Hàm lồi và các tính chất

đại học Thái Nguyên
Tr-ờng đại học khoa học
-------------

0

-------------



Phạm Bá Tuyên





Hàm lồi và các tính chất



Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36



Luận văn thạc sĩ toán học

Thái Nguyên 2009
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

đại học Thái Nguyên
Tr-ờng đại học khoa học
-------------

0

-------------

Phạm Bá Tuyên







Hàm lồi và các tính chất



Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36

Luận văn thạc sĩ khoa học toán học


Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:
GS-TS Trần Vũ Thiệu



Thái Nguyên 2009
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

đại học Thái Nguyên
Tr-ờng đại học khoa học
-------------

0

-------------

Phạm Bá Tuyên







Hàm lồi và các tính chất

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36



Tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán học


Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:
GS-TS Trần Vũ Thiệu



Thái Nguyên 9/2009

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✷
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❍➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥ ✺
✶✳✶ ❍➭♠ ❧å✐ t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ❚Ý♥❤ ❧å✐ t➵✐ ➤✐Ó♠ ❣✐÷❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✶✳✸ ❍➭♠ ❧✐➟♥ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
✶✳✹ ❍➭♠ ❧å✐ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣
¯
R ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❍➭♠ ❧å✐ tr♦♥❣ R
n
✶✾

✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾
✷✳✷ ❍➭♠ ❧å✐ ❦❤➯ ✈✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✷✳✸ ❈➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ ✈Ò ❤➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✷✳✹ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾
✷✳✺ ❍➭♠ ❧✐➟♥ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸
✷✳✻ ❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹
❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ❈ù❝ trÞ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✹✵
✸✳✶ ❈ù❝ t✐Ó✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✈➭ ❝ù❝ t✐Ó✉ t♦➭♥ ❝ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵
✸✳✷ ❈ù❝ t✐Ó✉ ❤➭♠ ❧å✐ ✭❝ù❝ ➤➵✐ ❤➭♠ ❧â♠✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵
✸✳✸ ❈ù❝ t✐Ó✉ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ♠➵♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼
✸✳✹ ❈ù❝ ➤➵✐ ❤➭♠ ❧å✐ ✭❝ù❝ t✐Ó✉ ❤➭♠ ❧â♠✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾
❑Õt ❧✉❐♥ ✺✸
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✺✺
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ờ ó
ồ ế ủ ó ồ t ồ tự ồ . . . ó ề
tí t ẹ ú ý ợ sử ụ rộ r tr ề ý tết
ứ ụ tự tễ ệt tr tí ồ tố ồ
ở rộ ột ủ ề ớ ề ết q ú t út
sự q t ủ ề ứ
ề t ề tớ ồ ột ế ề ế ù
ớ tí t ủ ú ồ ó trò q trọ tr
ề ĩ ự ứ q t ọ ý tết ề ể tố
ý tết trò tế t . . . tết ề tí ồ ủ tể
tế tr ề ị ý ề tồ t ệ tố tồ t
tì tế tr ì tế t ì tế tì ể ồ
tí t tự sự tết ữ í ú ể s ề ề
ề tr tí ồ ý tết tố
ụ t ủ tì ể trì ữ ết q

ết q ế ồ ột ế ề ế ệt ý tí
t ổ t tí tụ tí tí t ự trị ộ
ề tr ợ trì ột t ẽ ề t t ọ
ệ ết q r ó t í ụ ì ẽ ể
ộ ợ t
ồ ột ế ề tớ ồ ột ế ị
trị tự ữ ự tr ột tụ ữ
ủ ờ t số tự ồ ột ế ó ề tí t
ú ý tí st tí tụ tr ề
ị ét ột số ó q ồ t tự ồ tự ồ
t ợ . . .
ồ tr R
n
ớ tệ ề ồ ề ế
tí t n ế ồ ỉ t ẹ ủ ó

