Giáo trình sức bền vật liệu - Chương 11 doc

Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

Chương 11. TÍNH HỆ THANH SIÊU TĨNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC
I. KHÁI NIỆM CƠ BẢN

⇒ Hệ tĩnh định (HTĐ): số liên kết = số phương trình cân bằng tĩnh học.
⇒ Hệ siêu tĩnh (HST) là hệ có số liên kết nhiều hơn số phương trình cân
bằng tĩnh học. Hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình và có các liên kết thừa. Bậc
siêu tĩnh của hệ được tính bằng số liên kết thừa. Số liên kết thừa của một
hệ có thể là liên kết ngoại (liên kết cần thiết để giữ cho hệ được cố định)
hay liên kết nội (liên kết giữa các phần đối với nhau trong cùng một hệ)
So với hệ tĩnh định, HST có những đặc điểm sau:
• Nội lực trong HST phân bố đều hơn, ứng suất và biến dạng nhỏ hơn
so với HTĐ có cùng kích thước và tải trọng.
• HST có nhược điểm là dễ phát sinh các ứng suất khi nhiệt độ thay
đổi, khi có độ lún ở các gối tựa, gia cơng lắp ghép khơng chính xác.
• Khi những liên kết thừa bị hư hỏng thì hệ vẫn khơng bị phá loại, vì
khi đó hệ vẫn bết biến hình học.
Ví dụ: Hình 11.1a,e: hệ thừa 2 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 2.
Hình 11.1b: hệ thừa 1 liên kết ngoại: bậc siêu tĩnh của hệ là 1. Hình 11.1c:
hệ thừa 3 liên kết ngoại và 3 liên kết nội: bậc siêu tĩnh là 6. Hình 11.1d: hệ
thừa 3 liên kết nội, bậc siêu tĩnh của hệ là 3.
Khung khép kín (hình 1.1f) ⇒ siêu tĩnh bậc ba. Vì muốn nối phần (A) và
(B), cần 3 liên kết đơn hoặc 1 khớp và 1 liên kết đơn hay thay ba liên kết đơn
bằng mối hàn cứng (hình 11.1g,h).

a)

e)

b)

f)

d)

c)

g)

(A)

(B)

(A)

(B)

h)

Hình 11.1

⇒ Khái niệm “liên kết thừa” chỉ có tính qui ước. Bởi vì để đảm bảo cho hệ
bất biến hình thì chúng là thừa, nhưng sự có mặt của chúng sẽ tạo cho kết
cấu có độ cứng cao hơn và do đó, làm việc tốt hơn so với hệ tĩnh định. Sau
đây ta giải HST bằng phương pháp lực.
11.1


Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

II. GIẢI HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC
1. Hệ cơ bản của HST
⇒ là một HTĐ có được từ HST đã cho bằng cách bỏ bớt các liên kết thừa.
HST có thể có nhiều hệ cơ bản (hình 11.2).
l
l

q

(a)

(c)

(b)

Hình 11.2

Cần chú ý rằng:
l
⇒ Sau khi bỏ các liên
kết thừa, hệ phải đảm bảo
l
tính bất biến hình của nó.
⇒ Chỉ được phép giảm
bớt các liên kết đơn chứ
(c)
không được phép thêm
(a)
(b)

liên kết đơn vào một mặt
Hình 11.3
cắt bất kỳ.
Ví dụ: hệ trên hình 11.3b, c khơng phải là hệ cơ bản của hệ trên hình
11.3a, vì nó sẽ biến hình.
2. HTĐ tương đương
⇒ HTĐ tương đương với HST đã cho khi biến dạng và chuyển vị của
chúng hoàn toàn giống nhau.
⇒ HTĐ tương đương là hệ cơ bản chọn của HST: các liên kết thừa biểu
diễn phản lực liên kết (hình 11.4). Phản lực liên kết được xác định với điều
kiện biến dạng và chuyển vị của HTĐ hoàn toàn giống như HST đã cho.

a)

c)

b)
Hình 11.4

3. Thiết lập hệ phương trình chính tắc để xác định các phản lực liên kết
⇒ Với mỗi phản lực liên kết Xi ta có một điều kiện chuyển vị:
11.2


Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

Gọi Δi là chuyển vị của điểm đặt của Xi theo phương của Xi đó, gây ra do
tải trọng Pi và tất cả các Xj (j = 1, 2, …, n), với n là bậc siêu tĩnh ta có:
Δi = ± δi (i = 1, 2, …, n)
(11.1)

