Bài tập sức bền vật liệu - 4 pps

B

I
TậP
CHƯƠNG
4-
TRạNG
TH
áI

ứng suất
- CC THUYT
BN
4.1. Túm tt lý
thuy

t
1. Khỏi nim v trng thỏi ng sut ti mt
i

m
- Ni lc: phõn b trờn mt ct thuc vt th chu
l

c.
- ng lc: Hp lc ca ni lc trờn mt ct
ngang.
- ng sut: ti mt im trờn mt mt
c

t
- Trng thỏi ng sut: ti mt
i

m
- nh ngha trng thỏi ng sut ti mt im: l tp hp tt c nhng
thnh
phn ng sut trờn tt c cỏc mt i qua im
ú.
- Nghiờn cu trng thỏi ng sut ti mt im: tỏch phõn t lp phng
vụ
cựng bộ cha im ang xột, biu din cỏc thnh phn ng sut trờn tt c
cỏc
mt vuụng gúc vi ba trc to x, y, z. Trờn mi mt ng sut ton phn
cú
phng, chiu bt k c phõn tớch thnh ba thnh phn: 1 thnh phn ng
su

t
phỏp vuụng gúc vi mt ct v 2 thnh phn ng sut tip nm trong mt
c

t.
Ký hiu ng sut: ch s 1 phng phỏp tuyn; ch s 2 phng ca
ng
su

t
y

y

yz

zy

yx

xy

x



z
x





z
z
x


xz
Chớn thnh phn ng sut tỏc dng trờn 3 cp mt vuụng gúc vi ba trc
t

o
thnh mt ten-x hng hai gi l ten-x ng
su

t



x


xy


xz


T

=



yx



zx

y


zy


yz



z

(4.1)

Lý thuyt n hi ó chng minh rng: trng thỏi ng sut ti mt
i

m
hon ton xỏc nh nu bit c ten-x ng sut T

ti im
ú.
2. Mt chớnh, phng chớnh, ng sut
chớnh
a) Mt chớnh: L mt khụng cú tỏc dng ca ng sut
ti

p.
τ
α

xy
b) Phương chính: là phương pháp tuyến của mặt
chính.
c) Ứng suất chính: là ứng suất pháp tác dụng trên mặt
chính.
d) Qui ước gọi tên các ứng suất
chính:
Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng: tại 1 điểm luôn tồn tại ba mặt
chính
vuông góc với nhau với ba ứng suất chính tương ứng ký hiệu là
σ
1
,
σ

2
, σ
3
.
Theo
qui ước: σ
1
≥

σ

2
≥

σ

3
3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp trên hai mặt bất
kỳ
vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị bằng nhau, có chiều cùng hướng
vào
cạnh chung hoặc cùng đi ra khỏi cạnh
chung.
τ

xy
=
τ

yx
;
τ

xz
=
τ

zx
;
τ

yz
=
τ

zy
(4.2)
4. Trạng thái ứng suất
phẳng
• Các thành phần ứng suất trên mặt cắt song song với trục z (z
là
phương chính) và có pháp tuyến u hợp với trục x một góc α
Qui ước dấu (như hình vẽ dưới
đây):
- Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra khỏi phân
tố
- Ứng suất tiếp có chiều dương khi đi vòng quanh phân tố theo chiều
kim
đồng
hồ
- Góc α dương khi quay từ trục x đến trục u theo chiều ngược chiều
kim
đồng
hồ
y
σ
y
τ
yx
u
σ
u
σ
σ
x

x
τ
uv
τ
yx
τ
xy
x
σ

x
+

σ

y
σ

x
−

σ

y
σ
y
sin
2
σ

u
=
+
2
σ

x
−

σ

y
cos2
α

-
τ

xy
α
2
2
τ
uv
=
sin2
α
+
τ

xy
cos
α
2
(4.3)
• Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất
chính
1,2
0
(
2
⎨
2
σ
=

σ
σ
+

σ
=
x y
±
⎛

σ

x
−

σ

y
⎞
+
τ

2
(4.4)
max, min
1,2(3)
2
⎜
2
⎟
xy
⎝ ⎠
• Các phương chính: Hai phương chính vuông góc với
nhau
tg

2
α

= −

2
τ

xy
=>
α
=
⎧
α
0
trong đó
α
1
⎛
=
arctg
⎜

−
2
τ

xy
⎞
⎟
(4.5)
σ

x
−

σ

y
⎩
α
0
+

90
0
2
⎜
σ

x
−

σ

y
⎟
⎝ ⎠
• Ứng suất tiếp cực trị: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt
chính
góc
45
0
τ
= ±

