bộ đề thi vào lớp 10 các trường chuyên từ bắc đến nam 2009 - 2010 với đáp án chi tiết phần 2 ppsx

Bµi 4:














* ý c : Chøng minh KT.BN=KB.ET
C¸ch 1:C/m

AKT


IET

KT AK
ET IE


C/m


AKB


INB

KB AK
BN IN

Do IE=IN tõ ®ã ta suy ra ®iỊu ph¶i chøng minh
C¸ch 2:
C/m

TKE


TAI

KT TA
ET TI


C/m

BIM


BAK

KB AB
BM BI



Theo tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cđa

ABT ta cã
TA AB
TI BI

Vµ do BM=BN tõ ®ã suy ra ®iỊu ph¶i c/m

*ý d:Chøng minh NE ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh:
Do A, B vµ tia Bt cè ®Þnh nªn ta cã tia Bx cè ®Þnh vµ

ABI


kh«ng ®ỉi (tia Bx lµ tia
ph©n gi¸c cđa

ABt
)
XÐt

ABK vu«ng t¹i K ta cã KB = AB.cos ABI=AB.cos

kh«ng ®ỉi
Nh vËy ®iĨm K thc tia Bx cè ®Þnh vµ c¸ch gèc B mét kho¶ng kh«ng ®ỉi do ®ã K cè
®Þnh

®pcm.

GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN THPT HUỲNH MẪN ĐẠT – KIÊN GIANG, NĂM 2009 – 2010
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
12



Đề, lời giải Cách khác, nhận xét
Bài 1: (1 điểm) Cho phương trình ax
2
+ bx + c
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Đặt S
2

= x
1
2

+ x
2
2
; S
1
= x
1
.x
2
Chứng minh rằng: a.S
2
+
b.S
1
+ 2c = 0
Theo Vi-ét ta có: x
1
+ x
2
=
b
a

; x
1
.x

2
=
c
a





     
     
2 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
2
2 2
a.S2 + b.S1 + 2c = a x x 2
x 2 x x 2
x 2 x x 2
2 . . 2
2 2 0 ( 0)
x b x c
a x x b x c
a x a x b x c
b c b
a a b c
a a a

b b
c c doa
a a
   
 
     
 
     
 
 
    
 
 
     


Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình: 2x - 7
x
+ 3m – 4 = 0 (1)
a/ Đònh m để phương trình có một nghiệm
bằng 9 và tìm tất cả nghiệm còn lại của
phương trình.
b/ Tìm tất cả các giá trò của m để phương
trình (1) có nghiệm.
a/ Phương trình có 1 nghiệm x = 9 thay vào pt
ta có:
2.9 - 7
9
+3m – 4 = 0

3m = 7
m = 7/3
Từ (1) ta có x
0

thế vào (1) ta được pt:


2
2 7 3 0 (2)
x x  
Đặt
0
x t
 
ta có pt: 2t
2
– 7t + 3 = 0
Giải tìm được t
1
= 3 ; t
2
= ½
Suy ra x
1
= 9 ; x
2
= ¼
b/ Từ (1) coi phương trình với ẩn là
x

Lập
1 2
81 24
7
2
x
m
S x x
  
  

Để pt (1) có nghiệm thì:
1 2
81 24 0
27
7
8
0
2
x
m
m
S x x
   


 

   












Cách khác:


2
2 7 3 0 (2)
x x  

x
1
= 9
1
3
x
 

mà
1 2
2
2

2
7
2
7
3
2
7 1
3
2 2
1
4
x x
x
x
x
 
  
   
 

Câu b:
Có thể yêu cầu tìm số nguyên lớn nhất
của m để phương trình (1) có nghiệm.
Chú ý: nếu thay
x
bởi
x
ta có bài
toán tương tự.
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com
13



Bài 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình:




  
  
1 2 2 (1)
2 3 6 (2)
3 1 3 (3)
x y
y z
z x

  

  


  

(I)
Nhân (1) (2) và (3) ta có:
[(x + 1)(y + 2)(z + 3)]
2

= 36
(x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hoặc (x + 1)(y + 2)(z +
3) = -6
Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = 6 hệ (I) là:
0
3 3
0
1 1
0
2 2
z
z
x
x
yy


 

 
 
 
 
 

 



Với (x + 1)(y + 2)(z + 3) = - 6 hệ (I) là:

6
3 3
2
1 1
4
2 2
zz
xx
y
y

 
  

 
  
  
 
 
 
  



Vậy nghiệm của hệ là (0 ; 0 ; 0) và (-2 ; -4 ; -
6)



Nếu x, y, z đều là các số dương thì hệ chỉ

có 1 nghiệm
Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho
parabol (P):
2
3
x
y  , điểm I(0 ; 3) và điểm
M(m ; 0)
Với m là tham số khác 0.
a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua
hai điểm M, I
b/ Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại
hai điểm phân biệt A, B với AB > 6

a/ Gọi pt của (d) là y = ax + b
Khi đi qua I(0 ; 3) và M(m ; 0) ta có:
3
.0 3
3
( ): 3
3
. 0
b
a b
d y x
m a b
ma
m
 


