Bài tập sức bền vật liệu - 1 pot

Chương 8. Thanh chịu lực phức
tạp
Trần Minh
Tú
Đại học Xây
dựng
1
Q
Chương 8. Thanh chịu lực phức tạp
8.1. Các khái niệm chung
8.1.1. Chịu lực đơn
giản
Trong trường hợp tổng quát, trên mặt cắt ngang của một thanh chịu
tác
dụng của ngoại lực có sáu thành phần ứng
l
ự
c:
- Lực dọc:
N
z
- Lực cắt : Q
x
,
Q
y
- Mô men uốn: M
x
,
M
y

- Mô men xoắn:
M
z
Q
x
M
x
x
N
z
y
M
z
z
M
y
y
Hình
8.1
Trong những chương trước ta đã nghiên cứu các trường hợp chịu lực
đơn
giản (cơ bản) khi trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại 1 (thanh chịu kéo-nén đúng
tâm,
thanh chịu xoắn thuần túy, thanh chịu cắt, chịu uốn thuần túy phẳng) hoặc
2
(thanh chịu uốn ngang phẳng) trong 6 thành phần ứng lực kể
trên.
8.1.2. Chịu lực phức
tạp
Thực tế ta thường gặp những trường hợp chịu lực phức tạp – là tổ

h
ợ
p
những trường hợp chịu lực đơn
gi
ả
n
- Uốn xiên: uống ngang phẳng đồng thời trong hai mặt
ph
ẳ
ng
- Uốn và kéo (nén) đồng
th
ờ
i
- Uốn và xoắn đồng
th
ờ
i
- Chịu lực tổng
quát
a. Phư ơ ng

pháp

tính

• Để giải quyết các bài toán chịu lực phức tạp ta sử dụng nguyên lý
độc
lập tác dụng - Nếu trên một thanh chịu tác dụng của một hệ ngoại

lực
thì ứng suất biến dạng hay chuyền vị trong thanh là tổng thì ứng
suất
biến dạng hay chuyền vị do từng thành phần ngoại lực gây ra riêng
r
ẽ
.
• Điều kiện để sử dụng được nguyên lý độc lập tác
dụng:
M
M
+ Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi (quan hệ ứng suất - biến
d
ạ
ng
là bậc
nh
ấ
t.
+ Biến dạng và chuyển vị của thanh là
bé
• Trong các bài toán chịu lực phức tạp ta bỏ qua ảnh hưởng của lực
cắt
b. Qui

ướ

c

chiều

dươ

ng

các

thành

phần

ứng

lự
c:

- N
z
>0: đi ra khỏi mặt
c
ắ
t
- M
x
>0: căng thớ về phía
d
ươ
ng
của trục
y

M
x
- M
y
>0: căng thớ về phía
d
ươ
ng
của trục x
z
x
N
z
- M
z
>0: nhìn vào mặt cắt thấy quay
y
z
thuận chiều kim đồng
hồ
y
Hình
8.2
8.2. Uốn xiên
8.2.1. Định
ngh
ĩ
a
Một thanh được gọi là chịu uốn xiên khi trên mặt cắt ngang tồn tại
đồng

thời hai thành phần ứng lực là các mô men uốn M
x
, M
y
nằm trong các mặt
quán
tính chính trung tâm của mặt cắt ngang (hình
8.3a).
F
1
F
F
F
1
x
F
F

2
2
x
y
a b c
a b
y
(a)
(
b)
Hình
8.3

Định nghĩa khác: Thanh chịu uốn xiên là thanh chịu lực sao cho trên
mọi
mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là mômen uốn M
n
ằ
m
trong mặt phẳng chứa trục z của thanh nhưng không trùng với mặt phẳng
quán
tính chính trung tâm nào của mặt phẳng ngang (hình
8.3b).
- Mặt phẳng tải trọng: là mặt phẳng chứa tải trọng và trục
thanh
z z
z
z
- Đường tải trọng: giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt
ngang
(đi qua gốc toạ độ và vuông góc với phương của vectơ mô men
tổng)
- Vec tơ mô men có chiều được xác định theo qui tắc vặn nút
chai
§uêng
t¶
i
träng
M
x
x
M
M

y
y
M
Æ
t
ph¼ng
t¶
i
träng
Hình
8.4
8.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt
ngang
Gọi α - góc giữa hướng của trục x và đường tải trọng (α<90
0
và α>0
khi
chiều quay từ trụ x đén đường tải trọng thuận chiều kim đồng hồ - hình
8.4)
Ta
có:
M