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
tr ọ ờ t tr R
n
ồ ột ế ồ ó ố q
ệ t ẽ ớ t ồ f ồ ỉ f t ồ
ế f ồ tì ọ t ứ ớ ủ ó t ồ ồ tr
t ồ ở tì tụ ế t ết ồ q é
t ồ q ột số ệ r ò ớ tệ
ệ ớ ủ ồ ố q ệ ữ ớ ớ
t ớ ớ ợ
ự trị ủ ồ trì tí t ự trị ủ
ồ ồ t ồ ự tể ị ủ ồ
ự tể t ụ ồ t ó ề t ột ể ự tể ồ
t ự tể tr t ó rỗ ự tể ó t ế

t ồ ó rỗ ự ủ ồ ự tể ủ õ ế
ó sẽ t t ể ự ó r t ỉ ủ t ợ ét r
ò trì ề ệ tố ủ ố ớ ồ

tờ ó ớ ỉ ừ ở ệ tì ể
t ợ t ệ s ế trì ết q ứ ó t ủ
ề t r r q trì ết ũ tr ử ý
tr ỏ ó ữ s sót t ị rt
ợ sự ó ý ủ t ồ ệ ể ợ
tệ
ị t tỏ ò ết s s ế t ớ
r ũ ệ t tì ú ỡ tr sốt q trì
t t ở ệ ọ ệ
ệ t t ộ ệ t t Pò
t s ọ trờ ọ ọ ọ t tì
t ọ ề ệ t ợ t tr q trì ọ t
t trờ

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❚➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ö✉✱ ❝➳❝ P❤ß♥❣✱ ❇❛♥
❝❤ø❝ ♥➝♥❣ ✈➭ ❇é ♠➠♥ ❚♦➳♥ ❚r➢ê♥❣ ❈✃♣ ■■✲■■■ ❚➞♥ ◗✉❛♥❣ ✈➭ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣
♥❣❤✐Ö♣ ❝ï♥❣ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì✱ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ➤Ó t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤
tèt ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ 09 ♥➝♠ 2009
❚➳❝ ❣✐➯
P❤➵♠ ❇➳ ❚✉②➟♥
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❈❤➢➡♥❣ ✶
❍➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥

❍➭♠ ❧å✐ ❝ã ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✱ ➤➷❝ ❜✐Öt tr♦♥❣ tè✐ ➢✉ ❤♦➳✳
❚❛ ❜➽t ➤➬✉ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈í✐ ❤➭♠ ❧å✐ ♠ét ❜✐Õ♥ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➳♥❣ ❝❤ó ý ❝ñ❛
♥ã✳
✶✳✶ ❍➭♠ ❧å✐ t❤ù❝
✶✳✶✳✶✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t
❑ý ❤✐Ö✉ I ❧➭ ♠ét ❦❤♦➯♥❣ ✭➤ã♥❣✱ ♠ë ❤❛② ♥ö❛ ♠ë✱ ❤÷✉ ❤➵♥ ❤❛② ✈➠ ❤➵♥✮
tr♦♥❣ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ t❤ù❝ R✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ❦❤♦➯♥❣ ♠ë ❤÷✉ ❤➵♥
I = (p, q) ✈í✐ − ∞ < p < q < +∞
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳ ❈❤♦ ❤➭♠ ♠ét ❜✐Õ♥ sè f : I → R✱
❛✮ f ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ✭❤❛② ❤➭♠ ❧å✐✮ ♥Õ✉✿
f(λa + (1 − λ)b) ≤ λf(a) + (1 − λ)f(b) ✭✶✳✶✮
✈í✐ ♠ä✐ a, b ∈ I, ✈➭ ♠ä✐ λ ∈ R, ✈í✐ 0 < λ < 1. ❍×♥❤ 1.1 ❝❤♦ t❤✃② ý ♥❣❤Ü❛
❤×♥❤ ❤ä❝ ❝ñ❛ tÝ♥❤ ❧å✐✿ ❞➞② ❝✉♥❣ ✈í✐ ❤❛✐ ➤➬✉ ♠ót (a, f(a)) ✈➭ (b, f(b)) ❧✉➠♥
♥➺♠ ë ♣❤Ý❛ tr➟♥ ➤å t❤Þ ❝ñ❛ ❤➭♠ f ✳
❜✮ f ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ❝❤➷t ♥Õ✉ f ❧å✐ ✈➭ tr♦♥❣ (1.1) ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝❤➷t ❦❤✐
a = b.
❚❛ ♥➟✉ ❝➳❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❦❤➳❝ ✈Ò tÝ♥❤ ❧å✐ ❝ñ❛ ❤➭♠ f : I → R✳
❛✮ f(x) ≤
b − x
b − a
f(a) +
x − a
b − a
f(b)
✈í✐ ♠ä✐ a, b, x ∈ I ✈➭ a < x < b. ❈❤ó ý r➺♥❣ ✈Õ ♣❤➯✐ ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥
❝ã t❤Ó ✈✐Õt t❤➭♥❤✿
f(a) +
f(b) − f(a)
b − a
(x − a)

