luyện thi tốt nghiệp lớp 12 môn toán theo dạng bài phần 4 potx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.97 MB, 10 trang )
TN.THPT.2010 54 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
Bài 18 : Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 0)
a.Chứng minh tam giác ABC vuông và tính diện tích của nó.
b.Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c.Tính khoảng cách từ điểm D(1;1;1) đến mặt phẳng (ABC), từ đó
suy ra thể tích của tứ diện ABCD.
Bài 19
: Cho A(1;–1; 3), B(3;0;1), C(0;4;5)
a.Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua C và vuông góc với AB.
b.Viết PTTS của đường thẳng đi qua C và vuông góc với (α).
Bài 20
: Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 5)
a.Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với BC.
b.Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α)
IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ
Bài 21 : Cho (α): 3x – 2y – z + 5 = 0 và ∆:
1 7 3
2 1 4
x y z
− − −
= =
a.Chứng tỏ rằng ∆ song song với (α).
b.Tính khoảng cách giữa ∆ và (α).
Bài 22 :Viết PTTS của đường thẳng
a.Đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương
(2; 3;1)
a
= −
b.Đi qua N(2; 0; –3) và song song với đường thẳng
1 2
3 3
4
x t
y t
z t
= +
= − −
=
c.Đi qua A(2; –1; 3) và vuông góc với (α): x + y – z + 5 = 0.
d.Đi qua P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4).
Bài 23
: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng ∆:
2
1 2
x t
y t
z t
= +
= +
=
a.Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đthẳng ∆.
b.Tìm tọa độ
A
′
đối xứng với A qua đường thẳng ∆
c.Viết phương trình mặt phẳng chứa A và
∆
Bài 24 : Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0.
a.Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên (α).
b.Tìm tọa độ
M
′
đối xứng với M qua mặt phẳng (α).
c.Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (α).
Bài 25 : Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0.
a.Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).
b.Viết ptmp đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (α)
GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang
35
TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
g.
3
0
2 sin
2 cos
xdx
x
π
+
∫
h.
0
( cos )
x
x e x dx
π
+
∫
i.
2
2
0
( )
x
x x e dx
+
∫
Bài 14 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
a.
3
3 2
y x x
= − +
và trục hoành.
b.
2
2
y x x
= −
và
2
4
y x x
= − +
c.
2
2
y x x
= −
và
y x
=
d.
3 2
y x x
= −
và
(
)
1
1
9
y x
= −
e.
1
1 ( ), 1
y C x
x
= + =
và tiếp tuyến với
( )
C
tại điểm
3
2;
2
.
f.
3 1
, , 0
1
x
y Ox x
x
− −
= =
−
g.
1
ln , ,
y x x x e
e
= = =
và trục hoành.
h.
ln
1
x
y x
x
= − +
,
1
y x
= −
và
x e
=
Bài 15 : Tính thể tích các vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới
hạn bởi các đường sau đây quanh trục hoành:
a.
2 4
2 , , 1, 2
y x x Ox x x
= − = − =
b.
2
, 0,
2
y y
x
= =
−
0, 1
x x
= =
c.
2
2 , 1
y x y
= − =
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 36 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
Phn
PhnPhn
Phn
IV. S PHC
IV. S PHCIV. S PHC
IV. S PHC
I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Các công thức và phép toán về số phức
2
1
i
= −
i
( , )
z a bi a b
= + ∈
i »
Cho
. Khi đó,
☺
☺☺
☺
2 2
z a b
= +
☺
☺☺
☺
z a bi
= −
1 2
.
z a bi z c di
= + = +
i
Cho vaø Khi ñoù,
☺
☺☺
☺
1 2
a c
z z
b d
=
= ⇔
=
☺
☺☺
☺
1 2
( ) ( ).
z z a c b d i
+ = + + +
☺
☺☺
☺
1 2
( ) ( ).
z z a c b d i
− = − + −
☺
☺☺
☺
1 2
. ( ) ( ).
z z ac bd ad bc i
= − + +
☺
☺☺
☺
1 1 2 1 2
2
2 2 2
2
.
z z z z z
z z z
z
= =
0
a a
∈ <
i »
Cho vaø
. Khi đó, a có 2 căn bậc hai phức là:
.
a i
±
2. Giải phương trình bậc hai hệ số thực (với
∆
< 0) trên tập số phức
Cho phương trình bậc hai
2
0 ( , , 0)
az bz c a b c a
+ + = ∈ ≠
»
vaø
Tính
2
4
b ac
∆ = −
và ghi kết quả dưới dạng
2
( . )
i
∆
Kết luận phương trình có 2 nghiệm phức:
1 2
2 2
b i b i
z z
a a
− − ∆ − + ∆
= = vaø
Lưu ý:
+ Chỉ được dùng công thức nghiệm ở trên khi
∆
< 0
+ Trường hợp
0
∆ ≥
ta giải pt bậc hai trên tập số thực (như trước).
+ Khi giải pttrùng phương trên C, ta đặt
2
t z
=
(không cần ĐK cho t)
II. BÀI TẬP MINH HOẠ
Bài 1 : Thực hiện các phép tính
a.
