Phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm

Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
Lời nói đầu
Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếu
trong cuộc sống con nguời.
Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác,
toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng.
Giải tích số hay còn gọi là phơng pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh vực
toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phơng trình, các bài toán
xấp xỉ hàm số và các bài toán tối u.
Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm số d-
ới dạng phức tạp nh dạng biểu thức hoặc một hàm số dới dạng bảng bằng
những hàm số đơn giản hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ hàm ngời ta thờng nghiên
cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp xỉ trung bình ph-
ơng.
Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phơng pháp xấp xỉ trung
bình phơng hay còn gọi là phơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm
trong thực nghiệm.
Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
khoa Toán tin ứng dụng- Trờng đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm giúp
đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án. Đặc biệt
em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS Lê Trọng Vinh, ngời đã
trực tiếp tận tình hớng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu trong suốt quá
trình em làm đồ án tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Bùi Văn Bằng
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 1 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

--------------------------------------------------------------------------------------------
Chơng I
PHƯƠNG PHáP BìNH PHƯƠNG TốI THIểU
LậP CÔNG THứC Từ THựC NGHIệM
1.1 Giới thiệu chung
1.1.1 Đặt vấn đề
Có rất nhiều phơng pháp khác nhau để lập những đa thức từ thực nghiệm
mà ta đã biết đến nh phép nội suy để lập đa thức cấp n:
( )x

(đại số hoặc lợng
giác) xấp xỉ hàm số
( )y f x=
mà ta đã biết các giá trị của hàm này là
i
y y=

tại các điểm
i
x x=
. Phơng pháp nội suy nói trên khi sử dụng trong thực tiễn
thì có những điều cần cân nhắc là:
1. Trong các đa thức nội suy
( )x

ta đòi hỏi
i
x(

) =

i
y
. Tuy nhiên sự đòi
hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế. Bởi vì các số
i
y
là giá trị
của hàm
( )y f x=
tại các điểm
i
x x=
, trong thực tế chúng ta cho dới
dạng bảng và thờng thu đợc từ những kết quả đo đạc hoặc tính toán
trong thực hành. Những số y
i
này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị
đúng
( )
i
f x
của hàm
( )y f x=
tại
i
x x=
. Sai số mắc phải
( )
i i i
y f x

=

nói chung khác không. Nếu buộc
( )
i i
x y

=
thì thực chất đã đem vào bài
toán các sai số
i

của các số liệu ban đầu nói trên (chứ không phải là
làm cho giá trị của hàm nội suy
)(x

và hàm
( )f x
trùng nhau tại các
điểm
i
x x=
).
2. Để cho đa thức nội suy
)(x

biểu diễn xấp xỉ hàm
( )f x
một cách sát

thực đơng nhiên cần tăng số mốc nội suy
i
x
(nghĩa là làm giảm sai số
của công thức nội suy). Nhng điều này lại kéo theo cấp của đa thức nội
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 2 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
suy tăng lên do đó những đa thức nội suy thu đợc khá cồng kềnh gây
khó khăn cho việc thiết lập cũng nh dựa vào đó để tính giá trị gần đúng
hoặc khảo sát hàm
( )f x
.
1.1.2 Bài toán đặt ra
Chính vì những lý trên nên phơng pháp tìm hàm xấp xỉ có thể sẽ sát thực
hơn thông qua hai bài toán:
Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ).
Giả sử đã biết giá trị
i
y

( 1,2,..., )=i n
của hàm
( )=y f x
tại các điểm t-
ơng ứng
i
x x=

. Tìm hàm
( )
m
x

xấp xỉ với hàm
f(x)
trong đó

0
( ) ( ).

=
=

m
m i i
i
x a x
(1 - 1)
với
)(x
i

là những hàm đã biết,
i
a
là những hệ số hằng số.
Trong khi giải quyết bài toán này cần chọn hàm
)(x

m

sao cho quá trình tính
toán đơn giản đồng thời nhng sai số
i

có tính chất ngẫu nhiên (xuất hiện khi
thu đợc các số liệu
i
y
) cần phải đợc chỉnh lý trong quá trình tính toán. Trong
bài toán tìm hàm xấp xỉ trên việc chọn dạng của hàm xấp xỉ
)(x
m

là tùy thuộc
ý nghĩa thực tiễn của hàm
f(x)
.
Bài toán 2 (tìm các tham số của một hàm có dạng đã biết).
Giả sử đã biết dạng tổng quát của hàm

0 1
( , , ,..., )
m
Y f x a a a=
(1
2)
Trong đó:
i

a

( 1,2,..., )=i m
là những hằng số.
Giả sử qua thực nghiệm ta thu đợc n giá trị của hàm
=
i
y y

