Bài tập sức bền vật liệu - 3 pps

Chương 5. DẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT
NGANG
5.1. Tóm tắt lý
thuy
ế
t
5.1.1. Các định
ngh
ĩ
a
Xét mặt cắt ngang có diện tích A . Tại điểm M(x,y) thuộc mặt cắt
ngang
lấy vi phân diện tích
Da.
1. Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục
Ox:
S
x
=
∫
(
A)
ydA
(5.1)
Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục
Ox:
S
y
=
∫
(

A)
xdA
(5.2)
Đơn vị của mô men tĩnh là [chiều dài
3
], giá trị của nó có thể là
d
ươ
ng,
bằng 0, hoặc
âm.
2. Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục
Ox
I

x
=
∫
(
A)
y

2
dA
(5.3)
Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục
Ox
I

y

=
∫
(
A)
x
2
dA
(5.4)
d
ươ
ng
Đơn vị của mô men quán tính là [chiều dài
4
], giá trị của nó luôn
luôn
3. Mô men quán tính độc cực (mô men quán tính của mặt cắt ngang
A
đối với một điểm
)
I

p
=
∫
(
A)
ρ

2

dA =
I
x
+
I

y
(5.5)
Đơn vị của mô men quán tính độc cực là [chiều dài
4
], giá trị của nó
luôn
luôn
d
ươ
ng
4. Mô men quán tính ly tâm (mô men quán tính của mặt cắt ngang A
đối
với một hệ trục
)
I

xy
=
∫
(
A)
xydA (5.6)
A A
Đơn vị của mô men quán tính ly tâm là [chiều dài

4
], giá trị của nó có
th
ể
là dương, bằng 0, hoặc
âm.
5.1.2. Các khái
ni
ệ
m
1. Trục trung tâm của mặt cắt ngang : Là trục mà mô men tĩnh của
di
ệ
n
tích mặt cắt ngang đối với nó bằng
0.
2. Trọng tâm: là giao điểm của hai trục trung
tâm
3. Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục mà
mô
men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng
0.
4. Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt ngang: là
h
ệ
trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với trọng tâm mặt cắt
ngang.
5.1.3. Công thức xác định toạ độ trọng tâm của mặt cắt
ngang
Để xác định toạ độ trọng tâm của một hình phẳng, trước tiên phải chọn

h
ệ
trục ban đầu Oxy, biểu diễn kích thước và toạ độ trọng tâm C(x
C
, y
C
) trong
h
ệ
trục này. Ta
có:
S
x
=
y
C
A
;
y
C
=
S
x
A
(5.7)
Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều hình đơn giản A
i
với tọa độ trọng
tâm
mỗi hình đơn giản là C

i
( x
Ci
,y
Ci
) trong hệ toạ độ ban đầu,
thì:
x =
S

y
n
∑

x
Ci
A
i
=
i=1
;
y
=
S
x
n
∑

y
Ci

A
i
=
i=1
(5.8)
C
n
∑

A
i
i
=
1
C
n
∑

A
i
i=1
Chú
ý:
- Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối xứng thì
chọn
trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua
trọng
tâm của càng nhiều hình đơn giản càng
tốt.
- Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị

âm.
5.1.4. Công thức chuyển trục song
song
Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc
tr
ư
ng
hình học mặt cắt ngang là S
x
, S
y
, I
x
, I
y
, I
xy
. Hệ trục mới O'uv có
O'u//Ox,
O'v//Oy
và:
u = x +
b
; v = y +
a
(5.9)
u
x
v
y

x
v
y
b
v
y
dA
O
x
a
O
u
u
Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục O'uv
là:
S
u
= S
x
+
a.A
S
v
=
S

y
+
b.A
I =

I
+
2aS
+ a
2
A
(5.10)
u x
x
I =
I
+
2bS
+ b
2
A
v y
y
I
uv
=
I

xy
+
aS

y
+ bS
x

+
abA
Trường hợp đặc biệt, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm
của
mặt cắt ngang A (O đi qua trọng tâm) thì công thức (5.8) có dạng đơn giản
hơn:
S
u
=
a.A
S
v
=
b.A
I = I + a
2
A
I = I + b
2
A
I
uv
=
I

xy
+
abA
(5.11)
Chú ý: Dấu của khoảng cách a, b giữa hai trục mang dấu dương như

trên
hình vẽ ( u phía dưới x và v bên trái
y)
5.1.5. Công thức xoay
trục
Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc
trưng
hình học mặt cắt ngang là S
x
, S
y
, I
x
, I
y
, I
xy
. Hệ trục mới Ouv xoay một
góc
α
so với hệ trục Oxy như hình vẽ
(
α theo chiều ngược chiều kim đồng
hồ).
Quan hệ giữa hệ trục tọa độ mới và cũ
là:
u = xcosα +ysinα
;
v =
−

xsinα
+ycos
α
(5.12)
h
h
y
v
y



dA
u
v
u
O
x
x
Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục Ouv
là:
S
u
=
−
S

y
sin
α +

S
x
cos
α
S
v
=
S

y

cosα + S
x
sin

α
I + I I −
I
I =
x y
+
x y
cos2α
-I
u
2 2
xy
sin
2
α

(5.13)
I + I I −
I
I =
x y
−
x y
cos2
α
+I
v
2 2
xy
I −
I
I =
x y
sin 2
α
+ I
cos2
α
sin
2
α
uv
2
xy
5.1.6. Công thức tính mô men quán tính một số mặt cắt ngang đơn
giản

a. Hình chữ
nhật
I

x
=
bh
3
12
;
I

y
=
hb
3
12
(5.14)
b. Hình
tròn
4 4 4
4
I =
π
R
=
π
D
= 0,1D
4

;
I =
I
=
π
R
=
π
D
=
0,

05D
4
(5.15)
p
2
32
c. Hình tam
giác
bh
3
x y
4
64
I

x
=
12

y
y
(5.16)
x
x
x
b
b
D
C
y
x
x
x
x
h
h
h
b
a
x
5.2. Bài tập tự
giải
5.2.1. Xác định toạ độ trọng tâm của các mặt cắt ngang sau
đây
y y
y
x
x
1 2

3
c b
y
x
4
a
5.2.2. Xác định các mô men quán
tính
trọng tâm tiết
diện):
I

x
,

I

x
của các tiết diện sau (C
là
y
C
C
C
C
C
D
x
b
1

2
a
y
b
a





C
C
b
C
x
4
C
3
x
5.2.3. Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết
diện
100 40 10
200
10a
20
150 20
20
a
2a
R

4a
5.2.4. Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện
(đơn
vị đo trên hình vẽ bằng
mm)
30
100
20
100
150
120
5.2.5. Xác định các mô men quán tính chính trung tâm của các mặt
cắt
ngang ghép từ các thép góc đều cạnh. Cho
a=1cm.
a
a
100x100x8
160x160x10
5.2.6. Biết các mô men quán tính I
x
=365cm
4
, I
y
=117cm
4
và
I
u

=281,6cm
4
của thép góc không đều cạnh L125×80×12mm. Tìm các trục chính và các
mô
men quán tính chính của mặt cắt
ngang.
y
u
0
60
x
5.2.7. Tìm vị trí các trục quán tính chính trung tâm và tính các mô
men
quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép như hình
vẽ.
10
0x
10
0x
10
N
o
27
5.2.8. Xác định khoảng cách a để các mô men quán tính chính trung
tâm
của tiết diện ghép bằng
nhau.
N
o
20

N
o
24
a
a