(2 4 )(3 5 ) 7(4 3 )
i i i
+ − + −
b.
2
(3 4 )
i
−
c.
2
3 2
i
i
+
+
GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang
53
TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP
Bài 9 : Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)
a.Viết ptmp(ABC) và chứng minh A,B,C,D không đồng phẳng.
b.Tính khoảng cách từ điểm D đến mp(ABC)
c.Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mp(ABC).
d.Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên (ABC).
Bài 10
:Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4)
a.Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b.Viết PTTS của đường thẳng qua A và song song với BC.
b.Viết PTTS của đường thẳng qua A và vuông góc với mp(ABC)
Bài 11
:Cho A(1;2;3),B(1;6;2) và mặt phẳng (β): 2x + y – 2z – 1 = 0.
a.Viết phương trình mặt cầu
1
( )
S
có tâm A và tiếp xúc với mp(β).
b.Viết phương trình mặt cầu
2
( )
S
có tâm B và đi qua điểm A.
c.Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt
phẳng (β). Từ đó, tìm toạ độ giao điểm của d và (β).
Bài 12 : Viết PTTS của đường thẳng d:
a.Đi qua A(–2;3;1) và có vtcp
(2;0; 3)
a
=
b.Đi qua A(4;3;1) và song song với đường thẳng
1 2
: 3
3 2
x t
y t
z t
= +
∆ = −
= +
Bài 13 : Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)
a.Viết PTTQ của mp(ACD) và chứng minh B không thuộc (ACD)
b.Viết PTTQ mp(α) đi qua AB và song song với CD.
c.Viết pt mặt cầu đường kính BD.
Bài 14
:a.Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(5;–3;7) và đi qua M(1;0;7).
b.Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M.
c.Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P).
Bài 15 :Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
a.(S) có đường kính AB với A(1;2;3), B(3;2;1)
b.(S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc mặt phẳng (α): 3y + 4z + 1 = 0.
Bài 16 :Cho I(–2; 1; 1) và mặt phẳng (α): x + 2y – 2z + 5 = 0
a.Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mp(α)
b.Viết ptmp đi qua tâm I(–2;1;1) và song song với mặt phẳng (α).
Bài 17 :Cho m.cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 9 = 0 và mp(α): x + 2y – 2z + 9 = 0
a.Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu. Tính
khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P).
b.Viết ptmp(β) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt
phẳng (α). Xác định toạ độ tiếp điểm của (S) và (β)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 52 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
Bài 8 :Xét vị trí tương đối của đường thẳng
1 3
:
1 1 3
x y z
d
+ −
= =
−
với
a.
:
1
1 2
2
3 6
x t
y t
z t
= +
∆ = −
= +
b.
: 8
2
2
2
1 4
x t
y t
z t
= +
∆ = −
= +
c.
: 4
3
1 2
1 3
x t
y t
z t
= − −
∆ = +
= − +
Bài giải
Câu a: d đi qua điểm
0
( 1;3; 0)
M
−
, có vtcp
(1; 1;3)
u
= −
∆
1
đi qua điểm
0
(1; 0;3)
M
′
, có vtcp
(2; 2;6)
u
′
= −
Vì
1 1 3
2 2 6
−
= =
−
nên
,
u u
′
cùng phương với nhau.
Hơn nữa thay toạ độ điểm M
0
vào pt
∆
1
ta thấy không thoả mãn.
Kết luận
0 1
M
∉ ∆
và d ||
∆
1
Câu b: d đi qua điểm
0
( 1;3; 0)
M
−
, có vtcp
(1; 1;3)
u
= −
∆
2
đi qua điểm
0
(2;8;1)
M
′
, có vtcp
(1; 2; 4)
u
′
= −
Vì
1 1
1 2
−
≠
−
nên
,
u u
′
không cùng phương với nhau.
1 3 3 1 1 1
[ , ] ; ; (2; 1; 1)
2 4 4 1 1 2
u u
− −
′
= = − −
− −
vaø caét nhau
0 0
0 0 2
(3;5;1)
[ , ]. 2.3 1.5 1.1 0
M M
u u M M d
′
=
′ ′
⇒ = − − = ⇒ ∆
Câu c
: d đi qua điểm
0
( 1;3;0)
M
−
, có vtcp
(1; 1;3)
u
= −
∆
3
đi qua điểm
0
( 1;4; 1)
M
′
− −
, có vtcp
( 2;1;3)
u
′
= −
Vì
1 1
2 1
−
≠
−
nên
,
u u
′
không cùng phương với nhau.
1 3 3 1 1 1
[ , ] ; ; ( 6; 9; 1)
1 3 3 2 2 1
u u
− −
′
= = − − −
− −
vaø cheùo nhau
0 0
0 0 2
(0;1; 1)
[ , ]. 8 0
M M
u u M M d
′
= −
′ ′
⇒ = − ≠ ⇒ ∆
GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang
37
TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
Bài giải
Câu a:
2
(2 4 )(3 5 ) 7(4 3 ) 6 10 12 20 28 21
i i i i i i i
+ − + − = − + − + −
6 10 12 20 28 21 54 19
i i i i
= − + + + − = −
Câu b:
2 2
(3 4 ) 9 24 16 9 24 16 7 24
i i i i i
− = − + = − − = − −
Câu c
:
2
2 2 2
(2 )(3 2 )2 6 4 3 2 6 2 8
3 2 (3 2 )(3 2 ) 13
3 4 3 4
i i
i i i i i i
i i i
i
+ −
+ − + − − + −
= = = =
+ + −
− +
Bài 2 : Tìm môđun của số phức sau đây
a.
