= −
là tiệm cận xiên của ñồ thị
1
m
⇔ =

Bài 22 : Tìm tham số m ñể ñồ thị hàm số
(

)
2
2
2 2
1
m m x
y
m x
− −
=
+
nhận lần lượt các ñường thẳng
1, 1
x y
= − = −
làm
tiệm cận ñứng và tiệm cận ngang.
HG:
1
x
= −
là tiệm cận ñứng của ñồ thị
(
)
2
2
1 1
2 2
lim lim
1

x x
m m x
y
m x
± ±
→− →−
− −
⇔ = = ±∞
+

(
)
( )
( )
2
2
2 1 2 0
1 1 0
m m
m
− − − ≠
⇔
− + =





2
2

2 2 0
1
1
m m
m
m
− + − ≠
⇔ ⇔ = ±
=






1
y
= −
là tiệm cận ngang của ñồ thị
(
)
2
2
2 2
2 2
2
lim lim 1 1 1
1
x x
m m x

m m
y m
m x m
→±∞ →±∞
− −
−
⇔ = = − ⇔ = − ⇔ =
+

ðS:
1
m
=
.
5) Tìm tiệm cận (ñứng và ngang) của hàm số, tìm ñiều kiện
ñể ñồ thị hàm số nhận ñường thẳng (ñứng và ngang) có
phương trình cho trước làm tiệm cận:

Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 10

1) Tìm
(
)
M C
∈
sao cho IM nhỏ nhất, với
(
)

(
)
0 0
;
I x y C
∉
:
Xét hàm số
( )
( ) ( )
2 2
2
0 0
( )
g x IM x x f x y
= = − + − . Có thể sử dụng bất ñẳng thức hoặc max, min của hàm
số.
Bài 23 : Tìm trên ñồ thị hàm số
2
2
y x x
= −
các ñiểm sao cho khoảng cách từ các ñiểm ñó ñến ñiểm
(
)
1;0
I nhỏ
nhất.
HG:
(

)
2
; 2
M x x x
−
thuộc ñồ thị,
( )
(
)
2
2
2 2
1 2
IM x x x
= − + −
Xét hàm số
( ) ( )
(
)
2
2
2
1 2
f x x x x
= − + − trên
ℝ

( ) ( ) ( )
2
2 2

1 1 1
f x x x
 
= − + − −
 
( ) ( )
4 2
1 1 1
x x
= − − − +
( )
2
2
1 3
1
2 4
x
 
= − − +
 
 

(
)
f x
nhỏ nhất khi và chỉ khi
( )
2
1
1 0

2
x
− − =
( )
2
1
1
2
x
⇔ − =
2
1
2
x⇔ − =
hoặc
2
1
2
x − = −

ðS:
2 2 1
;
2 2
 
−
−
 
 
 

,
2 2 4 2 1
;
2 2
 
+ −
 
 
 

2) Tìm
(
)
M C
∈ sao cho tam giác MAB với hai ñiểm A, B cho trước có diện tích lớn nhất:
- Viết phương trình ñường thẳng AB:
(
)
(
)
(
)
(
)
A B A A B A
x x y y y y x x
− − = − −
0
ax by c
⇔ + + =

- Gọi
( )
2 2
,
ax by c
d d M AB
a b
+ +
= =
+
(khoảng cách từ ñiểm M ñến ñường thẳng AB)
- Diện tích
1
.
2
S
AB d
= là hàm số một ẩn
x
(vì
(
)
y f x
= )
- Tìm ñiều kiện của
x
ñể S lớn nhất, hay
d
lớn nhất.

