Báo cáo nghiên cứu khoa học: "TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VỚI QUÁ TRÌNH DẠNG HERMITE" doc

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 06 - 2008

Trang 49
TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VỚI QUÁ TRÌNH DẠNG HERMITE
Dương Tôn Đảm
Trường Đại học Công nghệ Thông tin, ĐHQG – HCM
(Bài nhận ngày 20 tháng 01 năm 2008, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 14 tháng 04 năm 2008)
TÓM TẮT: Từ khái niệm về quá trình ngẫu nhiên Wiener kết hợp với các đa thức
Hermite ta sẽ xây dựng được quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite.Điều đặc biệt là chúng sẽ trở
thành cơ sở trực giao của không gian các quá trình ngẫu nhiên.Vì vậy trong bài báo này đã
tập trung nghiên cứu và nêu được các tính chất đặc thù của vi, tích phân Itô đối với các quá
trình ngẫu nhiên dạng Hermite đó.
1. MỞ ĐẦU
Hàm ngẫu nhiên dạng đa thức Hermite đã được đề cập đến trong các tài liệu của
H.McKean [3], Lawrence.C.Evan [4], B.K Oksendan [2] . . . Về mặt lý thuyết chúng có những
tính chất lý thú và cũng có những ứng dụng quan trọng. Ta bắt đầu từ những khái niệm cơ bản
của giải tích ngẫu nhiên đó là vi và tích phân Itô của các quá trình ngẫu nhiên.

2.KHÁI NIỆM VỀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN DẠNG HERMITE
2.1.Định Nghĩa 2.1
Đa Thức Hermite bậc
n
là đa thức xác định bởi
22
()
(,) exp exp 0,1,2,
!2 2
nn
n
n
txd x

Hxt n
ntdx t
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
−
=−=
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
(1.1)
-Theo định nghĩa trên ta có:
2
012
3422
34
(,) 1; (,) ; (,)
22
( , ) ; ( , ) ;
62 2448
x
t
Hxt Hxt x Hxt
xtx xtxt
Hxt Hxt
===−
=− =− +

2.2.Định Nghĩa 2.2
Cho

t
W
là quá trình Wiener tiêu chuẩn một chiều (chuyển động Brown), khi đó quá trình
ngẫu nhiên:
()
,
nt
HWt
xác định theo (1.1) , được gọi là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite.
Ví dụ:
()
3
3
,
62
tt
t
WtW
HWt=−

Khái niệm vi, tích phân ngẫu nhiên mà ta xét trong bài này là vi, tích phân Itô, nghĩa là nếu
hầu chắc chắn ta có
Science & Technology Development, Vol 11, No.06 - 2008

Trang 50

0
00
(, ) (, )
tt

tt
XX sds sdW
αω βω
=+ +
∫∫
,
khi đó ta viết
(, ) (, )
tt
dX t dt t dW
α
ωβω
=+
(1.2)
Biểu thức (1.2) được gọi là vi phân Itô của
t
X
, hay ta còn gọi đơn giản là vi phân ngẫu
nhiên của
t
X
.
2.3.Định lý 2.3 (Công thức Itô)
Cho
t
X
là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô dạng (1.2) và
2
(,):
x

tR R
ϕ
→
là
một hàm hai lần khả vi liên tục theo biến thứ nhất
x
, một lần khả vi liên tục theo biến thứ hai
t
. Khi đó quá trình ngẫu nhiên
(
)
,
t
Xt
ϕ
có vi phân ngẫu nhiên tính bởi công thức:

() () () ()
2
2
2
1
,, , ,(,)
2
tt ttt
dXt Xtdt XtdX Xt t dt
tx x
ϕϕ ϕ
ϕβω
∂∂ ∂

=+ +
∂∂ ∂
(1.3)
Công thức (1.3) được gọi là công thức Itô, chứng minh nó trong trường hợp một chiều có
thể xem trong [6].
3. MỘT SỐ ĐẶC TÍNH CỦA VI PHÂN NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI QUÁ TRÌNH NGẪU
NHIÊN DẠNG HERMITE
3.1.Định lý 3.1
Cho
(
)
,
nnt
HHWt=
là quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite. Khi đó với
m
nguyên và lớn
hơn 1 ta sẽ có vi phân ngẫu nhiên
()
122
1
(1)
2
mm m
nnn nn
mm
d H mH dH H H dt
−−
−
−