( 1,2,..., )=i m
ứng
với các giá trị
i
x x=
của đối. Vấn đề là từ những số liệu thực nghiệm thu đợc
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 3 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
cần xác định các giá trị của tham số
0 1
, ,...,
m
a a a
để tìm đợc dạng cụ thể của
biểu thức (1 2):
( )=y f x
về sự phụ thuộc hàm số giữa
y

và
x
.
1.2 Sai số trung bình phơng và phơng pháp bình phơng tối thiểu tìm xấp
xỉ tốt nhất với một hàm
1.2.1 Sai số trung bình phơng
Những hàm trong thực nghiệm thu đợc thờng mắc phải những sai số có
tính chất ngẫu nhiên. Những sai số này xuất hiện do sự tác động của những
yếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu đợc các giá trị của hàm.
Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa hai hàm trong thực
nghiệm ta cần đa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó
chấp nhận đợc trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên
(nghĩa là gạt bỏ đợc những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của thực
nghiệm). Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta đa ra
phải khá bé trên miền đang xét.
Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả có
tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên đợc gọi là sai số trung bình phơng.
1.2.2 Định nghĩa
Theo định nghĩa ta sẽ gọi
n

là sai số (hoặc độ lệch) trung bình phơng của
hai hàm
( )f x
và
( )

x
trên tập
1 2

( , ,..., )=
n
X x x x
, nếu

n

=

=

n
i
ii
xxf
n
1
2
)]()([
1

. (2
1)
1.2.3 ý nghĩa của sai số trung bình phơng
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 4 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình phơng ta giả thiết

( )f x
,

(x) là
những hàm liên tục trên đoạn
[ ]
,a b
và
1 2
( , ,..., )=
n
X x x x
là tập hợp các điểm
cách đều trên
[ ]
,a b

1 2
...= < < < =
n
a x x x b

Theo định nghĩa fích phân xác định ta có

lim
n
n


=

(2 2)
Trong đó:

2

=
ab
1

dxxxf
b
a


2
)]()([

. (2 3)
Giả sử
( ) ( )f x x


có trên
[ ]
,a b
một số hữu hạn cực trị và

là một số dơng
nào đó cho trớc. Khi đó trên
[ ]

,a b
sẽ có k đoạn riêng biệt
[ ]
,
i i
a b

( 1,2,..., )=i k
sao cho

( ) ( )f x x


(với
[ ]
,
i i
x a b
,
( 1,2,..., )=i k
)
Gọi

là tổng các độ dài của k đoạn nói trên.
Với n đủ lớn và
n

đủ bé, từ (2 2) ta suy ra

<

(

bé tùy ý). Từ (2 3)
suy ra

)(
2
ab


>


b
a
dxxxf
2
)]()([






=

k
i
b

a
i
i
dxxxf
1
2
)]()([





2
.
Do đó

2
( )




<
ữ

b a
.
Nghĩa là tổng độ dài

của các đoạn

[ ]
,
i i
a b
sẽ bé tùy ý.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 5 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
Tóm lại: với
n

đủ bé (n khá lớn) thì trên đoạn
[ ]
,a b
(trừ tại những điểm của
những đoạn
[ ]
,
i i
a b
mà có tổng độ dài

bé tùy ý), ta có

( ) ( )f x x

<
.

Trong đó

là một số dơng tùy ý cho trớc.
Từ nhận xét trên ta rút ra những ý nghĩa thực tiễn của sai số trung bình ph-
ơng nh sau:
Nếu sai số trung bình phơng
n

của hai hàm f(x) và
)(x

trên tập hợp n
điểm
[ ]
,a b X
(n đủ lớn) mà khá bé thì với tuyệt đại đa số giá trị của x trên
[a, b] cho sai số tuyệt đối giữa f(x) và
)(x

khá bé.
1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng
Từ ý nghĩa của sai số trung bình phơng nói trên
Ta nhận thấy nếu các giá trị
i
y

( 1,2,..., )=i n
của hàm
( )f x
tại các điểm

i
x

và nếu sai số trung bình phơng

n

=

=

n
i
ii
xy
n
1
2
)]([
1

khá bé thì hàm
)(x

sẽ xấp xỉ khá tốt với hàm
( )f x
.
Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phơng làm tiêu chuẩn đánh
giá nh trên gọi là xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng.
Rõ ràng: Nếu hàm

( )f x
thu đợc bằng thực nghiệm (nghĩa là
( )
i i
y f x
) thì
cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do
những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm). Đó là lý do giải thích lý do vì sao
phơng pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phơng đợc sử dụng rộng rãi trong
thực tiễn.
Ta xét trờng hợp
( )

x
là phụ thuộc các tham số
0 1
, ,...,
m
a a a

0 1
( ) ( ; , ,..., )

=
m
x x a a a
. (2 4)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 6 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48

Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
Trong số những hàm
( )

x
có dạng (2 4) ta sẽ gọi hàm

0 1
( ) ( ; , ,..., )

=
m
x x a a a
(2 5)
là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng với hàm
( )f x
nếu sai số trung
bình phơng
( )

x
với
( )f x
là bé nhất. Cụ thể là

0 1
0 1
( , ,..., ) min ( , ,..., )

=
m
n n m
a a a a a a
trong đó

[ ]
2
0 1 0 1
1
1
( , ,..., ) ( ; , ,..., )

=
=

n
n m i m
i
a a a y x a a a
n
. (2
6)
Từ (2 6) ta nhận thấy (2 5) tơng đơng với đẳng thức:
[ ] [ ]
2 2
0 1 0 1
1 1
( ; , ,..., ) min ( ; , ,..., )

= =
=

n n
i m i m
i i
y x a a a y x a a a
. (2
7)
Từ đó việc tìm hàm xấp xỉ tốt nhất (trong số những hàm dạng (2 4) với hàm
( )f x
) sẽ đa về tìm cực tiểu của tổng bình phơng
2
1