Bài 24 : Gọi A là giao ñiểm có hoành ñộ dương của ñồ thị hàm số
3
3
y x x
= −
với trục hoành. Tìm ñiểm M trên
ñồ thị có hoành ñộ
1; 3
x
 
∈
 
sao cho tam giác OMA có diện tích lớn nhất, với O là gốc hệ trục.
HG: Gọi
(
)
(
)
3
; 3 1; 3
M x x x x
 
− ∈
 
là ñiểm cần tìm
Hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị với trục hoành là nghiệm pt:
(
)
3
3 0 3; 0

x x A− = ⇒

1
.
2
OAM
S OAd
=
, trong ñó
( )
3 3
, 3 3
d d M OA x x x x
= = − = − +
vì
1; 3
x
 
∈
 


OAM
S lớn nhất
⇔
Hàm số
3
3
d x x
= − +

lớn nhất trên
1; 3
 
 


2
3 3, 0 1
d x d x
′ ′
= − + = ⇔ = ±

( )
(
)
{
}
( )
max max 1 ; 3 1 2
d d d d
= = =

ðS:
(
)
1; 2
M
−

3) Tìm

(
)
M C
∈ sao cho tam giác MAB (với hai ñiểm A, B cho trước) là tam giác vuông:
Tam giác
MAB
vuông khi và chỉ khi
,
M A M B
≠ ≠
và
. 0
MA MB
=
 
- phương trình theo hoành ñộ
x
của
ñiểm M
Bài 25 : Gọi A, B là giao ñiểm có hoành ñộ khác 0 của ñồ thị hàm số
3
3
y x x
= −
với trục hoành. Tìm hoành ñộ
của các ñiểm M trên ñồ thị sao cho tam giác MAB vuông.
ðS:
3 5
2
±

±

4) Tìm ñiểm cố ñịnh của họ ñường cong
(
)
(
)
: ;
m
C y f x m
=

(
)
;
M x y
là ñiểm cố ñịnh của họ ñường cong khi và chỉ khi
6) Bài toán tìm ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ thoả mãn tính chất
Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 11
(
)
(
)
; ,
m
M x y C m
∈ ∀
(

)
(
)
; * ,
y f x m m
⇔ = ∀

Phương trình (*) (theo ẩn
m
) nghiệm ñúng với mọi
m
khi và chỉ khi tất cả các hệ số của phương trình cùng
bằng 0. Giải hệ ñó tìm ñược
(
)
;
x y
là tọa ñộ của ñiểm cố ñịnh.
Một số bài toán khác suy ra từ bài toán ñiểm cố ñịnh:
• Tìm ñiểm trong mp tọa ñộ có duy nhất một ñường cong của họ
(
)
m
C
ñi qua: pt (*) có nghiệm
m
duy
nhất.
• Tìm ñiểm trong mp tọa ñộ không thuộc bất kì ñường cong nào của họ
(

)
m
C
: (*) vô nghiệm.
pt
(
)
*
có dạng
0
am b
+ =

pt
(
)
*
có dạng
2
0
am bm c
+ + =

(*) có nghiệm duy nhất
0
a
⇔ ≠

(*) vô nghiệm
0 0

a b
⇔ = ∧ ≠

(*) có nghiệm duy nhất
0
0
a
b
=

⇔

≠

hoặc
0
0
a
≠


∆ =


(*) vô nghiệm
0
0
0
a
b

c
=


⇔ =


≠

hoặc
0
0
a
≠


∆ <


Bài 26 : Cho họ ñường cong
(
)
(
)
3
: 1
m
C y mx m x
= + − . Tìm trên mặt phẳng tọa ñộ các ñiểm thỏa mãn một trong
các trường hợp sau:

a) Có một ñường cong duy nhất của họ
(
)
m
C
ñi qua.
b) Mọi ñường cong của họ
(
)
m
C
ñều ñi qua.
c) Không có ñường cong nào của họ
(
)
m
C
ñi qua.
HG:
(
)
(
)
;
M x y Oxy
∈

a)
(
)

m
C
ñi qua
(
)
3
1
M y mx m x
⇔ = + −
(
)
3
0
x x m x y
⇔ − + − =
(*)
Có duy nhất một ñường cong ñi qua M
(
)
*
pt
⇔
có nghiệm
m
duy nhất
3
0
x x
⇔ − ≠

