Giáo trình phân tích khả năng vận dụng cấu tạo phương thức sử dụng toán tử divergence p9 pot

Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 145
Tìm nghiệm của bài toán DE1a dạng tách biến
u(r, ) = V(r)()
Thế vào phơng trình (8.6.1) nhận đợc hệ phơng trình vi phân
() + () = 0 (8.6.3)
r
2
V(r) + rV(r) - V(r) = 0, với 3 (8.6.4)
Phơng trình (8.6.3) có họ nghiệm riêng trực giao, tuần hoàn chu kỳ T = 2

k
(x) = A
k
cosk + B
k
sink,
k
= k
2
với A
k
, B
k
3, k

Thay vào phơng trình (8.6.4) tìm họ nghiệm riêng độc lập và bị chặn
V
k
(r) = C
k

r
k
với C
k
3, k
Suy ra họ nghiệm riêng độc lập của bài toán DE1a
u
0
= a
0
, u
k
(r, ) = r
k
(a
k
cosk + b
k
sink) với a
k
= C
k
A
k
, b
k
= C
k
B
k

, k
*


Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE1a dạng chuỗi hàm
u(r, ) = a
0
+

+
=
+
1k
kk
k
)ksinbkcosa(r
(8.6.5)
Thế vào điều kiện biên (8.6.2)
u(R, ) = a
0
+

+
=
+
1k
kk
k
)ksinbkcosa(R
= g()

Nếu hàm g có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì
a
0
=




2
0
d)(g
2
1
, a
k
=




2
0
k
dkcos)(g
R
1
, b
k
=

2
0
k
dksin)(g
R
1
(8.6.6)

Định lý Cho g C
1
([0, 2], 3) thoả mn g(0) = g(2). Chuỗi hàm (8.6.5) với các hệ số
a
k
và b
k
tính theo công thức (8.6.6) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1a.
Chứng minh
Lập luận tơng tự nh bài toán CP1

Ví dụ Giải bài toán DE1 u = 0 với u(R, ) = 2Rsin
Hàm g() = 2Rsin thoả mn các điều kiện của định lý. Theo công thức (8.6.6)
a
k
= 0 và b
k
= 2R

2
0
k
dksinsin
R
1
=




=
1 k0
1 k 2
với k
*

Suy ra nghiệm của bài toán u(r, ) = 2rsin 2y

Kí hiệu
u(z) = u(r, ) với z = re
i

D
0
Theo kết quả ở Đ8, chơng 3 suy ra bài toán DE1a có nghiệm theo công thức sau đây.
u(z) = Re

=




+

R||
d
)(g
z
z
i2
1
= Re

=


R||
d)(F
i2
1
= ReI(z) (8.6.7)
Click to buy NOW!
P
D
F
-

X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c

o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-

t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 146 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Giả sử trong hình tròn B(0, R) hàm g có các cực điểm khác không a
k
với k = 1 n Theo
công thức tính tích phân Cauchy (4.7.6) ta có
I(z) = ResF(z) + ResF(0) +

=
n
1k
k
)a(sFRe
(8.6.8)

Ví dụ Giải bài toán DE1

u = 0 với u(R,

) = 2Rsin

Chuyển qua toạ vị phức
g(

) = 2R
i
2
1
(e
i

- e
-i

) =
2
22
R
i
1


và F(

) =
2
22
R
z

z
i
1



+

Ta có
I(z) = Res[f, z] + Res[f, 0] =
iz
)Rz(2
22

+
iz
R2
2
= -2iz
Suy ra nghiệm của bài toán
u(z) = Re(-2iz) = 2y

Bài toán DE1b
Cho miền D = [

, R]
ì
[0, 2

] và các hàm g, h

C([0, 2

],
3
)
Tìm hàm u

C(D,
3
) thoả mn phơng trình Laplace


u(r,

) = 0 với (r,

)

D
0
(8.6.9)
và điều kiện biên
u(

,

) = g(

), u(R,

) = h(

) (8.6.10)