x
=
M
sin
α
M
y

=
M cos
α
(8.1)
Áp dụng nguyên lý cộng tác
dụng
σ
=

σ

(
M
x
)
+

σ

(
M
y
)
=
M

x
M
y
+

y
x
(8.2)
I

x
I

y
Trong đó: - (x, y) là toạ độ điểm tính ứng suất trên mặt cắt
ngang
- M
x
, M
y
– các thành phần ứng lực tại mặt cắt ngang đang
xét
- I
x
, I
y
– các mô men quán tính chính trung tâm của tiết
diện.
Trong (8.1) phải chú ý dấu của toạ độ x, y theo chiều các trục quán
tính
chính trung tâm của mặt cắt ngang và dấu của M
x
, M
y
theo qui ước

=>
Công thức kỹ
thuật:
σ
= ±
M

x
M
y
y
±
x
(8.3)
I

x
I

y
σ
σ
Trong (8.3) , dấu (+) hay dấu (-) trước mỗi số hạng tùy thuộc vào tác
dụng
của Mx, My gây nên ứng sất kéo hay nén tại điểm đang
xét.
Hình 8.5 minh hoạ cách phân vùng ứng suất pháp
σ

z

lần lượt do M
x
,
M
y
gây ra. Từ đây có thể suy ra ứng suất pháp tại điểm B(x
B
,
y
B
):
σ
= +
M

x
y
+
M
y
x
z B
B
I

x
I

y
σ

min
M
x
x
z
M
y
y
B
y
x
B
z
z
σ
ma
x
M
x
x
x
M
y
x
x
z
y
B
y
B

y
y
σ
mi
n
(a
)
(b)
B
z
σ
ma
x
(c)
Hình
8.5
8.2.3. Đường trung hoà và biểu đồ ứng
suất
Nếu ứng suất tại mỗi điểm biểu diễn bằng một vec tơ thì phương
trình
(8.2) biểu diễn mặt phẳng quĩ tích những đầu mút của vec tơ ứng suất - gọi
là
mặt ứng suất. Giao tuyến của mặt ứng suất với mặt cắt ngang là đường
trung
hoà – quĩ tích những điểm có ứng suất pháp bằng không, phương trình có
dạng:
M
M
x
y

+
y
x
=
0
I

x
I

y
(8.4)
Có thể viết dưới
dạng:
M
y
y

= −

I

x
x
=> NHẬN
XÉT:
M

x
I

y
- Đường trung hoà là đường thẳng đi qua gốc toạ độ với hệ số góc
(chiều
dương qui ước như góc α - hình
8.6):
M
k
=
tan
β
= −
y
M

x
I

x
= −
I

y
1
I

x
tan

α

I

y
(8.5)
§uêng t¶i
träng
§uêng trung hoà
x
x
y
y
Hình
8.6
- Những điểm cùng trên một đường thẳng song song với đường trung
hoà
thì có ứng suất pháp như nhau => Chuyển việc vẽ biểu đồ ứng suất pháp
trong
không gian bằng việc vẽ biểu đồ ứng suất pháp trong mặt phẳng một cách
đơn
giản (hình
8.7):
a. Tìm trọng tâm C của mặt cắt ngang, xác định hệ trục quán tính
chính
trung
tâm
K
y
K
σ
ma

x
§uêng
trung
hoà
x
x
x
K
N
y
N
N
y
σ
mi
n
Hình
8.7
b. Tính các giá trị nội lực M
x
, M
y
tại mặt cắt ngang đang xét và các
đặc
trưng hình học mặt cắt ngang I
x
,
I
y
.

c. Dựng đường trung hoà với hệ số góc theo
(8.5)
d. Kéo dài đường trung hoà, từ điểm K xa đường trung hoà nhất
thuộc
vùng chịu kéo, và điểm N xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu nén, kẻ
hai
đường thẳng song song với đường trung hoà. Kẻ đường vuông góc với
đường
trung hoà là đường
chuẩn
I
I
k
k
n
n
x
y
W
W
k
M
I
I
e. Tính các giá trị ứng suất cực trị tại K và N theo (8.3) và dựng các
tung
độ tương ứng
.
8.2.4. Ứng suất pháp cực trị và điều kiện
b