0 1 1
x x x
⇔ ≠ ∧ ≠ ∧ ≠ −

Vậy mọi ñiểm trên mp tọa ñộ, không thuộc các ñường thẳng
0, 1, 1
x x x
= = = −
ñều có duy nhất một ñường
cong của họ ñi qua.
b) Mọi
(
)
m
C
ñều ñi qua M
(
)
*
pt
⇔
nghiệm ñúng với mọi
3
0
0
x x
m
x y

− =


⇔

− =


0 1 1
x x x
y x
= ∨ = ∨ = −

⇔

=


Các ñiểm
(
)
(
)
(
)
0;0 , 1;1 , 1; 1
− −
thuộc mọi ñường cong của họ.
c) Không có ñường cong nào của họ ñi qua M
(
)
*

pt
⇔
vô nghiệm
3
0
0
x x
x y

− =

⇔

− ≠


0 1 1
x x x
y x
= ∨ = ∨ = −

⇔

≠


Các ñiểm thuộc các ñường thẳng
0, 1, 1
x x x
= = = −

, trừ 3 ñiểm
(
)
(
)
(
)
0;0 , 1;1 , 1; 1
− −
, không có ñường cong nào
ñi qua.
Bài 27 : Cho họ ñường cong
( )
1
m
mx
y H
x m
−
=
−

a) Tìm các ñiểm cố ñịnh của họ ñường cong
(
)
m
H

b) Tìm trên mặt phẳng tọa ñộ các ñiểm thỏa mãn một trong các trường hợp sau:
* Có duy nhất một ñường cong của họ ñã cho ñi qua

* Không có ñường cong nào của họ ñã cho ñi qua
HG:
1
1
x m
mx
y
xy my mx
x m
≠

−
= ⇔

− = −
−


5) Tìm trên
(
)
m
C
các cặp ñiểm ñối xứng qua ñiểm
(
)
(
)
0 0
;

I x y C
∉ :
- Gọi
(
)
(
)
1 1 2 2
; , ;
M x y M x y
′
là cặp ñiểm cần tìm
Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 12
- Giải hệ
1 1
2 2
1 2 0
1 2 0
1 2
( )
( )
2
2
y f x
y f x
x x x
y y y
x x

=


=


+ =


+ =


≠


Bài 28 : Tìm trên ñồ thị của hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
các cặp ñiểm ñối xứng với nhau qua ñiểm
3
0;
2
 
 

 

HG: Gọi
(
)
(
)
; , ;
M x y M x y
′ ′ ′
là cặp ñiểm cần tìm, ta có:

2
2 2
1 , 1
1 1
2 2 5 1
0
1 5 5
1 1
5 1
3
0, 1
0
y y
x x
x x
x x
x x
x x y

x x
y y
x x
x
x x

′
= + = +
′
= −


′
= −

′
− −



± +
 
′
+ =
⇒ + = ⇔ = ⇔ = ± ⇒ =
  
− − −
± −
  
′

+ =
≠ ≠ ±

≠
 

′
≠



6) Tìm ñiểm thuộc ñồ thị hàm số có toạ ñộ là các số nguyên.
Bài 29 : Tìm trên ñường cong của hàm số
3
2 1
x
y
x
−
=
−
các ñiểm có tọa ñộ là những số nguyên.
HG:
5
2 1
2 1
y
x
+ =
−

x, y nguyên
5 2 1
x
⇔ −
⋮
2 1 1 2 1 5
x x
⇔ − = ± ∨ − = ±
0 1 3 2
x x x x
⇔ = ∨ = ∨ = ∨ = −

Các ñiểm cần tìm
(
)
(
)
(
)
(
)
0; 3 , 1;2 , 3;0 , 2; 1
− − −
.
7) Tìm trên ñồ thị cặp ñiểm M, N sao cho tiếp tuyến tại các ñiểm ñó song song hoặc vuông góc nhau:
- Gọi
(
)
(

