Sức bền vật liệu - Chương 11

Bài giảng: Sức bền vật liệu
Chơng 11
Tải trọng động
11.1. Khái niệm
11.1.1 Định nghĩa
Trong các bài toán đã nghiên cứu ở những phần trớc, tải trọng tác dụng lên hệ
đều là tải trọng tĩnh là tải trọng không thay đổi trong suốt quá trình làm việc; khi
đặt tải, tải trọng đợc tăng từ từ, êm ái và do đó không xuất hiện lực quán tính
trong hệ. Trong nhiều trờng hợp tải trọng tăng lên một cách đột ngột hoặc là thay
đổi theo thời gian và do đó chuyển vị và biến dạng của hệ cũng biến đổi theo
thời gian, do vậy trên hệ xuất hiện lực quán tính.
Các loại tải trọng tác dụng lên hệ đang khảo sát mà có phát sinh lực quán
tính trên hệ thì đợc gọi là tải trọng động.
Trong thực tế nhiều công trình hay chi tiết đợc tính với hệ số an toàn rất cao
đối với tải trọng tĩnh nhng lại vẫn bị phá hỏng bởi tải trọng động. Vì vậy việc
nghiên cứu phơng pháp tính toán đối với tải trọng động đóng vai trò rất quan
trọng vì nó là vấn đề rất hay gặp trong kỹ thuật.
11.1.2 Phân loại bài toán tải trọng động
Đối với bài toán tải trọng động thì những yếu tố khác nhau giữa tải trọng
động và tải trọng tĩnh thờng đợc xét đến bằng hệ số động, tức là khi tính toán ta
sẽ tính ứng suất và nội lực mà không chú ý đến tác dụng động của tải trọng, sau
đó ta mới nhân giá trị nội lực và ứng suất đó với hệ số động. Vì vậy mà ta cần
phải xác định hệ số động ứng với mỗi loại tải trọng động khác nhau. Có 3 loại
bài toán tải trọng động nh sau:
a. Bài toán chuyển động với lực quán tính không đổi.
Đây là trờng hợp hệ chuyển động tịnh tiến và hệ chuyển động quay.
b. Bài toán dao động.
Ví dụ nh một môtơ đợc đặt trên dầm, khi
làm việc, do phần rôto của môtơ có trọng lợng
lệch tâm nên sẽ gây ra lực quán tính ly tâm
biến đổi tuần hoàn theo thời gian và do đó sẽ

làm cho dầm dao động lên xuống.
c. Bài toán va chạm.
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 32
a
T
P
P
qt
= const
P
qt
= const
m

P
0
P
(t)

Bài giảng: Sức bền vật liệu
Trong bài toán va chạm ta có trờng hợp va chạm kéo (Hình a,b), va chạm nén
(Hình c), va chạm uốn (Hình d), va chạm xoắn (Hình e) và va chạm ngang (Hình
f).
d. Bài toán tải trọng di động.
Sau đây ta sẽ đi sâu nghiên cứu từng bài toán cụ thể.
11.2 Bài toán hệ chuyển động với lực quán tính không đổi
11.2.1 Bài toán hệ chuyển động tịnh tiến.
- Ví dụ: Một vật có trọng lợng P đợc
kéo lên nhanh dần đều với gia tốc a không

đổi (hình vẽ). Gọi là trọng lợng riêng và F
là diện tích mặt cắt ngang của dây cáp. Gia
tốc a đợc xem là dơng khi nó có chiều hớng
lên trên và là âm khi nó có chiều hớng
xuống dới. Xác định nội lực trong dây cáp
tại một mặt cắt cách đầu dây một đoạn là x.
Giải:
Tại điểm cách đầu mút của dây một đoạn là x ta dùng mặt cắt 1-1 cắt hệ ra
làm 2 phần và khảo sát một phần:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 33
P
Phanh
Hạ vật
m
Đĩa TĐC
m
Hình a
Hình b Hình c
m
m
Bánh đà
Phanh
Hình d
Hình e Hình f
P
a
Kéo
l
x

P
N
đ

x
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Xét cân bằng động ở một thời điểm nào đó, vì trên mỗi mặt cắt ngang của dây
đều chịu tác dụng của trọng lực P, trọng lợng của dây và lực quán tính nên theo
nguyên lý Dalambe ta có thể viết phơng trình cân bằng cho phần khảo sát:
( )








+++= a
g
Fx
a
g
P
FxPN
d


(9-1)
Do vậy có ứng suất trên mặt cắt ngang của dây cáp là:

+






+==
g
a
x
F
P
F
N
d
d
1.

(9-2)
Nếu ở trạng thái tĩnh thì ứng suất trên mặt cắt ngang của dây cáp là:

+= x
F
P
t
.

(9-3)
Đặt:








+=
g
a
k
d
1
đợc gọi là hệ số động, ta có:
dtd
k.

=
(9-4)
Trong đó : - g là gia tốc trọng trờng.
- a là gia tốc khi kéo vật.
Chú ý:
1. Sau khi tính đợc
đ
thì điều kiện bền của dây cáp giống trờng hợp tĩnh:
[ ]

=
F
N
d
d
(9-5)
2. Công thức tính hệ số động ta chỉ chú ý tới trờng hợp k
đ
> 1 tức là chú ý
tới trờng hợp gia tốc a có dấu dơng. Đó là trờng hợp kéo vật lên nhanh dần đều
hoặc hạ vật xuống chậm dần đều.
11.2.2 Bài toán hệ chuyển động quay.
- Ví dụ 1: Xác định nội lực động lớn nhất trong thanh AC khi cho hệ quay
đều quanh trục thẳng đứng với tốc độ góc . Viết điều kiện bền cho thanh quay
đó? Cho thanh có [].
Giải:
1. Xác định lực quán tính:
Do quả cầu C quay đều quanh trục 00' nên thành phần gia tốc tiếp của nó
bằng không, chỉ còn thành phần gia tốc pháp, đợc tính theo công thức:

( )
22

Cn
faRW +==
(9-6)
Trong đó: R là bán kính động của quả cầu C đối với trục quay. Do quả cầu
quay đều nên nó phát sinh lực quán tính ly tâm là:
( )
22
.