✺
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❜✮ f(λa + µb) ≤ λf(a) + µf(b)
✈í✐ ♠ä✐ a, b, x ∈ I ✈➭ ♠ä✐ λ, µ ∈ R s❛♦ ❝❤♦ λ > 0, µ > 0, λ + µ = 1✳
• ❉Ô ❞➭♥❣ ❦✐Ó♠ tr❛ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ ❣✐➯♥ s❛✉ ➤➞② ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐✿
❛✮ ◆Õ✉ f ✈➭ g ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ α ≥ 0, β ≥ 0 t❤× αf + βg ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳
❜✮ ❚æ♥❣ ❝ñ❛ ♠ét sè ❤÷✉ ❤➵♥ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳
❝✮ ❍➭♠ ❣✐í✐ ❤➵♥ ✭t❤❡♦ tõ♥❣ ➤✐Ó♠✮ ❝ñ❛ ❞➲② ❤➭♠ ❧å✐ ❤é✐ tô ❧➭ ❧å✐✳
❞✮ ●✐➯ sö f : I → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❑❤✐ ➤ã✿
n

i=1
λ
i
x
i
∈ I ✈➭ f

n

i=1
λ
i
x
i

≤
n

i=1

λ
i
f(x
i
)
✈í✐ ♠ä✐ x
i
∈ I, λ
i
≥ 0 (1 ≤ i ≤ n),
n

i=1
λ
i
= 1.
❡✮ ●✐➯ sö f ❧➭ ❝❐♥ tr➟♥ t❤❡♦ tõ♥❣ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ ♠ét ❤ä ❜✃t ❦ú ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐
I → R✳ ◆Õ✉ f ❤÷✉ ❤➵♥ ❦❤➽♣ ♥➡✐ tr➟♥ I t❤× f ❧➭ ❧å✐✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱
♠Ö♥❤ ➤Ò t➢➡♥❣ tù ❦❤➠♥❣ ❝ß♥ ➤ó♥❣ ➤è✐ ✈í✐ ❝❐♥ ❞➢í✐✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳ ●✐➯ sö f : I → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❑❤✐ ➤ã
f(x) − f(a)
x − a
≤
f(b) − f(a)
b − a
≤
f(b) − f(x)
b − x
✭✶✳✷✮
✈í✐ ♠ä✐ a, b, x ∈ I, a ≤ x ≤ b✳ ◆Õ✉ f ❧å✐ ❝❤➷t t❤× ë (1.2) ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