=+
(2.1)
3.2.Bổ đề 3.2
Đối với quá trình ngẫu nhiên Hermite ta sẽ có
(
)
(
)
1
,,
nt n t t
dH W t H W t dW
−
=
(2.2)
Chứng minh bổ đề: Trước hết ta có nhận xét,
()
2
2
2
2
0
0
2
exp exp
22
() exp
2
x
nn

t
nn
n
n
n
xt
dtd
ex
ddt
dx
t
dx t
λ
λ
λ
λ
λ
λλ
−
=
=
⎡
⎤
⎛⎞
⎡⎤
−
⎛⎞
⎢
⎥
−= −

⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎝⎠
⎣
⎦
⎡⎤
⎛⎞
=− −
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦

Suy ra:
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 06 - 2008

Trang 51
() ()
2
22
2
0
exp exp ! ,
22

x
nn
n
t
n
nn
dt dx
x
et nHxt
ddxt
λ
λ
λ
λ
=
⎡⎤ ⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
−=− −=
⎢⎥ ⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦ ⎣⎦

Vậy theo khai triển Taylor đối với hàm
2
exp
2
t
x
λ

λ
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
tại
0
λ
=
ta sẽ có
2
0
exp ( , ).
2
n
n
n
t
x
Hxt
λ
λ
λ
∞
=
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠
∑

Mặt khác, ta thấy rằng nếu áp dụng công thức Itô cho hàm
()
2
0
exp , .
2
n
tt nt
n
t
WHWt
λ
φ
λλ
∞
=
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
∑
(2.3)
Ta sẽ có
t
φ
lại là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên
(0) 1
ttt
ddW

φλφ
φ
=
⎧
⎨
=
⎩
→

0
1
t
tss
dW
φλφ
=+
∫

Từ đó ta có
1
00 1
00
11
tt
nn n
nnsns
nn n
HHdWHdW
λλλ λ
∞∞ ∞

−
== =
=+ =+
∑∑ ∑
∫∫

() ( )
1
0
,,
t
nt n s s
HWt H WsdW
−
⇒=
∫
(2.4)
Từ (2.4) ta suy ra (2.2).
Chứng minh định lý 2.1
Áp dụng công thức Itô cho hàm
(
)
,
m
tt
Xt X
ϕ
=
, với
m

nguyên, lớn hơn 1 và
(
)
,
tnt
XHWt≡
. Khi đó từ (1.3) và (2.2) ta sẽ thu được điều cần chứng minh là biểu
thức (2.1).
Ví dụ khi
2m =
từ (2.1) ta sẽ có
(
)
22
1
2
nnnn
dH HdH H dt
−
=+
(2.5)
Chú ý: Biểu thức (2.5) còn có thể thu được từ nhận xét sau
Nếu
1
X
và
2
X
có vi phân ngẫu nhiên tương ứng là
11 1

22 2
t
t
dX dt dW
dX dt dW
αβ
αβ
=+
⎧
⎨
=+
⎩

Science & Technology Development, Vol 11, No.06 - 2008

Trang 52
Khi đó:
(
)
12 1 2 2 1 12
.dXX XdX XdX dt
β
β
=++

Với
(
)
12
,

nt
XXHWt≡≡
sử dụng (2.2) ta sẽ thu được (2.5).
3.3.Hệ quả 3.3
Cho
(
)
,
nt
HWt
là các quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite, ta sẽ có
() ()
2
0
,exp
t
nt t
n
HWt e W
∞
−
=
=
∑
(2.6)
Thật vậy khi sử dụng hệ thức (2.3) với
1
λ
=
sẽ suy ra được (2.6).

3.4.Định lý 3.4
Cho
(
)
,
nt
HWt
;
1, 2, 3 n∀=
là các quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite,
ta sẽ có:
(i)
(
)
{
}
,0
nt
EH Wt =
(2.7)
(ii)
()
{}
()
22
1
0
,,
t
nt n s

EH Wt E H Wsds
−
⎧⎫
=
⎨⎬
⎩⎭
∫
(2.8)
(iii)
()()
1
0
,,0
t
ns n s s
EHWsHWsdW
−
⎧⎫
=
⎨⎬
⎩⎭
∫
(2.9)
Chứng minh định lý 2.4
+ Chứng minh (i) và (ii):
Ta có nhận xét
(
)
(
)

2
,,1,2,3;0
nt
HWt L t n t
ο
∈
=>K
và từ (2.2) ta có:

() ( )
1
0
,,
t
nt n s s
HWt H WsdW
−
=
∫

Trước hết ta chứng minh (i) và (ii) đối với các hàm bước nhảy (step process),
(
)
1
,
ns
HWs
−
và giả định rằng
(