⎛

σ

x
−

σ

y
⎞
+
τ

2
(4.6)
max,min
⎜
2
⎟
xy
⎝ ⎠
• Bất biến của trạng thái ứng suất phẳng: tổng các ứng suất pháp
trên
hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị không
đổi
σ

x
+

σ

y
=

σ

u
+

σ

v
=
const
(4.7)
Chú ý: Ngoài các công thức giải tích đã kể trên, người ta còn dùng đồ
th
ị
để biểu diễn trạng thái ứng suất (vòng tròn Mohr ứng
su
ấ
t).
5. Quan hệ ứng suất - biến dạng -Định luật
Hooke
a. Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng
dài
1
( )
ε

x
=
⎡
σ

x
−
μ
σ

y
+

σ

z
⎤
E
⎣ ⎦
ε
=
1
⎡
⎣
σ
−

μ

(

σ
+

σ
)
⎤
⎦
(4.8)
y
E
y x z
1
( )
ε

z
=
⎡
σ

z
−
μ
σ

x
+

σ

y
⎤
E
⎣ ⎦
b. Quan hệ ứng suất tiếp – biến dạng
góc
τ
γ
=
xy
xy
G
;
γ
=

τ

xz
xz
G
τ
;
γ
=
yz
yz
G
(4.9)
với E, μ, G là mô đun đàn hồi kéo (nén), hệ số Poisson, mô đun đàn

hồi
trượt, liên hệ với nhau bởi công
th
ứ
c:
G
=
E
2

(
1

+
μ

)
(4.10)
c. Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng thể
tích
θ
=

ε
+

ε
+

ε

(
1
−
2

μ

)
=
σ
+
σ
+

σ
)
(4.11)
x y z
E
x y z
6. Các điều kiện bền theo các thuyết
b
ề
n
+ Thuyết bền 1 (thuyết bền ứng suất pháp lớn
nh
ấ
t)
≤

[
σ

]
(4.12)
σ

3
k
σ
1
≤

[
σ

]
k
k
k
k
n
+ Thuyết bền 2 (thuyết bền biến dạng dài lớn
nh
ấ
t)
σ

t 2
=

σ
1
−

μ

(
σ

2
+

σ

3
)

≤

[
σ

]
+ Thuyết bền 3 (thuyết bền ứng suất tiếp lớn
nh
ấ
t)
σ

t 3
=
σ
1
−

σ

3
≤

[
σ

]
+ Thuyết bền 4 (thuyết bền thế năng biến đổi hình
dáng)
(4.13)
(4.14)
σ
=
σ

2
+

σ

2
+

σ

2
−

σ σ
−

σ σ
−

σ σ
≤

[
σ

]
(4.15)
t
4 1 2 3 1 2 1 3 2 3
k
+ Thuyết bền 5 (Thuyết bền
Mohr)
[
σ

]
σ

t 5
=
σ
1
−

[ ]
σ

3
≤

[
σ

]
(4.16)
σ
n
Phạm vi sử dụng các thuyết bền: Hiện chỉ sử dụng các thuyết bền 3, 4,
5
-
Thuyết bền 5 chỉ thích hợp với vật liệu
giòn
-
Thuyết bền 3, 4 chỉ thích hợp với vật liệu
d
ẻ
o.

4.2. Bài tập tự
giải
4.2.1. Ứng suất toàn phần trên mặt cắt m-n đi qua một điểm của vật thể ở
tr
ạ
ng
thái ứng suất phẳng p=3kN/cm
2
có phương tạo thành một góc
α
=
60
0
v
ớ
i
mặt cắt. Trên mặt vuông góc với mặt này chỉ có ứng suất tiếp. Tính ứ
ng
suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt hợp với mặt m-n góc 45
0
. Tính ứ
ng
suất pháp cực
tr
ị
.
τ
m
0
60

p
0
45
n
4.2.2. Trên hai mặt tạo với nhau góc 60
0
đi qua một điểm ở trạng thái ứng
su
ấ
t
phẳng có các thành phần ứng suất như trên hình vẽ. Hãy tính ứng
su
ấ
t
chính tại điểm đó, ứng suất pháp và biến dạng tương đối theo phương
u.
u
0
6 kN/cm
2
60
5
kN/cm
2
3
kN/cm
2
4.2.6.
Trên các
m

ặ
t

cắt đi qua một điểm của vật thể
ở trạng thái
ứng suất phẳng
có
m
4.2.3. Mt phõn t hỡnh hp xiờn tỏch ra t mt vt th chu lc trnh thỏi
ng
sut phng cú cỏc thnh phn ng sut tỏc ng trờn cỏc mt nh hỡnh
v

.
Tỡm cỏc ng sut chớnh v phng chớnh ca trng thỏi ng sut ti
i

m
ny.
6
kN/c
m
2
60
0
2 kN/cm
2
4.2.4. Tại một
điểm thuộc
trạng thái

ứng suất phẳng
ngời ta
đo
đ

ợc
các
biến
dạng
dà
i

tơng đối theo
các
phơng
m, n, và u
.Tính
các giá
trị ứng suất
chính và
các
phơng chính
tại
điểm này
.
Biết vật
li
ệu
có
E=2