❝❤➷t✳
✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❍×♥❤ 1.2 ❝❤♦ t❤✃② ý ♥❣❤Ü❛ ❤×♥❤ ❤ä❝ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➭②✿ ➤é ❞è❝ (AB) ≤ ➤é
❞è❝ (AC) ≤ ➤é ❞è❝ (BC).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉♦ f ❧å✐ ♥➟♥ t❛ ❝ã
f(x) ≤
b − x
b − a
f(a) +
x − a
b − a
f(b) ✭✶✳✸✮
❚õ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❛ s✉② r❛
f(x) − f(a) ≤
a − x
b − a
f(a) +
x − a
b − a
f(b) =
x − a
b − a
[f(b) − f(a)]
➤ã ❧➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ➤➬✉ ❝ñ❛ (1.2)✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉ ➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣
tù✳ ◆Õ✉ f ❧å✐ ❝❤➷t t❤× tr♦♥❣ (1.3)✱ ❞♦ ➤ã tr♦♥❣ (1.2) ❝ã ❞✃✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
❝❤➷t✳ ✷
• ❑ý ❤✐Ö✉ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ ❝ñ❛ I ❧➭ ✐♥t(I)✳ ●✐➯ sö f : I → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭
c ∈ ✐♥t(I)✳ ●✐➯ sö [a, b] ⊂ I s❛♦ ❝❤♦ a < c < b✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý 1.1 t❛ ❝ã✿
f(c) − f(a)

c − a
≤
f(x) − f(c)
x − c
✈í✐ ♠ä✐x ∈ (c, b].
❈ò♥❣ tõ ➤Þ♥❤ ❧ý 1.1 s✉② r❛ r➺♥❣ ❤➭♠
x →
f(x) − f(c)
x − c
❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ tr➟♥(c, b].
❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ➤➵♦ ❤➭♠ ♣❤➯✐
f

+
(c) = lim
x↓c
f(x) − f(c)
x − c
❇➺♥❣ ❝➳❝❤ t➢➡♥❣ tù ❝ã t❤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ tå♥ t➵✐ ➤➵♦ ❤➭♠ tr➳✐ f

−
(c)✳
◆Õ✉ a < c < d < b t❤× ✈í✐ sè ❞➢➡♥❣ h ➤ñ ♥❤á t❛ ❝ã
f(c) − f(c − h)
h
≤
f(c + h) − f(c)
h
≤
f(d) − f(d − h)

h
❈❤♦ q✉❛ ❣✐í✐ ❤➵♥ ❦❤✐ h ↓ 0 t❛ ➤➢î❝✿ f

−
(c) ≤ f

+
(c) ≤ f

−
(d). ❱× t❤Õ✱ t❛ ❝ã
➤Þ♥❤ ❧ý✿
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✷✳ ●✐➯ sö f : I → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❑❤✐ ➤ã✱ f ❝ã ➤➵♦ ❤➭♠ ♣❤➯✐
✈➭ ➤➵♦ ❤➭♠ tr➳✐ t➵✐ ♠ä✐ ➤✐Ó♠ t❤✉é❝ int(I)✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ f

−
✈➭ f

+
❧➭ ♥❤÷♥❣ ❤➭♠
✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ tr➟♥ int(I)✳ ◆Õ✉ c ∈ int(I)✱ t❛ ❝ã f

−
(c) ≤ f

+
(c) ✈➭ f(x) ≥
f(c) + f


−
(c)(x− c), f(x) ≥ f(c) + f

+
(c)(x− c) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ I ✭①❡♠ ❍×♥❤
1.3✮✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳ ●✐➯ sö f : [a, b] → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ▲❐♣ ❧✉❐♥ tr➟♥ ❝❤♦ t❤✃②
r➺♥❣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭② tå♥ t➵✐ f