=

n
i
i
trong đó

0 1
( ; , ,..., )

=
i i m
y x a a a
.
Bởi vậy phơng pháp tìm xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình còn gọi là ph-

ơng pháp bình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 7 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
Chơng II
Các phơng pháp xấp xỉ
2.1 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng
2.1.1 Định nghĩa
Giả sử cho hệ hàm:
0 1
( ), ( ),..., ( ),...

m
x x x
Ta sẽ gọi hàm
( )

m
x
là đa
thức suy rộng cấp m nếu
( )

m
x
có dạng

0

( ) ( )

=
=

m
m i i
i
x a x
. (3 1)
Trong đó
0 1
, ,...,
m
a a a
là các hệ số hằng số. Hệ hàm
{ ( )}

m
x
đã cho gọi là hệ
cơ bản.
2.1.2 Nội dung
Theo phần trên về tìm hàm xấp xỉ giả sử đã biết n giá trị thực nghiệm
i
y

( 1,2,..., )=i n
của hàm
( )=y f x

tại các điểm tơng ứng
i
x
. Khi đó việc tìm
một đa thức suy rộng có dạng (3 1) mà xấp xỉ với hàm
( )f x
nói trên
{ }
[ ]
1 2
, ,..., ,
n
x x x a b
sẽ chuyển về việc tìm m+1 hệ số
i
a
trong (3 1).
Để quá trình tính toán đợc đơn giản ta xét đa thức suy rộng
( )

m
x
với cấp
m không lớn lắm. Tuy nhiên ta vẫn phải chọn n đủ lớn do đó có thể giả thiết
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 8 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
n

m+1. Khác với bài toán nội suy ở đây ta không cần xác định m+1 giá trị
i
a
từ n phơng trình:
( )

=
i m i
y x

( 1,2,..., )=i n
(vì số phơng trình thờng nhiều
hơn số ẩn).
Ta sẽ áp dụng phơng pháp bình phơng tối thiểu để tìm đa thức suy rộng
0
( ) ( )

=
=

m
m i
i
i
x a x
xấp xỉ tốt nhất với hàm
( )f x
trên
[ ]

,a b
.
Trong (2 7) ta coi

0 1
( ; , ,..., )
m
x a a a

=
)(x
m

=

=
m
i
ii
xa
0
)(

.
Từ đó ta suy ra:
( )
0 1
, ,...,
m
a a a

là điểm cực tiểu của hàm m+1 biến

0 1
( , ,..., )
m
F a a a
=

=

n
i
mimiii
axaxaxy
1
2
1100
])(....)()([

. (3
2)
Do đó
( )
0 1
, ,...,
m
a a a
là nghiệm của hệ phơng trình

0

a
F


= 0 ;
1
a
F


= 0 ; ;
m
a
F


= 0.
Hoặc dạng tơng đơng với nó
[ ] [ ]
[ ] [ ]
0 0 1 1 0
1
0 0 1 1 1
1
0 0 1 1
2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0
2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0
...............................................................................
2 ( ) ( ) ...
n

i i i m i m i
i
n
i i i m i m i
i
i i i
y x a x a x a x
y x a x a x a x
y x a x a



=
=
=
=



[ ] [ ]
1
( ) ( ) 0
n
m i m m i
i
x a x

=

=



(3 - 3)
Gọi
r

là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là
)(
ir
x

.
Gọi
y
là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là
i
y
.
Theo định nghĩa tích vô hớng các véc tơ ta có
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 9 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng

Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------

[ ]
1
, ( )

=
=

m
r i r i
i
y y x
;
[ ]
1
, ( ) ( )

=
=

n
r s r i s i
i
x x
(3 4)
Do đó (3 3) đợc chuyển về dạng

[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1
, , ... , ,
, , ... , ,
....................................................................
, , ... , ,
m
m
m m m m m
a a y
a a y
a a y



+ + + =

+ + + =




+ + + =

(3 - 5)
Ta nhận thấy (3 5) là hệ (m + 1) phơng trình đại số tuyến tính dùng để xác

định m + 1 hệ số:
0 1
, ,...,
m
a a a
trong đa thức xấp xỉ
)(x
m

. Ma trận của hệ ph-
ơng trình tuyến tính (3 5) có các phần tử là
],[
ji

, do đó là một ma trận
đối xứng (dựa vào tính chất giao hoán của tích vô hớng). Ta sẽ gọi hệ phơng
trình (3 5) là hệ phơng trình chuẩn.
Định thức của hệ phơng trình chuẩn có dạng
G(
),.....,,
10 m

=
],].....[,][,[
............................................
],]......[,][,[
],]......[,][,[
10
11101
01000

mmmm
m
m



(3 6)
Ta gọi định thức
0 1
( , ,..., )

=
m
G
là định thức Gram của hệ véc tơ
m

,.....,
10
trên tập điểm
{ }
1 2
, ,...,
n
X x x x=
.
Mà ta đã biết: Nếu hàm cơ sở
)(),....,(),(
10
xxx

m

là hệ hàm độc lập tuyến
tính trên
{ }
[ ]
1 2
, ,..., ,
n
X x x x a b=
thì trong số những đa thức suy rộng cấp m
có dạng (3 1) luôn tồn tại một đa thức suy rộng