Ở đây δi là chuyển vị tại điểm đặt của Xi và theo phương Xi đó do tải trọng
đã cho gây ra trong HST, dấu (+) lấy khi chiều chuyển vị của δi cùng chiều
với chiều của lực Xi và lấy dấu (-)khi chiều chuyển vị của δi ngược chiều với
chiều của lực Xi. Trong các trường hợp thường gặp như gối cố định, di động,
ngàm thì ta có δi = 0. Tuy nhiên có những trường hợp δi ≠ 0, chẳng hạn gối
tựa đàn hồi.
⇒ Nếu HST có n bậc siêu tĩnh ⇒ n phương trình (11.1) ⇒ hệ phương
trình chính tắc xác định các phản lực liên kết Xi (i = 1, 2, .., n):
Δ1 = δ11X1 + δ12 X 2 + ... + δ1n X n + Δ1p = 0 ⎫
⎪
Δ 2 = δ21X1 + δ22 X 2 + ... + δ2 n X n + Δ 2p = 0 ⎪
⎬
(11.2)
............................................................. ⎪
⎪
Δ n = δ n1X1 + δ n2 X 2 + ... + δ nn X n + Δ np = 0 ⎭
trong đó: Δip là chuyển vị theo phương i của hệ cơ bản do tải trọng gây nên.
δik là chuyển vị đơn vị theo phương i của hệ cơ bản do lực đơn vị đặt theo
phương k gây nên.
⇒ Ta có thể tính được Δip và δik theo công thức Mo sau:
n li
n li
n li
N zi N zk
M xi M xk
M M
δik = ∑ ∫
dz + ∑ ∫
dz + ... + ∑ ∫ zi zk dz
EF

EJ x
GJ p
i =1 0
i =1 0
i =1 0
n li

N zi N zp

i =1 0

EF

Δ ip = ∑ ∫

n li

M xi M xp

i =1 0

EJ x

dz + ∑ ∫

n li

M zi M zp

i =1 0

GJ p

dz + ... + ∑ ∫

dz

⇒ Nếu bỏ qua ảnh hưởng của kéo-nén và xoắn so với uốn, thì Δip và δik
tính theo cơng thức Mo sau (bỏ qua chỉ số x, y trong công thức):
n li
n li M M
Mi Mk
δik = ∑ ∫
dz ; Δ ip = ∑ ∫ i p dz
(11.3)
EJ
EJ
i =1 0
i =1 0
⇒ Sau khi xác định được các phản lực liên kết Xi, đặt các phản lực liên kết
Xi cùng với tải trọng lên hệ cơ bản ⇒ một HTĐ tương đương.
⇒ Giải HST bằng phương pháp lực ta có các bước sau:
Bước 1. Xác định bậc siêu tĩnh và chọn hệ cơ bản
Bước 2. Xác định HTĐ tương đương bằng cách đặt vào hệ cơ bản các phản
lực liên kết tương ứng với các liên kết thừa đã bỏ đi.
Bước 3. Thiết lập hệ phương trình chính tắc
11.3


Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

Ví dụ 11.1: Vẽ biểu đồ nội lực của khung như hình vẽ 11.5a
q
B

a

C
Hệ cơ bản

a
A

X1
(b)

(a)

qa2/2

(c)

X2

a
B

C
M1

MP

A

X1=1
(d)

(e)

a
M2

X2=1

(f)

Hình 11.5

Giải: Khung có hai bậc siêu tĩnh, hệ cơ bản được chọn như hình 11.5b.
HTĐ tương đương như trên hình 11.5c. Phương trình chính tắc có dạng:
δ11X1 + δ12 X 2 + Δ1p = 0 ⎫
⎪
⎬
δ21X1 + δ22 X 2 + Δ 2p = 0 ⎪
⎭
Biểu đồ mômen uốn do tải trọng (Mp) như hình 11.5d.
Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ Verêsaghin ta có:
n li

3

M1M1
1 ⎛1
2
⎞ 4a
dz =
δ11 = ∑ ∫
⎜ .a.a. a + a.a.a ⎟ =
EJ x
EJ x ⎝ 2
3
⎠ 3EJ x
i =1 0
n li