Cnqt
fammRWmP +===
(9-7)
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 34
x
x
y
y
a
f
c
R
C
A
0
0'
m

P
qt
= P
lt
l

P
qt

P
qt
.l
C
P
k
= 1
l
C
l
3
2
K
M
M
P
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Độ võng động của điểm C khi quả cầu quay là f
c
đợc tính theo phép nhân biểu
đồ Vêrêsaghin, do dầm bị uốn quanh trục y nên có:

Thay (9-8) vào (9-7) ta có:

2
3
3
.









+=
y
qt
qt
EJ
lP
amP
(9-9)
Ta thấy phơng trình (9-9) chỉ còn một ẩn là P
qt
cho nên giải ra ta đợc:

=
y
qt
EJ
lm
am
P
3

1

23
2


(9-10)
2. Nội lực động lớn nhất:
Đặt lực P
qt
vào dầm AC ta vẽ đợc biểu đồ mômen uốn M
P
và xác định đợc giá
trị mô men uốn nội lực lớn nhất, đó là:

==
y
qt
y
EJ
lm
lam
lPM
3

1

.
23
2
max


(9-11)
3. Điều kiện bền:

[ ]

=
y
y
W
M
max
max
(9-12)
Hay:
[ ]














===
y
y
y
qt

y
y
W
EJ
lm
lam
W
lP
W
M
.
3

1

.
23
2
max
max
(9-13)
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 35
M
P
K
M
.
=
(9-8)

Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Ví dụ 2:
Cho thanh AB có diện tích mặt cắt ngang là F và mô đun đàn hồi E, tại đầu B
của thanh có gắn một quả cầu khối lợng m. Xác định tốc độ góc cho phép của hệ
nếu cho thanh AB quay đều quanh trục
thẳng đứng 00'. Biết ứng suất cho phép
là [], bỏ qua trọng lợng của thanh AB.
Giải:
1. Xác định lực quán tính ly tâm:
Ta có:
( )
22
.

tqt
ammRP +==
(9-14)
Trong đó:
t
là độ dãn dài của thanh AB do lực P
qt
gây ra.
Vậy có:
EF
aP
EF
aN
l
qt
z

t
.
.
===
(9-15)
Thay (9-15) vào (9-14) có:

2
.
.









+=
EF
aP
amP
qt
qt
(9-16)
Từ (9-16) giải ra ta đợc:

=
EF
am
am
P
qt
2
2

1



(9-17)
2. Nội lực động:







==
EF
am

am
PN
qtd
2
2

1



(9-18)
3. Điều kiện bền:
Ta có:
[ ]

=
F
N
d
d
Hay:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 36
m
a

t
R

B B'

P
qt
0
0'
Bài giảng: Sức bền vật liệu
[ ]












==
F
EF
am
am
F
P
qt
d
.

1

2
2
(9-19)
Suy ra:
[ ]
[ ]






+

E
am
F



1.
.
(9-20)
Đó là tốc độ góc cho phép của thanh AB khi nó quay xung quanh trục 00'.
Nh vậy qua 2 ví dụ trên ta thấy vấn đề cơ bản của bài toán là xác định đợc lực
quán tính cho hệ, còn các quá trính còn lại giống nh trờng hợp tĩnh bình thờng.
ở 2 ví dụ trên thì lực quán tính P
qt
đều đặt vào một chất điểm có khối lợng m.

Sau đây ta sẽ xét một ví dụ mà lực quán tính P
qt
phân bố trên toàn bộ thanh chịu
lực.
- Ví dụ 3:
Thanh AB quay đều quanh trục thẳng đứng 00' (hình vẽ) với vận tốc góc là ,
thanh có tiết diện ngang là F và trọng lợng riêng là . Hãy vẽ biểu đồ nội lực
trong thanh và viết điều kiện bền cho thanh, biết ứng suất cho phép của thanh là
[].
Giải:
1. Tìm lực quán tính ly tâm tác dụng vào phân tố có chiều dài dx:
Xét một phân tố diện tích trên thanh AB, phân tố có chiều dài dx ứng với mặt
cắt 1-1 và có hoành độ là x. Vậy phân tố có khối lợng là:
g
dxF
dm


=
(9-21)
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 37
a

B
A
dP
qt
0
0'

x
dx
a
1
P
qt
N
đ
1
++
max
d
N
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Vậy lực quán tính ly tâm tác dụng vào phân tố dx là:
22






x
g
dxF
xdmdP
qt
==
(9-22)
2. Tìm lực quán tính ly tâm tác dụng vào phần khảo sát.

Dùng mặt cắt 1-1 cắt thanh và chia thanh ra làm 2 phần. Xét phần bên phải
của mặt cắt 1-1 ta thấy lực quán tính ly tâm từ mặt cắt 1-1 đến đầu mút B của
thanh có trị số là:
( )
22
2
2
22
22

xa
g
F
x
g
F
xdx
g
F
dPP
a
x
a
x
a
x
qtqt
====

(9-23)
3. Xác định nội lực trên mặt cắt 1-1.
Xét sự cân bằng của phần bên phải mà ta đang khảo sát, ta có:
( )
22
2
2
xa
g
F
PN
qtd
==

(9-24)
Qua biểu thức trên ta thấy N
đ
phụ thuộc theo bậc 2 đối với khoảng cách x.
Nh vậy ta có nhận xét:
+ Khi x = 0 (ứng với điểm nằm trên trục quay) có:
2
2
2
a
g
F
PN
qtd

==

(9-25)
+ Khi x = a (ứng với điểm mút A và B) có:
( )
0
2
22
2
=== xa
g
F
PN
qtd

(9-26)
Vậy ta có thể vẽ đợc biểu đồ lực dọc Nz nh hình vẽ.
4. Điều kiện bền
Ta có:
[ ]

=
F
N
d
max
max
Hay:
[ ]

==
g
a
F
N
d
2
22
max
max
(9-27)
Nh vậy để tính đợc lực quán tính trong trờng hợp thanh quay có khối lợng
phân bố liên tục thì ta phải xác định lực quán tính tác dụng lên một phân tố có
khối lợng dm, sau đó tiến hành tính lấy phân để tính lực quán tính tác dụng lên
cả đoạn thanh.
11.3. Bài toán dao động
11.3.1 Khái niệm
a. Bậc tự do:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 38
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Khi nghiên cứu dao động của hệ đàn hồi, trớc tiên ta phải có khái niệm về bậc
tự do. Bậc tự do của một hệ đàn hồi khi dao động là số thông số độc lập xác
định vị trí của hệ.

