Giáo trình phân tích khả năng vận dụng cấu tạo phương thức sử dụng toán tử divergence p4 pptx

Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 120 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Bài toán Diriclet (DE) Bài toán Neumann (NE)
Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn Tìm hàm u C(D, 3) thoả mn
phơng trình Laplace phơng trình Laplace
2
2
x
u


+
2
2
y
u


= f(x, y)
2
2
x
u


+
2
2
y
u

= f(x, y)
và điều kiện biên và các điều kiện biên
u

D
= g(x, y) u

D
= g(x, y),
n
u




D
= h(x, y)




Đ4. Bài toán Cauchy thuần nhất

Bài toán CH1a

Cho các miền D = 3, H = D ì 3
+
và hàm h C(D, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng

2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


với (x, t) H
0
(7.4.1)
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0,
t
u


(x, 0) = h(x) (7.4.2)

Đổi biến = x + at, = x - at
Tính các đạo hàm riêng bằng công thức đạo hàm hàm hợp

+


=


uu
x
u
,













=

uu
a
t
u

2
22
2
2
2
2
uu
2
u
x
u


+


+


=


,

+





=


2
22
2
2
2
2
2
uu
2
u
a
t
u

Thế vào phơng trình (7.4.1), nhận đợc phơng trình

0
u

2
=



Tích phân hai lần
u(, ) = () + ()
Trở về biến cũ
u(x, t) = (x + at) + (x - at)
Thế vào điều kiện ban đầu (7.4.2)
u(x, 0) = (x) + (x) = g(x) và
t
u

(x, 0) = a[(x) - (x)] = h(x)
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.

Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 121
Tích phân phơng trình thứ hai, đa về hệ phơng trình
(x) + (x) = 0, (x) - (x) =


x
0
d)(h
a
1

Giải hệ phơng trình trên tìm (x) và (x) và suy ra nghiệm của bài toán
u(x, t) =

+


atx
atx
d)(h
a2
1
(7.4.3)

Định lý Cho hàm h C
1
(D, 3). Bài toán CH1a có nghiệm duy nhất và ổn định xác định
theo công thức (7.4.3)
Chứng minh

Do hàm h C
1
(D, 3) nên hàm u C
2
(H, 3). Kiểm tra trực tiếp
(x, t) H,
t
u


=
2
1
a[h(x + at) + h(x - at)]
2
2
t
u


=
2
1
a[h(x + at) + h(x - at)] = a
2
2
2
x
u

x D, u(x, 0) = 0,
t
u


(x, 0) = h(x)
Nếu u
i
là nghiệm của bài toán
2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


, u(x, 0) = 0,
t
u

(x, 0) = h
i

thì u = u
1
- u
2
là nghiệm của bài toán
2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


, u(x, 0) = 0,
t
u


(x, 0) = h
1
- h

2
= h
Với mỗi T > 0 cố định, kí hiệu B = [x - aT, x + aT] và H
T
= B ì [0, T]. Từ công thức
(7.4.3) chúng ta có ớc lợng sau đây
(x, t) H
T
, | u(x, t) | T sup
B
| h() |
Từ đó suy ra
h = h
1
- h
2
= 0

u = u
1
- u
2
= 0.
|| h || = || h
1
- h
2
|| <

|| u || = || u

1
- u
2
|| < = T
Vậy bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên H
T
với mỗi T cố định. Do tính liên tục
của nghiệm suy ra bài toán có nghiệm duy nhất và ổn định trên H.



Bài toán CH1b
Cho các miền D = 3, H = D ì 3
+
và hàm g C(D, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng

2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u

với (x, t) H
0
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = 0
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w

w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 122 Giáo Trình Toán Chuyên Đề

Định lý Cho g C
2

(D, 3) và v(x, t) là nghiệm của bài toán CH1a với
t
v


(x, 0) = g(x)
Bài toán CH1b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây
u(x, t) =
t
v


(x, t) =

+




atx
atx
d)(g
ta2
1
(7.4.4)
Chứng minh
Do hàm g C
2
(D, 3) nên hàm v C
3

(H, 3) suy ra hàm u C
2
(H, 3).
Kiểm tra trực tiếp
(x, t) H,
2
2
t
u


=
t
v
t
2
2




= a
2

2
2
x
v
t

= a
2
t
v
x
2
2





x D, u(x, 0) =
t
v


(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = a
2
2
2
x

v


(x, 0)
Tính duy nhất và ổn định của nghiệm suy ra từ bài toán CH1a.