ề
n
Sau khi dựng đường trung hoà, ta xác định được toạ độ điểm xa
đường
trung hoà nhất thuộc vùng chịu kéo và vùng chịu nén, từ đó xác định ứng
suất
pháp cực trị
theo:
σ
= +
M

x
M
y

max
+
y
x
max
z max k
k
x
y
σ
= −
M

x

M
y

max
−
y
x
max
(8.6)
z min n
n
x
y
trong
đó
-
(
x
max

,
y

max
)
-
(
x
max

,
y

max
)
CHÚ
Ý:
là toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu
kéo
là toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu
nén
- Với mặt cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, mặt cắt có 2 trục đối xứng
nội
tiếp được trong hình chữ nhật, thì các điểm có ứng suất pháp cực trị chỉ ở
các
điểm góc
nên:
σ
=
σ
=
M

x
+
M
y
(8.7)
z
max

z
min
x
y
- Với mặt cắt ngang tròn hay đa giác đều, thanh chỉ chịu uốn phẳng
do
M
2
+
M
2
u
vậy
σ

z max
=
σ

z min
= =
W
W
(8.8)
dạng:
u
x
Trên mặt cắt nguy hiểm của thanh (
M

x
, M
y
cùng lớn), điều kiện bền
có
σ

z max
≤

[
σ

]
⎫
⎪
- Vật liệu
dòn:
σ
≤

[
σ

]
⎬
(8.9)
z
min
n

⎪
⎭
- Vật liệu dẻo:
max

{
σ

z max
,
σ

z min
}

≤

[
σ

]
(8.10)
d
ạ
ng:
Chẳng
hạn với
vật liệu
dẻo, mặt
cắt

ngang
chữ nhật
điều kiện
bền
có
M

x
+
M
y
≤

[
σ

]
(8.11)
W
x
W
y
Từ điều kiện bền (8.11) ta rút ra ba bài toán cơ
b
ả
n:
• Bài toán kiểm tra bền: Biết tải trọng, kích thước mặt cắt ngang
và
vật liệu, kiểm tra xem điều kiện bền (8.11) có thỏa mãn hay
không?

• Bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang: vì có hai ẩn Wx,
Wy
nên ta giải theo phương pháp đúng dần. Điều kiện bền (8.11) có thể
vi
ế
t
dưới
d
ạ
ng:
1
⎛
W
⎜
M

x
+
W
x
W
⎞
M
y
⎟

≤

[
σ

]
(8.12)
x
⎝
y
⎠
•
Chọn trước tỉ số
W
x
W
y
theo kinh nghiệm (mặt cắt ngang chữ
nh
ậ
t
chọn
W
x
=
h
, mặt cắt ngang chữ I chọn
W
x
=
8
÷
10
, mặt cắt

ngang
W
y
b
W
y
chữ
[
chọn
W
x
W
y
=
5
÷
7 ) sau đó tính
W
x
.
• Bài toán xác định tải trọng cho phép: tùy thuộc bài toán cụ thể,
t
ả
i
trọng cho phép suy ra từ điều kiện
b
ề
n.
8.2.5. Chuyển vị của dầm chịu uốn
xiên

G
Gọi
và f

y
là độ võng tại mặt cắt ngang bất kỳ do riêng Mx và My gây nên.
Độ
G
võng toàn phần
f
G
là tổng hình học
của
2
2
f

x
và
G
f

y
, tức
là:
f
=
f

x

+
f

y
(8.13)
8.3. Thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời
8.3.1. Định
ngh
ĩ
a
Một thanh được gọi là chịu uốn và kéo (nén) đồng thời khi trên mọi
m
ặ
t
cắt ngang của thanh tồn tại các thành phần ứng lực mô men uốn M
x
, M
y
và
l
ự
c
dọc N
z
(hình
8.8a).
Ví dụ: Ống khói chịu nén đúng tâm do trọng lượng bản thân Q, vừa
ch
ị
u

uốn do tải trọng q (hình 8.8b). Cột điện chịu sức căng F của dây cáp điện
có
z z z
z
z
x
phương không vuông góc với trục cột, thành phần vuông góc với trục cột F
1
gây
uốn và thành phần F
2
theo phương trục cột gây nén đúng tâm (hình
8.8c).
F
1
F
2
F
q
M
x
N
z
x
Q
z
M
y
y
B

y
(a)
(b)
(c)
Hình
8.8
8.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt
ngang
Ứng suất pháp tại điểm B(x, y) trên mặt cắt ngang có các thành phần ứ
ng
lực N
z
, M
x
, M
y
tính theo công
th
ứ
c:
σ
=