M1M 2
1 ⎛ 1
a3
⎞
dz =
− .a.a.a ⎟ = −
⎜
EJ x ⎝ 2
2EJ x
⎠
i =1 0 EJ x

δ12 = ∑ ∫
n li

M 2M 2

1 ⎛1
2 ⎞
a3
dz =
.a.a. a ⎟ =
⎜
EJ x ⎝ 2
3 ⎠ 3EJ x
i =1 0 EJ x

δ22 = ∑ ∫
n li

Δ1p = ∑ ∫
i =1 0

n li

Δ 2p = ∑ ∫
i =1 0

M p M1
EJ x

dz =

MpM2
EJ x

dz =

1
EJ x

⎛1
⎞ 5qa 4
a2 3
a2
.aq. . a + q. .a.a ⎟ =
⎜
⎜3
⎟ 8EJ
2 4
2
x
⎝
⎠

1
EJ x

⎛ 1
a2 ⎞
qa 4
− .aq. .a ⎟ = −
⎜
⎜ 2
2 ⎟
4EJ x
⎝

⎠
11.4


Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

Thay vào phương trình chính tắc, ta cã:
⎧ 3 a3
1 a3
5 qa 4
3
⎧
=0
X1 −
X2 +
⎪
X1 = − qa
⎪
2 EJ x
8 EJ x
⎪ 4 EJ x
⎪
7
⇒⎨
⎨
3
3
4
⎪− 1 a X + 1 a X − 1 qa = 0 ⎪X = 3 qa
⎪ 2 28

⎪ 2 EJ x 1 3 EJ x 2 4 EJ x
⎩
⎩

Ðể vẽ biểu đồ M, N, Q ta đặt các lực X1, X2 vào hệ cơ bản với lực X1 có
chiều ngược lại vì kết quả mang dấu âm. Biểu đồ M, N, Q như hình 11.6.

Hình 11.6

III. TÍNH HỆ SIÊU TĨNH ÐỐI XỨNG
1. Định nghĩa : ⇒ Hệ đối xứng là hệ khi có ít nhất một trục đối xứng.
⇒ Hệ đối xứng chịu tải trọng đối xứng khi tải trọng đặt lên phần này là
ảnh của tải trọng đặt lên phần kia qua gương phẳng đặt tại trục đối xứng và
vng góc với mặt phẳng của hệ.
⇒ Nếu tải trọng của phần này là ảnh của phần kia nhưng có chiều ngược
lại thì ta gọi là hệ đối xứng chịu tải trọng phản đối xứng.
Hình (11.7a,b,c) - HST
đối xứng, hệ chịu tải trọng
đối xứng, hệ chịu tải trọng
phản đối xứng.
2. Tính chất (mệnh đề)
⇒ Tương tự, nội lực
b)
a)
c)
cũng có tính chất đối xứng
Hình 11.7
hoặc phản đối xứng.
⇒ Trong mặt phẳng: Nz , Mx có tính
Qy

Mx
đối xứng, Qy có tính phản đối xứng
⇒ Trong khơng gian: Nz, Mx, My là đối
Mx
Qy
xứng, Qx, Qy và Mz phản đối xứng.
Hình 11.8

11.5


Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

⇒ Tính chất của HST đối xứng:
Nếu một hệ đối xứng chịu tải trọng
Mx
đối xứng thì nội lực phản đối xứng
Nz
trên mặt cắt trong mặt phẳng đối
Mz
z z
xứng của hệ là bằng không. Ngược
Qx Q My
lại nếu tải trọng là phản đối xứng thì
y
y
x
x
y
nội lực đối xứng phải bằng khơng.

⇒ Chú ý các nhận xét sau: Khi hệ
Hình 11.9
là đối xứng chịu tải trọng đối xứng
thì biểu đồ mơmen là đối xứng, ngược lại nếu tải trọng phản đối xứng thì
biểu đồ mơmen là phản đối xứng. Phép nhân Vêrêsaghin giữa biểu đồ đối
xứng và phản đối xứng là bằng khơng.
Chứng minh. Giả sử có HST đối xứng chịu tải phản đối xứng (hình
11.10b). Chọn hệ cơ bản bằng cách cắt đôi khung. Phải chứng minh các
thành phần nội lực đối xứng X1 và X2 trên mặt cắt là bằng khơng.
X1 , X2 , X3 là nghiệm của phương trình chính tắc:
⎧δ11X 1 + δ12 X 2 + δ13 X 3 + Δ1p = 0
⎪
⎨δ 21X 1 + δ22 X 2 + δ23 X 3 + Δ 2p = 0
⎪
⎩δ31X 1 + δ32 X 2 + δ33 X 3 + Δ 3p = 0
Pk=1
P