)
0 0
; , ;
M x y N x y
là cặp ñiểm cần tìm
- Ta có hệ
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
0
1 1
y f x
y f x
f x f x f x f x
x x

=

=


′ ′ ′ ′

= ∨ = −


≠

.
- Phương trình (1) có nghiệm
x
theo
0
x

Bài 30 : Cho hàm số
2
1
x
y
x
=
+
, tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của ñồ thị tại M cắt hai
trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.


1) Cho 2 ñường cong
(
)

: ( )
C y f x
= và
(
)
: ( )
C y g x
′
= - Căn cứ phương trình hoành ñộ giao ñiểm ñể biện
luận số giao ñiểm (tương ứng số nghiệm).
2) Biện luận số nghiệm của phương trình
( ) 0
h x
=
: Biến ñổi phương trình ñể có một vế là hàm số ñã khảo
sát. Lúc này căn cứ vị trí tương ñối ñể kết luận số nghiệm (tương ứng số giao ñiểm).
Trường hợp phương trình hoành ñộ giao ñiểm có dạng
(
)
f x ax b
= +
mà bạn không thể biện luận ñược thì
bạn có thể xét tiếp tuyến song song với ñường thẳng
y ax b
= +
ñể biện luận.
Chú ý: Thường thì bài toán ñược kẹp vào ñiều kiện hoành ñộ giao ñiểm (nghiệm phương trình) thoả một trong
những tính chất ñã nêu ở bài toán cực trị.
*) ðồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành (hoặc ñường thẳng song song trục hoành) tại 3 ñiểm A, B, C (theo thứ
tự từ trái sang phải) sao cho

AB BC
=
(tương ứng
, ,
A B C
x x x
theo thứ tự lập thành cấp số cộng) hoặc
AB kBC
=

(k cho trước).
7) Bài toán tương giao 2 ñường cong
Bài tốn liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 13
*) ðồ thị hàm số trùng phương cắt trục hồnh (hoặc đường thẳng song song trục hồnh) tại 4 điểm A, B, C, D
(theo thứ tự từ trái sang phải) sao cho
AB BC CD
= =
(tương ứng
, , ,
A B C D
x x x x
theo thứ tự lập thành cấp số
cộng).
3) Giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
y ax bx cx d
= + + +
với trục hồnh:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
x
y

a) Có một điểm chung duy nhất
0(
0
. 0
không có cực trò)
y
y
CD CT
y y

′
′
∆ ≤


⇔ ∆ >





>



b) Tiếp xúc
( )
0
0
0
0
0
. 0
có nghiệm kép
y
CD CT
y x
y x
y y
′

′
 =




=



⇔

∆ >





=




c) Có hai điểm chung phân biệt
0
. 0
y
CD CT
y y
′

∆ >


⇔

=


d) Có 3 điểm chung phân biệt
0
. 0
y
CD CT
y y
′
∆ >


⇔

<



4) Giao điểm của đồ thị hàm số
4 2
y ax bx c
= + +
với trục hồnh:
Phương trình hồnh độ giao điểm

4 2
0
ax bx c
+ + =
(1)
2
0
at bt c
→ + + =
(2)
Gọi
(
)
1 2 1 2
,
t t t t
<
là hai nghiệm dương của (2), khi đó nghiệm của (1) là
2 1 1 2
, , ,
t t t t
− −

Bài 31 : Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
= − +
. Biện luận số nghiệm phương trình:
3 2

3 9 5 12 0
x x x m
− + + − =
.
HD: * Khảo sát, vẽ đồ thị
(
)
3 2
: 3 4
C y x x
= − +

* Pt
3 2
5
3 4
3 3
m
x x x
⇔ − + = − +

Số nghiệm phương trình bằng số giao điểm của (C) và đường
thẳng
5
:
3 3
m
d y x
= − +
.

