Bài toán vận tải 3 chỉ số

LI M U

Cựng vi s phỏt trin mnh m ca khoa hc k thut, cỏc bi toỏn ti u
xut hin ngy cng nhiu v tớnh phc tp ca chỳng ngy cng ln. Phm vi
v kh nng ng dng ca cỏc bi toỏn ti u cng ngy cng a dng v phong
phỳ.
Lp bi toỏn ti u quan trng c nghiờn cu u tiờn v c ng dng
nhiu nht l bi toỏn quy hoch tuyn tớnh (linear programming). ú l mụ
hỡnh toỏn hc ca mt lp rng ln cỏc bi toỏn ng dng trong kinh t v k
thut. Do ú cu trỳc ca lp bi toỏn quy hoch tuyn tớnh cú nhiu tớnh cht
rt tt v mt toỏn hc, ngi ta ó tỡm c cỏc thut gii rt hu hiu cho bi
toỏn ny. Nm 1947 nh toỏn hc M G.B. Dantzig ó nghiờn cu v xut ra
thut toỏn n hỡnh (simplex method) gii bi toỏn quy hoch tuyn tớnh.
Thut toỏn n hỡnh c phỏt trin mnh m trong nhng nm sau ú v c
xem l mt phng phỏp kinh in gii cỏc bi toỏn quy hoch tuyn tớnh.
õy l mt phng phỏp c s dng cú th núi l rng rói nht. Cú ba lý do
chớnh:
Mt l: Rt nhiu vn thc t, trong nhiu lnh vc khỏc nhau cú th a
v bi toỏn quy hoch tuyn tớnh.
Hai l: Trong nhiu phng phỏp gii cỏc bi toỏn phi tuyn, bi toỏn
tuyn tớnh xut hin nh l mt bi toỏn ph cn phi gii trong nhiu bc lp.
Ba l: Phng phỏp n hỡnh l phng phỏp hiu qu gii bi toỏn quy
hoch tuyn tớnh.
Ngy nay, bng thut toỏn n hỡnh v cỏc dng ci biờn ca chỳng, ngi
ta cú th gii rt nhanh cỏc bi toỏn QHTT c ln.
Lp cỏc bi toỏn vn ti l trng hp c bit ca quy hoch tuyn tớnh,
bi vy cú th dựng cỏc phng phỏp ca quy hoch tuyn tớnh gii. Tuy
nhiờn, do tớnh cht c thự riờng ca nú, ngi ta xõy dng cỏc phng phỏp
gii riờng.
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

Thụng thng khi núi n bi toỏn vn ti ta thng liờn h ngay n bi
toỏn vn ti hai ch s, bi õy l bi toỏn vn ti kinh in cú nhng phng
phỏp gii hay. Bờn cnh ú, ngi ta cũn xột mt s cỏc bi toỏn vn ti m
rng nh bi toỏn vn ti ba ch s, bi toỏn vn ti khong, bi toỏn vn ti a
mc tiờu v rt nhiu bi toỏn khỏc, ú l cỏc bin th ca bi toỏn vn ti kinh
in trờn.
Trong khuụn kh khoỏ lun ny, em xem xột v nghiờn cu mt s bi toỏn
m rng trong lp cỏc bi toỏn vn ti m rng ú. ú l cỏc bi toỏn: Bi toỏn
vn ti ba ch s (solid transport problem) khụng hn ch v cú hn ch kh
nng thụng qua, Bi toỏn vn ti ba ch s khong (interval solid transport
problem) v gii thiu mt s Bi toỏn vn ti a mc tiờu.









THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

CHƯƠNG I. BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Trong việc nghiên cứu các bài tốn tối ưu nói chung, giải tích lồi giữ một
vai trò rất quan trọng. Nó được sử dụng làm cơ sở tốn học trong việc xây dựng
các thuật tốn.
Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài tốn tối ưu được nghiên
cứu trọng vẹn cả về phương diện lý thuyết lẫn thực hành, Bài tốn vận tải là một

dạng đặc biệt của QHTT. Do đó chương này nhằm giới thiệu một số khái niệm
và kiến thức cơ bản về giải tích lồi và QHTT.
1.1 Một số khái niệm về giải tích lồi
1.1.1 Khơng gian Euclude
Một vector n chiều trên trường số thực là một bộ được sắp thứ tự gồm n số
thực x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
). Các x
i
, i =1, ..., n gọi là các thành phần hay toạ độ của
vector. Ví dụ x=(4,5,10,20).
Hai vectơ x và y gọi là bằng nhau x=y, nếu x
i
=y
i
, ∀i =1, ..., n.
Xét hai phép tốn trên các vector:
Phép cộng: x+y=(x
1
+y
1
, x
2
+y
2
, ..., x

n
+y
n
)
Phép nhân: αx=(αx
1
, αx
2
, ..., αx
n
), ∀α ∈ R
Khi đó tập hợp tất cả các vector n chiều trong đó xác định phép cộng các
vector, nhân một số thực với vector như trên tạo thành khơng gian tuyến tính n
chiều trên trường số thực R, ký hiệu R
n
.
Các vector x
(i)
∈R
n
, i =1, ..., m được gọi là độc lập tuyến tính nếu:
Nếu:
∑
=
=
m
i
i
i
xx

1
)(
α
với ít nhất một α
i
≠ 0 thì x gọi là tổ hợp tuyến tính của
các x
(i)
, i =1, ..., m. Hơn nữa nếu α
i
> 0, i =1, ..., m và
∑
=
=
m
i
i
1
1
α
thì x gọi là tổ hợp
lồi của các x
(i)
, i =1, ..., m.
Trong R
n
có n vector độc lập tuyến tính lập thành cơ sở của nó.
mix
i
i

m
i
i
,1,00
)(
1
==⇔=
∑
=
αα
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN

Giả sử e
(1)
, e
(2)
, ..., e
(n)
là một cơ sở của R
n
thì bất kỳ một vector x ∈ R
n
đều
là tổ hợp tuyến tính của các vector e
(1)
, e
(2)
, ..., e
(n)
. Ta gọi tích vô hướng của hai

vector x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
) và y=(y
1
, y
2
, ..., y
n
), ký hiệu, <x,y>, là một số bằng.
Tích vô hướng là một dạng song tuyến tính, đối xứng, không âm, tức là:
1. <x,y> = <y, x>. ∀x,y ∈ R
n