Pk=1

(11.4)
X2 X2
X3

l

l

Mk

(a)

l

l

l

Pl

X1

P
X3
l

Mm

(b)

Pl

Hình 11.10

⇒ Biểu đồ M1 , M 2 là đối xứng còn biểu đồ M 3 là phản đối xứng nên:
δ13 = δ31 = δ23 = δ32 =Δ1p = Δ2p = 0
⇒ Do đó hệ phương trình chính tắc trên thu gọn lại như sau:
⎧δ11X1 + δ12 X 2 = 0
⎪
⎨δ21X1 + δ22 X 2 = 0

(11.5)
⎪δ X + Δ = 0
3p
⎩ 33 3
⇒ Hai phương trình đầu là một hệ thống phương trình thuần nhất 2 ẩn số
định thức khác không ⇒ X1 = X2 = 0.
11.6


Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

⇒ Tương tự, khung chịu lực đối xứng như hình vẽ 11.10a. Lúc đó biểu đồ
tải trọng là đối xứng nên: δ13 = δ31 = δ23 = δ32 = Δ3P = 0
⎧δ11X1 + δ12 X 2 + Δ1p = 0
⎪
(11.6)
⇒ Hệ phương trình chính tắc: ⎨δ21X1 + δ22 X 2 + Δ 2p = 0
⎪
⎩δ33 X 3 = 0
⇒ Từ phương trình thứ 3 ta được X3 = 0 ⇒ đpcm.
⇒ Trường hợp hệ đối xứng nhưng tải trọng bất kỳ ⇒ tổng tác dụng của hệ
có tải trọng đối xứng và hệ chịu tải trọng phản đối xứng (hình 11.11).
P

P/2

P/2

P/2

P/2

+

=

Hình 11.11

IV. HST CĨ CÁC LIÊN KẾT CHỊU CHUYỂN VỊ CƯỠNG BỨC
Để tính tốn những HST có các gối tựa chịu chuyển vị cưỡng bức ta
cũng sẽ sử dụng những lý luận vừa mô tả ở trên. Nội lực trong hệ có các
liên kết chịu chuyển vị cưỡng bức là do các gối tựa chịu các chuyển vị
cưỡng bức.
Để áp dụng hệ phương trình chính tắc (11.2) vào trường hợp này ta phải
chú ý khi chọn hệ cơ bản, không nên loại bỏ các liên kết có chuyển vị
cưỡng bức mà phải cắt các liên kết ấy. Ngồi ra có thể lựa chọn hệ cơ bản
bằng cách loại bỏ các liên kết thừa khơng có chuyển vị cưỡng bức.
Giả sử cho một dầm như hình 11.12a, nếu chọn hệ cơ bản bằng cách loại
bỏ liên kết ở gối tựa B có chuyển vị cưỡng bức thì điều kiện biến dạng
theo phương của ẩn số X1 do các ẩn số Xk nếu có (trên hình 11.12a khơng
chỉ ra những ẩn số này) và chuyển vị cưỡng bức gây ra sẽ không bằng
không. Cụ thể là:
Δ X1 (X1 , X 2 ,..., X n ) = δ ≠ 0
Bây giờ nếu ta chọn hệ cơ bản bằng cách cắt liên kết có chuyển vị cưỡng
bức B thì điều kiện chuyển vị theo phương liên kết ấy vẫn bằng khơng. Vì
lúc này điều kiện vừa nói là điều kiện mơ ta chuyển vị tương đối của hai
mặt cắt của liên kết vừa bị cắt:
11.7

Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

Δ X1 (X1 , X 2 ,..., X n ) = 0
Nếu chọn hệ cơ bản bằng cách cắt các liên kết thừa có chuyển vị cưỡng
bức thì phương trình thứ k có dạng:
δ k1X1 + δ k 2 X 2 + ... + δ kk X k + ... + δ kn X n + Δ kΔ = 0 (k=1,n) (11.7)

Các hệ số δkj tính như đối với trường hợp hệ chịu tải trọng.
Δ kΔ là chuyển vị theo phương của lực Xk do chuyển vị cưỡng bức gây ra
trong hệ cơ bản. Nó được xác định theo cơng thức sau:
n

n

i =1

i =1

Δ kΔ = − ∑ R i Δ iΔ − ∑ M i θiΔ

(11.8)