)()(
0
xax
i
m
i
im


=
=
. (3 1)
Là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng đối với hàm
( )f x
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 10 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng

Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
Ngoài ra còn có thể chứng minh khi hệ cơ sở
)(),....,(),(
10
xxx
m

là những
độc lập tuyến tính trên
{ }
[ ]
1 2
, ,..., ,
n
x x x a b
thì
0 1
( , ,..., ) 0

= >
m
G
. Nghĩa
là trong trờng hợp này hệ phơng trình chuẩn (3 5) có và duy nhất nghiệm
0 1
, ,...,
m
a a a

ứng với các hệ số của đa thức (3 1) xấp xỉ tốt nhất với hàm
( )f x
(theo nghĩa trung bình phơng).
Do vậy ta có thể cho rằng hệ hàm cơ sở nghĩa là hệ hàm độc lập tuyến tính
trên đoạn
[ ]
,a b
.
2.1.3 Sai số của phơng pháp.
Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ
)(x
m

cho hàm
( )f x
ta cần đánh giá sai số
hoặc độ lệch của nó đối với hàm
( )f x
. Sai số ở đây hiểu theo nghĩa trung
bình phơng. Cụ thể là ta đi tìm đại lợng

2
1
)]([
1
xy
n
n
i
mim

=
=

. (3 7)
Từ (3 1) ta có


=

n
i
imi
xy
1
2
)]([


= =






=
n
i
m

j
ijji
xay
1
2
0
)(

= [
],
0 0

= =

m
j
m
j
jjjj
ayay



= = =
=
m
j
m
j
m

j
jjjjjj
aayyay
0 0 0
],[],[

. (3
8)
Mặt khác


= == =
=






=







m
i
m

j
jjjj
m
j
m
j
jjjj
ayaaay
0 00 0
,,

-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 11 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
=
[ ]
[ ]








==
m
j

jiji
m
i
i
aya
00
,,

. (3 9)
Kết hợp (3 9) với (3 5) ta có:

[ ]
[ ]
0,,
00
=








==
m
j
jiji
m
i

i
aya

.
Thay kết quả trên vào (3 8) ta có:







=

==
m
j
jj
n
i
imi
yayxy
01
2
,)]([



[ ]
[ ]

=
=
m
j
jj
yayy
0
,,

. (3 10)
Thay (3 10) vào (3 7) ta có

[ ]
[ ]






=

=
m
j
jjn
yayy
n
0

,,
1

. (3 11)
Trong đó
j
a
là nghiệm của hệ phơng trình chuẩn (3 5).
2.1.4. Mở rộng trên hệ trực giao.
2.1.4.1 Định nghĩa:
Để đơn giản hóa kết quả trên thì ta định nghĩa về hệ hàm trực giao nh sau:
Hệ hàm
0 1
( ), ( ),..., ( )

m
x x x
gọi là hệ trực giao trên tập
1 2
( , ,..., )=
n
X x x x
nếu

[ ]
[ ]

==
==


=
=
),....,1,0.(0)(,
).(0)()(,
1
2
1
mrx
srxx
n
i
irsr
n
i
isirsr


(3
12)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 12 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp

--------------------------------------------------------------------------------------------
Số
r

mà
[ ]

=
==
n
i
irrrr
x
1
2
2
)(,

gọi là chuẩn của hàm
)(x
r

trên tập
hợp
X
.
Trong trờng hợp hệ hàm
0 1
( ), ( ),..., ( )

m
x x x
trực giao mà
1
=
r



( 0,1,..., )=r m
thì hệ hàm đợc gọi là hệ trực chuẩn trên tập hợp
X
.
2.1.4.2 Tiếp cận lời giải
Từ một hệ cơ sở bất kỳ
0 1
( ), ( ),..., ( )

m
x x x
bao giờ cũng lập đợc một hệ
trực chuẩn tơng ứng
0 1
( ), ( ),..., ( )

m
x x x
sao cho mỗi hàm của hệ trực chuẩn
là một tổ hợp tuyến tính của các hàm trong hệ cơ sở đã cho:

=
=
m
s
s
r
sr
xx
0
)(
)()(


( 0,1,..., )=r m
. (3
13) Từ (3 5) và (3 12) ta nhận thấy rằng: Nếu
0 1
( ), ( ),..., ( )

m
x x x
là
hệ trực giao thì đa thức xấp xỉ tốt nhất (3 1) của
( )f x
có các hệ số
j
a
cho
bởi công thức

[ ] [ ]
iiii
ya

,,
=

( 0,1,..., )=i m
.
Hay
[ ]
[ ]
[ ]
2
,
,
,
i
i
ii
i
i
yy
a




==

( 0,1,..., )=i m
. (3
14)
Từ đó ta có

[ ]
[ ]

==
=
m
i
i
i
m
i
ii
y
ya
0
2
2
0
,
,



2.1.4.3 Sai số của phơng pháp

Dựa trên (3 11) ta suy ra sai số trung bình phơng của đa thức xấp xỉ là:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 13 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------

[ ]
[ ]