 

 
   
 
 

 



b/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và
(P):














www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
14

 
2
2
2
2 2
3
3
3
9 9 ( 0)
9 9 0
9 4. . 9 81 36 0, 0
x
x
m
mx x m dom
mx x m
m m m m

 
    
   
        

Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Chứng minh AB > 6
Vì A, B là giao điểm của (d) và (P) nên hoành
độ x
A

, x
B
phải thỏa mãn pt: mx
2
+ 9x – 9m = 0
Theo Vi-ét ta có: x
A
+ x
B
=
9
m
; x
A
. x
B
= -9
Do A, B
3 3
( ) 3 ; 3
A A B B
d y x y x
m m
 
     

Theo công thức tính khoảng cách:
   
 
   

 
 
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 4 2
3 3
9
9
1
9
4 . 1
9 9
4( 9) 1
81 9
36 1
81 729 324
36 36 6
A B A B
A B A B
A B A B

A B
A B A B
AB x x y y
x x x x
m m
x x x x
m
x x
m
x x x x
m
m m
m m
m m m
   
 
 
   
 
 
   
 
  
 
 
 
 
   
 
 

 
 
   
   
 
   
   
 
 
  
  
  
  
     


Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R) và
(O’ ; R’) cắt nhau tại A và B (R > R’). Tiếp
tuyến tại B của
(O’ ; R’) cắt (O ; R) tại C và tiếp tuyến tại B
của (O ; R) cắt (O’ ; R’) tại D.
a/ Chứng minh rằng: AB
2
= AC.AD và
2
BC AC
BD AD
 

 

 

b/ Lấy điểm E đối xứng của B qua A. Chứng




www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
15


minh bốn điểm B, C, E, D thuộc một đường
tròn có tâm là K. Xác đònh tâm K của đường
tròn.

a/ Xét (O) ta có


1 2
C B

(chắn cung AnB)
Xét (O’) ta có


1 1
D B

(chắn cung AmB)

2
2 2
2
2 2
(1)
.
.
ABC ADB
AB AC BC
AD AB BD
AB AC AD
BC AB AB AC AD AC
BD AD AD AD AD
  
  
 
   
   
   
   


b/ Từ (1) thay AE = AB ta có
AE AC
AD AE

(*) mặt khác:









1 1 1 2 2 1
1 2
;
(**)
A C B A B D
A A
   
 

Từ (*) và (**) suy ra:


 






 
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
0
( )

180 ( )
AEC ADE c g c
E D
CED CBD E E B B
E D D B
xet BDE
   
 
     
   
 


Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn tâm K. Với
K là gaio điểm 3 đường trực của
BCE

hoặc
BDE


1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
j
/
/
x
x
=
=
K
C
D

O
B
O'
A
E
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
16












Sở GD&ĐT Nghệ An

Đề thi chính thức
Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10
trờng thpt chuyên phan bội châu
năm học 2009 - 2010

Mụn thi: TON
Thi gian: 150 phỳt, khụng k thi gian giao

Bi 1: (3.5 im)
a) Gii phng trỡnh

3 3
2 7 3
x x


b) Gii h phng trỡnh
3
3
8
2 3
6
2
x
y
x
y










Bi 2: (1.0 im)

Tỡm s thc a phng trỡnh sau cú nghim nguyờn
2
2 0
x ax a

.
Bi 3: (2.0 im)
Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú ng phõn giỏc trong BE (E thuc AC). ng trũn
ng kớnh AB ct BE, BC ln lt ti M, N (khỏc B). ng thng AM ct BC ti K. Chng
minh: AE.AN = AM.AK.
Bi 4: (1.5 im)
Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhn, trung tuyn AO cú di bng di cnh BC.
ng trũn ng kớnh BC ct cỏc cnh AB, AC th t ti M, N (M khỏc B, N khỏc C).
ng trũn ngoi tip tam giỏc AMN v ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC ct ng
thng AO ln lt ti I v K. Chng minh t giỏc BOIM ni tip c mt ng trũn v t
giỏc BICK l hỡnh bỡnh hnh.
Bi 5: (2.0 im)
a) Bờn trong ng trũn tõm O bỏn kớnh 1 cho tam giỏc ABC cú din tớch ln hn hoc
bng 1. Chng minh rng im O nm trong hoc nm trờn cnh ca tam giỏc ABC.
b) Cho a, b, c l cỏc s thc dng thay i tha món:
3
a b c

.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca
a b c

a b b c c a




Ht
H v tờn thớ sinh SBD
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
17


* Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
* Giám thị không giải thích gì thêm.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
18


Sở GD&ĐT Nghệ An

Đề thi chính thức

Kì thi TUYểN sinh VàO lớp 10 trờng thpt chuyên
phan bội châu năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn chấm gồm 03 trang