Lập luận tơng tự bài toán DE1a, tìm nghiệm của bài toán DE1b dạng tách biến
u(r,

) = V(r)

(

)
Thay vào phơng trình (8.6.9) nhận đợc họ nghiệm riêng độc lập
u
0
= a
0
+ b
0
lnr
u
k
(r,

) = (a
k
r
k

+ b
k
r
-k
)cosk

+ (c
k
r
k
+ d
k
r
-k
)sink

với a
k
, b
k
, c
k
, d
k



3
, k

*



Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE1b dạng chuỗi hàm
u(r,

) = a
0
+ b
0
lnr
+

+
=

+++
1k
k
k
k
k
k
k
k
k
]ksin)rdr(ckcos)rbr[(a

(8.6.11)
Thế vào điều kiện biên (8.6.10)
u(

,

) = a
0
+ b
0
ln

+

+
=

+++
1k
k
k
k
k
k
k
k
k
]k

sin)

d

(ck

cos)

b

[(a
= g(

)
u(R,

) = a
0
+ b
0
lnR +

+
=

+++
1k
k
k
k
k

k
k
k
k
]k

sin)RdR(ck

cos)RbR[(a
= h(

)

Nếu hàm g có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e

w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a

n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt

Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 147
a
0
+ b
0
ln =




2
0
d)(g
2
1
a
0
+ b
0
lnR =




2
0
d)(h
2
1

a
k

k
+ b
k

-k
=




2
0
dkcos)(g
1
a
k
R
k
+ b
k
R
-k
=

2
0
dkcos)(h
1

c
k

k
+ d
k

-k
=




2
0
dksin)(g
1
c
k
R
k
+ d
k
R
-k

=




2
0
dksin)(h
1
(8.6.12)

Định lý Cho các hàm g, h C
1
([0, 2], 3) thoả mn g(0) = g(2), h(0) = h(2). Chuỗi
hàm (8.6.11) với các hệ số a
k
, b
k
, c
k
và d
k
xác định từ hệ phơng trình (8.6.12) là
nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE1b.




Đ7. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật

Bài toán DE2a
Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm g
a
C([0, l], 3)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u =
2
2
2
2
y
u
x
u


+


= 0 với (x, y) D
0
(8.7.1)
và điều kiện biên
u(x, 0) = g
a
(x), u(x, d) = u(0, y) = u(l, y) = 0 (8.7.2)

Tìm nghiệm của bài toán DE2a dạng tách biến
u(x, y) = X(x)Y(y)
Thay vào phơng trình (8.7.1) đa về hệ phơng trình vi phân

X(x) + X(x) = 0
Y(y) - Y(y) = 0
X(0) = X(l) = Y(d) = 0 với 3 (8.7.3)
Bài toán (8.7.3) có họ nghiệm riêng độc lập
X
k
(x) = A
k
sin
x
l
k

, Y
k
(y) = B
k
sh )yd(
l
k


,
k
=
2
l
k

với k
*
Suy ra có họ nghiệm riêng độc lập của bài toán DE2a
u
k
(x, y) = a
k
sh )yd(
l
k


sin x
l
k

với a
k
= A
k
B
k
3, k
*

Tìm nghiệm tổng quát của bài toán DE2a dạng chuỗi hàm
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-

t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Trang 148 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
u(x, y) =

+
=1k
k
)y,x(u
=

+
=

1k
k
x
l
k
sin)yd(
l
k
sha
(8.7.4)
Thế vào điều kiện biên (8.7.2)
u(x, 0) =

+
=

1k
k
x
l
k
sin
l
dk
sha
= g
a
(x)

Nếu hàm g
a
có thể khai triển thành chuỗi Fourier trên đoạn [0, l] thì
a
k
=



l
0
a
xdx
l
k
sin)x(g
l
dk
lsh
2
(8.7.5)

Định lý
Cho hàm g
a


C
1
([0, l],

3
) thoả mn g
a
(0) = g
a
(l) = 0. Chuỗi hàm (8.7.4) với hệ
số a
k
tính theo công thức (8.7.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán DE2a.


