Giáo trình sức bền vật liệu - Chương 5 pot

Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

37
Chơng 5.
xoắn thuần tuý thanh thẳng

I.
Khái niệm về xoắn thuần tuý
1. Định nghĩa

Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi
trên MCN chỉ có một thnh phần nội
lực l mômen xoắn nh trên hình 5.1.

Ngẫu lực P-P tạo ra mômen xoắn,
có giá trị bằng P.a.
2. Liên hệ giữa mômen xoắn ngoại lực
với công suất v số vòng quay

Công suất do mômen xoắn ngoại
lực M (Nm) thực hiện khi trục quay một góc

theo thời gian t: A = M



Do đó công suất N (watt-W):
AM
NM
tt

=
==

N
M =


trong đó

- vận tốc góc (rad/s); n l tốc độ [vòng/phút (v/ph)].

Vận tốc góc:
n
rad /s
30

=

Nếu công suất N tính bằng kW thì:
()
=
N
M9549 Nm
n

Nếu công suất tính bằng mã lực thì:
()
=
N
M7162 Nm

n
.
3. Các giả thuyết tính toán
Quan sát đoạn thanh tròn chịu xoắn (hình 5.2)
trớc v sau khi biến dạng, thấy:
MCN ban đầu phẳng v thẳng góc với trục
thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng v thẳng góc
với trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt không
thay đổi.
Các bán kính của thanh trớc v sau khi biến
dạng vẫn thẳng v có độ di không đổi.
Nói một cách vắn tắt, khi thanh tròn chịu
xoắn, chỉ xảy ra hiện tợng quay của tiết diện
ngang quanh trục thanh. Nhận xét ny đã đợc lí thuyết v thực nghiệm
xác minh l đúng.
II. ứng suất trên mặt cắt của thanh tròn chịu xoắn







Hình 5.1
b
)
Sau biến d
ạ
n
g

a
)
Trớc biến d
ạ
n
g
Hình 5.2
Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

38

Khảo sát một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý (hình 5.3a).











Hình 5.3

Tách từ thanh một đoạn di dz (hình 5.4)

Theo quan hệ giữa nội lực v ứng suất ta có:

z

F
MdF

=

(a)

Mặt khác theo định luật
Húc:
G.

=
(b)


l ứng suất tiếp trên MCN tại
điểm cách trọng tâm mặt cắt một
khoảng bằng

.

Theo hình 5.4, ta có:

d
tg
dz

=
(c)
với d

l góc xoắn tơng đối giữa 2 mặt cắt 3-3 v 4-4; dz l khoảng
cách giữa 2 mặt cắt đó.

Ký hiệu
d
dz

=
l góc xoắn tỷ đối trên một đơn vị di.

Thay (c) vo (b) rồi vo (a), ta có:

2
zp
F
MG dFG J==

(d)

Từ (d) suy ra:
z
p
M
G.J
=
(5-1)
Hình 5.4
d

dz
3
3
4

4


Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

39

Thay (5-1) vo (c) rồi vo (b), ta có:
z
p
M
.
J


=
(5-2)

ứng suất tiếp lớn nhất:
z
max
p

M
W
=
(5-3)
trong đó:
p
p
J
W
R
=
gọi l môđun chống xoắn của mặt cắt ngang có thứ
nguyên l (chiều di)
3
; R l bán kính của mặt cắt ngang.
- Đối với hình tròn:
3
p
3
p
J
D
W0,2D
R16

==

- Đối với hình vnh khăn:
() ()
3

434
p
D
W10,2D1
16

=

;
d
D
=


Biểu đồ ứng suất biểu diễn nh trên hình (5.3b). Ta thấy ứng suất
tiếp phân bố theo quy luật bậc nhất phụ thuộc vo khoảng cách

đến
trọng tâm mặt cắt ngang.
III. Biến dạng
Biến dạng tại mặt cắt z của thanh tròn khi xoắn đợc thể hiện bằng
góc xoắn tơng đối giữa hai mặt cắt ngang lân cận z, từ (5.1) ta có:

==
z
p
M
d
dz GJ
(rad/m) (5-4)

Góc xoắn giữa hai MCN cách nhau một khoảng l l:

=

z
p
0
M
dz
GJ
l
(rad) (5-5)

GJ
p
đợc gọi l
độ cứng xoắn
. Với chiều di v ngoại lực nh nhau,
độ cứng xoắn cng lớn

góc xoắn cng nhỏ.