Hệ trên hình a có 6 thông số là
x
,
y
,

z
,
x
,
y
,
z
để xác định vị trí của hệ
trong không gian, hay nói cách khác là hệ có 6 khả năng chuyển động, đó là 3
chuyển động tịnh tiến và 3 chuyển động xoay. Vậy ta nói hệ đó có 6 bậc tự do.
Trên hình b biểu diễn vật có khối lợng m đặt trên một dầm, nếu bỏ qua trọng l-
ợng bản thân của dầm thì hệ chỉ cần có một thông số để xác định vị trí của nó
trong mặt phẳng. Ta nói hệ có một bậc tự do.
Trên hình c và để xác định đợc vị trí của hệ ta phải biết các độ võng y
1
và y
2
của các khối lợng m
1
và m
2
. Hệ trên hình e có hai thông số
1
và
2
để xác định
vị trí của nó trong không gian. Các hệ đó là các hệ có hai bậc tự do. Hệ trên hình
d có một thông số x để xác định vị trí của nó, vậy hệ đó có một bậc tự do.
Với hệ trên hình f thì tuy chỉ có một khối lợng M, nhng để xác định vị trí của
M thì ta cần phải có hai toạ độ x và y. Nếu nh mômen quán tính của M đối với

trọng tâm là không đáng kể thì hệ có hai bậc tự do, còn nếu phải để ý đến
mômen quán tính của M đối với trọng tâm của nó thì hệ có ba bậc tự do vì ngoài
hai toạ độ thẳng của M ta còn phải để ý đến sự quay của M khi hệ dao động
trong mặt phẳng của khung.
Số bậc tự do của hệ tuỳ thuộc vào sơ đồ lựa chọn để tính, việc chọn sơ đồ tính
toán dựa vào mức độ gần đúng cho phép giữa sơ đồ tính và hệ khảo sát. Ví dụ
trong trờng hợp khi không thể bỏ qua trọng lợng bản thân của dầm thì hệ sẽ có
vô số bậc tự do. Cách giải bài toán là luôn tìm cách đa hệ về hệ có bậc tự do thấp
hơn để tính dễ hơn, nhng với cách giải này ta chỉ đạt đợc kết quả gần đúng. Vậy
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 39
Hình b
m
y
Hình c
m
1
y
1
m
2
y
2

x
0

y

z

x
z
y

x

z

y
Hình a
Hình d
x

1

2
Hình e
M
Hình f
Bài giảng: Sức bền vật liệu
bậc tự do của một hệ xác định theo sơ đồ tính đã chọn, nghĩa là nó phụ thuộc vào
sự gần đúng mà ta đã chọn khi lập sơ đồ tính.
b. Dao động tự do và dao động cỡng bức
Dao động tự do của hệ đàn hồi đợc chia làm hai trờng hợp đó là: Dao động tự
do và dao động cỡng bức.
+ Dao động tự do: Là dao động chỉ có lực kích thích ở thời điểm ban đầu
sau đó hệ không chịu tác dụng của lực kích thích đó nữa mà hệ tự dao động.
Lực kích thích ban đầu thờng là một xung lực hoặc là một sự va chạm nào đó,
do vậy mà bài toán này còn đợc xét dới dạng bái toán va chạm.
+ Dao động cỡng bức: Là dao động của hệ đàn hồi khi có lực kích thích

trong suốt quá trình dao động.
Lực kích thích có thể không tuần hoàn nh lực tác dụng vào xe khi nó đi vào
các chỗ ghồ ghề lồi lõm khác nhau, hoặc lực kích thích có thể tuần hoàn nh lực
tác dụng vuông góc với trục dầm khi có một động cơ điện đặt trên dầm, lực này
làm cho dầm dao động tuần hoàn.
Nếu gọi P
0
là lực ly tâm phát sinh khi rô to của động cơ quay thì lực tác dụng
vuông góc với trục dầm là P
(t)
.
P
(t)
= P
0
sin (9-28)
Nhng góc biến đổi theo thời gian quay và tốc độ góc tức là: = t
Vậy:
P
(t)
= P
0
sint (9-29)
Lực kích P
(t)
là một lực kích thích tuần hoàn có biên độ là P
0
và tần số .
Biên độ lực kích thích P
0

chính là lực ly tâm lớn nhất phát sinh trong rô to của
động cơ khi nó quay. Trên hình vẽ là sơ đồ rôto động cơ, trong đó C là tâm của
rôto. Do trình độ kỹ thuật, giả sử trục của động cơ
đặt vào điểm 0 cách tâm C một khoảng e gọi là độ
lệch tâm.
Khi rôto quay quanh trục O với tốc độ góc thì tại C sẽ phát sinh lực ly tâm
P
0
đợc tính theo công thức:
P
0
= m.e.
2
(9-30)
Trong đó m là khối lợng của rôto
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 40
P
0
P
(t)