2. <x
(1)
+ x
(2)
, y >=< x
(1)
, y >+< x
(2)
, y>. ∀x
(1)
, x
(2)
, y ∈ R

n

3. <λx,y> = λ<x,y>. ∀x,y ∈ R
n

4. <x,x> ≥ 0, ∀x∈ R
n
dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x= 0.
Độ dài của vector x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
) là một số xác định bởi.
Khoảng cách giữa hai vector x và y là một số xác định bởi:
Không gian vector trong đó có tích vô hướng và khoảng cách như trên gọi
là không gian Euclude.
1.1.2 Tập compact
Dãy {x
(k)
}⊂R
n
k=1, 2, ... được gọi là có giới hạn x
(0)
khi k → ∞ và viết
lim x
(k)
= x
(0)

, nếu
Hình cầu tâm a bán kính ρ là tập S={x∈R
n
:x-a≤ ρ }. Hình cầu này tạo
nên ρ- lân cận của điểm a, hay gọi là lân cận của a.
* Nếu tập A⊂R
n
chứa cùng với điểm x một lân cận của nó thì x gọi là điểm
trong của A. Nếu trong lân cận bất kỳ của x ∈ A có các điểm của A và các điểm
không thuộc A thì x gọi là điểm biên của tập hợp A.
* Một tập A⊂R
n
gọi là giới nội nếu nó được chứa trong một hình cầu tâm O
nào đó, tức là tồn tại số ρ đủ lớn sao cho với mọi x∈A,x≤ ρ. Một dãy {x
(k)
}
hội tụ thì bao giờ cũng giới nội.
∑
=
=><=
n
i
i
xxxx
1
2
,
( )
0,lim
)0()(

=
∞→
xx
k
k
ρ
∑
=
=><
n
i
ii
yxyx
1
,
k → ∞
( ) ( )
∑
=
−=>−−<=−=
n
i
ii
yxyxyxyxyx
1
2
,,
ρ
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN

* Mt tp hp GR
n
c gi l m nu vi mi xG u tn ti mt hỡnh
cu tõm x nm gn trong G. Mt tp FR
n
c gi l úng nu vi mi dóy hi
t{x
(k)
} F ta u cú:
Fx
k
k


)(
lim

Mt tp cha mi im biờn ca nú l tp úng.
* Tp C c gi l tp Compact nu t mi dóy vụ hn {x
(k)
} thuc C u
cú th trớch ra mt dóy con {x
(ki)
} hi t ti phn t thuc C. Tp C l Compact
khi v ch khi C úng v gii ni. Tp Compact M ca tp úng C cng úng
trong C. Tp con úng M ca tp Compact cng Compact.
Hm f(x) liờn tc trờn tp Compact C thỡ s t cc tr trờn tp y.
1.1.3 Tp li
Cho hai im a, b R
n

. Ta gi ng thng qua a, b l tp im cú dng
xR
n
: x = a + (1-)b, R.
on thng ni hai im a, b l tp li cỏc im cú dng
xR
n
:x = x + (1-)y, 0 1
* Mt tp MR
n
c gi l mt a tp affine nu vi hai im bt k
x, y M thỡ ton b ng thng i qua hai im ú cng thuc M.
Tc l x + (1-)y M : x,y M, R.
* Mt siờu phng trong khụng gian R
n
l tp hp tt c cỏc im
x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
) R
n
tha món phng trỡnh tuyn tớnh
a
1
x
1
+ a

2
x
2
+ ... + a
n
x
n
= trong ú a
1
, a
2
, ..., a
n
, R
* Tp hp cỏc im x=(x
1
, x
2
, ..., x
n
) R
n
thon món bt phng trỡnh
tuyn tớnh a
1
x
1
+ a
2
x

2
+ ... + a
n
x
n
c gi l na khụng gian úng.
* Na khụng gian c cho bi a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ ... + a
n
x
n
< c gi l na
khụng gian m.
* Tp XR
n
c gi l tp li nu cựng vi vic cha hai im x, y nú
cha c on thng cha hai im y, tc l cha tt c cỏc im cú dng:
x + (1-)y, 0 1
Vớ d v cỏc tp li: Khụng gian Euclide, cỏc na khụng gian, mt phng,
na mt phng, hỡnh ch nht, hỡnh vuụng, hỡnh elip, hỡnh hp, hỡnh cu ...
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

* Mt tp hp l giao ca mt s hu hn cỏc na khụng gian úng c

gi l tp li a din.
Mnh : Giao ca hai tp li l mt tp li.
H qu 1. Giao ca mt s bt k tp hp li l tp li.
H qu 2. Min cha nghim ca mt h bt phng trỡnh tuyn tớnh dng.
l mt tp li (a din li). Mt tp li a din gii ni gi l mt a din.
Giao ca tt c cỏc tp li cha tp X gi l bao li ca nú, ký hiu [X]
1.1.4 Hm li
* Mt hm s f(x) xỏc nh trờn tp li C R
n
c gi l hm li trờn C,
nu vi mi x, y C v 0 1 ta cú f(x + (1-)y) f(x) + (1-)f(y).
* Hm f(x) c gi l hm li cht nu vi mi x, y C v 0 1 ta
cú. f(x + (1-)y) < f(x) + (1-)f(y).
* Hm f(x) c gi l hm lừm (lừm cht) nu - f(x) l hm li (li cht)
* Hm f(x) xỏc nh trờn C t cc tiu tuyt i ti x* C nu
f(x
*
) f(x): xC
* Hm f(x) t cc tiu a phng ti x*

C nu tn ti lõn cn m U ca
x* sao cho f(x*) f(x): xC U
Mnh 1: Bt k im cc tiu a phng no ca hm li trờn tp li
cng l im cc tiu tuyt i.
H qu: Bt k im cc i a phng no ca hm lừm cng l cc i
tuyt i.
Mnh 2: Cc i ca mt hm li (nu cú) trờn mt tp li cú im cc
biờn bao gi cng t ti mt im cc biờn.
1.2 Bi toỏn Quy hoch tuyn tớnh
QHTT bt ngun t nhng nghiờn cu ca nh toỏn hc Nga ni ting,

Vin s L.V. Kantorovich trong mt lot cỏc cụng trỡnh v bi toỏn k hoch
hoỏ sn xut, cụng b nm 1938. Nm 1947 nh toỏn hc M G.B. Dantzig ó
.
...
....................
...
...
2211
22222121
11212111