Nếu trong suốt chiều di
l
của thanh, tỷ số
z
p
M
G.J
không đổi hoặc

không đổi trong từng đoạn có chiều di
l
i
, ta có:

=
z
p
M
G.J
l
hoặc
n
zi
i1
ipi
M
GJ
=
=

l
(5-6)
Từ các công thức trên ta thấy khi chịu xoắn, đặc trng hình học của
MCN không phải l diện tích F m l mômen độc cực J
p
.
IV. Tính toán về xoắn thuần tuý
Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

40
Đảm bảo điều kiện bền v điều kiện cứng.
1. Điều kiện bền
Điều kiện bền :
[]
=
zmax
max
p
M
W
(5.7)
[] l ứng suất tiếp cho phép của vật liệu, xác định nh sau:

[]
[
]
k
2

=
hoặc
[]
[
]
k
3

=
(5.8)

Đối với vật liệu dẻo:
[]
ch
n

=
, vật liệu giòn:
[]
B
n

=
(5.9)

Điều kiện bền trên ton thanh khi đờng kính thay đổi:

[]
z
max
p
max
M
W

=



(5-10)

Với công thức (5.7) ta có ba loại bi toán cơ bản sau:
a. Kiểm tra bền: theo công thức (5.7).
b. Chọn kích thớc mặt cắt ngang:
[]


=



z
pp
M
WW
(5.11)
c. Tính tải trọng cho phép: M
z
W
p
[] = [M
z
] (5.12)
2. Điều kiện cứng
Góc xoắn tơng đối (hay biến dạng xoắn) lớn nhất không vợt quá
giới hạn cho phép:

[]
=
z
max

p
M
GJ
[rad/chiều di] hoặc [độ/chiều di] (5.13)
trong đó [

] l góc
xoắn tơng đối cho phép
(tra bảng). Nếu [

] đợc cho
bằng (độ/chiều di)

công thức quy đổi sau:
[] rad/chiều di =
.[ ]
180


độ/ chiều di (5.14)
Theo công thức 5.13 ta cũng có ba loại bi toán sau:
a. Kiểm tra điều kiện cứng: theo công thức 5.13
b. Tính kích thớc mặt cắt ngang:
[]


=

z
pp
M
JJ
G
(5.15)
c. Tính tải trọng cho phép: M
z
GJ
p
[] = [M
z
] (5.17)
Khi tính toán theo cả điều kiện bền v cứng, điều kiện no có ảnh
hởng nhiều hơn thì lấy kết quả theo điều kiện ấy. Đối với thanh mảnh,
điều kiện cứng thờng có ảnh hởng nhiều hơn.
V. Xoắn thanh có mặt cắt ngang không tròn
1. Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật
Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

41
Sau khi bị xoắn, các tiết diện
ngang nói chung đều bị vênh đi.
Trên MCN của thanh chỉ có ứng
suất tiếp. Phân bố của ứng suất tiếp
thanh MCN hình chữ nhật nh trên
hình 5.5.
ứng suất lớn nhất tại điểm giữa
cạnh di:

z
max
2
M
ab
=

(5.18)
ứng suất tại điểm giữa cạnh ngắn:

1
=
max
( 1) (5.19)
Góc xoắn tơng đối: =
z
3
M
ab
(5.20)
Các hệ số , , phụ thuộc vo tỉ số a/b, cho trong các ti liệu SBVL,
ví dụ a/b = 1 = 0,208; = 0,141; = 1,0.
2. Thanh có thnh mỏng kín hoặc hở
Thanh thnh mỏng kín (hình
5.6a) v hở (hình 5.6b).
a. Thanh có thnh mỏng kín
ứng suất tiếp đợc phân bố
đều theo bề dy b của thnh, ví dụ
tại một điểm A:

z
A
*A
M
2F b
=
(5.21)
F
*
diện tích giới hạn bởi đờng
tâm của thnh (chu vi trung gian).
ứng suất tiếp lớn nhất tại vị trí
bề dy của thnh nhỏ nhất. Góc
xoắn tơng đối :

z
2
*
M
ds
b
4GF
=
v
(5.22)
b. Thanh có thnh mỏng hở
Trên MCN của thanh cũng chỉ có ứng suất tiếp.
Nếu MCN của thanh do nhiều hình chữ nhật ghép thnh (hình 5.7),
ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm giữa của cạnh a
i

:
Hình 5.
5

Hình 5.6
Chu vi
trung gian
b)
a)
Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

42


=
z
imax
*
J
b
i
(5.23) ;
n
3
*ii
i1
1
Jab
3
=

=

(5.24)
Thực nghiệm J
*
tính theo (5.24) bé hơn một chút so với thực tế đối
với các loại thép định hình, ngời ta đa
thêm vo một hệ số điều chỉnh 1:
n
3
*ii
i1
1
Jab
3
=
=


đợc cho trong các ti liệu SBVL, ví dụ
thép chữ L: =1, chữ I: = 1,2,
Góc xoắn tơng đối:
z
*
M
GJ
=
(5.25)
Khi MCN l một dải cong có thể coi
nh một dải chữ nhật.