2
3 2 (1 )
z i i
= + + +
b.
3
(1 )(2 )
i
z
i i
+
=
+ −
Bài giải
Câu a:
2
3 2 (1 ) 3 2 3 2
2
1 2 1 2 1
z i i i i i i i
= + + + = + + + + = + + + −
2 2 2 2
3 4 3 4 5
z i z a b
⇒ = + ⇒ = + = + =
Câu b:
2
3 3 3 3
1
(1 )(2 ) 2 2 1 3
2 2
i i i i
z
i i i i i
i i i
+ + + +
= = = = =
+ − − + + +
− + −
2 2 2 2
1 0 1
z a b
⇒ = + = + =
Bài 3 : Giải phương trình sau trên tập số phức:
2 3 5 4
iz z i
+ = +
Bài giải
2 3 5 4 2 5 3 4 (2 5) 3 4
iz z i iz z i i z i
+ = + ⇔ − = − + ⇔ − = − +
2
2 2
( 3 4 )( 5 2 )
3 4 15 6 20 8 7 26
5 2 ( 5 2 )( 5 2 ) 29
( 5) 4
i i
i i i i i
z
i i i
i
− + − +− + − − + −
⇔ = = = =
− + − + − +
− −
Bài 4 : Giải các phương trình sau đây trên tập số phức:
a.
2
3 2
0
z z
+ + =
b.
4 2
2 3
– 0
z z
+ =
c.
3
1 0
z
− =
d.
2
2 0
z z
− + − =
Bài giải
Câu a:
2
3 2
0
z z
+ + =
(1)
Ta có,
2 2
1 4.3.2 23 0 ( 23. )
i
∆ = − = − < ⇒ ∆ =
Vậy, phương trình (1) có 2 nghiệm phức phân biệt
1 23 1 23
6 6 6
i
z i
− −
= = − −
và
1 23 1 23
6 6 6
i
z i
− +
= = − +
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 38 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
Câu b:
4 2
2 3
– 0
z z
+ =
(2)
Đặt
2
t z
=
, phương trình (2) trở thành:
2 3
2
2
2
1
1 1
– 0
3
3.
3
z
t z
t t
t
z i
z
= ±
= =
+ = ⇔ ⇔ ⇔
= −
= ±
= −
Vậy, phương trình (2) có 4 nghiệm phức phân biệt
1
z
= ±
và
3.
z i
= ±
Câu c:
3
(3)
2
2 (*)
1
1 0 ( 1)( 1) 0
1 0
z
z z z z
z z
= −
+ = ⇔ + − + = ⇔
− + =
Giải
(*)
, ta có
2 2
( 1) 4.1.1 3 0 ( 3 )
i
∆ = − − = − < ⇒ ∆ =
Ph.trình
(*)
có 2 nghiệm phức pb :
1
1 3
2
i
z
+
=
;
2
1 3
2
i
z
−
=
Vậy, phương trình (3) có 3 nghiệm phức phân biệt
1
z
= −
,
1 3
2 2
z i
= + và
1 3
2 2
z i
= −
Câu d:
2
2 0
z z
− + − =
(4)
Ta có,
2 2
1 4.( 1)( 2) 7 0 ( 7. )
i
∆ = − − − = − < ⇒ ∆ =
Vậy, phương trình (4) có 2 nghiệm phức phân biệt
1 7 1 7
2 2 2
i
z i
−
= = − +
−
và
1 7 1 7
2 2 2
i
z i
+
= = − −
−
Bài 5
: Tìm môđun của số phức z biết:
3 (3 )(1 ) 2
iz i i
+ − + =
Bài giải
Câu a:
2
3 (3 )(1 ) 2 3 3 3 2
iz i i iz i i i
+ − + = ⇔ + + − − =
2 2
2 2
2 2 2 2
3 3 3 1 2 3 2 2
3 3 3
2 2 2 2
3 3 3
i
iz i i iz i z i
i
z a b
− −
⇔ + + − + = ⇔ = − − ⇔ = = +
⇒ = + = + =
GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang
51
TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
Điểm:
(1;1;1)
A
PTTQ:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =
1( 1) 6( 1) 1( 1) 0
1 6 6 1 0
6 6 0
x y z
x y z
x y z
⇔ − + − − − =
⇔ − + − − + =
⇔ + − − =
Câu c
: vtpt:
( 6; 2; 4)
n MN
= = − −
Điểm:
( 1;2;3)
I
−
là trung điểm đoạn MN
PTTQ:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =
6( 1) 2( 2) 4( 3) 0
6 6 2 4 4 12 0
6 2 4 14 0
3 2 7 0
x y z
x y z
x y z
x y z
⇔ − + − − + − =
⇔ − − − + + − =
⇔ − − + − =
⇔ + − + =
Bài 7 :Cho
(0;1;2), ( 3;1;4), (1; 2; 1)
A B C
− − −
. Viết PTTS của đ.thẳng d:
a.d đi qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC
b.d đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Bài giải