ì
10
4

kN/cm
2
;

=0,3 ;

=2,81
ì
10
-4

;

=
-
2.81
ì
10
-4

;
m n

u
=1,625
ì

10
-4

.
n
45 45
n
m
0
0
0
0
60
60
4.2.5. Trờn cỏc mt ct i qua mt im ca vt th trng thỏi ng sut
ph

ng
cú cỏc thnh phn ng sut nh trờn hỡnh v. Xỏc nh cỏc ng sut
chớnh
v cỏc phng chớnh ti im
ny.
5kN/cm
2
2kN
/
cm
2
C
6kN

/
cm
2
A
2p
các
thành phần ứng
s
u
ấ
t

nh hình
vẽ .
1.Xác
định
các
ứng suất chính và
các
phơng chính
tại
điểm
này
2.Tính biến
dạng
dài tơng đối theo
các
phơng
c
h

ính.
Biết
E=2x10
4
kN/cm
2
;

=0,3
.

=60
0
.
8k
N/
cm
2
A
6kN/cm
2
2kN/cm
2
B
4.2.7.
Tại một
điểm thuộc
trạng thái
ứng suất phẳng
ngời ta

đo
đ

ợc
các
biến
dạng dài
tơng đối
theo các
phơng
u, v,
và
t
.Tính
các giá
trị
ứng
s
u
ất
chính và
các
phơng chính
tại
điểm này
.
Biết vật liệu
có E=2x10
4
kN/cm

2
;

=0,25
;

u
=2x10
-4
;

v
=2x10
-4
;

t
=10
-4
;
=30
0
.
v
u
t
4.2.8.
Một
thanh thép
BC có

mặt cắt hình vuông
đ

ợc

ngàm chặt
tại hai
đầu
và
chịu
áp lực trên các
m
ặ
t
bên trên
một đoạn có chiều
dài b
nh hình
v
ẽ
.
1. Xác
định phản
lực
ngàm theo phơng trục thanh
.
2. Xác
định
chuyển
vị

của tiết diện 1-1 theo phơng trục thanh
.
Biết
L=1 m ; E=10
4
kN/cm
2
; =0,3; p=10 kN/cm
2
;
diện
tí
ch

tiết
di
ện
thanh
là
a
ì
a=
4
ì
4
cm
2
.
2p
2p

1
B





C p
p
1
0,5
L
L
2L
L
2p
h
a
4.2.9. Một tấm hình chữ nhật bề dày
δ
đặt sát giữa hai vách thẳng đứng
song
song không biến dạng như hình vẽ. Tấm chịu lực kéo F và lực nén Q.
Cho
hệ số Poisson μ ; chiều dài a, b. Hãy xác định áp lực nén của tấm vào
vách
(bỏ qua lực ma
sát)
F F
Q

Q
F F
δ
b
4.2.10. Một thanh thép mặt cắt ngang hình vuông gồm hai đoạn, đoạn AB
có
cạnh là 4cm, đoạn BC có cạnh là 2cm. Thanh ngàm hai đầu và chịu áp
l
ự
c
p phân bố đều như trên hình vẽ. Xác định giá trị cho phép của [p] sao
cho
ứng suất pháp dọc trục lớn nhất của thanh không vượt quá
10kN/cm
2
.
Biết
μ
=0,3;
E=2
×
10
4

kN/cm
2
p
p
p
B

p
p
C





D
p
p
p
4cm
L L
2cm
4.2.11. Một khối trụ tròn A được nhét khít vào một lỗ khoét của một vật
c
ứ
ng
tuyệt đối B và chịu lực nén P=50 kN. Xác định áp lực nén vào vách
lỗ
khoét, các biến dạng Δh và ΔV của khối đồng. Biết d=4cm; μ=0,31;
E=1,1
×
10
4

kN/cm
2

.
P
B
A
d
4.2.12. Một khối thép hình lập phương cạnh a=5cm đặt khít trong rãnh của
một
khối thép lớn (coi như tuyệt đối cứng). Khối thép chịu áp lực p=
120
MN/m
2
.
Xác định áp lực nén vào vách rãnh và độ biến dạng thể tích tuyệt đối.
Ki
ể
m
tra độ bền của khối thép theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại và
thuy
ế
t
bền thế năng biến đổi hình dáng biết [σ]=140 MN/m
2
.
μ
=0.3; Bỏ qua
l
ự
c
ma sát giữa các mặt tiếp xúc của hai khối.
E=2

×
10
4

kN/cm
2
y
a
p
x
z