Ví dụ. Tính ứng suất
max
tại các
điểm A, B v góc xoắn của một
thanh di 2m có thnh mỏng kín, bị
xoắn, mặt cắt ngang của thanh nh
hình 5.8, biết M
z
= 2.10
4
Nm, G =
5,2.10
10
N/m
2
(vật liệu gang).
Giải: Diện tích giới hạn bởi
đờng tâm của thnh: F
*
= (0,4
0,01)(0,2 0,03) = 0,0663m
2

ứng suất tại A l:
4
62
A
2.10
5.10 N /m
2.0,0663.0,03

= =

ứng suất tại B l:
4
62
B
2.10
15.10 N /m
2.0,0663.0,01
= =

Góc xoắn của thanh:
= . =

v
z
2
*
Ml
ds
b
4GF
=


+++

z
*1 2 1 2
12 23 32 41
Ml
ds ds ds ds
4GF b b b b

=
()
4
3
2
2.10 .2 0,39 0,17
2. 2. 2,62.10 rad
0,03 0,01
4.5,2. 0,0663


+



VI. Bi toán siêu tĩnh về xoắn
Một thanh tròn bị ngm ở hai đầu chịu tác dụng của ngẫu lực M
0
nh
hình 5.9a. Vẽ biểu đồ nội lực của thanh.
Hình 5.
7
Hình 5.

8

Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

43
Ngẫu lực liên kết M
A
v
M
B
. Để xác định chúng, chỉ có
một phơng trình cân bằng tĩnh
học:
M
A
M
0
+ M
B
= 0 (a)
Muốn giải bi toán siêu
tĩnh (bậc một) ny, phải dựa vo
điều kiện biến dạng của thanh để
lập thêm một phơng trình bổ
sung. Tởng tợng bỏ ngm A
v thay thế bằng phản ngẫu lực
M
A
, ta đợc thanh tĩnh định
(hình 5.9b).

Điều kiện thay thế l góc
xoắn
AB
phải bằng không, để bảo đảm sự tơng đơng về biến dạng với
thanh siêu tĩnh đã cho, do đó:

(
)
0
0
A
A
AB AC CB
zz
MMb
Ma
GJ GJ

=+= + =
(b)
Giải phơng trình trên, đợc:

A0
b
MM
ab
=
+
(c)
thay (c) vo (a), suy ra:

M
B
=
0
a
M
ab+
(d)
(Nếu M
A
v M
B
tính đợc ở trên mang thêm dấu âm, thì chúng có
chiều ngợc với chiều giả thiết ban đầu).
Sau khi xác định đợc các phản ngẫu lực M
A
, M
B
sẽ vẽ đợc biểu đồ
mômen xoắn M
z
(z) của thanh nh hình 5.9c.
VI. Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bớc ngắn
a
)
b
)
Hình 5.
9

c
)
Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

44
Xét một lò xo xoắn ốc trụ tròn, chịu lực dọc
P
G
(hình 5.10) với: h l
bớc của dây lò xo, d l đờng kính dây lò xo, D l đờng kính trung bình
của vòng dây lò xo, l góc nghiêng của các dây lò xo, n l số vòng dây lò
xo.
Giả thiết:
1.
Góc nghiêng rất bé,
bớc h của lò xo không
lớn lắm
D
h
10
<
.
2.
Đờng kính d v D phải
thoả mãn
D
d
5
<
.