Nội dung đáp án Điểm

Bài 1 3,5 đ
a
2,0đ

3 3
2 7 3
x x





3 3 3 3
2 7 3 2. 7 2 7 27
x x x x x x


0.50đ
3
9 9. ( 2)(7 ) 27
x x


0.25đ
3
( 2)(7 ) 2
x x


0.25đ

( 2)(7 ) 8
x x


0.25đ
2
5 6 0
x x


0.25đ

1
6
x
x






( thỏa mãn )
0.50đ
b 1,50đ

Đặt
2
z
y

0.25đ
Hệ đã cho trở thành
3
3
2 3
2 3
x z
z x








0.25đ


3 3
3
x z z x

0,25đ

2 2
3 0
x z x xz z


0,25đ
x z

(vì
2 2
3 0, ,
x xz z x z
).
0,25đ

Từ đó ta có phơng trình:
3
1
3 2 0
2
x
x x
x

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:


( , ) ( 1; 2), 2,1
x y


0,25đ
Bài 2:
1,0 đ
Điều kiện để phơng trình có nghiệm:
2
0 4 8 0
a a

(*).
0,25đ
Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm nguyên của phơng trình đã cho ( giả sử x
1
x
2
).
Theo định lý Viet:
1 2
1 2 1 2
1 2

. 2
. 2
x x a
x x x x
x x a







0,25đ

1 2
( 1)( 1) 3
x x


1
2
1 3
1 1
x
x

hoặc
1
2
1 1
1 3
x
x





(do x
1
- 1 x
2
-1)
1
2
4
2
x
x

hoặc
1
2
0
2
x
x









0,25đ
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
19


Suy ra a = 6 hoặc a = -2 (thỏa mãn (*) )
Thử lại ta thấy a = 6, a = -2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0,25đ
Bài 3:
2,0 đ
Vì BE là phân giác góc

ABC

nên




ABM MBC AM MN


0,25đ



MAE MAN

(1)
0,50đ
Vì M, N thuộc đờng tròn đờng
kính AB nên


0
90
AMB ANB


0,25đ

0
90
ANK AME
, kết hợp
với (1) ta có tam giác AME đồng
dạng với tam giác ANK
0,50đ

AN AK
AM AE

0,25đ

AN.AE = AM.AK (đpcm)
0,25đ
Bài 4:
1,5 đ
Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên


ANM AIM

Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên


ANM ABC

AIM ABC
.Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp
0,25đ
Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI
đồng dạng với tam giác AOB

. .
AM AI
AI AO AM AB
AO AB
(1)
0,25đ
Gọi E, F là giao điểm của đờng thẳng AO
với (O) (E nằm giữa A, O).
Chứng minh tơng tự (1) ta đợc:
AM.AB = AE.AF
= (AO - R)(AO + R) (với BC = 2R)
= AO
2
- R
2
= 3R
2
0,25đ
AI.AO = 3R
2

2 2
3 3 3

2 2 2
R R R R
AI OI
AO R

(2)
0,25đ
Tam giác AOB và tam giác COK đồng dạng nên
OA.OK = OB.OC = R
2


2 2
2 2
R R R
OK
OA R

(3)
0,25đ

Từ (2), (3) suy ra OI = OK
Suy ra O là trung điểm IK, mà O là trung điểm của BC
Vì vậy BICK là hình bình hành
0,25đ
Bài 5:
2,0 đ
1,0 đ
Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC.
Không mất tính tổng quát, giả sử A và O

nằm về 2 phía của đờng thẳng BC
0,25đ
Suy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K.
Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
0,25đ
a,
Suy ra AH AK < AO <1 suy ra AH < 1
0,25đ

Suy ra
. 2.1
1
2 2
ABC
AH BC
S


(mâu thuẫn với
giả thiết). Suy ra điều phải chứng minh.
0,25đ

B
A
C
K N
M
E

A
B
C
F
O
I

M
N
E


A

B

C

O

K

H

K

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
20

b, 1,0đ

Ta có: 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
)
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ a
2
b + b
2
c + c
2
a + ab
2

+ bc
2
+ ca
2

0,25đ

mà a
3
+ ab
2


2a
2
b (áp dụng BĐT Côsi )
b
3
+ bc
2


2b
2
c
c
3
+ ca
2

2c
2
a
Suy ra 3(a
2
+ b
2
+ c
2
)

3(a
2
b + b
2
c + c
2
a) > 0
0,25đ

Suy ra
2 2 2
2 2 2
P
ab bc ca
a b c
a b c

2 2 2
2 2 2
2 2 2
9 ( )
P
2( )
a b c
a b c
a b c




0,25đ

Đặt t = a
2
+ b
2
+ c
2
, ta chứng minh đợc t

3.
Suy ra
9 9 1 3 1
3 4

2 2 2 2 2 2 2
t t t
P t
t t


P 4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4
0,25đ

Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó

S GIO DC V O TO Kè THI TUYN SINH VO LP 10 THPT CHUYấN LAM
SN
THANH HO NM HC: 2009-2010

MễN: TON (Dnh cho hc sinh thi vo lp chuyờn Toỏn)
Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao )
Ngy thi: 19 thỏng 6 nm 2009

Cõu 1: (2,0 im)
1. Cho s x (
x R ; x > 0

) tho món iu kin :
2
2
1
x + = 7
x
. Tớnh giỏ tr cỏc biu
thc : A =
3
3
1
x +
x
v B =
5
5
1
x +

x
.
chớnh thc
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
21