=

=
m
j
i
i
n
y
yy
n

0
2
2
,
,
1



. (3 15)
Vì
[ ]
0
,
2
2

j
j
y


nên tổng:
[ ]

=
m
j
j
j

y
0
2
2
,


là một đại lợng đơn điệu tăng theo m.
Do đó từ (3 15) ta suy ra sai số trung bình phơng

n
sẽ giảm khi m tăng.
Tóm lại nếu cấp m của đa thức xấp xỉ (3 1) (với hệ cơ sở
0 1
( ), ( ),..., ( )

m
x x x
là trực giao) càng lớn thì đa thức xấp xỉ
( )f x
càng tốt.
2.1.4.4. Chú ý
Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trờng hợp chung khi cần thay đổi cấp
m của đa thức xấp xỉ (3 1) thì hệ phơng trình chuẩn (3 5) dùng để xác
định các hệ số
0 1
, ,...,
m
a a a
của đa thức hoàn toàn thay đổi. Do đó quá trình

tình toán (giải hệ phơng trình chuẩn) cần làm lại từ đầu. Tuy nhiên khi hệ hàm
cơ sở là trực giao thì muốn thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ
(3 1) (chẳng hạn tăng từ m lên m+1) ta chỉ cần thêm số
1+m
a
từ công thức
(3 14). Còn các hệ số
0 1
, ,...,
m
a a a
đã thu đợc cho đa thức
( )

m
x
vẫn dùng
đợc cho đa thức

1
1
0
( ) ( )

+
+
=
=

m

i
m
i
i
x a x
.
Nhận xét trên rất bổ ích về mặt thực hành tính toán vì khi muốn xấp xỉ một
hàm thực nghiệm bằng một đa thức suy rộng cấp m (3 1): do khuôn khổ
của sự tính toán ta không cần chọn ngay từ đầu số m đủ lớn. Khi đó nếu hệ
hàm cơ sở
0 1
( ), ( ),..., ( ),...

m
x x x
là một hệ trực giao thì khi xuất phát ta có
thể chọn số m nhỏ (chẳng hạn m = 1 hoặc 2). Sau khi thực hành tính toán nếu
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 14 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
thấy sai số trung bình phơng tơng ứng cha đủ bé (so với yêu cầu) thì ta có thể
tăng dần số m lên và tính thêm các hệ số
i
a
bổ sung (từ công thức (3 14)).
2.2 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số
2.2.1 Đặt vấn đề
Giả sử biết n giá trị thực nghiệm

i
y

( 1,2,..., )=i n
của hàm
( )f x
tại các
điểm
i
x
tơng ứng. Ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm
( )f x
bởi một đa thức cấp m có
dạng

0 1
( ) ...
m
m m
P x a a x a x= + + +
. (4 1)
2.2.2 Tiếp cận lời giải
Để giải bài toán này ta áp dụng những kết quả tổng quát ở phần II, trong
đó hệ hàm cơ sở
{ }
)(x
i

có dạng

1)(
0
=
x

,
xx
=
)(
1

, ,
m
m
xx =)(

. (4 2)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 15 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
khi đó từ (3 4) ta có

[ ]

=
==
n
i

r
ii
n
i
irir
xyxyy
11
)(,


và
[ ]

=
+
=
==
n
i
sr
i
n
i
isirsr
xxx
11
)()(,

. (4 3)
Dựa vào (3 5) ta suy ra các hệ số

i
a
của đa thức xấp xỉ (4 1) là nghiệm
của hệ phơng trình chuẩn có dạng sau












=++++
=++++
=++++



===
+
=
+
=
==
+
===

====
n
i
i
m
i
n
i
m
im
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i
ii
n
i
m
im
n

i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
yxxaxaxaxa
yxxaxaxaxa
yxaxaxana
11
2
1
2
2
1

1
1
1
0
11
1
1
3
2
1
2
1
1
0
111
2
2
1
10
...
.......................................................................................
...
....
(4
4)
2.2.3 Sai số trung bình
Từ (3 7) và (3 11) ta suy ra sai số trung bình của đa thức xấp xỉ có
dạng (4 4) là:

[ ]

==

= ===
m
j
n
i
j
iij
n
i
i
n
i
imin
xyay
n
xPy
n
0 11
2
1
2
1

)(
1

. (4
5)
Về mặt thực hành, để tìm các hệ số của phơng trình chuẩn (4 4) ta làm theo
lợc đồ trong bảng 1. Các hệ số vế trái của phơng trình đầu tiên cho bởi các
tổng ô lần lợt từ cột (1) đến cột (m), của phơng trình thứ 2 cho bởi các tổng lần
lợt từ cột 2 đến cột (m+1), còn các vế phải của (4 4) cho bởi các tổng ở
lần lợt từ cột (2m+2) đến cột cuối cùng (3m+2).
0
x

1
x

2
x



2m
x

y

xy

2
x y

m
x y
(1) (2) (3) (2m+1) (2m+2) (2m+3) (2m+4) (3m+2)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 16 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------