+++
+++
+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

nghiờn cu v xut phng phỏp n hỡnh (Simplex method) gii bi toỏn
QHTT. Nm 1952 phng phỏp n hỡnh ó c chy trờn mỏy tớnh in t

ca M.
1.2.1 Bi toỏn quy hoch tuyn tớnh
Bi toỏn tng quỏt.
nht quỏn lp lun ta xột bi toỏn tỡm cc i, sau ú ta xột cỏch chuyn
bi toỏn tỡm cc tiu sang tỡm cc i. Bi toỏn tng quỏt ca QHTT cú dng:
Ký hiu: A=(a
ij
)
mxn
l ma trn vi cỏc phn t a
ij
(1.1) gi l hm mc tiờu, (1.2) l cỏc rng buc.
Nu gp bi toỏn Min, tc l


Thỡ gi nguyờn rng buc v a v bi toỏn Max bng cỏch


Nu bi toỏn Max cú phng ỏn ti u l x* thỡ bi toỏn min cng cú
phng ỏn l x* v f
min
=-

f
max
Tht vy, vỡ x* l phng ỏn ti u ca bi toỏn Max nờn ta cú:



Chng t x* l phng ỏn ti u ca bi toỏn Min v

Dng chun v dng chớnh tc.
Ngi ta thng xột bi toỏn quy hoch tuyn tớnh di hai dng sau:
( )
Dx
xcxf
j
n
j
j

=

=
min
1
( )
Dx
xcxf
j
n
j
j

=

=
max
1

Dxxcxc
hayDxxcxcf
n
j
jj
n
j
jj
j
n
j
j
n
j
jj

=


==
==
,
,
11
*
11
*
max

=

==
n
j
jj
fxcf
1
max
*
min
( )
1.1max
1


=
j
n
j
j
xc
( ) ( )
( )
3.1,...,1,0
2.1...,,1,,,
1
njx
mibxa
j
i
n

j
jij
=
==

=
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

-Dng chun:





-Dng chớnh tc:





a bi toỏn QHTT v dng chun hoc dng chớnh tc.
Bt k QHTT no cng cú th a v mt trong hai dng chun hoc chớnh
tc nh cỏc phộp bin i tuyn tớnh sau:
i) Mt rng buc


Cú th a v rng buc bng cỏch nhõn hai v vi (-1) v
vit li
ii) Mt rng buc ng thc

cú th thay bng hai rng buc bt ng thc:
iii) Mt bin x
j
khụng b rng buc du cú th thay th bi hiu ca hai bin
khụng õm bng cỏch t:
iv) Mt rng buc bt ng thc

njx
mibxa
xc
j
i
n
j
jij
n
j
jj
,...,1,0
,...,1,
max
1
1
=
=



=

=
njx
mibxa
xc
j
i
n
j
jij
j
n
j
j
,...,1,0
,...1,
max
1
1
=
==



=
=

=

n
j

ijij
bxa
1
i
n
j
jij
bxa =

=1
i
n
j
jiji
n
j
jij
bxabxa

== 11
,
0,0, =
++
jjjjj
xxxxx với
ij
n
j
ij
bxa

=
1
ij
n
j
ij
bxa

=
1
.''
1
ij
n
j
ij
bxa

=
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

Cú th a v rng buc ng thc bng cỏch a vo bin ph y
i
0:


V nguyờn tc, ỏp dng nhiu ln cỏc phộp bin i (i), (ii) v (iii) ta cú th
a mt bi toỏn QHTT bt k v dng chun, sau ú ỏp dng nhiu ln phộp
bin i (iv) ta s a nú v dng chớnh tc.

Gii bi toỏn QHTT bng phng phỏp hỡnh hc.
Xột bi toỏn QHTT di dng chun vi hai bin s:
T ý ngha hỡnh hc ta bit rng mi bt phng trỡnh tuyn tớnh a
i1
x
1
+a
i2
x
2

b
i

xỏc nh mt na mt phng.
Nh vy min rng buc D c xỏc nh nh l giao ca mt na mt
phng v s l mt a giỏc li trờn mt phng. Phng trỡnh c
1
x
1
+c
2
x
2
=

khi


thay i s xỏc nh trờn mt phng cỏc ng thng song song vi nhau m ta

s gi l cỏc ng mc (vi giỏ tr mc

). Mi im D s nm
trờn mt ng mc vi mc
Bi toỏn t ra cú th phỏt biu theo ngụn ng hỡnh hc nh sau: trong s
cỏc ng mc ct tp D, hóy tỡm ng mc vi gớa tr ln nht.
Nu dch chuyn song song cỏc ng mc theo hng vector phỏp tuyn
ca
chỳng thỡ giỏ tr mc s tng, nu dch chuyn theo hng ngc li
thỡ giỏ tr mc s gim. Vỡ vy gii bi toỏn t ra, ta cú th tin hnh nh
sau.
Bt u t mt ng mc ct D, ta dch chuyn song song cỏc ng mc
theo hng vector phỏp tuyn (c
1
,c
2
) cho n khi vic dch chuyn tip theo lm
cho ng mc khụng cũn ct D na thỡ dng. im ca D (cú th nhiu im)
i
n
j
ijij
byxa =+

=
1



=

=+
=
+
2,1,0
,...,1,
max
2111
2211
jx
mibxaxa
D
xcxc
j
iii
( )
21
, xxx =
.
2211
xcxc +=

( )
21
, ccn =
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

nằm trên đường mức cuối cùng này sẽ là lời giải tối ưu cần tìm, còn giá trị của
hàm mục tiêu tại đó chính là giá trị tối ưu của bài tốn.
Ví dụ: Xét bài tốn:
f(x)= 4x

1
+5x
2
→max
Xét đường mức: 4x
1
+5x
2
=10. Đường mức này đi qua hai điểm (0,2) và
(2.5,0). Ta có x*=(3,2), f
max
=22







và x* là một đỉnh của D. Qua phương pháp hình học ta thấy rằng:
- Nếu quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu thì có ít nhất một đỉnh là
tối ưu. Sở dĩ nói ít nhất vì có trường hợp đường mức ở vị trí giới hạn trùng với
một cạnh của D thì tất cả các điểm trên cạnh này là phương án tối ưu, trong đó
có hai đỉnh.
- Nếu miền ràng buộc D giới nội và khác rỗng thì chắc chắn có phương án
tối ưu.
- Nếu miền ràng buộc khơng giới nội nhưng hàm mục tiêu bị chặn trên ở
trên miền ràng buộc thì cũng chắc chắn có phương án tối ưu.
1.2.2 Một số tính chất chung
Mệnh đề 1: Tập hợp tất cả các phương án của một bài tốn QHTT là tập lồi.