Câu a: Trung điểm đoạn BC:
1 3
( 1; ; )
2 2
I − −
vtcp:
3 1
( 1; ; )
2 2
n AI= = − − −
PTTS của đường thẳng AI
0
3
0
2
1
0
2
1 ( )
2
x t
x x at
y y bt y t t
z z ct
z t
= −
= +
= + ⇔ = − ∈
= +
= −
»
Câu b
: Hai véctơ:
( 3; 0;2), (4; 3; 5)
AB BC
= − = − −
vtpt của mặt phẳng (ABC):
0 2 2 3 3 0
[ . ] ; ; (6; 7;9)
3 5 5 4 4 3
n AB BC
− −
= = = −
− − − −
vtcp của d:
(6; 7;9)
d
u n
= = −
PTTS của d:
0
0
0
1 6
2 7 ( )
1 9
x x at x t
y y bt y t t
z z ct z t
= + = +
= + ⇔ = − − ∈
= + = − +
»
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 50 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
Điểm:
(0; 3;2)
A
PTTQ:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =
26 5( 3) 2( 2) 0
26 5 15 2 4 0
26 5 2 19 0
26 5 2 19 0
x y z
x y z
x y z
x y z
⇔ − − − − − =
⇔ − − + − + =
⇔ − − − + =
⇔ + + − =
Câu c
: vtpt:
(0; 4; 3)
n AM
= = −
Điểm:
(1;1;1)
M
PTTQ:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =
0 4( 1) 3( 1) 0
4 4 3 3 0
4 3 1 0
x y z
y z
y z
⇔ + − − − =
⇔ − − + =
⇔ − − =
Bài 6 : Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây:
a.(α) đi qua 3 điểm
(0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1)
A K D
− − −
.
b.(α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD, biết
(1;1;1), (2;1;2), ( 1;2;2), (2;1; 1)
A B C D
− −
c.(α) là mp trung trực của đoạn MN, với
(2; 3;1), ( 4;1;5)
M N
−
Bài giải
Câu a: Hai véctơ:
( 3;0;2)
AK
= −
(4; 3; 5)
KD
= − −
vtpt:
0 2 2 3 3 0
[ . ] ; ; (6; 7;9)
3 5 5 4 4 3
n AK KD
− −
= = = −
− − − −
Điểm:
(0;1;2)
A
PTTQ:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =
6 7( 1) 9( 2) 0
6 7 7 9 18 0
6 7 9 11 0
x y z
x y z
x y z
⇔ − − + − =
⇔ − + + − =
⇔ − + − =
Câu b: Hai véctơ:
(1;0;1)
AB
=
(3; 1; 3)
CD
= − −
vtpt:
0 1 1 1 1 0
[ . ] ; ; (1;6; 1)
1 3 3 3 3 1
n AB CD
= = = −
− − − −
GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang
39
TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP
Bài 6 : Thực hiện các phép tính
a.
(2 4 )(3 5 ) 7(4 3 )
i i i
+ − + −
b.
2
(1 2 ) (2 3 )(3 2 )
i i i
− − − +
c.
2
(3 4 )
i
−
d.
3
(2 3 )
i
+
e.
5
(4 5 ) (4 3 )
i i
+ − +
f.
2
( 2 3)
i
−
g.
2010
(1 )
i
+
h.
2010
(1 )
i
−
i.
(3 2 )(1 3 )
(2 )
1 3
i i
i
i
+ −
+ −
+
j.
(2 ) (1 )(4 3 )
3 2
i i i
i
+ + + −
+
k.
(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
i
i
− +
+ −
−
l.
2 2
(1 3 ) (1 3 )
i i
+ + −
Bài 7 : Viết các số phức sau dưới dạng a + bi rồi tìm môđun của chúng
a.
z i i
= + + +
2
3 2 (1 )
b.
– –
z i i
= +
3
4 3 (1 )
c.
3
(1 )(2 )
i
z
i i
+
=
+ −
d.
2 2
2 2
(1 2 ) (1 )
(3 2 ) (2 )
i i
z
i i
+ − −
=
+ − +
e.
1
1
i
z
i
−
=
+
f.
5
1
1
i
z
i
+
=
−
Bài 8 : Giải phương trình sau trên tập số phức
a.
2 3 5 4
iz z i
+ = +
b.
(3 4 ) (1 2 )(4 )
i z i i
+ = + +
c.
( 2 3) 2 3 2 2
i z i i
− + = +
d.
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ − +
=
− +
e.
3 (2 3 )(1 2 ) 5 4
z i i i
+ + − = +
f.
2
(1 – ) (2 – ) 2 3
i z i i
+ = +
g.