1
1

1

1
x

2
x


n
x

2
1
x
2

2
x


2
n
x





2
1
m
x

2
2
m
x


2m
n
x

1
y

2
y


n
y

1 1
x y
2 2
x y

n n
x y

2
1 1
x y

2
2 2
x y


2
n n
x y

1 1
m
x y
2 2
m
x y

m
n n
x y
n

=
n
i
i
x
1

=
n
i
i
x
1
2

=
n
i
m
i
x
1
2


=
n
i
i
y
1


=
n
i
ii
yx
1

=
n
i
ii
yx

1
2


=
n
i
i
m
i
yx
1
Bảng 1
2.2.4 Trờng hợp các mốc cách đều
Đối với trờng hợp các điểm
i
x
cách đều nhau:
1+
=
i i
x x h

( 0,1,..., 1)= i n
thì quá trình tính toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Dới đây ta
sẽ trình bày kết quả trong trờng hợp này.
Trờng hợp 1: Nếu n là số lẻ (
2 1= +n k
).
Đặt

1+

=
k
x x
u
h
hay
1
.
+
= +
k
x x u h
.
Do đó khi
x
nhận các giá trị
1 2 1 2 1
, ,..., ,...,
+ +k k
x x x x
thì
u
nhận các giá trị
nguyên sau:
, 1,..., 1,0,1,..., 1, + k k k k
.
Sau phép đổi biến (4 8) thì đa thức (4 1) cũng có bậc m và có dạng

0 1
( ) ...= + + +
m
m m
Q u b bu b u
. (4 9)
Tơng tự nh (4 4) các hệ số b
i
của (4 9) thu đợc từ hệ phơng trình












=++++
=++++
=++++



===
+
=

+
=
==
+
===
====
n
i
i
m
i
n
i
m
im
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i
m
i
n
i
ii

n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
m
im
n
i
i
n
i
i
yuubububub
yuubububub
yubububnb
11

2
1
2
2
1
1
1
1
0
11
1
1
3
2
1
2
1
1
0
111
2
2
1
10
...
......................................................................................
....
....
(4
10)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 17 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ phơng trình (4 10) so với hệ (4 4) đơn giản hơn rất nhiều vì các tổng
những lũy thừa lẻ của
u
bằng 0

0....
1
3
1
===

==
n
i
i
n
i
i
uu
. (4 11)
Trờng hợp 2:
n
chẵn (
2=n k
)

Ta đặt
2( )
1

=
k
x x
u
h
hoặc
( 1)
2
+
= +
k
u h
x x
. (4 12)
Khi đó nếu x nhận các giá trị x
1
, x
2
, , x
k2
thì u nhận các giá trị nguyên
sau đây

2 1, 2 3,..., 3, 1,1,3,...,2 3,2 1 + + k k k k
và trong hệ (4 10) cũng vắng mặt những tổng các lũy thừa lẻ của u:

0....
1
3
1
1
===

==
n
i
i
n
i
uu
. (4 13)
Tóm lại, trong mội trờng hợp (
n
lẻ hoặc
n
chẵn) vế trái của (4 10) đều
vắng mặt các hệ số có dạng
1=
=

n
j
j i
i
S u
(

j
là số lẻ). Ngoài ra các hệ số còn lại
của vế trái (có dạng
1=
=

n
j
j i
i
S u
,
j
chẵn) chỉ phụ thuộc vào n (vì
j
u
nhận các
giá trị nguyên). Do đó có thể lập những bảng tính sẵn các hệ số này (tùy thuộc
vào n).
Cuối cùng, sau việc giải phơng trình (4 10) ta thu đợc
( )
m
Q u
dới dạng
(4 9). Để trở lại
( )
m
P x
dới dạng (4 1) ta cần làm phép đổi biến ngợc lại
để chuyển biến

u
về biến x ban đầu. Cụ thể trong
( )
m
Q u
thu đợc ta sẽ dùng
công thức đổi biến (4 8) nếu n lẻ, dùng công thức (4 12) nếu n chẵn.
Dới đây ta xây dựng công thức cụ thể hệ (4 10) trong các trờng hợp m =
1, m = 2.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 18 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
Trờng hợp m = 1, nghĩa là (4 9) có dạng:

1 0 1
( ) = +Q u b b u
.
Đồng thời (4 10) có dạng (4 4)




=
=


ii
i

yuub
ynb
2
1
0
Từ đó suy ra








=
=



2
1
0
1
i
ii
i
u
yu
b
y

n
b
(4 14)
Trờng hợp m = 2 nghĩa là (4 9) có dạng

2
2 0 1 2
( ) = + +Q u b b u b u
Và khi đó (4 10) có dạng:






=+
=
=+



iiii
iii
ii
yuubub
yuub
yubbn
24
2
2

0
2
1
2
20
.
Giải hệ 3 phơng trình trên ta đợc

( )
( )













=
=


=

2
24
22
2
2
1
2
24
224
0
ii
iiii
i
ii
ii
iiiii
uun
uyyun
b
u
yu
b
uun
uyuuy
b
(4 15)

Nếu ta gọi
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 19 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------

( )
( ) ( )