Tập lồi D các phương án của một bài tốn QHTT xác định bởi tồn bộ các
ràng buộc (1.2) và (1.3). Tập D có thể là rỗng, hoặc là một đa diện lồi hoặc là
một tập lồi đa diện khơng giới nội.
0,0
3
72
82
21
2
21
21
≥≥





≤
≤+
≤+
xx
x
xx
xx
y
n
*x
x
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN

Nu D l mt a din li thỡ bi toỏn cú phng ỏn, hn na giỏ tr ti u
ca hm mc tiờu trờn a din li l hu hn v vic tỡm phng ỏn ti u a
n vic chn cỏc im ca a din D cú s nh (im cc biờn hay phng ỏn
cc biờn) hu hn.
Mnh 2: Hm mc tiờu ca bi toỏn QHTT s t Max ti im cc biờn
ca tp D. Nu hm mc tiờu khụng ch nhn Max ti mt im cc biờn ca tp
li D m ti nhiu im cc biờn thỡ nú s t giỏ tr cc i ti nhng im l t
hp li ca cỏc im ú.
Ký hiu A
j
, j=1, ..., n l cỏc vector ct ca ma trn A.
Khi y h rng buc Ax =b cú th vit:
x
1
A
1
+ x
2
A
2
+ ... + x
n
A
n
= b
(1.4)

Mnh 3: Nu cỏc vector A
1
, A

2
, ..., A
k
l c lp tuyn tớnh v tho món
x
1
A
1
+x
2
A
2
+...+x
n
A
n
=b
trong ú x
j
>
0, j=1,...k thỡ im
x=(x
1
,x
2
,...,x
k
,0,...,0)
l im cc biờn ca tp li a din D.
Mnh 4: Nu x =(x

1
,x
2
,...,x
n
) l im cc biờn ca tp li a din D thỡ
cỏc vector A
j
trong biu din (1.4) ng vi cỏc thnh phn x
j
> 0 lp thnh h
c lp tuyn tớnh. Vỡ ma trn A cú m dũng nờn t õy suy ra rng im cc
biờn khụng cú quỏ m thnh phn dng.
Cỏc mnh 3 v mnh 4 cú th gp li thnh mt mnh sau:
Mnh 5: x =(x
1
,x
2
...,x
n
) l phng ỏn cc biờn ca QHTT di dng
chớnh tc thỡ cn v l cỏc vector ct A
j
ca ma trn A ng vi cỏc thnh phn
x
j
> 0 l c lp tuyn tớnh.
1.2.3 Phng phỏp n hỡnh gii bi toỏn QHTT
C s ca phng phỏp ny c G.B. Dantzig cụng b nm 1947 cú tờn
gi l phng phỏp n hỡnh. S d cú tờn gi nh vy l vỡ nhng bi toỏn u

tiờn c gii bng phng phỏp ú cú cỏc rng buc dng:

( )
5.1,...,1,0,1
1
njxx
j
n
j
j
==

=
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

M tp hp cỏc im xR
n
tho món cỏc rng buc trờn l mt n hỡnh
trong khụng gian n chiu.
ng li chung v c s ca thut toỏn.
i) ng li chung.
Phng phỏp n hỡnh da trờn hai nhn xột sau: nu bi toỏn QHTT cú
phng ỏn ti u, a din li D cú mt s hu hn nh. Nh vy phi tn ti
thut toỏn hu hn. Thut toỏn gm hai giai on:
- Giai on 1: Tỡm mt phng ỏn cc biờn (mt nh).
- Giai on 2: Kim tra iu kin ti u i phng ỏn tỡm c giai
on 1. Nu iu kin ti u c tho món thỡ phng ỏn ú l ti u. Nu
khụng, ta chuyn sang phng ỏn cc biờn mi sao cho ci tin giỏ tr hm mc
tiờu. Tip theo li kim tra iu kin ti u i vi phng ỏn mi.
Ngi ta thc hin mt dóy cỏc th tc nh vy cho n khi nhn c

phng ỏn ti u, hoc n tỡnh hung bi toỏn khụng cú phng ỏn ti u.
ii) C s ca thut toỏn.
Xột bi toỏn QHTT di dng chớnh tc:
< c, x > max
(1.6)

Ax

= b
(1.7)

x 0
(1.8)

Trong ú A l ma trn kớch thc mxn v gi s rng hng ca ma trn A
l m (iu ny khụng lm mt tớnh tng quỏt). x l mt vector.
Gi s x l mt phng ỏn cc biờn no ú. Ta ký hiu:
J* = {j| x
j
> 0}

(1.9)

Vỡ cỏc vector A
j
, jJ* l c lp tuyn tớnh nờn |J*| m (|J*| l s s phn
t
x
j
>0).

* Phng ỏn cc biờn x c gi l khụng thoỏi hoỏ nu | J* |= m, thoỏi
hoỏ nu |J*| < m.
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

Ta chn mt h thng m vector c lp tuyn tớnh {A
j
, j J}sao cho J
J*. H thng ú gi l c s ca x, cỏc vector {A
j
, j J} v cỏc bin {x
j
, j J}
c gi l cỏc vector v cỏc bin c s tng ng. Cỏc vector v cỏc bin A
j
,
x
j
, j J gi l cỏc vector v cỏc bin phi c s tng ng.
Nu x khụng thoỏi hoỏ thỡ tn ti mt c s duy nht, ú l J=J*.
Mi vector A
k
phi c s cú th biu din di dng t hp tuyn tớnh ca
cỏc vector c s:

Trong ú cỏc h s z
jk
c xỏc nh duy nht bi vic gii h phng
trỡnh:

Bi toỏn QHTT c gi l khụng thoỏi hoỏ nu tt c cỏc phng ỏn cc
biờn ca nú u khụng thoỏi hoỏ.
Gi s bi toỏn khụng thoỏi hoỏ v ta ó tỡm c mt phng ỏn cc biờn
x=(x
1
, x
2
,...x
m
, 0,...0) v c s ca nú A
1,
, A
2
,...A
m
.
i vi phng ỏn cc biờn ny ta cú:


vi giỏ tr ca hm mc tiờu:

Ta tớnh cỏc i lng sau:

Kớ hiu:

nh lý 1.1: (Tiờu chun ti u). Nu i vi phng ỏn cc biờn
x=(x
1
,x
2

,...,x
m
,0...0) cỏc iu kin sau c tha món

thỡ x* l phng ỏn ti u.
Chỳ ý:
( )
11.1,1, miaaz
ikij
Jj
jk
==


( )
10.1


=
Jj
jjkk
AzA
( )
12.1,....,1,0,
1
mjxbAx
j
m
j
jj

=>=

=
( )
13.1
1
0

=
=
m
j
jj
zxc
( )
14.1
1

=
=
m
j
kjjk
Zcz
( )
15.1
1
k
m
j

jjkkkk
cczcZ ==

=
( )
16.1,.....,2,1,0 nk
k
=
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