Trong đó R i ,M i là phản lực theo phương liên kết thứ i do lực X k = 1 gây
ra trong hệ cơ bản. Δ iΔ là chuyển vị thẳng theo phương liên kết thứ i và
θiΔ là góc xoay tại liên kết thứ i trong hệ siêu tĩnh đã cho.
1
l
2
g

A
a)

B

l

l

C
c)

3EJ
δ
l2

X1 = 1

M1

MΔ
b)

d)
X1
Hình 11.12

Ví dụ 11.2: Tính mơmen uốn lớn nhất trong trục được cho trên hình
11.12a, nếu khi chế tạo tâm của ổ đỡ lệch đi một đoạn δ.
Giải

Hệ cơ bản chọn như hình 11.12b. Phương trình chính tắc có dạng:
δ11X1 + Δ1Δ = 0

Trong đó Δ1Δ = − R1.δ = −1.δ = −δ
Biểu đồ M1 cho trên hình 11.12c, nhân biểu đồ này với chính nó ta có:
1 ⎛ 1 1 2 1 ⎞ l3
δ11 =
2 ⎜ l. l. . l ⎟ =
EJ ⎝ 2 2 3 2 ⎠ 6EJ
Thay Δ1Δ và δ11 vừa tìm được vào phương trình chính tắc ta được:
11.8


Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

6EJ
δ
l3
Biểu đồ mômen uốn và giá trị mômen uốn lớn nhất trên hình 11.12d.
X1 =

IV. TÍNH HST CHỊU NHIỆT ĐỘ THAY ĐỔI
Việc tính HST chịu nhiệt độ thay đổi cũng tương tự như tính hệ chịu tác
dụng của tải trọng, chỉ khác ở đây là sự biến thiên của nhiệt độ là nguyên
nhân gây ra nội lực trong hệ. Vì thế số hạng Δ kp thay bằng Δ kt là chuyển
vị theo phương Xk do sự biến thiên nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản. Cụ thể
là
Δ1 = δ11X1 + δ12 X 2 + ... + δ1n X n + Δ1t = 0 ⎫
⎪
Δ 2 = δ21X1 + δ22 X 2 + ... + δ2n X n + Δ 2t = 0 ⎪

⎬
(11.9)
............................................................. ⎪
⎪
Δ n = δ n1X1 + δ n2 X 2 + ... + δ nn X n + Δ nt = 0 ⎭
Trong đó các hệ số Δ kt được xác định như sau:
l

l

t 2 - t1
M k dZ
h
0
0
t -t
Hay
Δ kt = ∑ Ω ( N k ) αt c + ∑ Ω ( M k ) α 2 1
h
Trong đó Ω ( N k ) và Ω ( M k ) là diện tích của biểu đồ lực dọc và mômen
Δ kt = ∑ ∫ αt c N k dZ + ∑ ∫ α

t1 + t 2
; α là hệ số dãn nở
2
nhiệt của vật liệu của hệ; h là chiều cao MCN; t1 và t2 là độ biến thiên của
nhiệt độ ở hai phía của MCN.

uốn do lực X k = 1 gây ra trong hệ cơ bản; t c =

Các hệ số δkj được xác định như trường hợp hệ chịu tải trọng.
Sau khi thiết lập và giải hệ phương trình chính tắc ta sẽ tìm được các ẩn
số X1, X2, X3, … Việc vẽ các biểu đồ nội lực được tiến hành theo các
phương pháp đã biết.

11.9


Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

IV. TÍNH DẦM LIÊN TỤC
1. Định nghĩa
q
P
a)
⇒ Dầm liên tục là dầm
siêu tĩnh đặt trên nhiều gối
tựa đơn, trong đó có một gối
q
tựa cố định (hình 11.13a).
M3 M3
M1 M2 M2
M 0 M1
M4
b)
Khoảng cách giữa hai gối tựa
gọi là nhịp. Bậc siêu tĩnh của
0
1
2

