Giáo trình phân tích khả năng ứng dụng theo quy trình phân bố năng lượng phóng xạ p7 pot

35
Từ đó suy ra:
(C
n
- C
p
)dT = -vdp (c)
(C
n
- C
v
)dT = pdv (d)
Chia vế theo vế phơng trình (c) cho (d) ta đợc:

pdv
vdp
CC
CC
vn
pn
=


(3-52)
ký hiệu:
n =
vn
pn
CC
CC

(3-53)
Ta thấy n là một hằng số vì C
n
, C
p
và C
v
đều là hằng số. Từ (3-52) và (3-53) ta có:
n =
pdv
vdp
(3-54)
hay npdv + vdp = 0, chia hai vế của phơng trình cho pv ta đợc:

0
v
dv
n
p
dp
=+
Lấy tích phân hai vế (3-55) ta đợc:
n.lnv + lnp = const
Tiếp tục biến đổi ta đợc phơng trình của quá trình đa biến:
pv
n
= const (3-55)
trong đó n là số mũ đa biện.

So sánh biểu thức (3-39) với (3-55) ta thấy: phơng trình của quá trình đa
biến giống hệt nh dạng phơng trình của quá trình đoạn nhiệt. Từ đó bằng các
biến đổi tơng tự nh khi khảo sat quá trình đoạn nhiệt và chú y thay số mũ đoạn
nhiệt k bằng số mũ đa biến n, ta đợc các biểu thức của quá trình đa biến nh sau:.
* Quan hệ giữa các thông số:
Từ (3-55) ta có:

n
22
n
11
vpvp =
hay:

n
1
2
2
1
v
v
p
p

=
(3-56)
Từ phơng trình trạng thái ta có: p =
v
RT
, thay vào (3-40) ta đợc:

1n
1
2
2
1
n
1
2
2
2
1
1
v
v
T
T
v
v
RT
v
v
RT

=








=
. (3-57

n
1n
2
1
2
1
p
p
T

T









=
(3-58)
* Công thay đổi thể tich của quá trình:
Có thể tính công thay đổi thể tích theo định luật nhiệt động I, hoặc cũng có
thể tính theo định nghĩa dl = pdv, tơng tụ nh ở quá trình đoạn nhiệt:

36
l =

2
1
pdv (3-59

[
]
2211
vpvp
1n
1
l

= (3-60)



















=
1n
2
11
v
v
1
1n
RT

l
(3-61





















=

n
1n
1
21
p

p
1
1n
RT
l
(-62)









=
1
21
T
T
1
1n
RT
l
(3-63)
* Công kỹ thuật của quá trình:
Từ biểu thức:

dl
dl

pdv
vdp
n
kt
==
ta suy ra quan hệ giữa công kỹ thuật và công thay đổi thể tích trong quá trình đa
biến là:
l
kt
= n.l (3-64)

* Nhiệt lợng trao đổi với môi trờng:
Lợng nhiệt trao đổi với môi trờng của quá trình đợc xác định theo nhiệt
dung riêng đa biến:
dq = C
n
dT
hoặc:
q = C
n
(T
2
- T
1
) (3-65)
Từ (3-53) ta có:
(C
n
- C
p

) = n(C
n
- C
v
)
hay: C
n
(n - 1) = C
v
(n - k), từ đó suy ra nhiệt dung riêng đa biến bằng:
C
n
= C
v
1n
kn


(3-66)
Thay vào (3-55) ta đợc nhiệt lợng trao đổi trong quá trình đa biến bằng:
q = C
v
1n
kn


(T
2
- T
1

) (3-67)
Tính cho khối G kg khí:
Q = G
C
n
(T
2
- T
1
) (3-68)

* Biến thiên entropi của quá trình:
Độ biến thiên entrôpi của quá trình đoạn nhiệt:
Từ biểu thức:
T
dq
ds =
, thay giá trị dq = C
n
dT vào ta có:
T
dTC
ds
n
=
và lấy tích phân ta đợc:

37

1

2
n
T
T
Cs
ln= (3-69)
hoặc thay giá trị dq = C
v
dT + pdv vào ta đợc:

v
dv
R
T
dT
C
T
pdv
T
dT
Cds
vv
+=+= (3-70)

1
2
1
2
v
v

v
R
T
T
Cs
lnln += (3-71)
Hoặc thay giá trị (dq = C
p
dT - vdp) vào ta đợc:

p
dp
R
T
dT
C
T
dp
v
T
dT
Cds
pp
+== (3-72)