3 (2 ) 1 2 (1 ) 3
z i iz i i
− + = + +
Bài 9 : Cho
2
(1 2. )
z i
= +
.Tính
z
Bài 10 : Cho
3
4
(1 )
(1 )
i
z
i
+
=
−
. Tính
z
Bài 11 : Cho
3
1
1 3
( )
2 2
z i= − +
và
3
2
1 3
( )
2 2
z i= +
. Tính z
1
.z
2
Bài 12 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo bằng nhau và
2 2
z
=
Bài 13 : Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.
0
z z
+ + =
2
3 2
b.
– 0
z z
+ =
2
4 7
c.
– 0
z z
+ =
2
2 5 4
d.
2
7 0
z z
+ + =
e.
2
3 2 7 0
z z
+ + =
f.
2
4 7 0
z z
− + =
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 40 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
g.
2
2 17 0
z z
+ + =
h.
2
3 3 0
z z
+ + =
i.
2
1 0
z z
− + =
j.
0
z
+ =
3
8
k.
– 0
z z
+ =
4 2
2 3
l.
4 2
2 3 5 0
z z
+ − =
Bài 14 : Cho số phức
1 3
z i
= +
.Tính
2 2
z z
+
Bài 15
: Cho các số phức
1 2 3
3 2 , 2 , 1 3
z i z i z i
= + = + = −
. Hãy biểu
diễn các số phức
1 2 3 1 2 3
, , , , ,
z z z z z z
trên mặt phẳng phức.
IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ
Bài 16 : Thực hiện các phép tính
a.
(1 4 )(2 3 ) 5( 1 3 )
i i i
− + − − −
b.
2
(2 3 ) (1 3 )(5 2 )
i i i
− − − +
c.
2
(2 4 )
i i
− +
d.
3
(2 )
i
−
e.
3
(5 ) (2 7 )
i i
− − +
f.
2
( 2 3)
i
−
g.
(2 3 )(1 2 )
(2 4 )
1
i i
i
i
+ −
+ −
+
h.
(2 ) (1 )(1 3 )
3 9
i i i
i
+ − − −
−
i.
(3 4 )(1 2 )
4 3
1 2
i i
i
i
− +
+ −
−
j.
2 2
(1 3 ) (1 3 )
i i
+ − −
Bài 17 : Tính
z z
+
, biết
a.
2
(1 )
1 3 2
z i i
= − + −
b.
3
3 (1 )
2
(2 – ) –
z i i
= +
c.
3
(1 )(2 )
i
z
i i
−
=
− +
d.
2 2
2 2
(1 2 ) (1 )
(3 2 ) (2 )
i i
z
i i
− − −
=
− − −
e.
2
1
(1 )
i
z
i
−
=
+
f.
6
1
1
i
z
i
+
=
−
Bài 18
: Giải phương trình sau trên tập số phức
a.
2 . 1 5. 2
i z z i
− = −
b.
(3 ) (1 )(4 2 )
i z i i
− = + −
c.
(2 ) 3 2
i z i i
− + = +
d.
2 1 3
1 2 2
i i
z
i i
+ − −
=
+ +
e.
3 (2 3 )(1 2 ) 5 4
z i i i
+ + − = +
f.
2
(1 ) (1 – ) 2 3
i z i i
+ + = −
Bài 19 : Tính Cho
2
(1 2. ) 3
z i i
= − +
.Tính
z
Bài 20 : Cho
3
4
(1 )
(1 )
i
z
i
−
=
+
. Tính
1
z
Bài 21 : Cho
3
1
1 3
( )
2 2
z i= − +
và
3
2
1 3
( )
2 2
z i= +
. Tính z
1
.z
2
Bài 22 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo đối nhau và
2 2
z
=
GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang
49
TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
Câu b: Tâm:
1 2
3
( ; ; )
2
I
−
là trung điểm đoạn thẳng BC.
Bán kính:
69
2 2
BC
R = =
(
2 2 2
(0 2) (2 1) ( 6 2) 69
BC = − + − + − − = )
Phương trình mặt cầu:
2 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
3 69
( 1) ( ) ( 2)
2 4
x a y b z c R
x y z
− + − + − =
⇔ − + − + + =
Câu c: Tâm: C(0;2; –6).
Bán kính:
2 2 2
0 2.2 2( 6) 1
15
( ,( )) 5
3
1 ( 2) 2
R d C P
− + − +
= = = =
+ − +
Phương trình mặt cầu:
2 2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
( 2) ( 6) 25
x a y b z c R
x y z
− + − + − =
⇔ + − + + =
Bài 5 : Cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 2 6 8 1 0
S x y z x y z
+ + − + − + =
, hai điểm
(0; 3;2), (1; 1; 1)
A B
− −
a.Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu.
b.Viết phương trình mp(α) đi qua cạnh AB và tâm I của m.cầu.
c.Viết phương trình mp(β) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm
(1;1;1)
M
Bài giải
Câu a
: Ta có
2 2 1
2 6 3
2 8 4
1 1
a a
b b
c c
d d
− = − =
− = = −
⇔
− = − =
= =
. Nên toạ độ tâm:
(1; 3;4)
I
−
Bán kính:
2 2 2 2 2 2
1 ( 3) 4 1 5
R a b c d
= + + − = + − + − =
Câu b: Hai véctơ:
(1; 4; 3)
AB
= − −
(0; 2; 5)
BI
= −
vtpt:
4 3 3 1 1 4
[ , ] ; ; ( 26; 5; 2)
2 5 5 0 0 2
n AB BI
− − − −
= = = − − −
− −
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 48 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
Bài 3 : Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) biết:
a.