=

=

===





;......;
;;
1

;
1
2
24
5
2
24
2
4
2
24
4
3
2
21
iiii
i
ii
i
i
uun
n
uun
u
uun
u
u
n

(4
16)
Khi đó các kết quả (4 14) và (4 15) có thể tóm tắt trong bảng 2. Ngoài
ra từ (4 16) ta nhận thấy các số
i

theo những giá trị lẻ của n từ 3 đến 21 ở
bảng 3. Trong phần dới của bảng 4 cho các số
i

theo những giá trị chẵn của n
từ 4 đến 22.
m
Các hệ số của Q
m
(u)
b
0
b
1
b
2
1
2

i
y
1

ii
yu
2



iii
yuy
2
43



ii
yu
2




iii
yyu
4
2
5

Bảng 2
(Để đơn giản trong phần này ta hiểu

là

=
n
i 1
)
Với n lẻ:
n

1


2


3


4


5

3
5
7
9
11
333333.10
6

200000.10
6
142857.10
6
111111.10
6
909091.10
7
500000.10
6
100000.10
6
357143.10
7
166667.10
7
909091.10
8
100000.10
7
485714.10
8
333333.10
8
255411.10
8
207459.10
8
100000.10
5

142857.10
6
476190.10
7
216450.10
7
116550.10
7
150000.10
5
714286.10
7
119048.10
7
324675.10
8
116550.10
8
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 20 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
13
15
17
19
21
769231.10
7

666667.10
7
588235.10
7
526316.10
7
476190.10
7
549451.10
8
357143.10
8
245098.10
8
175439.10
8
129870.10
8
174825.10
8
151131.10
8
133127.10
8
118973.10
8
107551.10
8
699301.10
8

452489.10
8
309598.10
8
221141.10
8
163452.10
8
499500.10
9
242405.10
9
128999.10
9
737137.10
10
445778.10
10
Bảng 3
Với n chẵn:
n

1


2


3

4


5

4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
250000.10
6
166667.10
6
125000.10
6
100000.10
6
833333.10
7
714286.10
7
625000.10
7

555556.10
7
500000.10
7
454545.10
7
500000.10
7
142857.10
7
595283.10
8
303030.10
8
174825.10
8
109890.10
8
735294.10
9
515996.10
9
375940.10
9
282326.10
9
640625.10
6
394531.10
6

289062.10
6
228906.10
6
189732.10
6
162109.10
6
141555.10
6
125651.10
6
112973.10
6
102628.10
6
781250.10
7
195312.10
7
781250.10
8
390625.10
8
223214.10
8
139509.10
8
930060.10
9

651042.10
9
473485.10
9
355114.10
9
156250.10
7
167411.10
8
372024.10
9
118371.10
9
468282.10
10
214629.10
10
109419.10
10
604683.10
11
356004.10
11
220567.10
11
Bảng 4
2.3 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức trực giao
2.3.1 Định nghĩa hệ hàm trực giao
Xét hệ đa thức:

0 1
( ), ( ),..., ( )
m
R x R x R x
(5 1)
Trong đó
0
( ) 1=R x
,
1 1
( )

= +R x x
,
2 (1) (2)
2 2 2
( )

= + +R x x x
,
Tổng quát
(1) 1 ( 1) ( )
( ) ...


= + + + +
k k k k
k k k k
R x x x x
. (5

2)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 21 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
Theo định nghĩa ta sẽ gọi (5 1) là hệ đa thức trực giao trên tập hợp
1 2
( , ,..., )=
n
X x x x
, nếu (5 1) là hệ hàm trực giao trên tập
X
. Cụ thể là:

[ ]
[ ]







==
==


=
=

)...,,1,0(0)(,
)(0)()(,
1
2
1
mrxRRR
srxRxRRR
n
i
irsr
n
i
isirsr
(5
3)
2.3.2 Đặt vấn đề
Từ định nghĩa ta nhận thấy hệ đa thức trực giao là trờng hợp đặc biệt của hệ
hàm trực giao. Do đó ta áp dụng kết quả ở phần 2.3 với
( ) ( )

=
r r
x R x

( 0,1,..., )=r m
.
Cụ thể là: khi cho u các giá trị thực nghiệm
i
y

( 1,2,..., )=i n
của hàm
( )f x

tại các điểm x
i
(i = 1, 2, , n) ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm
( )f x
bởi một đa thức
suy rộng cấp m (với hệ cơ sở (5 1)) có dạng

0
( ) ( )
=
=

m
m j j
j
M x a R x
. (5
4)
Từ (3 14) ta suy ra các hệ số
j
a
của (5 4) có thể thu đợc từ công thức

1
2
1

( )
,
,
( )
=
=


= =






n
i j i
j
i
j
n
j j
j i
i
y R x
y R
a
R R
R x
. (5 - 5)

Từ (3 - 11) ta suy ra sai số trung bình phơng của đa thức xấp xỉ
( )
m
M x
là

[ ]
[ ] [ ]