Các tiếp tuyến với (C) có hệ số góc bằng
5
3
−
là
1
5 115
:
3 27
d y x= − +
,
2
5 83
:
3 27
d y x= − +

1)
115
m
>
hoặc
83
m
<
: d nằm ngồi
1
d
và
2

d
nên cắt (C)
tại 1 điểm – pt có 1 nghiệm phân biệt.
2)
115
m
=
hoặc
83
m
=
: d trùng
1
d
hoặc
2
d
nên giao (C)
tại 2 điểm phân biệt – pt có 2 nghiệm phân biệt.
3)
83 115
m
< <
: d nằm giữa
1
d
và
2
d
nên giao (C) tại 3

điểm phân biệt – pt có 2 nghiệm phân biệt.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

Bài 32 : Tìm m để đồ thị hàm số
3 2
2 8
y mx x x m
= + − −
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lớn
hơn 0.
HD: Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị với trục hồnh:
3 2
2 8 0
mx x x m
+ − − =
(1)
( ) ( )
2
2
2 1 4 0 2
x

mx m x m
=

⇔

+ + + =



* ðồ thị cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt
⇔
(2) có hai nghiệm phân biệt khác
2

Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 14

( )
2
2
0
2 1 16 0
4 4 2 4 0
m
m m
m m m
≠




⇔ ∆ = + − >


+ + + ≠



2
0
12 4 1 0
1
6
m
m m
m

≠


⇔ ∆ = − + + >



≠ −


{ }
1 1
; \ 0

6 2
m
 
⇔ ∈ −
 
 

* Hoành ñộ giao ñiểm dương
⇔
hai nghiệm của (2) cùng dương
2 1
0
4 0
b m
S
a m
c
P
a
+

= − = − >


⇔


= = >



ðS:
1
0
6
m
− < <

ðỀ THI ðẠI HỌC
Câu 1: (2008A) Cho hàm số
(
)
2 2
3 2 2
3
mx m x
y
x m
+ − −
=
+
(1) với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=

2. Tìm các giá trị của

m
ñể góc giữa hai ñường tiệm cận của ñồ thị hàm số (1) bằng
0
45
.
Câu 2: (2008B) Cho hàm số
3 2
4 6 1
y x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến ñó ñi qua ñiểm
(
)
1; 9
M
− −
.
Câu 3: (2008D) Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1).
2. Chứng minh rằng mọi ñường thẳng ñi qua ñiểm
(
)
1;2

I với hệ số góc
(
)
3
k k
> −
ñều cắt ñồ thị hàm số (1) tại 3
ñiểm phân biệt I, A, B ñồng thời I là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB.
Câu 4: (Dự bị 2008A) Cho hàm số
(
)
3 2
3 1 1
y x mx m x
= + + + +
(1) với
m
là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
= −

2. Tìm các giá trị của
m
ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) tại ñiểm có hoành ñộ
1
x
= −
ñi qua ñiểm

(
)
1;2
A
.
Câu 5: (Dự bị 2008A) Cho hàm số
4 2
8 7
y x x
= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1)
2. Tìm các giá trị của
m
ñể ñường thẳng
9
y mx
= −
tiếp xúc với ñồ thị hàm số (1).
Câu 6: (Dự bị 2008B) Cho hàm số
(
)
3 2
3 3 2 1
y x x m m x
= − − + −
(1) với
m
là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi

0
m
=
.
2. Tìm các giá trị của
m
ñể hàm số (1) có hai ñiểm cực trị cùng dấu.
Câu 7: (Dự bị 2008B) Cho hàm số
(
)
2
3 2 1 2
2
x m x m
y
x
+ − + −
=
+
(1) với
m
là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
2. Tìm các giá trị của
m
ñể hàm số (1) ñồng biến trên từng khoảng xác ñịnh của nó.