σ

(

N

z

)
+

σ

(

M

x
)
+

σ

(
M
y
)
=
N

z
+
M

x
M
y
+

y
x
(8.14)
Và theo công thức kỹ
thu
ậ
t:
A
I

x
I

y
σ
= ±
N

z
±
M

x
M
y
y
±
x
(8.15)
A

I

x
I

y
Việc chọn dấu trước mỗi số hạng tùy thuộc vào các thành phần nội
l
ự
c
gây ra ứng suất kéo hay nén tại điểm tính ứng
su
ấ
t.
8.3.3. Kéo (nén) lệch
tâm
Trường hợp riêng của bài
toán
uốn và kéo (nén) đồng thời là
bài
toán kéo (nén) lệch
tâm
Ví dụ: Trường hợp chịu lực của
trục
giá cần
c
ẩ
u
P
1

P
2
P
3
P
4
Hình
8.9
z
Định nghĩa: Một thanh gọi là chịu kéo (nén) z
lệch tâm khi hợp lực N của ngoại lực có
phương
song song với trục thanh nhưng không trùng với
N
trục thanh.
O
x
N - lực lệch
tâm
y
K
x
K
K
K(x
K
, y
K
) - toạ độ điểm đặt lực lệch
tâm

OK
=
e
- độ lệch
tâm
Dời N từ K về trọng tâm O của mặt cắt
ngang
ta được 3 thành phần ứng
l
ự
c:
- Lực dọc
N
z
- Mô men uốn M
x
=N.y
K
, và
M
y
=N.x
K
.
Tương tự như (8.14) ta có công thức tính ứng suất
pháp:
Hình
8.10
σ
=

N
+
Ny
K
y
+
Nx
K
x
(8.16)
A
I

x
I

y
Đặt N/A làm thừa số chung và ký hiệu r
x
, r
y
là các bán kính quán
tính
trung
tâm:
r

2
=
I

x
I
;
r

2
=
y
ta
được:
x
A
y
A
σ
=
N
⎛
1

+
y
K
z
A
⎜
r

2

y
+
x
K
x

⎞
r

2
⎟
(8.17)
⎝
x y
⎠
8.3.4. Đường trung hoà và lõi mặt cắt
ngang
Từ phương trình (8.14), phương trình đường trung hoà trong trường
hợp
uốn và kéo (nén) đồng thời có
dạng:
N

z
+
M

x
M
y

+
y
x
=
0
(8.18)
A
I

x
I

y
Ta nhận thấy đường trung hoà không đi qua trọng tâm mặt cắt ngang,
các
điểm xa đường trung hoà nhất là các điểm có ứng suất pháp cực trị
σ

max
,
σ

min
.
Cách vẽ biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang tương tự như bài toán
uốn
xiên.
Với bài tóan kéo (nén) lệch tâm, phương trình đường trung hoà có
dạng:
r

r
x
y
⎜
⎛
y
1

+
K
r

2
y
+
x
K
r

2
⎞
x

⎟
=
0
(8.18)
⎝
hay
x y

⎠
x
+
y
=

1
(8.19)
với
2
a
= −
y
x
K
a
b
2
; b
= −
x
y
K
(8.20)
Tính chất đường trung
hoà:
- Đường trung hòa không đi qua góc phần tư chứa điểm đặt lực (a
ngược
dấu x
K

, b ngược dấu y
K
). Điểm đặt lực nằm trên trục nào thì
đường
trung hoà song song với trục còn
lại.
- Vị trí đường trung hoà chỉ phụ thuộc vào toạ độ điểm đặt lực K
và
hình dạng kích thước của mặt cắt ngang
(

r

2
,

r

2
) mà không phụ
thuộc
vào giá trị lực lệch
tâm.
- Khi điểm đặt của tải trọng di chuyển trên đường thẳng không đi
qua
gốc toạ độ thì đường trung hoà tương ứng sẽ quay quanh một điểm
cố
định nào
đó.
- Khi điểm đặt của tải trọng di chuyển trên đường thẳng đi qua gốc

toạ
độ thì đường trung hoà tương ứng sẽ dịch chuyển song song với
chính
nó. Nếu điểm đặt lực di chuyển gần vào trọng tâm thì đường trung
hoà
ra xa trọng tâm và ngược
lại.
Khái niệm về lõi mặt cắt
ngang
- Thường gặp những vật liệu chịu nén tốt, chịu kéo kém (gạch, đá,
bê
tông,
…) => Khi tính toán, thiết kế các cấu kiện chịu uốn và nén đồng thời
hay
chịu
nén lệch tâm ta phải tìm vị trí điểm đặt lực lệch tâm sao cho trên mặt
cắt
ngang
chỉ chịu ứng suất nén. Muốn vật đường trung phải nằm ngoài mặt
cắt
ngang
hoặc cùng lắm là tiếp xúc với chu vi mặt cắt
ngang.
- Lõi mặt cắt ngang là miền diện tích bao quanh trọng tâm mặt
cắt
ngang sao cho khi điểm đặt lực lệch tâm nằm bên trong hoặc trên chu vi
miền
này thì ứng suất pháp trên mặt cắt ngang chỉ mang một dấu (hoặc kéo,
hoặc
nén).