1
: 2
2
x t
d y t
z t
= −
= +
=
và
( ) : 3 4 6 0
x y z
α
+ − − =
b.
1 4
:
1 1 3
x y z
d
+ −
= =
−
và
( ) : 3 2 2 0
x y z
α
− − − =
Bài giải
Câu a: Thay x,y,z từ PTTS của d vào PTTQ của
( )
α
ta được
3(1 ) 4(2 ) (2 ) 6 0
3 3 8 4 2 6 0
5 0 5
t t t
t t t
t t
− + + − − =
⇔ − + + − − =
⇔ − + = ⇔ =
Thay t = 5 trở lại vào PTTS của d, ta được
1 5 4
: 2 5 7
2.5 10
x
d y
z
= − = −
= + =
= =
Vậy, giao điểm của d và (α) là
( 4;7;10)
H
−
Câu b: Dạng PTTS của d:
1
( )
4 3
x t
y t
z t
= − +
= − ∗
= +
Thay x,y,z từ
( )
∗
vào PTTQ của
( )
α
ta được
11
2
t = −
Thay
11
2
t = − trở lại vào
( )
∗
, ta được g.điểm
13 11 25
( ; ; )
2 2 2
H − −
Bài 4 : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2; –6) và mp
( ) : 2 2 1 0
P x y z
− + + =
a.Viết phương trình mặt cầu tâm B, đi qua A
b.Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.
c.Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc với mặt phẳng
( )
P
Bài giải
Câu a: Tâm: B(2;1;2)
Bán kính:
2 2 2
(2 1) (1 3) (2 1) 6
R AB= = − + − + − =
Phương trình mặt cầu:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
x a y b z c R
− + − + − =
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 6
x y z
⇔ − + − + − =
GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang
41
TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
Bài 23 : Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.
2
3 1 0
z z
− + =
b.
2
– 4 5 0
z z
+ =
c.
2
3 – 5 4 0
z z
− − =
d.
2
1 0
z z
− + − =
e.
2
2 4 9 0
z z
+ + =
f.
2
4 6 0
z z
− + − =
g.
2
3 6 17 0
z z
+ + =
h.
2
3 3 0
z z
− + =
i.
3
27 0
z
− =
j.
3 2
8 8 0
z z z
+ + + =
k.
4 2
– 12 0
z z
− =
l.
4 2
3 2 5 0
z z
+ − =
Bài 24 : Cho số phức
2 2
z i
= −
.Tính
2 2
z z
+
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 42 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
Phn V.
Phn V. Phn V.
Phn V. PHNG PHÁP TO Đ
PHNG PHÁP TO ĐPHNG PHÁP TO Đ
PHNG PHÁP TO Đ
TRONG KHÔNG GIAN
TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN
TRONG KHÔNG GIAN
I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Tọa độ của véctơ và tọa độ của điểm trong không gian
1 2 3 1 2 3
( ; ; )
a a a a a a i a j a k
= ⇔ = + +
( ; ; )
M x y z OM xi y j zk
= ⇔ = + +
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
= − − −
Trung điểm I của đoạn AB
Trọng tâm G của tam giác ABC
2
2
2
A B
I
A B
I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z
+
=
+
=
+
=
3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y z
y
z z z
z
+ +
=
+ +
=
+ +
=
2. Tích vô hướng và tích có hướng
Cho 2 véctơ
( ; ; ) ( ; ; )
a x y z b x y z
′ ′ ′
= =
;
Tích vô hướng:
.
a b xx yy zz
′ ′ ′
= + +
Tích có hướng: , ; ;
y z z x x y
n a b
y z z x x y
= =
′ ′ ′ ′ ′ ′
[ ]
2 2 2
a x y z
= + +
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
2 2 2 2 2 2
.
cos( , )
.
.
a b xx yy zz
a b
a b
x y z x y z
′ ′ ′
+ +
= =
′ ′ ′
+ + + +
3. Một số tính chất và ứng dụng
. 0
a b a b
⊥ ⇔ =
Nếu
[ , ]
n a b
=
thì
n a n b
⊥ ⊥
;
,
a b
cùng phương với nhau
[ , ] 0
a b
⇔ =
, ,
a b c
đồng phẳng
[ , ]. 0
a b c
⇔ =
GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang
47
TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
Bài giải
Câu a: CMR, ∆ABC vuông, tính diện tích của nó
2 2 2
( 2; 2;4) ( 2) ( 2) 4 2 6
AB AB= − − ⇒ = − + − + =
(0; 2; 1) 5
AC BC
= − − ⇒ =
. 2.0 2.( 2) 4.( 1) 0
AB AC
⇒ = − − − + − =
Suy ra tam giác ABC vuông tại A.