1.
ứ
ng suất
Tởng tợng cắt dây lò
xo bằng một mặt cắt đi qua
trục của lò xo v xét sự cân
bằng của một trong hai phần.
Thnh phần nội lực:
Q
y
=P v M
z
=PR=PD/2.
Nếu bớc h của lò xo
không lớn lắm MCN l
hình tròn.
ứng suất do ngẫu lực xoắn M
z
v lực cắt Q
y
gây ra đều l ứng suất
tiếp, kí hiệu tơng ứng l
M
v
Q
:

z
M
pp

M
PR
J
J
= =
;
y
Q
2
Q
4P
F
d
= =


ứng suất tiếp tại một điểm no đó l tổng hình học của hai thnh phần
ứng suất tiếp.
max
l tại điểm A trên biên của mặt cắt ngang, ứng với đờng
kính trong của lò xo (hình 5.10c).

max
323
8PD 4P 8PD d
1
2D
ddd

= + = +

Trong thực tế, d của dây lò xo thờng rất bé so với D của lò xo, nên tỉ
số d/2D có thể bỏ qua so với 1.

=

max
3
8PD
k
d

trong đó k l hệ số điều chỉnh kể đến ảnh hởng của lực cắt Q
y
v ảnh

Hình 5.1
0

Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

45
hởng của độ cong vòng dây lò xo:
+
=

Dd 0,25

k
Dd 1

Điều kiện bền khi tính toán lò xo l:
[]

=

max
3
8PD
k
d

2. Biến dạng
Ngoi độ bền, còn phải tính lợng co giãn của lò xo.
Gọi l lợng co giãn của lò xo do lực dọc P gây nên. Công của
ngoại lực P trong biến dạng đó l:
()
2
00
0
ycP
APydycydyc
222




=====

Công A bằng công biến dạng đn hồi U trong lò xo:
()



=== === =

2
2
zz
zzz
pp
00
0
MM
c. 1 1 1
UM d cdc M M
222 2GJ2GJ
ll

trong đó: l chiều di của dây lò xo.
Theo nguyên lý bảo ton năng lợng A = U, ta có:
=
2
z
p
M
P

GJ
l

Thay trị số của l= Dn v M
z
= PD/2:
3
4
8PD n
Gd
=

Lực cần thiết để gây nên một biến dạng đơn vị của lò xo, đợc gọi l
độ cứng của lò xo, kí hiệu l C:
4
3
PGd
C
8D n
==


Độ cứng của lò xo đợc tính bằng N/m.

VII. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 5-1
: Cho dầm đầu ngm đầu tự do chịu mômen xoắn tập trung
M
0
(hình 5.11a). Vẽ biểu đồ mômen xoắn.

Bi giải
Sử dụng phơng pháp mặt cắt, ta đợc: M
Z
-Pa=0

M
Z
=P.a
Biểu đồ mômen xoắn đợc vẽ trên hình 5.11b.




Hình 5.11
1
1
Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

46
Ví dụ 5-2
: Vẽ biểu đồ M
z
cho thanh chịu lực nh hình 5.12.
Bi giải

1. Phản lực tại ngm C:
zc
M 0 M 900Nm= =

2. Chia dầm thnh hai đoạn:
- Đoạn AB cắt thanh ở mặt
cắt z
1
)400(
1
cmz
v xét sự
cân bằng phần trái, ta tìm đợc
1
z
M
=300 Nm.
- Đoạn BC cắt thanh ở mặt
cắt z
2
v xét sự cân bằng phần
phải ta có:
2
z
M
= 900 - 1000.z
2

Vẽ biểu đồ M
z
nh
trên hình 5.12.
Ví dụ 5-3
: Cho một

trục chịu lực nh hình
5.13a. Các puli 1, 2, 3 l
bị động có công suất N
1
= 40 mã lực, N
2
= 20
mã lực, N
3
= 30 mã lực,
puli 0 l chủ động. Cho
biết n =1000vòng/phút,

=d/D =0,6,
[

]=4500N/cm
2
, G=8.10
6
N/cm
2
,

0
=2
0
/m. Xác định D, d.
Bi giải
: Biểu đồ công suất đợc vẽ trên hình 5.13b. Mặt cắt nguy

hiểm có N
0
= 50 mã lực


Zmax
71620 716200
MN50Ncm
n 1000
==

Chọn kích thớc theo điều kiện bền (5-11), ta có:
[]


z
p
M
W

[]
3
4
0
P
716200.N
D
w(1)
16 n

==


[]
0
3
4
716200.N
16
D3,64cm
n(1 )



Chọn kích thớc theo điều kiện cứng. Từ (5-14), ta suy ra:
[]
=
z
max
p
M
GJ

ìì

=

4
4
0

P
0
716200N 100 180
D
J(1)
32 n.G.[ ]

D=3,49cm
so sánh ta chọn: D=3,64; d=3,64. 0,6 = 2,18cm.
Hình 5.13
a)
b)












Hình 5.12
4
0cm
60cm
1000Nm/m