- Các bước xác định lõi mặt cắt
ngang
• Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt
ngang
x
y
K
K
•
Tính các mô men quán tính chính trung tâm I
x
, I
y
; các bán
kính
quán tính r
x
,
r
y
.
• Lần lượt vẽ các đường trung hoà tiếp xúc với chu vi mặt cắt
ngang.
Vị trí đường trung hoà thứ i được xác định bởi các toạ độ a
i
,
b
i
tương ứng. Từ đó xác định toạ độ điểm đặt lực lệch
tâm:

r

2
i
= −
y
;
a
i
r

2
i

=

−



x
b
i
• Nối các điểm đặt lực K
i
để nhận được lõi mặt cắt
ngang
Chú ý khi mặt cắt ngang là một đa giác lõm (chữ I, chữ T, chữ U, ),
chọn
đường trung hoà tiếp xúc với mặt cắt ngang nhưng không được cắt qua mặt

cắt
ngang.
8.4. Thanh chịu uốn và xoắn đồng
th
ờ
i
8.4.1. Định
ngh
ĩ
a
Một thanh được gọi là chịu uốn và xoắn khi đồng thời khi trên các mặt
cắt
ngang của nó có các thành phần nội lực là mô men uốn M
x
, M
y
và cả mô
men
xoắn
M
z
.
Thanh chịu uốn và xoắn đồng thời khi tải trọng tác dụng vào thanh là
các
lực tập trung hay lực phân bố có phương vuông góc với trục thanh nhưng
không
cắt trục thanh (hình 8.11a), hoặc các trục truyền động (hình 8.11b),
…
Ta chỉ xét các thanh có mặt cắt ngang tròn và hình chữ
nhật.

A
F
B
C
x
z
Q
2
Q
1
t
2
T
t
2
1
1
T
y
(a)
(b)
Hình
8.11
8.4.2. Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt ngang
tròn
1/ Ứng
suất:
Hợp hai thành phần M
x
và M

y
, ta sẽ được mô men uốn toàn
phần:
W 4
M
u
=
2
2
M

x
+
M

y
(8.21)
Hình
8.12
Mặt phẳng V của nó cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm của
mặt
cắt ngang. Như vậy thanh chịu uốn thuần tuý đồng thời với xoắn. Đường
trung
hoà u vuông góc với mặt phẳng tải trọng
V.
A, B là những điểm cách xa đường trung hoà nhất. ứng suất pháp
tại
những điểm này
bằng:
σ

max
= |
σ
min
|
=
M
M
2
+
M
2
u
=
x y
(8.22)
W
u
W
x
ứng suất tiếp tại những điểm
này:
τ
max
=
M

z

=

M

z

(8.23)
2/ Điều kiện
bền:
W
p
2W
x
Trạng thái ứng suất tại A và B là trạng thái ứng suất
phẳng
Điều kiện bền của các phân tố này
là:
- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (Thuyết bền thứ
3)
M
2
+
M
2
M
2
1
σ

tđ3
=
σ
2
+
4τ
2
=
x y
+
4


z


=
M
2
+
M
2
+
M
2
≤
[
σ
]
(8.24)

W

2
W

2
W
x y
z
x x
x
- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng (Thuyết bền thứ
4)
σ
tđ4
=
σ

2
+

3τ

2
=
1
M

2
+

M

2
+
3
M

2
≤
[
σ
]
(8.25)
x y
z
x
σ
n
0
0
x
y
max C
- Theo thuyết bền Mohr
:
σ
tđMo
=
1
−

α
σ
+

1

+
α
2
2
σ

2
+
4τ

2
1
⎡
1

−

α
M

2
+
M

2
+

1

+
α
2
+
2
+
2
⎤
≤
[
σ
]
(8.26)
=
W
⎢
2
x y
2
M

x
M

y
M

z
⎥
k
x
⎣ ⎦
σ

k
Trong

đó

α

=



0

0
và
σ

k
,
σ

n
là các ứng suất nguy hiểm khi kéo và
nén
8.4.3. Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt ngang chữ
nhật
Giả sử trên mặt cắt ngang chữ nhật các thành phần nội lực có chiều
như
hình vẽ 8.13. Ứng suất pháp có trị số lơn nhất tại các góc, ứng suất tiếp lớn
nhất
tại điểm giữa cạnh dài, và điểm có ứng suất tiếp tương đối lớn là tại điểm
giữa
cạnh
ngắn.
M
x
z
M
y
y
M
z
x
Hình
8.13
D
M
σ
max
M