0
e
C

P
0
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Trong thực tế kỹ thuật có vô số chi tiết máy do trình độ kỹ thuật có hạn mà

chế tạo có độ lệch tâm e. Có một số chi tiết lại cố ý chế tạo lệch tâm (ví dụ nh cơ
cấu cam, trục khuỷu, quả lệch tâm trong máy đầm ) Do đó lực kích ta thờng
gặp là lực kích thích tuần hoàn.
Sau đây ta sẽ đi sâu nghiên cứu dao động cỡng bức của hệ có một bậc tự do d-
ới tác dụng của lực kích thích tuần hoàn.
11.3.2 Dao động cỡng bức của hệ đàn hồi một bậc tự do
Xét dầm AB là một hệ đàn hồi có đặt một vật khối lợng m tại hoành độ z nào
đó. Tại điểm đặt vật có lực kích thích tuần hoàn P
(t)
= P
0
sint (P
0
là biên độ lực
kích thích, là tần số lực kích thích). Tìm chuyển vị động lớn nhất tại hoành độ
z đã cho và ứng suất cực đại trong dầm? (Khi tính toán bỏ qua trọng lợng bản
thân dầm).
Theo đầu bài, nếu ta bỏ qua trọng lợng bản thân dầm thì hệ đã cho có một bậc
tự do vì chỉ cần một giá trị độ
võng y tại hoành độ z là ta có
thể xác định đợc vị trí của hệ.
Ban đầu khi cha có lực kích thích P(t) thì dầm đã có sẵn độ võng y
t
tại điểm
đặt vật. Khi hệ đặt thêm lực kích thích tuần hoàn P(t) thì tại điểm đặt vật sẽ có
thêm một độ võng động (ký hiệu là y
đ
). Vậy vấn đề cần giải quyết ở đây là ta
phải tìm độ võng động y
đ

?
a. Lực tác dụng vào hệ:
Khi vật m đang chuyển động thì có ba lực tác dụng vào nó, đó là:
+ Lực quán tính ngợc chiều chuyển động có giá trị:
d
d
qt
ym
dt
yd
mmaF


2
2
===
(9-31)
Trong đó: m là khối lợng của vật và
d
y

là gia tốc chuyển động của vật.
(Nếu gọi chuyển vị của khối lợng m là y
đ
có chiều dơng là chiều hớng xuống
dới thì ta thấy chuyển vị y
đ
là hàm của thời gian, do đó gia tốc và vận tốc của
khối lợng m là
d

d
y
dt
yd
a

==
2
2
và
d
d
y
dt
dy
v

==
)
+ Lực cản của môi trờng cũng ngợc chiều với chuyển động và có giá trị:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 41
P
qt
P
c
P(t) = P
0
sint
y

đ
y
t
m
z
A
B
P =1

z
A
B
Bài giảng: Sức bền vật liệu
d
d
c
y
dt
dy
F



==
(9-32)
Trong đó: là hệ số tỉ lệ và
d
y

là vận tốc chuyển động của vật).

Vậy tổng hợp các lực tác dụng vào vật khối lợng m là:
) sin.(
0)( ddcqtt
yymtPFFPP


=++=
(9-33)
b. Phơng trình chuyển động:
Giả sử tại hoành độ z của dầm AB chỉ có lực đơn vị P
k
= 1 tác dụng.
Chuyển vị tại đó do lực P
k
= 1 gây ra là . Nếu tổng hợp lực tác dụng vào vật là P
thì độ võng do nó gây ra là y
đ
. Tacó:
y
đ
= P. (9-34)
Hay:

) sin.(.
0 ddd
yymtPPy

==
(9-35)
Hay:

tPyyym
ddd
=++ sin
0


(9-36)
Chia hai vế của phơng trình (9-36) cho tích số m và đặt:
+


m
1
2
=
(9-37), với là tần số riêng của hệ khi không có cản.
+
m


=2
(9-38), với là hệ số cản của môi trờng.
Vậy biến đổi phơng trình (9-36) ta có:
t
m
P
yyy
ddd
=++ sin2
0

2


(9-39)
Phơng trình (9-39) chính là phơng trình chuyển động của vật m dới tác dụng
của lực kích thích tuần hoàn P(t) = P
0
sint.
c. Tìm y
đ
:
Ta thấy rằng nghiệm của phơng trình (9-39) là nghiệm của một phơng trình vi
phân tuyến tính không thuần nhất. Nếu gọi nghiệm của (9-39) là y
đ
thì ta có:
y
đ
= y
đ1
+ y
đ2
(9-40)
Trong đó:
* y
đ1
là nghiệm riêng của phơng trình vi phân không thuần nhất. Nghiệm
này có dạng:
tCtCy
d
+= cossin

211
(9-41)
Trong đó C
1
và C
2
là các hằng số đợc xác định bằng cách thay biểu thức (9-
41) vào phơng trình (9-39) và đồng nhất 2 vế, ta có:
( )
22
2
22
22
0
1
4
.
+

=


m
P
C
(9-42)
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 42
Bài giảng: Sức bền vật liệu
( )

22
2
22
0
2
4
2
.
+

=


m
P
C
(9-43)
Nếu ta đặt:

( )
22
2
22
4
2
sin
+

=

(9-44)

( )
22
2
22
22
4
cos
+

=



(9-45)
và thay:
2
1


m
=
thì biểu thức của y
đ1
có dạng:
( )

= tAy
d
sin
11
(9-46)
với:
4
22
2
2
2
0
1
4
1
.





+

=A
(9-47)
Nghiệm này biểu diễn phơng trình dao động điều hoà dới tác dụng của lực
kích thích, với:
+ A
1
là biên độ của dao động điều hoà.
+ là pha ban đầu của dao động điều hoà.
* y
đ2
là nghiệm tổng quát của phơng trình vi phân thuần nhất.
( )


+=

tAey
t
d 12
sin
(9-48)
Nghiệm này biểu diễn phơng trình dao động tự do tắt dần, dao động này có
biên độ ban đầu là A. Trong đó:
+
1
là tần số riêng của hệ khi có cản:
22
1

=
+ là tần số riêng của hệ khi không có cản.
+ là pha ban đầu của dao động tự do tắt dần.
Sau một thời gian xác định thì thành phần dao động tự do tắt hoàn toàn, lúc
đó hệ sẽ dao động điều hoà. Tức là ta có:
( )

== tAyy
dd
sin
11
(9-49)
d. Tìm y
đmax
.
Từ (9-49) ta có:
4
22
2
2
2
0
1
max
4
1
.