Câu 8: (Dự bị 2008D) Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
+
=
+
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1).
2. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa ñộ và tiếp tuyến với ñồ thị hàm số (1) tại ñiểm
(
)
2;5
M − .
Câu 9: (2009A) Cho hàm số
2
2 3
x
y
x
+
=
+
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai
ñiểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa ñộ O.
Câu 10: (2009B) Cho hàm số

4 2
2 4
y x x
= − (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1).
Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 15
2. Với các giá trị nào của
m
, phương trình
2 2
2
x x m
− =
có ñúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Câu 11: (2009B-NC) Tìm các giá trị của tham số
m
ñể ñường thẳng
y x m
= − +
cắt ñồ thị hàm số
2
1
x
y
x
−
=

tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho
4
AB
=
.
Câu 12: (2009D) Cho hàm số
(
)
4 2
3 2 3
y x m x m
= − + +
có ñồ thị là
(
)
m
C
,
m
là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
0
m
=
.
2. Tìm
m
, ñể ñường thẳng
1
y

= −
cắt ñồ thị
(
)
m
C
tại 4 ñiểm phân biệt ñều có hoành ñộ nhỏ hơn 2.
Câu 13: (2009D-NC) Tìm các giá trị của tham số
m
ñể ñường thẳng
2
y x m
= − +
cắt ñồ thị hàm số
2
1
x x
y
x
+ −
=
tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho trung ñiểm của ñoạn thẳng AB thuộc trục tung.
Câu 14: (2010A) Cho hàm số
(
)
3 2
2 1
y x x m x m
= − + − +
(1) với

m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi
1
m
=
.
2. Tìm
m
, ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ
1 2 3
, ,
x x x
thỏa mãn ñiều kiện
2 2 2
1 2 3
4
x x x
+ + <
.
Câu 15: (2010B) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị
(
)
C
của hàm số ñã cho.
2. Tìm
m
, ñể ñường thẳng 2
y x m
= − +
cắt ñồ thị
(
)
C
tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện
tích bằng
3
(O là gốc tọa ñộ).
Câu 16: (2010D) Cho hàm số
4 2
6
y x x
= − − +

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị
(
)
C
của hàm số ñã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị

(
)
C
, biết tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng
1
1
6
y x
= −
.
Câu 17: (2011A) Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
−

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.
2. CMR với mọi m ñường thẳng
y x m
= +
luôn cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt A và B. Gọi
1 2
,
k k
lần lượt là hệ số
góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m ñể tổng

1 2
k k
+
ñạt giá trị lớn nhất.
Câu 18: (2011B) Cho hàm số
(
)
4 2
2 1
y x m x m
= − + +
(1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=

2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị A, B, C sao cho
OA BC
=
; trong ñó O là gốc tọa ñộ, A là ñiểm
cực trị thuộc trục tung, B và C là hai ñiểm cực trị còn lại.
Câu 19: (2011D) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=

+
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.
2. Tìm k ñể ñường thẳng
2 1
y kx k
= + +
cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B
ñến trục hoành bằng nhau.
Câu 20: (2012A) Cho hàm số
(
)
4 2 2
2 1
y x m x m
= − + + (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
0
m
=

2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.
Câu 21: (2012B) Cho hàm số
3 2 3
3 3
y x mx m
= − +
(1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1

m
=
.
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Câu 22: (2012D) Cho hàm số
( )
3 2 2
2 2
2 3 1
3 3
y x mx m x
= − − − +
(1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
2. Tìm m ñể hàm số (1) có hai ñiểm cực trị
1
x
và
2
x
sao cho
(
)
1 2 1 2
2 1
x x x x