σ
max
τ

1
B
τ

ma
x
x
C
A
y
Xét trị số ứng suất tại ba điểm đại diện A, B, C trên mặt cắt
ngang:
Tại A:
τ
= 0 ;
σ
A
=
σ
max
=
M
x
+
M
y

W
x
W
y
M
Tại B:
τ
=
τ
max ;
σ
B
=
y
W
y
Tại C:
τ
=
γτ
;
σ
=
M
x
W
x
Trong 3 điểm A, B, ta chưa biết điểm nào là điểm nguy hiểm nhất
nên
phải kiểm tra bền cho cả ba phân tố lấy ở 3 điểm

này.
- Đối với phân tố ở điểm A (TTƯS
đơn)
WW
W W
W
W
σ
tđ
(A)
=
M
x
+
M
y
≥

[
σ
]
(8.27)
W
x
W
y
(Nếu là vật liệu dòn thì phải kiểm tra cả phân tố tại D với điều kiện
bền
σ
min

≥

[
σ
]
)
- Đối với phân tố ở điểm B (TTƯS
phẳng)
Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (Thuyết bền
3)
2
⎛

M
⎞
2
⎛
M
⎞
σ
tđ3
(B)
=
σ

2
+
4τ

2

=
⎜


y

⎟
⎜ ⎟
y
+

3
⎜


z


⎟
xoan
(8.28)
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng (Thuyết bền
4)
2
⎛

M
⎞

2
⎛
M
⎞
σ
tđ4
(B)
=
σ

2
+

3τ

2
=
⎜


y

⎟
⎜ ⎟
y
+

3
⎜

z


⎟
xoan
(8.29)
Theo thuyết bền
Mohr
⎝ ⎠
⎝ ⎠
1

−

α
M

y
1

+
α
2
⎛
M
⎞
2
⎛
M

⎞
σ
tđMo
(B)
=
+
2 W
y
2
⎜


y

⎟
⎜ ⎟
y
+
4
⎜


z


⎟
xoan
(8.30)
⎝ ⎠
⎝ ⎠

- Đối với phân tố ở điểm C (TTƯS
phẳng)
Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (Thuyết bền
3)
2
⎛
M
⎞
2
⎛
M
⎞
σ
tđ3
(C)
=
⎜


x


⎟
+
4
⎜

γ

z


⎟
(8.31)
⎝
W
x
⎠
⎝
W
xoan
⎠
Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng (Thuyết bền
4)
2
⎛
M
⎞
2
⎛
M
⎞
σ
tđ4
(C)
=
⎜

x


⎟
+

3
⎜

γ


z


⎟
(8.32)
⎝
W
x
⎠
Theo thuyết bền
Mohr
⎝
W
xoan
⎠
σ
tđMo
=

1

−
α
M

x
+

1

+
α
2
⎛
M

x
⎞
⎜ ⎟
2
⎛
M
⎞
+
4
⎜
z
⎟
(8.33)

2 W
x
2
⎝
W
x
⎠
⎝
W
xoan
⎠
8.5. Thanh chịu lực tổng quát
8.5.1. Định
ngh
ĩ
a
Một thanh gọi là chịu lực tổng quát khi trên các mặt cắt ngang tồn
tại
đồng thời cả 6 thành phần ứng lực: N
z
, M
x
, M
y
, M
z
, Q
x
,
Q

y
.
(Chú ý rằng chúng ta vẫn bỏ qua ảnh hưởng của lực
cắt)
8.5.2. Thanh tròn chịu lực tổng
quát
W
A B
max
y
x
z
- Thanh tròn chỉ chịu uốn đơn
=>
Chọn hệ trục Ouvz làm hệ trục toạ độ
với
voz là mặt phẳng tải trọng => mô men
uốn:
M
=
M
2
+
M
2
(8.34)
u x
y
Như vậy trên mặt cắt ngang coa
3

thành phần ứng lực: N
z
,M
u
,
M
z
Đường trung hoà song song trục u
và
có phương trình
:
M

u
v
+
N

z
=
0
(8.35)
I
u
A
Hình
8.14
Trị số ứng suất pháp tại A, B – hai điểm nguy hiểm
nhất:
N