1
2
1
2
p

p
p
R
T
T
Cs
lnln = (3-73)
Hoặc có thể tính cách khác:
Từ phơng trình trạng thái pv = RT, lấy vi phân ta đợc:
pdv + vdp = RdT (3-74)
chia vế theo vế cho phơng trình trạng thái ta đợc:

T
dT
p
dp
v
dv
=+
và thay vào (3-72) ta đợc:

p
dp
C
v
dv
C
p
dp
R

p
dp
v
dv
Cds
vpp
+=








+=
(3-75)

1
2
v
1
2
p
p
p
C
v
v
Cs

lnln = (3-76)
* Tính số mũ đa biến:

n =
pdv
vdp

suy ra:
v
dv
p
dp
n =

lấy tích phân ta đợc:

1
2
1
2
v
v
p
p
n
ln
ln
= (3-77)
Hoặc có thể cách khác theo q, l, k. Từ quan hệ (3-63) và (3-67) ta có:

[]
21
TT
1n
R
l

= (3-78a)
và
[]
12v
TT
1n
kn
Cq


= (3-78b)

38
Mặt khác ta lại có: R = C
p
- C
v
= C
v
(k - 1), thay giá trị của R vào công thức (3-78a)
và để ý (3-78b0 ta có:

[] []

kn
k1
qTT
kn
k1
1n
kn
CTT
1n
1k
Cl
12v21v


=




=


=
hay:
()
knk1
l
q
=
từ đó suy ra:

n =
()
kk1
l
q
+ (3-79)
* Hệ số biến đổi năng lợng của quá trình:

q
u
=
=
(
)
()
kn
1n
TT
1n
kn
C
TTC
12v
12v


=

(3-80)

* Tính tổng quát của quá trình:
Quá trình đa biến là quá trình tổng quát với số mũ đa biến n = - ữ +, các
quá trình nhiệt động cơ bản còn lại chỉ là các trờng hợp riêng của nó. Thật vậy, từ
phơng trình pv
n
= const ta thấy:
Khi n = 0, phơng trình của quá trình là pv
0
= const, hay p = const với nhiệt
dung riêng C
n
= C
p
, quá trình là đẳng áp.
Khi n = 1, phơng trình của quá trình là pv
1
= const, hay T = const với nhiệt
dung riêng C
T
= , quá trình là đẳng nhiệt.
Khi n = k, phơng trình của quá trình là pv
k
= const, hay q = 0 với nhiệt
dung riêng C
n
= 0, quá trình là đoạn nhiệt.
Khi n = , phơng trình của quá trình là pv

= const, hay v = const với
nhiệt dung riêng C
n
= C
v
, quá trình là đẳng tích.
Nh vậy các quá trình đoạn nhiệt (C = 0), đẳng nhiệt (C = ), đẳng tích (C
= C
v
), đẳng áp (C = C
p
) là các trờng hợp riêng của quá trình đa biến.

* Biểu diễn quá trình trên đồ thị:



39
Quá trình đa biến 1-2 bất kỳ với n = - ữ + đợc biểu diễn trên đồ thị p-v
và T-s hình 3.6. Số mũ đa biến thay đổi từ - theo chiều kim đồng hồ tăng dần lên
đến 0, 1 rồi k (k > 0) và cuối cùng bằng +.
Trên đồ thị p-v, đờng cong biểu diễn quá trình đa biến dốc hơn đờng
cong của quá trình, vì quá trình đẳng nhiệt có n = 1, còn quá trình đoạn nhiệt có n
= k, ( k > 1).
* Khảo sát dấu của

u, q theo số mũ n:

Dựa vào đồ thị p-v và T-s của quá trình đa biến ta có thể xét dấu của biến

thiên nội năng, công thay đổi thể tích và nhiệt lợng trao đổi trong các quá trình:
Khi nhiệt độ tăng, biến đổi nội năng sẽ mang dấu dơng. Vậy u
AB
> 0 khi
quá trình xẩy ra nằm phía trên đờng đẳng nhiệt và ngợc lại.
Khi thể tích tăng, công mang dấu dơng. Vậy l
AB
> 0 khi quá trình xẩy ra
nằm phía bên phải đờng đẳng tích và ngợc lại.
Khi entropi tăng, nhiệt lợng trao đổi của quá trình sẽ mang dấu dơng và
ngợc lại. Vậy q
AB
> 0 khi quá trình xẩy ra nằm phía trên đờng đoạn nhiệt và
ngợc lại.

v tăng v giảm
Vùng Số mũ n
n
C
1n
kn
C


=
u
q
u
Q
A

0 < n < 1
+ + + - -
B
1 < n < k
- - + + -
C
k < n <
+ - - + +