)
()
11
,
k
ns n
HWsH
−
−
=
khi
()
11
;
k
kkn
s
ss H
+−
≤<
là
(
)
k
s
F
- đo được và
(
)
k

s
F
độc lập với
σ
- trường sinh bởi các chuyển động Brown trong
tương lai sau thời điểm
k
s

(i)=>
()
{}
() ()()
()
()
1
()
111
0
0
,,
t
n
k
nt n s s n k k
k
EH Wt E H WsdW EH Ws Ws
−
−−+
=

⎛⎞
==−
⎜⎟
⎝⎠
∑
∫

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 06 - 2008

Trang 53

()
() ()
()
1
()
11
0
0
0
n
k
nkk
k
EH EWs Ws
−
−+
=
=
=−=

∑
144424443

(ii)=>
() ()
()
() ()
()
{}
2
1
() ()
11111
,0
0
t
n
kj
ns nn k k j j
kj
EHdW EHHWs WsWs Ws
−
−−−++
=
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
=−−
⎜⎟
⎜⎟

⎝⎠
⎝⎠
∑
∫

Với
j
k<
, khi đó
(
)
(
)
1kk
Ws Ws
+
−
độc lập với
(
)
(
)
(
)
() ()
11 1
kj
nn j j
HH Ws Ws
−− +

−

:
() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
{}
() ()
()
{}
() ()
()
() ()
11 1 1
() ()
11 1 1
0
0
kj
nn k k j j
kj
nn j j k k
EH H Ws Ws Ws Ws
EH H Ws Ws EWs Ws

−− + +
−− + +
=
<∞
−−=
−
−=
144424443
1444442444443

Do đó
()
() ()
()
{}
2
1
2
2
()
111
0
0
.
t
n
k
ns n k k
k
E H dW E H Ws Ws

−
−−+
=
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
=
−=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∑
∫


()
(
)
() ()
()
(
)
()
(
)
()
11
22
2

() ()
11 11
00

nn
kk
nkk nkk
kk
EH EWs Ws EH s s
−−
−+ −+
==
=−=−
∑∑

2
1
0
t
n
EHdt
−
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∫

Phần tiếp theo ta xấp xỉ hàm
(

)
1
,
ns
HWs
−
bằng dãy các hàm bước nhảy và sử dụng các
kết quả vừa thu được rồi chuyển qua giới hạn theo định nghĩa tích phân Ito, ta sẽ thu được (i)
và (ii).
+ Chứng minh (iii):
Từ hệ thức (2.5) ta có

() ()() ()
22
11
00
,2 , , ,
tt
nt ns n s s n s
H Wt H WsH WsdW H Wsds
−−
=+
∫∫

=>
()
{}
()() ()
2 2
11

00
,2 , , ,
tt
nt ns n s s n s
EHWt EHWsHWsdW EHWsds
−−
⎛⎞⎛⎞
=+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∫∫

Từ đó sử dụng (2.8) ta sẽ thu được (2.9).


Science & Technology Development, Vol 11, No.06 - 2008

Trang 54
STOCHASTIC CALCULUS WITH HERMITE TYPE PROCESSES
Duong Ton Dam

University of Information Technology, VNU-HCM
ABSTRACT: Hermite type stochastic processes are the indespensable core resulting
from the well – matched couple of Wiener stochastic process and Hermite polynomials. They
will construct an orthogonal base of stochastic processses space. The paper emphatically
looks at bona fide nature of Ito integral and stochastic differential equations compared with
those of Hermite type stochastic processes.
Keywords: Hermite polynomials, Ito integral, Hermite type processes
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. A.Friedman.Stochastic Differential Equations and Applications Dover Publication,

Inc (2006)
[2].
B.K Oksendan. Stochastic Differential Equations: and Introduction with
Applications. Springer (1995)
[3].
H.McKean.Stochastic Integrals, Academic Press (1969)
[4].
Lawrence C.Evan. An introduction to Stochastic Differential Equations, UC Berkley
(2002)
[5].
Dương Tôn Đảm, Quá trình ngẫu nhiên phần 1: Tích phân ngẫu nhiên và phương
trình vi phân ngẫu nhiên. NXB ĐHQG Tp.HCM (2007)
[6].
A.D.Ventxe, Giáo trình lý thuyết quá trình ngẫu nhiên, NXB ĐH và THCN Hà Nội
(1987)