+
(a) ✈➭ f

−
(b)✱ ♥Õ✉ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ❣✐í✐ ❤➵♥
+∞ ✈➭ −∞✳
✶✳✶✳✷✳ ❍➭♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈➭ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳ ❍➭♠ f : I → R ❣ä✐ ❧➭ Lipschitz tr➟♥ I
0
⊂ I ♥Õ✉ tå♥ t➵✐
sè K > 0 s❛♦ ❝❤♦ |f(x) − f(y)| ≤ K|x − y| ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ I
0
✳ ➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥
Lipschitz ❦Ð♦ t❤❡♦ f ❧✐➟♥ tô❝✱ t❤❐♠ ❝❤Ý ❧✐➟♥ tô❝ ➤Ò✉ tr➟♥ I
0
✈➭ f ❝ã ❜✐Õ♥
♣❤➞♥ ❣✐í✐ ♥é✐ tr➟♥ ♠ä✐ ❦❤♦➯♥❣ ❝♦♥ ➤ã♥❣✱ ❣✐í✐ ♥é✐ ❝ñ❛ I
0
✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✳ ●✐➯ sö f : I → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ [a, b] ⊂ int(I)✳ ❑❤✐ ➤ã✱

❛✮ f Lipschitz tr➟♥ [a, b]✳
❜✮ f ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ int(I)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚å♥ t➵✐ c, d ∈ I s❛♦ ❝❤♦ c < a < b < d✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý 1.2
t❛ ❝ã f

+
(a) ≤ f

+
(x) ≤
f(x) − f(y)
x − y
≤ f

−
(y) ≤ f

−
(b)
✈í✐ ♠ä✐ a ≤ x < y ≤ b✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛ |f(x) − f(y)| ≤ K|x − y|✱ tr♦♥❣ ➤ã
K := max(|f

+
(a)|,|f

−
(b)|). ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❛✮❀ ❜✮ ❧➭ ❤Ö q✉➯ trù❝ t✐Õ♣
❝ñ❛ ❛✮✳ ✷
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ét ú ý r f t tết Lipschitz tr I
f ớ ộ f t tết tụ tr I f ó
ữ
ột Lipschitz tr [a, b] tì tụ tệt ố tr [a, b]
sự ệ ọ ờ ết ột tế
từ ị ý 1.3 s r r ột ồ
t sẽ ứ ột tí t ủ ồ
ù tớ ệ tụ tệt ố
ị ý sử f : I R ồ ó
r int(I), f


tụ tr f

+
tụ
ỉ ó ột số ế ợ ể t ó f
ứ tí tụ ủ f tr int(I) ị ý 1.3 ớ
ọ x, y, z int(I) x < z < y t ó
f(y) f(x)
y x
= lim
zx
f(y) f(z)
y z
lim
zx
f

+

(z)
q ớ y x t ợ
f

+
(x) lim
zx
f

+
(z)
f

+
ị ý 1.2 t ó
f

+
(x) lim
zx
f

+
(z)
ì tế f

+
(x) = lim
zx
f

+
(z) ề t tí tụ ủ f

+

í tụ tr ủ f


ứ t tự
ị ý 1.2 t ó
f

+
(x) f


(y) f

+
(z)
ớ ọ x, y, z int(I) x < y < z ế f

+
tụ t y tì t ó
f

+
(y) = lim
xy

f

+
(x) = lim
xy
f

+
(z) = f


(y)

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ề ó ĩ f t y ừ ó s r ể ủ int(I) t ó
f ữ ể t ó f

+
ó ớ
ề ứ ì ỉ ó ột số ế ợ ớ tế
í ồ t ể ữ
ồ
ệ s ó q t ẽ ớ tí ồ
ị ĩ f : I R ọ ồ t ể ữ ế ớ ọ
a, b I
f

a + b
2

1
2
[f(a) + f(b)]
ì 1.4 ý ĩ ì ọ ủ tí ồ t ể ữ ể ữ ủ
ố ể tr ồ tị ủ f ớ ể t ứ tr ồ
tị
ị ý sử f : I R ồ t ể ữ
tụ ó f ồ
ị ý sử I ở f : I R ó
f ồ ỉ f

(x) 0 ớ ọ x I
ứ ỉ ị ý 1.2, f

tr I
ó f

(x) 0 ớ ọ x I
sử x, y I, x < y 0 < < 1 ị ý trị tr
ì tr tí ó tồ t
1
,
2
, x <
1
< x + (1 )y <
2
< y