Trong (1.10) nu A
j
l mt vector c s, khi ú tn ti ch mt h s
z
jj
=1, tt c cỏc h s khỏc u bng 0 v ta cú:

v trong thc hnh kim tra iu kin ti u ca phng phỏp cc biờn x
ta ch cn kim tra

k
0, kJ
(1.18)

Ngi ta cú th chng minh rng nu bi toỏn khụng thoỏi hoỏ thỡ (1.16)
cng l iu kin cn ca ti u.
nh lý 1.2: Nu tn ti mt ch s k sao cho
k
< 0 thỡ ngi ta cú th tỡm
c ớt nht mt phng ỏn x m i vi nú Z > Z

0
.
Cụng thc tỡm phng ỏn x:
Nhõn (1.10) vi

no ú ta cú:
Ly (1.12) tr i (1.19) tng v ta cú:
Nu cỏc h s ca cỏc vector A
j
, j=1,.....,m v A
k
trong (1.20) khụng õm,
khi ú ta cú mt phng ỏn mi x m i vi nú hm mc tiờu f cú giỏ tr
Trong (1.12) tt c cỏc bin x
j
, j=1,...,m u dng. Vỡ vy cú th tỡm c

> 0 sao cho
Nu i vi ch s k m
k
< 0, tn ti z
jk
> 0, jJ thỡ giỏ tr

ln nht cũn
tho món (1.22) cú th xỏc nh bi h thc :


Nu ta thay

trong (1.20) v (1.21) bi

o
thỡ thnh phn th r s bng 0:
x
r
-

o
z
rk
=0.
( )
17.1,0 Jjcc
jjj
==
( )
23.10min
0
rk
r
jk
jk
j
Jj
z
x
z
z
x

=










>=


( )
29.3,.....,1,0:' mjzxx
jkjj
==

)19.1(
1
kj
m
j
jk
AAz

=

=

( )
)20.1(
1
bAAzx
kj
m
j
jkj
=+

=

)21.1('
0
k
ZZ =

)22.1(,.....,1,0:' mjzxx
jkjj
==

THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

Nh vy ta nhn c phng ỏn mi x vi c s A
j
, jJ\ {r}{k}=J.
Nu z
jk
0, j J thỡ tt c cỏc thnh phn x
j

-

z
jk
trong (1.22) s khụng
õm

>0, ngha l ta luụn cú phng ỏn

>0, nhng t (1.21) ta d thy giỏ
tr hm mc tiờu tin ti + khi

tin ti +.
Trong thc hnh Dantzig ó chng minh rng cỏc bc lp s gim ỏng k
nu ta thay vector A
s
tho món:
v khi ú vector A
r
c xỏc nh theo cụng thc:
Ta cú phng ỏn cc biờn mi x m cỏc thnh phn ca nú cú dng:
nu j r
nu j=r
v c s ca nú l
Trờn c s lý thuyt ó nhn c, ta chuyn sang xột thut toỏn n hỡnh.
Thut toỏn n hỡnh
Gi s ta ó a QHTT v dng chớnh tc:

cx=Z max
Ax=b

x0
Bc 1: Xõy dng bng n hỡnh xut phỏt. Tỡm mt phng ỏn cc biờn
xut phỏt x v c s ca nú A
j
, jJ.
Xỏc nh cỏc s z
jk
bi h phng trỡnh:
i vi mi k J , tớnh cỏc c lng:
{ }
( )
24.10min <=
kk
k
s
( )
25.1,0min
rs
r
js
js
j
s
z
x
Jjz
z
x
=

>=

( )






=
,/
,/
'
rsr
jsrsrj
j
zx
zzxx
x
( )
26.1

{ } { } ( )
27.1\', srJJjA
j
=
kj
Jj
jk
AAz =


kj
Jj
jkk
ccz =


THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

Cũn vi jJ thỡ
j
= 0.
Tớnh giỏ tr hm mc tiờu
Bc 2: Kim tra ti u.
Nu
k
0, k J thỡ x l phng ỏn ti u, dng thut toỏn. Trỏi li,
chuyn sang bc 3.
Bc 3: Tỡm vector a vo c s. Cú hai kh nng xy ra:
Tn ti kJ sao cho
k

< 0 v z
jk
0, jJ thỡ bi toỏn QHTT
khụng cú li gii ti u (Z khụng b chn trờn). Dng thut toỏn.
i vi mi kJ sao cho
k
< 0 u tn ti j

J: z
jk
> 0. Khi ú
chn ch s s theo tiờu chun:
a vector A
s
vo c s.
Bc 4: Tỡm vector loi khi c s. Xỏc nh
V a vector A
r
ra khi c s.
Bc 5: Chuyn sang phng ỏn cc biờn mi v c s mi. C s mi l
{A
j
,j J} vi J= J\{r} z{s}. Phng ỏn cc biờn mi x c tớnh theo
(1.26), khai
trin ca cỏc vộc t A
k
theo cỏc c s mi c tớnh theo cụng thc (1.28).
Quay lờn bc 2.
Chỳ ý. i vi bi toỏn min thỡ tiờu chun ti u l

k
0 (k) v vector A
s
c chn a vo c s theo cụng thc:
Cụng thc i c s v bng n hỡnh.
Ta xột cỏc cụng thc chuyn t phng ỏn cc biờn x vi c s J sang
phng ỏn cc biờn x vi c s J.
{ }
0min <=
kks


=
Jj
jj
xcZ
0
rs
r
js
rs
j
s
z
x
z
z
x
=

>= 0min

{ }
Jk
kks
>= ,0max
{ }
0,, = xbAxxc
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

Ta ó cú cụng thc (1.26) tớnh cỏc thnh phn ca x. Bõy gi ta thit
lp cụng thc tớnh cỏc s z
jk
. Ta cú:
Mt khỏc
Thay biu thc ca A
r
vo ta c:


õy l cụng thc biu din A
k
qua c s mi J =J\{r}{s}. Bi vy ta cú:
nu jr

nu j=r

Sau khi cú z
jk
ta tớnh:
d tớnh toỏn, trong mi bc lp ta thit lp bng n hỡnh (xem bng
1.1).
Nu tt c cỏc s trong dũng cui (tr hm mc tiờu f) u khụng õm, ngha
l
k
0 k, khi ú x l phng ỏn ti u.
Bng 1.1
c
j