Đ5. Bài toán Cauchy không thuần nhất

Bài toán CH1c
Cho các miền D = 3, H = D ì 3
+
và hàm f C(H, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng

2
2
t
u


= a
2
2
2
x

u


+ f(x, t) với (x, t) H
0
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0,
t
u


(x, 0) = 0

Đinh lý
Cho hàm f C(H, 3) và v(x, , t) là nghiệm của bài toán CH1a trên H ì 3
+
với
v(x, , 0) = 0 và
t
v


(x, , 0) = f(x, )
Bài toán CH1c có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức sau đây.
u(x, t) =


t
0
d)t,,x(v (7.5.1)

Chứng minh

Do hàm f C(H, 3) nên hàm v C
1
(H ì 3
+
, 3) suy ra hàm u C
2
(H, 3)
Kiểm tra trực tiếp
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w

w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 123
(x, t) H,
t
u

= v(x, t, 0) +




t
0
d)t,,x(
t
v
=




t
0
d)t,,x(
t
v

2
2
t
u


=

t
v


(x, t, 0) +




t
0
2
2
d)t,,x(
t
v
= a
2




t
0
2
2
d)t,,x(
x
v
+ f(x, t)

x D, u(x, 0) = 0,
t
u


(x, 0) = 0
Tính duy nhất và ổn định của nghiệm suy ra từ bài toán CH1a.



Bài toán CH1
Cho các miền D = 3, H = D ì 3
+
, các hàm f C(H, 3) và g, h C(D, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng

2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u

+ f(x, t) với (x, t) H
0
và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = h(x)

Tìm nghiệm của bài toán CH1 dới dạng
u(x, t) = u
a
(x, t) + u
b
(x, t) + u
c
(x, t)
với u

(x, t) là nghiệm của bài toán CH1.
Kết hợp các công thức (7.4.3), (7.4.4) và (7.5.1) suy ra công thức sau đây.
u(x, t) =

++



+

+

+

t
0
ax
ax
atx
atx
atx
atx
d)t,(fdd)(hd)(g
ta2
1
(7.5.2)

Định lý
Cho các hàm f C(H, 3), g C
2
(D, 3) và h C
1
(D, 3). Bài toán CH1 có

nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức (7.5.2).

Ví dụ Giải bài toán
2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ 2xe
-t
với (x, t) 3 ì 3
+

u(x, 0) = cosx,
t
u


(x, 0) = 2x
Theo công thức (7.5.2) chúng ta có
u(x, t) =

++



+


+

+

t
0
ax
ax
t
atx
atx
atx
atx
dde2d2dcos
ta2

1

= cosxcosat + 2xt(2t - 1 + e
-t
)

Nhận xét Bằng cách kéo dài liên tục các hàm liên tục từng khúc, công thức (7.5.2) vẫn
sử dụng đợc trong trờng hợp các hàm f, g và h có đạo hàm liên tục từng khúc.
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w

.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i

e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 7. Phơng Trình Truyền Sóng
Trang 124 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Đ6. Bài toán giả Cauchy

Bài toán SH1a
Cho các miền D = 3
+

, H = D ì 3
+
, các hàm f C(H, 3) và g, h C(D, 3).
Tìm hàm u C(H, 3) thoả mn phơng trình truyền sóng

2
2
t
u


= a
2
2
2
x
u


+ f(x, t) với (x, t) H
0
điều kiện ban đầu
u(x, 0) = g(x),
t
u


(x, 0) = h(x)
và điều kiện biên
u(0, t) = 0

T tởng chung để giải bài toán SH là tìm cách chuyển về bài toán CH tơng đơng.
Gọi f
1
, g
1
và h
1
tơng ứng là kéo dài của các hàm f, g và h lên toàn 3, còn v(x, t) là
nghiệm của bài toán Cauchy sau đây.

2
2
t
v


= a
2
2
2
x
v


+ f(x, t), v(x, 0) = g
1
(x),
t
v

(x, 0) = h
1
(x) với (x, t) 3 ì 3
+


Theo công thức (7.5.2) chúng ta có
v(x, t) =
2
1
[g
1
(x + at) + g
1
(x - at)] +

+


atx
atx
1
d)(h
a2
1
+

+

t
0
ax
ax
1
d)t,(fd
a2
1

Thế vào điều kiện biên
v(0, t) =
2
1
[g
1
(at) + g
1
(-at)] +



at
at
1
d)(h
a2
1
+

t
0
a
a
1
d)t,(fd
a2
1
= 0
Suy ra các hàm f
1
, g
1
và h
1
phải là các hàm lẻ.
Tức là
f
1
(x, t) =



<

0 x t) f(-x,-

0 x t) f(x,
, g
1
(x) =



<

0 x )x-(g-
0 x )x(g
và h
1
(x) =



<

0 x h(-x)-
0 x h(x)


Định lý Cho hàm f C(H, 3), hàm g C
2
(D, 3) và hàm h C
1
(D, 3) thoả mn
f(0, t) = 0, g(0) = 0 và h(0) = 0
Bài toán SH1a có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức

u(x, t) =








++



+

+

+

t
0
ax
ax
1
atx
atx
1
atx
atx
1

d)t,(fdd)(hd)(g
ta2
1
(7.6.1)
với f
1
, g
1
và h
1
tơng ứng là kéo dài lẻ của các hàm f, g và h lên toàn 3.


Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w

e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n

g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.