3
,
1
<
3
<
2
s
f[x + (1 )y] f(x) (1 )f(y)
= (1 )(y x)f

(
1
) + (1 )(x y)f

(
2
)
= (1 )(y x)(
1

2
)f

(
3
) 0
ừ ó s r f ồ
ét ừ ứ tr t ó tể t r f ồ t
f

(x) > 0 ớ ọ x I ề ợ ó ú

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❤➭♠ f : x → x
4
❧å✐ ❝❤➷t tr➟♥ R✱ ♥❤➢♥❣ f

(0) = 0.
✶✳✷✳✷✳ ❍➭♠ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❧å✐
◆❤✐Ò✉ ✈Ý ❞ô ➤➡♥ ❣✐➯♥ ✈Ò ❤➭♠ ❧å✐ ❝ã t❤Ó ♥❤❐♥ ➤➢î❝ tõ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✻ ✈➭ q✉❛
❝➳❝ ❤➭♠ ♥➭② t❛ ❝ã t❤Ó rót r❛ ♠ét sè ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♠➭ t❤♦➵t ♥❤×♥ t❤➢ê♥❣
❦❤➠♥❣ ❞Ô ♥❤❐♥ ❜✐Õt✳ ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ✈Ý ❞ô✿
x
λ
y
µ
≤ λx + µy ✭✶✳✹✮
✈í✐ ♠ä✐ x > 0, y > 0, λ > 0, µ > 0 ✈➭ λ + µ = 1✳ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❝ã t❤Ó
s✉② r❛ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ sö ❞ô♥❣ tÝ♥❤ ❧å✐ ✭❝❤➷t✮ ❝ñ❛ ❤➭♠ x → e
x
♥❤➢ s❛✉✿
e
λ log x+µ log y
≤ λe
log x
+ µe
log y
▼ét sè ❝➳❝❤ q✉❡♥ t❤✉é❝ ❦❤➳❝ ➤Ó ❞✐Ô♥ ➤➵t ✭✶✳✹✮ ❧➭
x

1
p
y
1
q
≤
1
p
x +
1
q
y ✭✶✳✺✮
✈➭ xy ≤
1
p
x
p
+
1
q
y
q
✈í✐ x > 0, y > 0, p > 1, q > 1 ✈➭
1
p
+
1
q
= 1.
❱í✐ p = q = 2, t❤× ✭✶✳✺✮ ❧➭ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ q✉❡♥ t❤✉é❝

√
xy ≤ (x + y)/2
✭tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♥❤➞♥ ❝ñ❛ ❤❛✐ sè ❞➢➡♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧í♥ ❤➡♥ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝é♥❣ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣
❤❛② tæ♥❣ q✉➳t✱ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ♥❤➞♥ ❝ñ❛ n sè ❞➢➡♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧í♥ ❤➡♥ tr✉♥❣ ❜×♥❤
❝é♥❣ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣✮✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✼ ●✐➯ sö f ❧➭ ❤➭♠ (a, b) → R. ❑❤✐ ➤ã✱ f ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❝ã
t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ f ❞➢í✐ ❞➵♥❣
f(x) = f(c) +

x
c
g(t)dt (✈í✐ c, x ∈ (a, b))
tr♦♥❣ ➤ã g ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ❧✐➟♥ tô❝ ♣❤➯✐ (a, b) → R.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ●✐➯ sö f ✿ (a, b) → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ a
i
∈ [a, b], (1 ≤ i ≤ n).
❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã
f

1
n
n

i=1
a
i

≤
1
n

n

i=1
f(a
i
) ✭✶✳✻✮
✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✶✳✻✮ ❧➭ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò ❣✐➳ trÞ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ñ❛ ♥ sè✿
f ✭❣✐➳ trÞ t✳❜✳ ❝ñ❛ a
1
, a
2
, . . . , a
n
✮ ≤ ❣✐➳ trÞ t✳❜✳ ❝ñ❛ f(a
1
), f(a
2
), . . . , f(a
n
).
➜Þ♥❤ ❧ý ♥➭② ❝ã ❞➵♥❣ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ➤Þ♥❤ ❧ý ❣✐➳ trÞ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ñ❛ ♠ét ❤➭♠✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✽✳ ✭❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❏❡♥s❡♥✮✳ ●✐➯ sö f : (a, b) → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭
g : [c, d] → (a, b) ❧➭ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝✳ ❑❤✐ ➤ã
f