M

u
σ

A
=

σ

max
= +
A
W
u
(8.36)
σ

B
=

σ
min
=
N

z
−
M

u
(8.37)
A
W
u
Ứng suất tiếp do M
z
gây
nên:
τ
=
τ
=
τ
=
M

z
p
(8.38)
tròn
Kiểm tra bền tương tự như uốn cộng xoắn đồng thời thanh mặt cắt
ngang
8.5.3. Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật chịu lực tổng
quát
τ

1
M
σ

max
M
x
M
z
x
z
M
y
y
D
B
C
A
M
σ
max
y
τ

ma
x
x
y
x
Ta nhận thấy nếu N
z
>0 (chịu kéo) => A là điểm có trị tuyệt đối ứng
suất
pháp lớn nhất, nếu N

z
<0 => thì D là điểm có trị tuyệt đối ứng suất pháp lớn
nhất.
Như vậy 3 điểm nguy hiểm nhất là A,B và C
(N
z
>0).
Trạng thái ứng suất tại A là trạng thái ứng suất đơn và trị số ứng suất
pháp
tại
đây:
N

z
M

x
M
y
à
σ

A
= + +
(8.39)
A W
x
W
y
Trạng thái ứng suất tại A và C la trạng thái ứng suất phẳng, với trị số

ứng
suất
pháp:
σ
=
N

z
+
M
y
B
A
W
;
σ
=
N

z
+
M

x
B
A
W
(8.40)
Ứng suất tiếp tại A và
C:

M

z
τ

B
=

τ

max
=
α

hb
2
;
τ
C
=

τ
1
=

γ
τ

max
(8.41)

Cách kiểm tra bền đã trình bày ở phần uốn cộng xoắn đồng thời thanh
mặt
cắt ngang chữ
nhật.
8.6. Bài tập tự giải
Bài 1: Xác định giá trị
σ

max
,
σ

min
, vị trí đường trung hoà, vẽ biểu đồ ứng
suất
pháp tại mặt cắt ngang nguy hiểm của dầm chịu có liên kết, kích thước,
và
chịu tải trọng như hình
vẽ
Bài 2: Một dầm gỗ đặt nghiêng góc α
=
30
0
, chịu tải trọng phân bố đều
q=1,5
kN/m theo phương thẳng đứng. Mặt cắt ngang của dầm hình chữ
nhật
kích thước h=12cm; b=6cm. Vẽ biểu đồ mô men uốn của dầm sau
đó
kiểm tra bền cho dầm. Biết ứng suất cho phép của vật liệu

dầm
[
σ

]

=

1,
2kN
/

cm
2
a
a
a
Bài
3:
Dầm có tiết diện tròn rỗng chịu
tải
trọng nh
trên
hình
v
ẽ
.
1. Vẽ
biểu đồ mômen uốn
M

x
và
M
y
.
2. Xác
định
đ

ờng

kính
D
theo điều kiện bền
của dầm
Biết
[

]
=
16kN/cm
2
;
D/d = 1,2; a =
1m;
; F
=10kN
x
2F 2F
F

F F
d
D
B i 4: Xỏc nh giỏ tr


max
,


min
, v trớ ng trung ho, v biu ng
sut
phỏp ti mt ct ngang nguy him ca dm chu cú liờn kt, kớch thc,
v
chu ti trng nh hỡnh
v
H
a a
Bài 5: Một cột có
tiết diện
nh cho
tr
ên
hình
vẽ.
1. Xác
định hệ
trục quán
tính chính

trung tâm của tiết diện.
2. Xác
định
lõi
của tiết diện.
Biết
a =
15 cm
; b =2a.
b a
b
Bi 6: Xỏc nh kớch thc mt ct ngang ca cỏc dm cú kớch thc v chu
ti
trng nh hỡnh v. Bit h/b=4; ng sut cho phộp ca vt liu
dm
[


]

=

1,
2kN
/
cm
2
(
P, M
1

, M
2
cựng nm trong mt phng nghiờng gúc
30
0
so vi phng thng
ng)
Bài
7:
Cho một cột
chịu
lực
nh hình
v
ẽ
.
1. Vẽ
biểu đồ
các
thành phần
ứng
lực N
z
, M
x
,
M
y
.
F

2F
2.
Tính
ứng
suất
pháp lớn
nhất
và

x
nhỏ nhất
trên
tiết diện nguy hiểm
của
cột.
y
Biết
h =15cm; b =
25cm;
F
= 15 kN;
h
H=3m;
Bỏ qua trọng
l

ợng

bản thân
cột.