+









== Ay
d
(9-50)
Với A
1
là biên độ của dao động diều hoà.
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 43
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Ta đã biết P
0
là biên độ của lực kích thích. Vậy tích số P
0
. có thể coi là độ
võng tại điểm có hoành độ z do biên độ lực kích thích P
0
giả thiết đặt tĩnh gây
ra. Do đó ta đặt:

.
0
*
Py
t
=
(9-51)
Vậy có:
*
4
22
2
2
2
max
.
4
1
1
td
yy




+

=
(9-52)
Đặt:

4
22
2
2
2
4
1
1




+

=
d
k
(9-53)
Thành phần k
đ
đợc gọi là hệ số động của dao động.
Cuối cùng ta có:
*max
.
tdd
yky
=
(9-54)
e. Tìm
max
:
Nếu biết hệ số k
đ
ta có thể tìm đợc ứng suất động lớn nhất phát sinh trong hệ
bằng những mối liên hệ:

*
*
.
.
tdd
tdd
k
k

=
=
(9-55)
Trong đó
đ
và
đ
là ứng suất gây ra do tải trọng động, còn
*
t

và
*
t

là ứng
suất do trị số lớn nhất của lực kích thích khi đặt tĩnh lên hệ gây ra. Nếu trên hệ
còn có tải trọng tĩnh tác dụng thì ứng suất toàn phần trên một mặt cắt nào đó là
tổng ứng suất do tải trọng tĩnh và tải trọng động gây ra.
Chú ý:
Công thức (9-54), (9-55) ta thành lập với hệ đàn
hồi chịu uốn, còn với trờng hợp hệ đàn hồi chịu lực
kéo, nén, xoắn ta cũng có tơng quan tơng tự. Ví dụ
nh hệ chịu lực nh hình vẽ có:
**
.;.
tddtdd
kk

==
**
.;.
tddtdd
kk

==
* Trình tự chung giải bài toán dao động c ỡng bức hệ một bậc tự do.
a. Tính chuyển vị tĩnh của lực kích thích P
0
:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 44
P
(t)
P
(t)
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Đặt biên độ lực kích P
0
vào hệ và coi nó nh một lực đặt tĩnh để tính
*
t
y
và
*
t

(đối với dầm),

*
t

và
*
t

(đối với thanh chịu kéo),
*
t

và
*
t

(đối với lò xo). Hình
vẽ:
b. Tính hệ số động theo công thức (9-53):
4
22
2
2
2
4
1
1

+








=
d
k
Để tính đợc hệ số k
đ
ta cần phải tính đợc:
+ Tần số lực kích tuần hoàn:
( )
s
n
1
30
.

=
(9-57)
Trong đó n là số vòng quay của động cơ (v/ ph).
+ Tần số riêng của hệ khi không có cản.
Từ công thức (9-37) ta có:
t
y

g
P
g
m
===


.
1
2
(9-58)
Trong đó: - P là trọng lợng của vật có sẵn trên dầm.
- y
t
là độ võng tĩnh do vật trọng lợng P có sẵn trên dầm gây ra.
- g là gia tốc trọng trờng.
- là chuyển vị đơn vị do lực đơn vị P
k
= 1 gây ra.
Vậy có:






=
sy
g
t

1

(9-59)
Ta cần chú ý rằng: Tần số riêng vẫn là có sẵn trong hệ khi trong hệ cha có
một bậc kích nào cả. Vì vậy độ võng y
t
chỉ do các trọng lợng tĩnh có sẵn trong hệ
gây ra.
Vậy vấn đề cơ bản của việc xác định tần số riêng là vấn đề tính độ võng y
t
đối
với dầm, tính chuyển vị dài
t
đối với thanh chịu kéo nén, tính biến dạng
t
đối
với lò xo. Hình vẽ:
c. Tính chuyển vị động:
Đối với dầm:
*
.
tdd
yky =
(9-60)
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 45
P
0
*
t

y
P
0
*
t

P
0
*
t

Bài giảng: Sức bền vật liệu
Đối với thanh chịu kéo, nén:
*
.
tdd
k =
(9-61)
Đối với lò xo:
*
.
tdd
k

=
(9-62)
d. Tính ứng suất động:
Đối với dầm và thanh:
*
.

tdd
k

=
(9-63)
Đối với lò xo:
*
.
tdd
k

=
(9-64)
e. Tính ứng suất, chuyển vị toàn phần

d
P
t
Q
ttp
d
P
t
Q
ttp
Kyyy
K
.
.
0

0
+=
+=

9.3.3 Hiện tợng cộng hởng và biện pháp khắc phục:
a Hiện tợng cộng hởng:
Từ công thức (9-53):
4
22
2
2
2
4
1
1




+








=
d

k
Không có lực cản:
2
2
1
1



=
d
K
Khi

=
thì: không có lực cản
=
d
K
; có lực cản thì hệ số đông tăng lên giá
trị cực trị hữu hạn:


2
=
d
K
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 46
m

y
t

t
m m

t
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Ta thấy hệ số k
đ
phụ thuộc vào 2 tỷ số là


và


2
. Do đó ngời ta có thể biểu
diễn sự phụ thuộc đó trên đồ thị sau (hình vẽ). Hình vẽ biểu diễn sự liên hệ giữa
k
đ
và


đối với mỗi giá trị của
cụ thể.
Khi tỷ số
1=

(tức là tần số lực kích thích trùng với tần số riêng của hệ) và
khi
0=

(không có cản) thì

d
k
. Nếu hệ số cản
0

thì k
đ
có trị số cực đại
hữu hạn.
Hiện tợng tăng biên độ dao động khi tần số lực kích thích trùng với tần số
riêng của hệ đợc gọi là hiện tợng cộng hởng.
Hiện tợng cộng hởng rất nguy hiểm cho các chi tiết và công trình. Thực vậy,
nếu

d
k
thì các ứng suất
đ
(hoặc
đ
) cũng cùng tiến tới , trong quá trình
đó nó sẽ vợt qua các giá trị ứng suất nguy hiểm
0
(hoặc