1
d − c


d
c
g(x)dx

≤
1
d − c

d
c
f(g(x))dx
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✹✳ ❛✮ ❚r♦♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥ t❛ ❝ã t❤Ó t❤❛② g ❜ë✐ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤
▲❡❜❡s❣✉❡ tr➟♥ ❬❝✱ ❞❪✳
❜✮ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ Jensen ❝ã ❞➵♥❣ t➢➡♥❣ tù s❛✉ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ①➳❝ ①✉✃t✿
●✐➯ sö ❳ ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ①➳❝ ①✉✃t ✈í✐ ➤é ➤♦ ①➳❝ ①✉✃t µ (µ(X) = 1)✱
●✐➯ sö f : (a, b) → R ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ g : X → (a, b) ❧➭ ❤➭♠ µ− ❦❤➯ tÝ❝❤. ❑❤✐
➤ã✱
f


X
gdµ

≤

X
(f ◦ g)dµ
◆ã✐ t❤❡♦ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ①➳❝ ①✉✃t✱ ♥Õ✉ x ❧➭ ♠ét ❜✐Õ♥ ♥❣➱✉ ♥❤✐➟♥ tr➟♥ X t❤× t❛
❝ã f(Ex) ≤ E[f(x)], tr♦♥❣ ➤ã Ex ❧➭ ❦ú ✈ä♥❣ ❝ñ❛ x.
• ❈❤♦ x

1
, x
2
, . . . , x
n
, r
1
, r
2
, . . . , r
n
❧➭ ❝➳❝ sè ❞➢➡♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥
n

i=1
r
i
= 1.
❚❛ ❝ã t❤Ó ❞Ô ❞➭♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉✿
❛✮
n

i=1
x
r
i
i
≤
n


i=1
r
i
x
i
❜✮
n

i=1
a
i
b
i
≤

n

i=1
a
p
i

1
p

n

i=1
b
q

i

1
q
✭❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❍♦❧❞❡r✮.
✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
✈í✐ a
1
, a
2
, . . . , a
n
, b
1
, b
2
, . . . , b
n
❧➭ ❝➳❝ sè ❦❤➠♥❣ ➞♠ ✈➭ p > 1, q > 1,
1
p
+
1
q
= 1. ❑❤✐ ♣ ❂ q ❂ ✷ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤②✿
n

i=1
a

i
b
i
≤





n

i=1
a
2
i

n

i=1
b
2
i

✶✳✸ ❍➭♠ ❧✐➟♥ ❤î♣
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❤➭♠ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ ♠ét ❤➭♠ r✃t q✉❡♥ t❤✉é❝ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✳ ❙❛✉
➤➞② t❛ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈í✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭②✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✾✳ ❍➭♠ f : R → R ❧➭ ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tå♥ t➵✐ ❤➭♠ g : R →
R ∪ {+∞} s❛♦ ❝❤♦
f(x) = sup
y∈R