Lập luận tơng tự nh trên, chúng ta giải các bài toán sau đây.

Bài toán DE2b

Cho miền D = [0, l]
ì
[0, d] và hàm g
b


C([0, d],
3
).
Tìm hàm u

C(D,
3
) thoả mn phơng trình Laplace

u = 0 với (x, y)

D
0

và điều kiện biên
u(l, y) = g
b
(y), u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0

Định lý
Cho hàm g
b


C
1
([0, d],
3
) thoả mn g
b
(0) = g
b
(d) = 0. Bài toán DE2b có
nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức
u(x, y) =

+
=

1k
k
y
d
k
sinx
d
k
shb
với b
k
=



d
0
b
ydy
d
k
sin)y(g
d
lk
dsh
2
(8.7.6)
Bài toán DE2c
Cho miền D = [0, l]

ì
[0, d] và hàm g
c


C([0, l],
3
).
Tìm hàm u

C(D,
3
) thoả mn phơng trình Laplace


u = 0 với (x, y)

D
0

và điều kiện biên
u(x, d) = g
c
(x), u(0, x) = u(x, 0) = u(l, y) = 0

Định lý
Cho hàm g
c

C
1
([0, l],
3
) thoả mn g
c
(0) = g
c
(l) = 0. Bài toán DE2c có nghiệm
duy nhất và ổn định xác định theo công thức
u(x, y) =

+
=

1k
k
x
l
k
siny
l
k
shc
với c
k
=

l
0
c
xdx
l
k
sin)x(g
l
dk
lsh
2
(8.7.7)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g

e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 8. Phơng Trình Truyền Nhiệt
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 149

Bài toán DE2d
Cho D = [0, l] ì [0, d] và hàm g
d
C([0, d], 3).
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u = 0 với (x, y) D
0

và điều kiện biên
u(0, y) = g
d
(y), u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0

Định lý Cho hàm g
d
C
1
([0, d], 3) thoả mn g
d
(0) = g
d
(d) = 0. Bài toán DE2d có
nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức
u(x, y) =

+
=

1k
k
y
d
k
sin)xl(
d
k
shd

với d
k
=



d
0
d
ydy
d
k
sin)y(g
d
lk
dsh
2
(8.7.8)

Bài toán DE2

Cho miền D = [0, l] ì [0, d], các hàm g
1
, g
3
C([0, l], 3) và g
2
, g
4
C([0, d], 3)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn phơng trình Laplace
u = 0 với (x, y) D
0

và điều kiện biên
u(x, 0) = g
1
(x), u(l, y) = g
2
(y), u(x, d) = g
3
(x), u(0, y) = g
4
(y)

Tìm nghiệm của bài toán DE2 dới dạng
u(x, y) = u
0
(x, y) + u
â
(x, y) + u

b
(x, y) + u
c
(x, y) + u
d
(x, y)
Trong đó u

(x, y) là nghiệm của bài toán DE2.
Hàm
u
0
(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.7.9)
là nghiệm của bài toán DE sao cho u

(x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật.
Do tính liên tục của hàm u(x, y) trên biên D
u(0, 0) = g
4
(0) = g
1
(0) = A
u(l, 0) = g
1
(l) = g
2
(0) = A + Bl
u(l, d) = g
2
(d) = g

3
(l) = A + Bl + Cd + Dld
u(0, d) = g
3
(0) = g
4
(d) = A + Cd
Giải hệ phơng trình trên suy ra
A = g
4
(0) = g
1
(0), B =
l
)0(g)l(g
11

, C =
d
)0(g)d(g
44


D =
ld
)0(g)l(g)0(g)l(g
1133
+
=
ld

)0(g)d(g)0(g)d(g
4422
+
(8.7.10)

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o

c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e

r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.