+ + =
.
Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 16
Câu 23: (2013A) Cho hàm số
3 2
3 3 1
y x x mx
= − + + −
(1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
0
m
=
.
2. Tìm m ñể hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(
)
0;
+∞
.
Câu 24: (2013B) Cho hàm số
(
)
3 2
2 3 1 6
y x m x mx
= − + +
(1), m là tham số thực.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi
1
m
= −
.
2. Tìm
m
ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B sao cho ñường thẳng AB vuông góc với ñường thẳng
2
y x
= +
.
Câu 25: (2013D) Cho hàm số
(
)
3 2
2 3 1 1
y x mx m x
= − + − +
(1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi
1
m
=
.
2. Tìm
m
ñể ñường thẳng
1
y x

= − +
cắt ñồ thị hàm số (1) tại ba ñiểm phân biệt.
Câu 26: (2013Cð) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị
( )
C
của hàm số ñã cho.
2. Gọi
M
là ñiểm thuộc
( )
C
có tung ñộ bằng 5. Tiếp tuyến của
( )
C
tại
M
cắt các trục tọa ñộ
Ox
và
Oy

lần
lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Câu 27: (2013D-NC) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
( )
2
2 3 3
1
x x
f x
x
− +
=
+
trên ñoạn
[
]
0;2
.

BÀI TẬP ðỀ XUẤT
Bài 1: Cho hàm số
(
)
3 2
2 1
y x x m x m
= − + − +
.
a) Tìm
m

ñể hàm số nghịch biến trên khoảng
(
)
0; 3
.
b) Tìm
m
ñể hàm số có hai ñiểm cực trị nằm về hai bên so với trục tung.
c) Tìm
m
ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị
,
A B
và ñường thẳng
AB
song song với ñường thẳng
2
y x
= −
.
d) Tìm các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ mà mọi ñồ thị của hàm số ñều ñi qua.
e) Tìm các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ mà không thuộc bất kì ñồ thị nào của hàm số.
ðS: a)
16
m
≥
b)
1
m
>

c)
8
3
m
=
d)
(
)
1;0
e) ðường thẳng
1
x
=
trừ ñiểm
(
)
1;0

Bài 2: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
.
a) Biện luận theo
m

số giao ñiểm của ñường thẳng
(
)
:
d y x m
= +
với ñồ thị hàm số.
b) Tìm trên ñồ thị hàm số các ñiểm mà tiếp tuyến tại các ñiểm này tạo với ñường thẳng chứa trục hoành góc
0
45
.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số, biết tiếp tuyến này vuông góc với ñường thẳng
4
y x
= −
.
d) Tìm hoành ñộ của các ñiểm trên ñồ thị sao cho tiếp tuyến tại các ñiểm ñó tạo với ñường thẳng
y x
=
góc
0
60
.
ðS: a) *
1
m
=
hoặc
3
m

=
:
(
)
d
tiếp xúc
(
)
C

*
3
m
>
hoặc
1
m
<
:
(
)
d
cắt
(
)
C
tại hai ñiểm phân biệt
*
1 3
m

< <
:
(
)
d
và
(
)
C
không có ñiểm chung
b)
(
)
(
)
0;1 , 2;3
− c)
( ) ( )
1 1
5 , 13
4 4
y x y x= + = + d)
1 2 3, 1 2 3
− ± + − ± −
Bài 3: Cho hàm số
3 2
3
y x x mx
= − + (1)
a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi

0
m
=

b) Tìm
m
ñể tiếp tuyến với ñồ thị của hàm số (1) cắt các trục tọa ñộ tại các ñiểm phân biệt A, B sao cho diện tích
tam giác OAB bằng
3
2
.
ðS: b)
2, 4
m m
= = −

Bài 4: (Từ B2011) Cho hàm số
(
)
4 2
2 1
y x m x m
= − + +
(1), m là tham số.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
0
m
=

Bài toán liên quan khảo sát hàm số

Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 17
b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị A, B, C (theo thứ tự từ trái qua phải) sao cho
ABC
là tam giác
vuông.
ðS:
0
m
=

Bài 5: (Từ D2011) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.
2. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ O cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm phân biệt A, B sao cho O là trung
ñiểm ñoạn AB.
ðS:
2
y x
=

Bài 6: Tìm m sao cho hàm số

(
)
3 2
2 3 3 11 3
y x m x m
= + − + −
ñồng biến trên nửa ñoạn
[
)
1;
+ ∞

ðS:
2
m
≥

Bài 7: (Từ A2011) Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục tọa ñộ tại các ñiểm A, B và tam
giác OAB vuông cân.