0
) và làm hệ bị phá
huỷ.
Do những lý do trên mà hầu hết các trờng hợp trong kỹ thuật ngời ta tìm mọi
biện pháp để khắc phục hiện tợng cộng hởng, chỉ có một số trờng hợp là lợi dụng
nó (ví dụ nh trong máy đầm, máy sàng ).
b. Biện pháp khắc phục hiện tợng cộng hởng:
- Thực tế thì khi tần số lực kích thích không khác nhiều so với tần số dao
động riêng của hệ thì biên độ dao động đã tăng lên rõ rệt, do đó mà nó hình
thành một miền cộng hởng. Biện pháp tích cực nhất là làm sao trong quá trình
thiết kế và sử dụng tần số kích thích khác xa so với tần số riêng . (Thờng là
7.0


và
3.1


). Để thực hiện nguyên tắc này có thể có hai cách sau:
+ Nếu tần số riêng cố định thì có thể thay đổi nhanh tần số lực kích thích
sao cho thời gian trùng của hai tần số là ngắn nhất để hiện tợng cộng hởng không
xảy ra kịp. Đó là hiện tợng tăng tốc độ nhanh qua số vòng quay nguy hiểm của
động cơ (điều này ta có thể xác định trớc đợc).
+ Nếu tần số lực kích không thể thay đổi đợc (vì do động cơ chỉ có một
cấp tốc độ) thì có thể thay đổi tần số riêng . Tức là thay đổi độ võng y
t
(có thể
thay đổi trọng lợng vật đặt tĩnh P = mg hoặc thay đổi độ cứng EJ của dầm).
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 47

5,0
2
4,0
2
2,0
2
0
2
=
=
=
=








5
4
3
2
1
K
d


1

Bài giảng: Sức bền vật liệu
- Biện pháp thứ hai là dùng các bộ phận giảm chấn (ví dụ nh lò xo) thay thế
các gối tựa cứng để phân tán năng lợng dao động và nâng cao hệ số tắt dần.
Ví dụ: Một động cơ có trọng lợng Q đặt giữa dầm. Xác định số vòng quay
tới hạn [n] của động cơ khi nó quay với tốc độ . Cho dầm có độ cứng EJ.
Giải:
Gọi [n] là số vòng quay tới hạn của động cơ cần phải xác định.
Khi cộng hởng thí có:

=
Tức là:
[ ]
t
y
gn
=
30

Hay:
t
y
g
n

30
][ =
Mặt khác theo phép nhân biểu đồ Vêresaghin ta có:
EJ
Ql
y

t
48
3
=
Vậy:
ph
v
Ql
gEJ
n
3
.4830
][

=
11.3.4 Ví dụ về bài toán dao động hệ một bậc tự do
Bài toán: Một động cơ điện có trọng lợng là Q = 40KN đợc đặt trên dầm thép
mặt cắt chữ I có số hiệu N
0
= 40 (J
x
= 18940 cm
4
và W
x
= 947cm
3
), dầm có chiều
dài l = 6m. Tốc độ quay của động cơ là n = 550 v/ph. Do khối lợng lệch tâm nên
khi quay môtơ sinh ra lực quán tính ly tâm trong động cơ là P

0
= 6KN. Tìm độ
võng và ứng suất pháp cực đại trong dầm (khi tính toán bỏ qua trọng lợng bản
thân dầm và lực cản của môi trờng). Biết E = 2.10
7
N/cm.
Giải:
1. Tìm độ võng và ứng suất do trọng lợng Q có sẵn trên dầm gây ra. Từ hình
vẽ và theo phép nhân biểu đồ Vêresaghin ta tính đợc:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 48
Q
l/2
l/2
Bài giảng: Sức bền vật liệu
( )
cm
EJ
lQ
y
x
Q
t
475.0
18940.10.2.48
600.10.40
48
.
7
333

===
( )
( )
2
23
max
6.633
947.4
10.6.10.40
4
.
cm
N
W
lQ
W
M
xx
Q
Q
t
====

2. Giả thiết biên độ lực kích thích P
0
đặt tĩnh lên dầm để tính chuyển vị
*
t
y
và

ứng suất
*
t

do nó gây ra.
Từ hình vẽ và theo phép nhân biểu đồ Vêresaghin ta tính đợc:
cm
EJ
lP
y
x
t
071.0
18940.10.2.48
600.10.6
48
.
7
33
3
0
*
=
===
( )
2
23
0max
*
95

947.4
10.6.10.6
4
.
0
cm
N
W
lP
W
M
xx
P
t
=
===

Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 49
Q
l/2
l/2
P
(t)
= P
0
sin

t
Q/2

Q/2
Q
Ql/4
P
0
/2
P
0
/2
P
0
P
0
l/4
1/2
1/2
P
k
= 1
l/4
M
Q
k
M
0
P
M
x
y
Bài giảng: Sức bền vật liệu