3
4
dầm bằng số nhịp trừ một.
l
l
l
l
2. Phương trình ba mômen
P
q
⇒ Chọn hệ cơ bản của
Mi-1 Mi-1 Mi Mi
Mi+1 Mi+1
dầm bằng cách đặt lên mỗi c)
gối tựa một khớp để chia
i-1
i
i+1
dầm thành nhiều dầm đơn
li
li+1
(h×nh 11.13b).
Ωi
Ωi+1
⇒ Những lực tác dụng lên d)
Mp
C
C
một nhịp nào đó chỉ ảnh
i

i-1
i+1
hưởng đến chuyển vị của
ai+1 bi+1
bi
ai
Mi-1=1
nhịp bên cạnh ⇒ khi xét
M i −1
chuyển vị ở một gối tựa bất e)
1
kỳ, chỉ cần xét hai nhịp liên
Mi=1
tiếp nhau và các ẩn số chỉ là
f)
Mi
các mơmen uốn nội lực Mi
(h×nh 11.13c) (Mi>0 làm
1
Mi+1=1
căng thớ dưới).
g)
M i +1
⇒ Phương trình chính
1
tắc (phương trình ba
Hình 11.13
mơmen) viết theo điều kiện
góc xoay tương đối giữa hai mặt cắt tại gối tựa đó phải bằng khơng.
⇒ Ví dụ tại gối tựa thứ “i”:

δ11M1 + δ12M2 +…+ δi,i-1Mi-1 + δi,iMi + δi,i+1Mi+1 +…+ δ1nMn + Δip = 0
⇒ Các hệ số δi1 = δi2 = …= δi(i-2) = … = 0, do lực tác dụng trên hai nhịp
ở trên hai gối tựa thứ “i” chỉ ảnh hưởng đến góc xoay của gối tựa trên hai
nhịp đó. Phương trình chính tắc của hệ có dạng sau:
(11.10)
δi,i-1Mi-1 + δi,iMi + δi,i+1Mi+1 + Δip = 0
⇒ Các hệ số và số hạng tự do trong (11.10) tính theo phương pháp nhân
biểu đồ Vêrêsaghin, ta có:

11.10


Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

δi,i −1 =

li −1

∫
0

M i−1M i
l
1 1
1
dz =
. .1.li . = i
EJ i
EJ i 2
3 6EJ i

li

Mi Mi
l
l
1 1
2
1 1
2
dz =
. .1.li . +
. .1.li +1. = i + i +1
EJ
EJi 2
3 EJ i+1 2
3 3EJ i 3EJi +1
0

δi,i = ∫

δi,i +1 =

li +1

∫
0

li

Δip = ∫

M i M i+1
l
1 1
1
dz =
. .1.li +1. = i +1
EJ i+1
EJi +1 2
3 6EJ i+1

M p Mi

0

EJ

dz =

a
b
1
1
.Ωi . i +
.Ωi +1. i +1
EJi
li EJ i+1
li +1

trong đó: li, li+1 : độ dài của nhịp thứ i và thứ (i+1). Ωi, Ωi+1: Diện tích của
biểu đồ mômen do tải trọng gây nên trên hai nhịp thứ i và thứ (i+1). ai, bi+1:
Khoảng cách từ trọng tâm của các diện tích đó đến gối tựa thứ (i-1) và (i+1).
Thay các trị số đó vào phương trình chính tắc, ta có:
⎛ l
⎞
⎛ Ω .a Ω .b ⎞
li
l
l
Mi −1 + ⎜ i + i +1 ⎟ M i + i +1 M i+1 + ⎜ i i + i +1 i +1 ⎟ = 0 (11.11)
6EJi
6EJ i+1
⎝ 3EJi 3EJi +1 ⎠
⎝ li EJ i li+1EJi +1 ⎠

NÕu độ cứng EJ không đổi trên suốt chiều di của dÇm, ta cã :
⎛ Ω .a Ω .b ⎞
li M i −1 + 2 ( li + li +1 ) M i + li+1M i+1 + 6 ⎜ i i + i +1 i +1 ⎟ = 0
li +1 ⎠
⎝ li

(11.12)

Ví dụ :Vẽ biểu đồ lực cắt, mơmen uốn của dầm liên tục như hình vẽ (11.14a)
ql2/40

d)

q

P=ql

M1

a)
l

l

M1

M1

3ql2/20

l

M2

e)
M0 M1

M1

M2

M2

M3

M2

b)
0

l

1

l

2

l

3ql2/20

3

ql2/8

7ql2/20

f)
Mp

c)