Bài 8: Cho hàm số
3 2
2
y x x
= −
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số ñã cho.
2. Tìm các ñiểm trên trục hoành sao cho từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến (C) và chúng vuông góc với nhau.
3. Tìm các ñiểm trên trục hoành sao cho từ ñó kẻ ñúng một tiếp tuyến ñến (C).
ðS: 2. Hệ
3 2
2
2 ( )
3 4
x x k x a
k x x

− = −


= −


có 2 nghiệm
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
x k x k
và
1 2
1
k k

= −
:
1
; 0
8
 
−
 
 

3. Các ñiểm
( ; 0)
a với
2
2
9
a
< <

Bài 9: (Từ D2011) Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
. Tìm trên trục tung những ñiểm mà từ ñó kẻ ñược duy nhất một tiếp
tuyến với ñồ thị của hàm số.

ðS: Hệ
2
2 1
1
1
( 1)
x
kx b
x
k
x
+

= +

+



=

+

có nghiệm duy nhất hay
(
)
(
)
2
2 2 1 1 0

b x b x b
− + − + − =
có nghiệm duy nhất
(
)
(
)
0;1 , 0; 2

Bài 10: (Từ A2012) Cho hàm số
(
)
4 2 2
2 1
y x m x m
= − + + (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=

2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có ba ñiểm cực trị ñều nằm trên các trục tọa ñộ
ðS:
1
2
m
= −

Bài 11: (Từ 2012B) Cho hàm số
3 2 3

3 3
y x mx m
= − +
(1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.
2. Tìm m ñể hàm số (1) ñồng biến trên khoảng
(
)
0;
+ ∞
.
Bài 12: Cho hàm số
( )
3 2
3 2
3 3
1 3
2 2
m m
y x m x mx
−
= − + + + (1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
0
m
=

.
2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) có hai ñiểm cực trị A và B sao cho ba ñiểm O, A, B lập thành một tam giác vuông
(O là gốc hệ trục).
ðS:
5
1 4
m = + . Muốn bài toán ñơn giản hơn bạn nói rõ OAB vuông tại A.
Bài 13: Cho hàm số
3 2
3 3
y x x
= − +
(1) ), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến với ñồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến ñó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai
ñiểm phân biệt A, B và
9.
OB OA
=

Bài toán liên quan khảo sát hàm số
Nguyễn Tích ðức – TCV 8/2013
trang 18
ðS:
9 8
y x
= +
,
9 24
y x

= −

Bài 14: Cho hàm số
3 2
3
y x x mx
= − +
(1) ), m là tham số thực
1. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
0
m
=

2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba ñiểm phân biệt có hoành ñộ lập thành một cấp số cộng.
ðS:
2
m
=

Bài 15: (Từ 2012B) Cho hàm số
3 2
3 4
y x mx m
= − +
(1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=
.

2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành.
ðS:
{
}
0; 1;1
m∈ −

Bài 16: Cho hàm số
y x mx m
= − + +
4 2
2 1
(1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
1
m
=

2. Tìm m ñể ba ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) tạo thành một tam giác nhận gốc tọa ñộ O làm trọng tâm.
3. Tìm m ñể ba ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) tạo thành một tam giác nhận gốc tọa ñộ O làm tâm ñường tròn
ngoại tiếp.
ðS: 2.
m
+
=
3 33
4
3.
m
±

=
3 5
2