C


s


Ph
ỏn

c
1
... c
j
... c
r

... c
m
... c
k
... c
s
... c
n
A
a
... A
j
... A
r
... A
m
...A
k
... A
s
... A
n
c
1
...
c
j
...
c
r

...
c
m

A
1
...
A
j
...
A
r
.
..
A
m

x
1
...
x
j
...
x
r
...
x
m

1

...
0
...
0
...
0

0
...
1
...
0
...
0

0
...
0
...
1
...
0

0
...
0
...
0
...
1

z
1k
...
z
jk
...
z
rk
...
z
mk

z
1s
...
z
js
...
z
rs
.
..
z
ms

z
1n
...
z

jn
...
z
rn
.
..
z
m
n

f
0... 0... 0... 0 ...
k
...
s
...
n








=
=

rjJj
jjss
rs
r
Jj
jjss
AzA
z
A
AzA
,
1
s
rs
rk
j
rjJj
js
rk
jk
rjJj
jjss
rs
rk
riJj
jjkk
A
z
z

A
z
z
zAzA
z
z
AzA +








=








+=

,,,


+==

rjJj
rrkjjkj
Jj
jkk
AzAzAzA
,,
( )
( )
,28.1
,/
,/
'






=
rsrk
jsrsrkjk
jk
zz
zzzz
z
( )
29.1''
'
kj
Jj

jkk
ccz =


THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

Nếu dòng cuối (khơng kể f ) có những số âm thì xem thử có cột nào cắt
dòng cuối ở một số âm mà mọi số trong cột đó đều âm hay khơng. Nếu có cột
nào như thế thì bài tốn khơng có phương án tối ưu. Nếu trái lại thì chọn cột sao
cho

Rồi chọn ( trong số các dòng cắt cột s ở những số dương ) dòng r sao cho:


Cột s gọi là cột quay. Vector A
r
được đưa vào cơ sở. Dòng r gọi là dòng
quay. Vector A
r
bị đưa ra khỏi cơ sở.
Phần tử z
rs
> 0 là giao của cột quay và dòng quay gọi là phần tử chính của
phép quay. Các phần tử z
js
, j ≠ r gọi là phần tử quay.
Các cơng thức (1.26), (1.29) gọi là các cơng thức đổi cơ sở. Bảng đơn hình
mới suy được từ bảng cũ bằng cách thay c
r
, A

r
trong dòng quay bằng c
s
, A
s
. Sau
đó thực hiện các phép biến đổi dưới đây:
i) Chia mỗi phần tử ở dòng quay cho phần tử chính được số 1 ở vị trí của z
rs
cũ. Kết quả thu được là dòng chính.
ii) Lấy mỗi dòng khác trừ đi tích của dòng chính nhân với phần tử quay
tương ứng được số 0 ở mọi vị trí còn lại của cột quay.
Dòng mới = dòng cũ tương ứng - dòng chính x phần tử quay
Lưu ý rằng sau phép quay thì ở vị trí ∆
s
ta thu được số 0 vì lúc này A
s
trở
thành vector đơn vị cơ sở, nghĩa là ta đã làm mất số âm nhỏ nhất ở dòng cuối
của bảng cũ.
Tồn thể phép biến đổi trên gọi là phép quay xung quanh phần tử chính z
rs
.
Sau khi thực hiện phép quay ta có một phương án mới và một cơ sở mới. Nếu
chưa đạt u cầ nghĩa là còn ∆
k
<1 thì ta lại tiếp tục q trình.
Chú ý: Trong bảng đơn hình ở bảng 1.1, khơng giảm tổng qt ta coi các
vector cơ sở được đánh số A
1

, A
2
, ..., A
m
, nghĩa là J = {1,2, ..., m}.


{ }
0min <∆∆=∆
kks










>==
0min
js
js
j
rs
r
r
z
z

x
z
x
θ
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN

CHƯƠNG 2. BÀI TỐN VẬN TẢI VÀ BÀI TỐN VẬN TẢI MỞ RỘNG

2.1 Bài tốn vận tải hai chỉ số
2.1.1 Phát biểu bài tốn và tính chất
Có m địa điểm A
1
, A
2
, ..., A
n
cùng sản xuất một loại hàng hóa với các
lượng hàng tương ứng là a
1
, a
2
, ..., a
n
.
Có n nơi tiêu thụ loại hàng hóa đó B
1
, B
2
, ..., B
n

với các u cầu tương ứng
là b
1
, b
2
, ..., b
n
.
Để đơn giản ta sẽ gọi
A
i
là điểm phát i, i=1, ..., m
B
j
là điểm thu j, j=1, ..., n
Hàng có thể chở từ một điểm phát bất kỳ (i) đến một điểm thu bất kỳ (j)
Ký hiệu:
c
ij
- chi phí chun chở một đơn vị hàng từ điểm phát (i) đến điểm thu (j).
x
ij
- lượng hàng chun chở từ (i) đến (j).
Bài tốn đặt ra là: xác định những đại lượng x
ij
cho mọi con đường (i,j) sao
cho tổng chi phí chun chở là nhỏ nhất với giả thiết là:
Tức là lượng hàng phát ra bằng đúng lượng hàng u cầu ở các điểm thu
(điều kiện cân bằng thu phát).
Dạng tốn học của BTVT là:

Hệ rằng buộc (2.2), (2.3) có m + n phương trình, m x n ẩn, tuy nhiên do (I)
nên bất kỳ phương trình nào trong m + n phương trình cũng là hệ quả của các
∑∑
= =
→
m
i
n
j
ijij
xc
1 1
)1.2(min