M2

Mx
2
3ql/8 ql /20
ql/40
13ql/20

ql2/4
g)
Hình 11.14

Qy
5ql/8

7ql/20
11.11


Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

Giải: Đây là HST bậc 2. Hệ cơ bản như hình 11.14b. Biểu đồ mơmen uốn
Mp như hình 11.14c.
Phương trình ba mômen đối với gối tựa thứ 1, 2 và 3 là:
⎧
⎛
2 ql 2 1 ⎞
.l. ⎟ = 0
⎪l M 0 + 2(l + l )M1 + l M 2 + 6 ⎜ 0 + .
3 8 2⎠
⎪

⎝
⎨
2
2
⎪l M + 2(l + l )M + l M + 6 ⎛ 2 . ql .l. 1 + 1 . ql .l. 1 ⎞ = 0
⎜
⎟
2
3
⎪ 1
⎝3 8 2 2 4 2⎠
⎩
Trong đó M0 = M3 = 0 (do các khớp khơng có mơmen ngoại lực tập trung).
Giải hệ phương trình trên ta được:
3ql 2
ql 2
M1 = −
; M2 = −
;
40
20
Dấu (-) chỉ các m«men có chiều ngược với chiều đã chọn.
Cộng các biểu đồ Mp, M1, M2 ta được biểu đồ Mx (hình 11.14f). Sau khi
tính phản lực các gối tựa của biểu đồ Mp, M1, M2 và cộng các vectơ phản
lực, ta thu được biểu đồ Qy như trên hình 11.14g.
3. Trường hợp đặc biệt
⇒ Trường hợp dầm liên tục có đầu thừa và đầu ngàm thì cách giải của
chúng ta như sau:
⇒ Tưởng tượng bỏ đầu thừa và thu gọn tất cả ngoại lực đặt trên đoạn đó
về gối tựa cuối cùng. Mơmen uốn thu gọn có thể xem là mômen liên kết tại

mặt cắt của gối tựa cuối cùng (mơmen đó có trị số dương khi nó làm căng
thớ dưới và có trị số âm khi nó làm căng thớ trên) hoặc được xem là mômen
uốn ngoại lực tác động lên dầm. Cịn liên kết ngàm thì được thay bằng một
nhịp đặt trên một gối tựa cố định và một liên kết đơn. Ðộ cứng EJx của đoạn
nhịp này được xem là lớn vô cùng và chiều dài của nhịp đó được xem là
bằng khơng (hình 11.15).
P

l
P
M=Pl

l0=0

Hình 11.15
⇒ Phương trình ba mơmen được áp dụng đối với từng nhịp cạnh như phần
trên.
11.12


Chương 11. Tính hệ thanh siêu tĩnh bằng phương pháp lực

Ví dụ: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm chịu lực như hình vẽ (11.15a).
5ql2/28
d)
q

P=ql

a)

l

M0=0

M 1 M2

3ql2/28

5ql2/28 3ql2/28

M3=-ql2/2

M2

M2

e)

l/2

l

M1

M1

b)

ql2/2

f)
0 l0=0 1

l

2

l

Mx

3
11ql/14
Mp

c)
ql2/8

ql

g)

Qy
3ql/14

17ql/28

Hình 11.15

Giải: Hệ cơ bản và thứ tự các nhịp, các gối tựa được đánh số như hình

11.15b. Biểu đồ Mp do tải trọng gây nên trên hệ cơ bản như hình vẽ (11.15c).
Mơmen thu gọn ở gối tựa cuối cùng được xem là mômen liên kết trên mặt
cắt của gối tựa đó. Vì vậy trên biểu đồ mơmen Mp khơng có mơmen đó. Với
các gối tựa (1), (2), ta thiết lập được các phương trình ba mơmen như sau:
⎧
2 ql 2 1
.l . = 0
⎪l M 0 + 2(l + l )M1 + l M 2 + 6 .
⎪
3 8 2
⎨
2
⎪l M + 2(l + l )M + l M + 6 2 . ql .l . 1 = 0
2
3
⎪ 1
3 8 2
⎩
Giải hệ trên với M0 = 0 và M3 = 0.5Pl = 0.5ql2 ta được:
3ql 2
5ql 2
M1 = −
; M2 =
;
28
28
Mômen M1<0, chứng tỏ mômen M1 làm căng thớ trên, mơmen M2>0 có
nghĩa là M2 làm căng thớ dưới. Biểu đồ mômen uốn và lực cắt cho trên hình
11.15f,g.

11.13