3. Tính hệ số động.
áp dụng công thức (9-53):
4
22
2
2
2
4
1
1




+








=
d
k
Bỏ qua cản ( = 0) nên có:
2
1
1

=

d
k
Tần số lực kích thích tuần hoàn:
s
n
1
6,57
30
550.14,3
30
.
===

Tần số riêng của hệ:
( )
s
y
g
Q
t

1
5,45
475,0
981
===

Vậy có:
66,1
5,45
6,57
1
1
2
=







=
d
k
4. Tìm y
đ
và
đ
do biên độ lực kích thích P
0

gây ra:
cmyky
tdd
118,0071,0.66,1.
*
===
2
*
7,15795.66,1.
cm
N
k
tdd
===

5. Tìm độ võng và ứng suất tổng cực đại.
( )
cmyyy
d
Q
t
593,0118,0475,0
max
=+=+=
( )
2
4,3157,1576,633
cm
N
d

Q
td
=+=+=

11.4 Tốc độ tới hạn của trục quay
Đối với những chi tiết máy có tốc độ quay lớn ta phải đặc biệt chú ý đến các
lực ly tâm của chúng vì những lực ly tâm này có trị số đáng kể.
Trong kỹ thuật hầu hết các chi tiết máy đều có độ lệch tâm e (do trình độ kỹ
thuật hoặc do cố ý tạo ra độ lệch tâm).
Xét một trục quay có mang bánh xe nh hình vẽ. Bánh xe có độ lệch tâm e.
Khi quay tới một tốc độ nào đó thì độ võng sẽ đạt lớn nhất và chi tiết sẽ phát
sinh tiếng ồn lớn nhất. Tăng tốc độ quay quá tốc độ đó thì độ võng và tiếng ồn
lại giảm đi. Do vậy mà ngời ta gọi tốc độ tới hạn của trục quay là tốc độ góc của
trục quay làm cho trục có độ võng cực đại.
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 50
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Ta cần phải xác định đợc tốc độ tới hạn đó để tránh trong quá trình thiết kế và
vận hành máy. Gọi tốc độ góc của trục quay là và m là khối lợng của bánh xe,
ta có:
Lực ly tâm đặt vào khối tâm C của bánh xe là:
( )
22
+== eymRmP
lt
(9-65)
Gọi là chuyển vị do lực đơn vị P
k
= 1 gây ra tại điểm đặt của bánh xe
khối lợng m, ta có:

( )
2
+== eymPy
lt

(9-66)
Suy ra:
2
2
2
2
1
.
1



=


=



m
e
m
em
y

(9-67)
Đặt:


m
th
1
2
=
(9-68), đợc gọi là tc ti han của hệ.
Vậy:
22
2


=

e
y
(9-69)
Từ biểu thức (9-69) ta thấy độ võng y đạt cực đại khi


m
1
==
. Do vậy
trị số

m

1
=
đợc gọi là tốc độ góc tới hạn của trục quay mà ta cần tránh.
Cũng từ (9-69) ta thấy khi tần số lớn hơn rất nhiều tần số riêng (tức là trục
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 51
P
qt
y
e
C
C
m
0
0
R
P
qt
A
B



P
k
=1
Bài giảng: Sức bền vật liệu
quay với số vòng quay cực lớn) thì lúc đó y - e, tức là khi này tâm bánh xe
trùng với trục quay. Trục quay xem nh không có độ võng và chi tiết quay xem
nh không có độ lệch tâm và không có tiếng ồn. Đó chính là u việt của chi tiết

máy có số vòng quay cực lớn.
11.5 Bài toán va chạm
Nh trong phần đầu đã nói có nhiều dạng va chạm nhng ở đây trong phạm vi
chơng trình chúng ta chỉ xét dạng bài toán va chạm đứng hệ đàn hồi một bậc tự
do.
Hiện tợng va chạm là hiện tợng lực tác dụng tức thời làm vận tốc các chất
điểm trong hệ đàn hồi thay đổi đột ngột, nên hệ có gia tốc lớn. Trong bài toán
này, ta dựa vào định luật bảo toàn năng lợng để tìm độ võng lớn nhất, từ đó mà ta
xác định đợc hệ số k
đ
cho hệ.
11.5.1.Bài toán va chạm thẳng đứng hệ đàn hồi một bậc tự do
Xét một hệ đàn hồi có dạng dầm AB nh hình vẽ. Giả sử có một vật trọng lợng
Q rơi xuống với vận tốc ban đầu là V
0
và va đập vào vật có trọng lợng là P đặt
sẵn trên dầm. Sau khi rơi xuống dầm, vật trọng lợng Q gắn chặt với vật trọng l-
ợng P và làm cho dầm có chuyển vị y
đ
tại chỗ xảy ra va chạm. Tìm độ võng y
đ
và
ứng suất
đ
sau khi va chạm (khi tính toán bỏ qua trọng
lợng bản thân dầm).
Giải:
Gọi V là vận tốc của hai vật trọng lợng P và Q cùng chuyển động sau khi va
chạm. Ta có (để tìm đợc giá trị của vận tốc này ta dùng định luật bảo toàn động
lợng):

Động lợng của vật Q trớc va chạm là:
01
.V
g
Q
T =
(9-70)
Động lợng của vật Q và P sau va chạm là:
V
g
QP
T .
2
+
=
(9-71)
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 52
P
y
đ
y
t
Q
V
0
A
B
h
P

k
=1

A
B
Bài giảng: Sức bền vật liệu
Nếu bỏ qua sự mất mát năng lợng lúc va chạm (sự mất mát do phát sinh nhiệt,
phát sinh biến dạng tại chỗ tiếp xúc giữa Q và P khi chúng va chạm nhau) thì ta
có:
V
g
PQ
V
g
Q +
=
0
.
(9-72)
Suy ra:
0
.V
PQ
Q
V
+
=
(9-73)
Sau va chạm hai vật P và Q cùng chuyển động với vận tốc V nên chúng phát
sinh động năng là:

g
Q
P
VQ
V
PQ
Q
g
QP
V
g
QP
T








+
=

+
+
=
+
=
1
.
.
2
1

2
1

2
1
2
0
2
0
2
(9-74)
Mặt khác sau va chạm hai vật P và Q cùng chuyển trên đoạn đờng y
đ
của nó
và tích luỹ một năng lợng dới dạng công thế năng:
( )
d
yQPA .+=

(9-75)
Theo định lý bảo toàn năng lợng thì năng lợng toàn phần đợc chuyển hoàn
toàn thành thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong hệ (từ lúc bắt đầu va chạm
cho tới lúc dừng). Do vậy nếu gọi thế năng biến dạng đàn hồi của dầm nhận đợc
do va chạm là U, thì thế năng biến dạng U đợc tính theo công thức:
ATU +=
(9-76)
Hay:
( )
d
yQP
g
Q
P
QV
U .
1
.
2
1
2
0
++