=






=

===
m
j
jj
n
i
i

m
j
jjn
Ryay
n
Ryayy
n
01
2
0
,
1
,,
1

. (5 - 6)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 22 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------
ở đây
( )
m
M x
(có dạng (5 4)) là một tổ hợp tuyến tínhcủa những đa thức
đại số cấp từ 0 đến m, do đó
( )
m
M x

thực chất cũng là một đa thức cấp m (nh
( )
m
P x
cho bởi (4 1)). Nghĩa là hàm xấp xỉ cũng là một đa thức đại số thông
thờng nh đã thu đợc trong phần (2.4).
Tuy nhiên do tính trực giao của hàm cơ sở (5 1) nên khác với phần 2.4
ở đây ta không cần giải hệ phơng trình chuẩn mà tìm các hệ số của đa thức (5
4) trực tiếp từ công thức (5 5) đã chỉ ra ở trên. Ngoài ra do những đặc
điểm của hệ hàm trực giao ta có thể tăng dần cấp của
( )
m
M x
mà không cần
phải làm lại từ đầu quá trình tính toán. Đó chính là u điểm của phơng pháp xấp
xỉ hàm ở đây so với những kết quả thu đợc trong phần (2.4).
2.3.3 Nội dung của phơng pháp
Nội dung chủ yếu của việc tìm đa thức xấp xỉ (5 4) thực chất là tìm hệ
thức trực giao (5 1). Để làm đợc điều này ta tìm công thức truy hồi để xác
định lần lợt các đa thức trực giao của hệ (5 1).
Trớc hết ta đi tìm những hàm đầu tiên:
0 1
( ), ( )R x R x
của hệ (5 1).
Theo định nghĩa thì
0
( ) 1=R x
.
Ngoài ra, từ (5 2) ta thấy
1

( )R x
có dạng

1 1
( )

= +R x x
.
Để xác định hệ số

trong (5 8) ta sử dụng điều kiện đầu tiên trong (5
3) với r = 1 và s = 0

[ ]
0)(1).(,
1
11
1
1
101
=+=+==

===

nxxxRRR
n
i
i
n
i

i
n
i
i
.
Từ đó suy ra:


=
=
n
i
i
x
n
1
1
1

.
Thay kết quả này vào (5 8) ta có
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 23 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
Đồ án tốt nghiệp
--------------------------------------------------------------------------------------------

1
1
1

( )
=
=

n
i
i
R x x x
n
. (5
9)
Để xác định những đa thức trực giao của hệ còn lại của hệ (5 1):
2 3
( ), ( ),..., ( )
m
R x R x R x
ta sẽ chứng minh bổ đề sau đây
Bổ đề1: Mọi đa thức trực giao cấp r +1 (r

1):
1
( )
+r
R x
của hệ (5 1) đợc
xác định theo các đa thức
( )
r
R x
và

1
( )
r
R x
từ công thức truy hồi sau

1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )

+ + +
= + +
r r r r r
R x x R x R x
. (5
10)
Trong đó

[ ]
[ ]
[ ]

=
=




=

=

+
=
=
+
)125(
)(
)()(
)115(
)(
)(
1
2
1
1
1
1
1

2
1
2
1
n
i
ir
n
i
iriri
r
n
i
ir
n
i
iri
r
xR
xRxRx
xR
xRx


Chứng minh
Từ (5 3) ta có:

[ ]
0)()(,
1

1111
==

=
++
n
i
irirrr
xRxRRR
. (5 13)
Từ (5 10) ta lại có
[ ]
{ }

=
+++
=++=
n
i
irrirriirrr
xRxRxxRRR
1
111111
)()()()(,

=

=
+
=

+
=

++
n
i
irirr
n
i
irirr
n
i
iriri
xRxRxRxRxRxRx
1
111
1
11
1
1
)()()()()()(

=
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 24 - Sinh viờn thc hin: Bựi Vn Bng
Lp: Toỏn Tin_2 K48
§å ¸n tèt nghiÖp
--------------------------------------------------------------------------------------------
=
2

1
11
1
11
1
1
])([)()()()(
∑∑∑
=
−+
=
−+
=
−
++
n
i
irr
n
i
irirr
n
i
iriri
xRxRxRxRxRx
γβ
. (5 –
14)
Nhng
[ ]

0,)()(
1
1
1
==
−
=
−
∑
rr
n
i
irir
RRxRxR
VËy tõ (5 – 14) suy ra

[ ] [ ]
∑∑
=
−+
=
−+−
+=
n
i
irr
n
i
iririrr
xRxRxRxRR

1
2
11
1
111
)()()(,
γ
. (5 –
15)
KÕt hîp (5 – 13) vµ (5 – 15) ta cã

[ ]
0)()()(
1
2
11
1
1
=+
∑∑
=
−+
=
−
n
i
irr
n
i
iriri

xRxRxRx
γ
.
Hay
[ ]
∑
∑
=
−
=
−
+
−=
n
i
ir
n
i
iriri
r
xR
xRxRx
1
2
1
1
1
1
)(
)()(

γ
(*)
Tõ (5 – 3) ta còng cã

[ ]
0)()(,
1
11
==
∑
=
++
n
i
irirrr
xRxRRR
. (5 – 16)
Tõ (5 – 10) ta còng cã

[ ]
{ }
∑
=
−+++
=++=
n
i
irrirriirrr
xRxRxxRRR
1

1111
)()()()(,
γβ
=
∑∑∑
=
−+
=
+
=
++
n
i
irirr
n
i
irirr
n
i
iriri
xRxRxRxRxRxRx
1
11
1
1
1
)()()()()()(
γβ
=
=

∑∑∑
=
−+
=
+
=
++
n
i
irirr
n
i
irr
n
i
iri
xRxRxRxRx
1
11
1
2
1
1
2
)()()]([)]([
γβ
. (5 –
17)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 25 - Sinh viên thực hiện: Bùi Văn Bằng

Lớp: Toán Tin_2 – K48