=>
==≥
==
==

∑ ∑
∑
∑
= =
=
=
m
i
n
j
jiji
ij
m
i
jij
n
j
iij
Ibaba
njmix
njbx
miax
1 1
1
1
)(;0,
)4.2(,1;,1,0
)3.2(,1,
)2.2(,1,
THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN

phương trình còn lại và có thể bỏ đi. Thật vậy, hệ rằng buộc có thể viết dạng
(2.5).
Giả sử ta cộng các phương trình từ thứ (m+1) tới thứ (m+n) rồi trừ đi tổng
các phương trình từ thứ (2) tới thứ (m) thì ta được phương trình thứ (1). Do đó
số phương trình cực đại của hệ (2.2), (2.3) không quá m + n-1.
Ký hiệu ma trận của hệ (2.5) là A.
X = (x
11
, x
12
, ..., x
ij,
..., x
mn
) - Vector cột mxn thành phần.
C = (c
11
, c
12
, ..., c
ij,
..., c
mn
) - Vector hàng mxn thành phần.
P = (a
1
,

a

2
, ..., a
m
, b
1
, b
2
, ..., b
n
) - Vector cột vế phải.
Ta đưa BTVT về dạng.
Ta gọi P
ij
là cột của ma trận A ứng với biến x
ij
. Vector này có 2 thành phần
bằng 1 tại dòng thứ i và dòng thứ m+j còn các thành phần khác bằng 0.
Định nghĩa 1: Vector X thỏa mãn (2.7), (2.8) được gọi là một phương án
của BTVT.
Một phương án đạt cực tiểu (2.6) gọi là phương án tối ưu.
Một phương án X gọi là phương án cơ sở nếu vector cột P
ij
của ma trận A
tương ứng với các x
ij
> 0 là độc lập tuyến tính.
Định lý 2.1: BTVT luôn có phương án tối ưu.
Chứng minh:
1) Trước hết ta chứng minh BTVT luôn có phương án.
2) Sau đó chứng minh rằng miền rằng buộc giới nội.

)5.2(
)(
.....
)2(
)1(...
)(...
.....
)2(...
)1(...
21
222212
112111
21
222221
111211
















+=++
+=++
+=+++
=+++
=+++
=+++
nm
m
m
m
bxxx
bxxx
bxxx
axxx
axxx
axxx
nmnnn
m
m
mmnmm
n
n





≥
=
><

)8.2(0
)7.2(
)6.2(,min
X
PAX
XC
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN

a) t :
Ta thy:
Lp thnh mt phng ỏn, vỡ rng x
ij
0
b) Vỡ cỏc h s trong (2.2), (2.3) v cỏc i lng a
i
, b
j
khụng õm v hu
hn nờn mi x
ij
u b chn trờn. Thc vy x
ij
khụng th ln hn cỏc s tng
ng a
i
, b
j
.
Vỡ vy min rng buc l khỏc rng v gii ni (a din li). a din ny
cú 1 s hu hn nh. Theo thut toỏn n hỡnh, xut phỏt t mt phng ỏn cc

biờn, sau mt s hu hn bc ta phi i ti mt phng ỏn cc biờn ti u.
nh ngha 2:
- Mt ụ (i,j) m x
ij
gi l ụ s dng.
- Tp cỏc ụ sau c gi l mt dõy truyn trong T
(i
1
,j
1
), (i
1
,j
2
), (i
2
,j
2
), (i
2
,j
3
), ..., (i
s
,j
s+1
)
(2.9)

hoc: (i

1
,j
1
), (i
2
,j
1
), (i
2
,j
2
), (i
3
,j
2
), ..., (i
s+1
,j
s
)
(2.10)

Mi cp ụ lin nhau trong dõy truyn c xp trong mt hng hoc trong
mt ct.
Dõy truyn c gi l kớn hay l mt chu trỡnh nu: j
s+1
= j
1
hoc i
s+1

= i
1

Gi G l tp hp cỏc ụ s dng:
G = {(i,j) | x
ij
> 0 } |G| m+n-1
- Mt phng ỏn X ca BTVT ó cho c gi l khụng thoỏi húa nu
|G| = m+n-1
Ngc li l thoỏi húa nu |G| m+n-1
- Nu mt tp hp con thc s ca G lp thnh chu trỡnh thỡ ta cú mt chu
trỡnh con ca G.
njmi
S
ba
x
ji
ij
,1;,1, ===
njb
S
ab
S
ba
x
mia
S
ba
S
ba

x
j
m
i
ij
m
i
ji
m
i
ij
i
n
j
ji
n
j
ji
n
j
ij
,1,
,1,
1
11
1
11
====
====

=
==
=
==
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

nh lý 2.2: H thng vector P
ij
ca BTVT l c lp tuyn tớnh khi v ch
khi cỏc ụ tng ng vi cỏc vector ca h thng khụng to thnh chu trỡnh.
Chng minh: Cn. Ký hiu P
ij
= { P
ij
(i,j) G}. Gi s P
ij
l h c lp
tuyn tớnh, ta phi chng minh G khụng lp thnh chu trỡnh.
Bng phn chng, nu cú mt chu trỡnh to nờn bi cỏc ụ tng ng vi
mt s vector ca h P
ij
thỡ nú cú dng:
(i
1
,j
1
), (i

1
,j
2
), (i
2
,j
2
), (i
2
,j
3
), ..., (i
s
,j
s+1
) vi j
s+1
= j
s

khi ú rừ rng:
P
i1,j1
- P
i1j2
+ P
i2j2
- ... - P
isjs
- P

isj1
= 0
tc l h P
ij
ph thuc tuyn tớnh, mõu thun vi gi thit.
: Gi s G khụng lp thnh chu trỡnh. Ta phi chng minh h P
ij
l c
lp tuyn tớnh.
Bng phn chng, gi s h P
ij
l ph thuc tuyn tớnh. Mi vector P
ij
cú
dng:
(
1
, ...,
i
, ...,
m
,
m+1
, ...,
m+j
, ...,
m+n
)
vi thnh phn
i

=
m+j
= 1 cũn cỏc ta khỏc bng 0.
Nu h P
ij
ph thuc tuyn tớnh, tc l cú mt t hp tuyn tớnh ca cỏc
vector P
ij
bng 0. iu ú cú ngha l trong thnh phn ca t hp ny ngoi
vector dng P
i1j1
, phi cú cỏc vector P
i1jk
v vector P
iej1
. Nhng iu ú chng t
rng cỏc ụ {(i,j)} tng ng vi h thng P
ij
lp thnh chu trỡnh.
iu ny trỏi vi gi thit. Vy h P
ij
l c lp tuyn tớnh.
H qu: Vector X l phng ỏn cc biờn khi v ch khi tp cỏc ụ s dng
tng ng khụng lp thnh chu trỡnh.
Chng minh: Coi BTVT l mt QHTT thỡ X l phng ỏn cc biờn khi v
ch khi cỏc vector P
ij
ng vi x
ij
> 0 l c lp tuyn tớnh, theo nh lý 2.2 thỡ

iu ú xy ra khi v ch khi tp cỏc ụ s dng tng ng khụng lp thnh chu
trỡnh.
nh lý 2.3: Gi s X l mt phng ỏn ca BTVT v tp G ca nú lp
thnh chu trỡnh, th thỡ bao gi cng cú th iu chnh c X chuyn sang
mt phng ỏn mi X khụng xu hn m tp G khụng lp thnh chu trỡnh.
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