Bi 8: Xỏc nh ti trng cho phộp tỏc dng lờn cỏc dm cú kớch thc v
ch

u
ti trng nh hỡnh v. Bit
[


]

=
16kN
/

cm
2
H
H
Bài
9:
Cột có tiết diện tròn
đ

ờng

kính
d
chịu nén
bởi
một

lực F
song song trục z
của cột và lệch tâm một đoạn e nh
trên
hình
vẽ.
1. Xác
định ứng suất
p
h
á
p
lớn
nhất và
nhỏ
z
nhất
trên
t
i
ết

diện chân cột
khi e=2,5cm.
F
2.
Tìm e
max
để
trên

tiết diện chân
cột không
o
phát
s
i
nh

ứng suất kéo.
Biết
H = 2,5 m; d =20 cm; F = 25 kN
;
trọng
l

ợng
riêng
vật liệu cột

=18kN/m
3
Bài
10:
Cho
một cột
chịu
lực
nh hình
v
ẽ

.

T
í
nh

ứng suất
pháp lớn
nhất và
nhỏ
nhất
trên
tiết diện nguy hiểm của cột trong trờng
hợp:
1.
Kể
đế
n

trọng
lợng
bản thân
cột.
F
3F
2.
Không
kể
đế
n

trọng
lợng
bản thân
cột.


x
Biết
b= 20cm; h=30 cm; F
2
= 15
kN;
y
H=2,5m;
b
Vật liệu cột có trọng
l

ợng
riêng

=
18kN/m
3
.
Bi 11: Mt thanh thộp cú b rng a, b dy b kộo ỳng tõm bi lc dc
trc
P t hai u thanh (hỡnh a). Hi nu khoột mt rónh sõu a/4 (hỡnh
b)

thỡ ng sut phỏp ln nht trong thanh tng bao nhiờu ln? Nu khoột
i
xng thỡ ng sut phỏp ln nht thay i ra
sao?
H
H
Bài 12: Cột có tiết
d
i
ện

chữ nhật kích
thớc b ì h
chịu
lực
nh
trên
hình
vẽ .
2F
1. Vẽ
biểu đồ
các
thành phần ứng
lực N
z
,
M
x
,

M
y
.
F
2. Vẽ
biểu đồ ứng suất
pháp tại
ti
ết

diện chân
q
cột.
Biết
F
2
= 5kN; q =
1,5kN/m
; b =
15cm
; h
=
b
20cm
;
H =
2,5
m; Bỏ
qua trọng
l

ợng
bản
thân
của
cột
Bài
13:
Cho
một cột chiu lực
nh hình
vẽ.
1.
Tính
ứng
suất
pháp lớn
nhất
và nhỏ nhất trên
mặt cắt
ngang nguy hiểm của cột
.
2. Vẽ
biểu đồ ứng suất
pháp
tại
mặt cắt
ngang nguy hiểm
của
cột.

Cho
biết
b= 15 cm; h= 20 cm;
F
2
=10 kN; H= 3 m;

=
20kN/m
3
.
F
1,5F
b
2
2
H
F1
Bài 14: Cột chịu nén lệch tâm nh hình
v
1. Xác
định
v
í

trí
đ

ờng
trung

hoà
ở
mặt cắt
ngang nguy
hiểm.
2. Kiểm
tra điều
ki
ện

bền
cho
cột.
Biết
b=22 cm ; h = 10cm;
Độ
lệch tâm
e=15 cm ; F= 5kN;
Vật liệu có
[
]
k
=2
kN/cm
;
[]
n
=8 kN/cm
. Bỏ qua trọng
l

ợng
cột.
Bài 16: Cột
tiết diện
chữ
nhật
rỗng có
bề
dày

là
hằng số, chịu
lực nh
trên
hình
vẽ.
1.Vẽ các
biểu đồ
lực
dọc và
mô
men uốn
nội lực
F
2
của
cột.
2. Xác
định ứng suất

pháp cực
trị
trên
ti
ết

diệ
n
chân
cột.
q
Biết
F
1
= 15 kN; F
2
= 10 kN; q=5 kN/m; h =
h
20cm;
b =
10cm;
H =
2,5m;

=1,5cm.
(Bỏ qua trọng
l

ợng

bản thân
cột).
3H
H
Bài 17:
Cho
cột có
kích
thớc và
chịu
F
tải trọng nh
hình
vẽ. Tại
mặt
cắ
t

ngang chân cột
hãy xác
định:
1. Các
thành phần ứng
l
ực.
2. Các
ứng suất
pháp
cực
tr

ị
.
Bit trng lng riờng ca ct l a
a
= 20 kN/m
3
; F = 50 kN; a
=
0,15m; H =
1m