+
=
(9-77)
Lúc đầu ngay khi cha có trọng lợng Q rơi xuống thì dầm đã có biến dạng do
trọng lợng P tạo nên. Thế năng biến dạng đàn hồi của hệ lúc này là:
t
yPU .
2
1
1
=
(9-78)
Trong đó y
t
là chuyển vị tĩnh do vật trọng lợng P gây ra. Gọi là chuyển vị do
lực đơn vị P
k
= 1 gây ra tại điểm va chạm, ta có:

.Py
t
=
hay

t
y
P =
(9-79)
Vậy:

2
1
2
1
t
y
U =
(9-80)
Tơng tự nh trên sau khi va chạm thì dầm có chuyển vị toàn phần là
( )
td
yy +
.
Nếu giả thiết vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi thì thế năng biến dạng
đàn hồi là tích luỹ trong hệ lúc này là:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 53
Bài giảng: Sức bền vật liệu
( )

2
2
2
1
td
yy
U
+
=

(9-81)
Nh vậy thế năng biến dạng đàn hồi mà hệ nhận do va chạm (đợc tính từ lúc
bắt đầu va chạm cho tới lúc dừng) là:
12
UUU =
Hay:
( )

2
2
2
1
2
1
ttd
yyy
U
+
=
(9-82)
Hay:
d
dtdd
yP
yyyy
U .
2
.
2
22

+=+=

(9-83)
Theo định luật bảo toàn năng lợng từ (9-77) và (9-83), ta có:
( )
d
d
d
yP
y
yQP
g
Q
P
QV
.
2
.
1
.
2
1
22
0
+=++

+

(9-84)
Rút gọn biểu thức trên có:
0
1
.
.2
2
0
2
=








+

g
Q
P
VQ
yQy

dd


(9-85)
Đặt

.
*
Qy
t
=
và đợc gọi là chuyển vị tĩnh do trọng lợng Q giả thiết đặt tĩnh
lên dầm gây ra. Thay vào biểu thức (9-85) có:
0
1
.
.2
2
0
*
*2
=

+

g
Q
P
Vy
yyy
t
dtd
(9-86)
Giải phơng trình bậc hai (9-86) và loại bỏ nghiệm âm ta có nghiệm y
đ
:
( )
g
Q
P
Vy
yyy
t
ttd








+

++=
1
.
2
0
*
2
**
(9-87)
Hay:
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 54
Bài giảng: Sức bền vật liệu
*
*
2
0
.
.1
11
t
t
d
y
y
Q
P
g
V
y

+
++=
(9-88)
Đặt:
*
2
0
.1

11
t
d
y
Q
P
g
V
k








+
++=
(9-89)
Biểu thức trên đợc gọi là biểu thức xác định hệ số động của va chạm đứng hệ
đàn hồi một bậc tự do
Từ (9-88) và (9-89) ta có:
*
.
tdd
yky =
(9-90)
Tơng tự ta có công thức tính ứng suất pháp và tiếp do tải trọng va chạm trên
dầm gây ra:

*
*
.
.
tdd
tdd
k
k


=
=
(9-91)
*Các tr ờng hợp đặc biệt:
1. Nếu vật Q rơi tự do:
Do:
ghV 2
0
=
nên từ (9-89), ta có:
*
.1
2
11
t
d
y
Q
P
h

k








+
++=
(9-92)
2. Nếu vật Q rơi tự do và trên dầm không có vật P (P = 0). Từ (9-92) có:
*
2
11
t
d
y
h
k ++=
(9-93)
3. Nếu Q đặt đột ngột vào dầm( h = 0). Từ (9-92) có:
k
đ
= 2 (9-94)
Chú ý:
1. Trong thực tế ta thờng gặp và áp dụng công thức (9-93)
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 55

Bài giảng: Sức bền vật liệu
2. Các công thức trên thành lập cho trờng hợp va chạm đứng gây uốn, còn
trờng hợp va chạm đứng gây kéo, nén hay gây xoắn trong lò xo thì ta áp dụng t-
ợng tự. Tức là chỉ thay
*
t
y
của dầm bằng
*
t

của thanh kéo nén hoặc bằng
*
t

của
lò xo (hình vẽ).
11.5.2 Trình tự giải bài toán va chạm đứng hệ một bậc tự do
2.1. Coi lực Q nh một lực tĩnh và đặt nó vào hệ để tính
**
tt
yvà

(đối với
dầm); tính
**
tt
và

(đối với thanh chịu kéo, nén); tính

**
tt

và
(đối với lò xo).
2.2. Tính hệ số k
đ
theo công thức:
*
2
11
t
d
y
h
k ++=
( Đối với thanh chịu kéo, nén thay bằng
*
t

và đối với lò xo thay bằng
*
t

).
2.3. Tìm ứng suất, chuyển vị (biến dạng) động.
Đối với dầm:
**
.;.
tddtdd

ykyk ==

Đối với thanh chịu kéo, nén:
**
.;.
tddtdd
kk ==

Đối với lò xo:
**
.;.
tddtdd
kk

==
11.5.3.Ví dụ về bài toán va chạm đứng:
Ví dụ 1: Một vật trọng lợng Q = 50KN rơi từ độ cao h = 30cm xuống va chạm
vào giữa dầm. Dầm có mặt cắt chữ I số hiệu N
0
= 40 (J
x
= 18940 cm
4
, W
x
= 947
cm
3
) và có chiều dài là l = 4m. Tìm ứng suất và độ võng lớn nhất phát sinh trong
dầm nếu biết mô đun đàn hồi của dầm là E = 2.10

7
N/cm
2
.
Nếu thay gối tựa bên phải bằng một lò xo có độ cứng C = 10KN/cm thì ứng
suất lớn nhất thay đổi nh thế nào và bằng bao nhiêu?
(khi tính toán bỏ qua trọng lợng bản thân dầm).
Giải:
Khi bỏ qua trọng lợng bản thân dầm ta thấy rằng hệ đã cho có một bậc tự do.
Nguyễn Hoàng Nghị
Trang: 56
Q
*
t
y
Q
h
Q
*
t

Q
h
Q
h
Q
*
t