Diện tích tam giác ABC:
1 1
. .2 6. 5 30
2 2
ABC
S AB AC
∆
= = =
Câu b: Viết PTTS của trung tuyến AM
Điểm M là trung điểm BC nên
1
2
(0;1; )
M
−
vtcp:
3
2
( 1; 2; )
u AM
= = − −
PTTS của trung tuyến AM:
0
0
3
0
2
1
3 2 ( )
2
x x at x t
y y bt y t t
z z ct
z t
= + = −
= + ⇔ = − ∈
= +
= − +
»
Câu c: Viết PTTQ của mặt phẳng (ABC)
Hai véctơ:
( 2; 2; 4)
AB
= − −
(0; 2; 1)
AC
= − −
vtpt:
2 4 4 2 2 2
[ , ] ; ; (10; 2; 4)
2 1 1 0 0 2
n AB AC
− − − −
= = = −
− − − −
Điểm:
(1;3; –2)
A
PTTQ:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =
10( 1) 2( 3) 4( 2) 0
10 10 2 6 4 8 0
10 2 4 4 0
5 2 2 0
x y z
x y z
x y z
x y z
⇔ − − − + + =
⇔ − − + + + =
⇔ − + + =
⇔ − + + =
Câu d: Khoảng cách từ M(2;1;2) đến mặt phẳng (ABC)
2 2 2
5.2 1 2.2 2 15 30
( ,( ))
2
30
5 ( 1) 2
d M ABC
− + +
= = =
+ − +
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 46 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
11. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho
:
0
0
0
( )
x x at
d y y bt
z z ct
= +
= + ∗
= +
và mặt phẳng
:
(1)
( ) 0
P Ax By Cz D
+ + + =
Thay
( )
∗
vào (1) ta được phương trình (2) theo biến t.
Nếu phương trình (2) vô nghiệm t thì kết luận d || (P)
Nếu phương trình (2) có vô số nghiệm t thì kết luận d ⊂ (P)
Nếu phương trình (2) có duy nhất nghiệm t = t
0
thì thay t = t
0
trở
lại vào phương trình
( )
∗
ta tìm được
0 0 0
( ; ; )
x y z
. Kết luận d và (P)
cắt nhau tại điểm
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
II. BÀI TẬP MINH HOẠ
Bài 1 : Cho
3 , 2 ,
OA i j k OB i j k OC j
= + + = + + =
a.CMR, ∆ABC cân. b.Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
Bài giải
Câu a: Từ giả thiết ta suy ra
(1;3;1), (1;1;2), (0;1; 0)
A B C
2 2 2
(0; 2;1) 0 ( 2) 1 5
AB AB= − ⇒ = + − + =
2 2 2
( 1;0; 2) ( 1) 0 ( 2) 5
BC BC= − − ⇒ = − + + − =
Suy ra, AB = BC hay tam giác ABC cân tại B.
Câu b:
( 1; 3; 1)
D D D
AD x y z
= − − −
( 1;0; 2)
BC
= − −
ABCD là hbh
1 1 0
3 0 3
1 2 1
D D
D D
D D
x x
AD BC y y
z z
− = − =
⇔ = ⇔ − = ⇔ =
− = − = −
Vậy,
(0; 3; 1)
D
−
Bài 2 : Cho A(1;3;–2), B(–1;1;2), C(1;1;–3)
a.CMR, ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC.
b.Viết PTTS của đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
c.Viết PTTQ của mặt phẳng (P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC.
d.Tính khoảng cách từ điểm M(2;1;2) đến mặt phẳng (ABC)
GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang
43
TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
4. Phương trình mặt cầu
Mặt cầu (S) biết trước tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình
2 2 2 2
( – ) – –
x a y b z c R
+ + =
( ) ( )
Với điều kiện, phương trình có dạng:
2 2 2
– 2 – 2 – 2 0
x y z ax by cz d
+ + + =
là phương trình mặt cầu có tâm (a;b;c) và có bán kính
2 2 2
R a b c d
= + + −
Lưu ý:
+ M.phẳng α tiếp xúc với mặt cầu (S) thì (S) có bán kính
( , )
R d I
α
=
5. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Nếu (P) đi qua
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
, có vtpt
( ; ; )
n A B C
=
thì (P) có PTTQ
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
A x x B y y C z z
− + − + − =
Lưu ý (về việc xác định vtpt của mp)
☺
☺☺
☺
( ) ( )
P Q
thì
( )
P
nhận
Q
n
làm vtpt.
☺
☺☺
☺
( )
P AB
⊥
thì
( )
P
nhận
AB
làm vtpt.