Chứng minh:
Giả sử K là một chu trình nào đó của G ta phân ra trong K tập các ô chẵn
K
+
và tập các ô lẻ K
-
(xen kẽ nhau). Không giảm tổng quát có thể coi:
(nếu không ta quy ước lại các ô chẵn và lẻ trên K)
Ký hiệu: θ = min{x
ij
(i,j) ∈ K
-
}
(2.12)

Ta chuyển X → X’ như sau:
Rõ ràng X’ vẫn còn là phương án của BTVT vì rằng:
Vì mỗi hàng hay cột chỉ chứa 2 ô sử dụng nên θ và (-θ) triệt tiêu nhau.
Hàm mục tiêu không tăng vì
Do phép biến đổi (2.13) và θ xác định bởi (2.12), sẽ có một ô thuộc K
-

trước đây x

ij
> 0 bây giờ x’
ij
= 0. Ta loại ô đó ra khỏi G’ do đó khỏi K và phá
được chu trình K. Nếu còn chu trình nào khác ta lại phá bằng cách tương tự. Vì
vậy ta luôn có thể giả thiết rằng phương án đang xét có các ô sử dụng không lập
thành chu trình.
Hệ quả: Mọi phương án X đều có thể chuyển về phương án cức biên X’
không xấu hơn X.
2.1.2 Cách tìm phương án xuất phát
)11.2(
_
),(),(
∑∑
∈∈
≤
+
K
c
K
c
ji
ij
ji
ij
)13.2(
),(,
),(,
),(,








∉
∈−
∈+
=
−
+
Kjix
Kjix
Kjix
x
ij
ij
ij
ij
θ
θ












==
==
∀≥
∑
∑
=
=
m
i
jij
n
j
iij
ij
njbx
miax
jix
1
'
1
'
'
,1,
,1,
),(,0
),()(',
),(

'
),(
'
XC
K
xc
K
cxcxcXC
i j
ji
ijij
ji
ijijij
i j
ijij
≤−++=><
∑∑ ∑∑∑∑
−+
∈∈
θ
THÖ VIEÄN ÑIEÄN TÖÛ TRÖÏC TUYEÁN

Phng phỏp gúc tõy bc.
Lp bng T, ta ghi s liu vo bng ú, luụn xut phỏt t ụ gúc trờn, bờn
trỏi.

b
j

a

i
b
1
... b
j
... b
n
a
1
x
j

...
a
i


...
a
m


Ta bt u phõn phi vo ụ (1,1) lng hng:
x
11
= min(a
1
, b
1
)

- Nu x
11
= a
1
thỡ ta xúa hng 1. Lp bng mi cú b
1
= b
1
- x
11
. Tip tc
quỏ trỡnh, bt u t ụ (2,1).
- Nu x
11
= b
1
thỡ ta xúa ct 1. Lp bng mi cú a
1
= a
1
- x
11
. Tip tc quỏ
trỡnh, bt u t ụ (1,2).
Mt ln phõn phi nh vy ta c mt ti lng x
ij
> 0 v b bt i c
mt hng (hoc ct) ca bng T. Bng mi cui cựng ch cũn li mt ụ (m, n) v
do cõn bng thu phỏt nờn cc ti t c hng, c ct sau khi phõn phi lng
cũn li. Do ú ta xúa c ct n v hng m i. Tng s hng v ct l m + n mi

ln phõn phi b i c 1 hng (hoc ct), ln cui cựng b c ct n v hng m,
nờn phng ỏn thu c cú khụng quỏ m + n - 1 ụ s dng, khụng lp thnh chu
trỡnh, tc l cú phng ỏn cc biờn.
Phng phỏp cc phớ ti thiu trong ton bng.
Quỏ trỡnh bin i v phõn phi hon ton ging nh phng phỏp trờn ch khỏc
l trong mi bc ta khụng chn ụ gúc tõy bc m chn ụ cú cc phớ nh
nht trong ton bng.
Phng phỏp cc tiu cc phớ theo hng.
Bt u t hng 1: Gi s c
1s
= min c
ik
, k = 1, ..., n
Phõn phi x
is
= min(a
1
, b
s
).
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN

Nu x
1s
= a
1
thỡ xúa dũng 1 ri tip tc quỏ trỡnh t dũng 2, b
s
= b
s

- x
1s
.
Nu x
1s
= b
s
thỡ xúa ct s ri tip tc quỏ trỡnh, v ly a
1
= a
1
- x
1s
.
Phng phỏp cc tiu cc phớ theo ct.
Tng t nh phng phỏp trờn, nhng xut phỏt t ct th 1.
Dựng cỏc phng phỏp trờn tỡm phng ỏn xut phỏt, trong mt s ln
cỏc trng hp, s bc lp dn ti nghim gim i khỏ nhiu, nht l khi gii
BTVT m s im phỏt v thu rt ln.
2.1.3 Thut toỏn
Tiờu chun ti u
nh lý 2.4: Phng ỏn X ca BTVT l ti u cỏc s u
i
, i = 1, ..., m v
v
j
, j = 1, ..., n sao cho:
u
i
+ v

j
c
ij
(i,j)T

(2.14)
u
i
+ v
j
= c
ij
, nu x
ij
> 0

(2.15)
Cỏc s u
i
, v
j
gi l cỏc th v ng vi cỏc im phỏt v thu i,j.
Chng minh:
a) : Gi s cỏc s u
i
, v
j
tha món (2.14), (2.15). Ta phi chng minh
phng ỏn X = (x
ij

)
mxn
tng ng l ti u. Mun vy, phi chng
minh:
<C, X> <C, X> X = (x
ij
)
mxn


(2.16)
Mt khỏc do (2.14), (2.15) tc l:
u
i
+ v
j
< c
ij
vi x
ij
= 0
u
i
+ v
j
= c
ij
vi x
ij
> 0

Nờn ta cú:


T (2.17) v (2.18) ta cú (2.16).
b) Cn:
)17.2()()'(
'''

+=+=+=
j
jj
i
ii
i
ij
j
j
j
ij
i
i
i j
ijji
i j
ijij
bvauxvxuxvuxcXf
)18.2()()(
'

+=+==
j
jj
i i
ii
j
ijji
i j
ijij
bvauxvuxcxf
(x
ij
> 0

)
THệ VIEN ẹIEN Tệ TRệẽC TUYEN