☺
☺☺
☺
( )
P d
⊥
thì
( )
P
nhận
d
u
làm vtpt.
a. Cách xác định vtpt của (P) khi biết 2 véctơ có giá song song (hoặc
chứa trong) (P)
Nếu
( ; ; ) , ( ; ; )
a x y z b x y z
′ ′ ′
= =
có giá song song (chứa trong (P)) thì
(P) có vtpt:
, ; ;
y z z x x y
n a b
y z z x x y
= =
′ ′ ′ ′ ′ ′
[ ]
Lưu ý: (về việc xác định véctơ có giá song song với mp)
☺
☺☺
☺
( ) ( )
P Q
⊥
thì
Q
n
có giá song song
( )
P
☺
☺☺
☺
( )
P AB
thì
AB
có giá song song
( )
P
☺
☺☺
☺
( )
P
chứa M,N thì
MN
có giá song song
☺
☺☺
☺
( )
P d
thì
d
u
có giá song song
( )
P
☺
☺☺
☺
( )
P
chứa ∆ thì
u
∆
có giá song song
( )
P
b. Cách xác định vtpt của (P) khi biết PTTQ của (P)
Mp
( ) : 0
P Ax By Cz D
+ + + =
có vtpt
( ; ; )
n A B C
=
c. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Mặt phẳng (P) đi qua
( ; 0;0)
A a
,
(0; ; 0), (0;0; )
B b C c
có
PTTQ (P):
1
x y z
a b c
+ + =
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
TN.THPT.2010 44 GV:
GV: GV:
GV: D
DD
Dng Phc Sang
ng Phc Sangng Phc Sang
ng Phc Sang
6. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
Cho
( ) : 0
P Ax By Cz D
+ + + =
có vtpt
( ; ; )
n A B C
=
và
( ) : 0
Q A x B y C z D
′ ′ ′ ′
+ + + =
có vtpt
( ; ; )
n A B C
′ ′ ′ ′
=
a. Hai mặt phẳng song song với nhau
.
( ) ( )
.
n k n
P Q
D k D
′
=
⇔
′
≠
(Đặc biệt: nếu
, , ,
A B C D
′ ′ ′ ′
đều khác 0 thì
A B C D
A B C D
= = ≠
′ ′ ′ ′
)
b. Hai mặt phẳng trùng nhau
.
( ) ( )
.
n k n
P Q
D k D
′
=
≡ ⇔
′
=
(Đặc biệt: nếu
, , ,
A B C D
′ ′ ′ ′
đều khác 0 thì
A B C D
A B C D
= = =
′ ′ ′ ′
)
c. Hai mặt phẳng cắt nhau
( ) ( ) .
P Q n k n
′
⇔ ≠
caét
Hai mặt phẳng vuông góc
( ) ( )
P Q n n
′
⊥ ⇔ ⊥
(Hay:
. 0
n n
′
=
)
7. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Cho
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
và
( ) : 0
P Ax By Cz D
+ + + =
. Khi đó,
0 0 0
0
2 2 2
( ,( ))
Ax By Cz D
d M P
A B C
+ + +
=
+ +
8. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng d đi qua
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
, có vtcp
( ; ; )
u a b c
=
, có PTTS
0
0
0
: ( )
x x at
d y y bt t
z z ct
= +
= + ∈
= +
»
Lưu ý: Nếu
( ; ; ) , ( ; ; )
a x y z b x y z
′ ′ ′
= =
là 2 véctơ có giá vuông góc với
d thì vtcp của d cũng được tìm bằng công thức:
,
u a b
=
[ ]
9. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Đường thẳng d đi qua
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
, có vtcp
( ; ; )
u a b c
=
, có PTCT
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
GV:
GV: GV:
GV: Dng Phc Sang
Dng Phc SangDng Phc Sang
Dng Phc Sang
45
TN.THPT.2010
TN.THPT.2010TN.THPT.2010
TN.THPT.2010
Lưu ý: (về cách xác định vtcp cho đường thẳng)
☺
☺☺
☺ d đi qua 2 điểm A,B (cho trước toạ độ) thì d có vtcp
AB
☺
☺☺
☺ d || ∆ (cho trước PT) thì d có vtcp
u u
∆
=
☺
☺☺
☺ d ⊥(P) (cho trước PT) thì d có vtcp
P
u n
=
☺
☺☺
☺ d vuông góc với giá của 2 véctơ
,
a b
thì d có vtcp
[ , ]
u a b
=
☺
☺☺
☺ d song song với mp (P) và vuông góc với
đường thẳng
∆
thì d vuông góc với giá
của 2 véctơ
P
n
và
u
∆
nên d có vtcp
,
P
u n u
∆
=
[ ]
10. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Cho đường thẳng d qua
0 0 0 0
( ; ; ),
M x y z
có vtcp
( ; ; )
u a b c
=
và đường thẳng
d
′
qua
0 0 0 0
( ; ; ),
M x y z
′ ′ ′ ′
có vtcp
( ; ; )
u a b c
′ ′ ′ ′
=
Đặt
[ ]
,
n u u
′
=
a. d và d′ song song nhau c. d và d′ cắt nhau
ñieåm
0
0n
d d
M d
=
′
⇔
′
∉
caét
.
0 0
0
0
n
d d
n M M
≠
′
⇔
′
=
b. d và d′ trùng nhau d. d và d′ chéo nhau
ñieåm
0
0n
d d
M d
≠
′
≡ ⇔
′
∈
cheùo
.
0 0
0
0
n
d d
n M M
≠
′
⇔
′
≠
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