[xy − g(y)] ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ R.
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹✳ ❚❛ ❣ä✐ ❤➭♠ g ♥ã✐ tr➟♥ ❧➭ ❤➭♠ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ ❤➭♠ f, f ✈➭ g
t➵♦ t❤➭♥❤ ♠ét ❝➷♣ ❤➭♠ t❤♦➯ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝
f(x) + g(y) ≥ xy, ∀x, y ∈ R. ✭✶✳✼✮
❚❛ ♥➟✉ r❛ ❝➳❝❤ ❣✐➯✐ t❤Ý❝❤ ❤×♥❤ ❤ä❝ s❛✉ ➤➞② ❝❤♦ ➜Þ♥❤ ❧ý 1.9 ✭①❡♠ ❍×♥❤ 1.5✮✳
➜➢ê♥❣ t❤➻♥❣ m ✈í✐ ➤é ❞è❝ y ✈➭ ❤Ö sè ❝❤➽♥ −a ❦❤➠♥❣ ➤➞✉ ♥➺♠ ♣❤Ý❛ tr➟♥ ➤å
t❤Þ ❝ñ❛ f ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ R t❤×
xy − a ≤ f(x), ❞♦ ➤ã a ≥ xy − f(x).
❙è a ♥❤á ♥❤✃t ✈➱♥ ❝ß♥ t❤♦➯ ♠➲♥ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❧➭
sup
x∈R
[xy − f(x)] = g(y).
❱× t❤Õ✱ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ tÞ♥❤ t✐Õ♥ m ✈Ò ♣❤Ý❛ tr➟♥ ❝❤♦ ➤Õ♥ ❦❤✐ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ➤➢ê♥❣ n(y)
❝➽t ➤å t❤Þ ❝ñ❛ f ✈➭ ❤Ö sè ❝❤➽♥ ❝ñ❛ ♥ã ❜➺♥❣ −g(y)✳ ➜Þ♥❤ ❧ý 1.9 ❝❤♦ t❤✃② r➺♥❣
f ❧➭ ❤×♥❤ ❜❛♦ ❝ñ❛ ❤ä ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ n(y)(y ∈ R) ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳
✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳ ❍➭♠ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ f(x) = e
x
, x ∈ R ✱
❧➭ ❤➭♠ g(y) = sup
x
{yx − e
x
}✳ ❘â r➭♥❣ g(y) = 0 ✈í✐ y = 0 ✈➭ g(y) = +∞
✈í✐ y < 0. ❱í✐ y > 0 ❤➭♠ yx − e
x
➤➵t ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t t➵✐ x = h t❤♦➯ ♠➲♥
y = e
h

(⇒ h = log y), ✈× t❤Õ g(y) = y log y − y. ◆❤➢ ✈❐þ
g(y) =







0 y = 0,
+∞ y < 0,
y log y − y, y > 0.
❱Ý ❞ô ✶✳✷✳ ●✐➯ sö p > 1, f(x) =
|x|
p
p
(✈í✐ x ∈ R). ❑❤✐ ➤ã
g(y) =
1
q
|y|
q
, tr♦♥❣ ➤ã
1
p
+
1
q
= 1. ❉♦ ➤ã t❤❡♦(1.7)
xy ≤

1
q
|x|
p
+
1
q
|y|
q
✈í✐ ♠ä✐ x ✈➭ y t❤ù❝✳
✶✳✹ ❍➭♠ ❧å✐ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣
¯
R
❚r♦♥❣ ➜Þ♥❤ ❧ý 1.9 t❛ ➤➲ ①Ðt tí✐ ❝➳❝ ❤➭♠ ❝ã ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣ R ∪{+∞}✳ ❚õ ➤➞②
✈Ò s❛✉✱ t❛ sÏ ①Ðt ❝➳❝ ❤➭♠ tæ♥❣ q✉➳t ❤➡♥ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ tr♦♥❣
¯
R := R ∪ {±∞} .
❱Ò ♥❤÷♥❣ tÝ♥❤ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ tí✐ ❣✐➳ trÞ +∞,−∞ t❛ ❝❤✃♣ ♥❤❐♥ ❝➳❝ q✉✐ t➽❝
✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ể x + = +,x R, x ì () = ế x > 0
ột số q t ít q ết 0ì (+) = (+)ì 0 = 0ì () =
() ì 0 = 0. ể tứ (+ ) ợ ị
t sẽ ở rộ ệ ồ
ị ĩ f : R

R ọ ồ ế ớ ọ x, y, , à, R
s f(x) < à, f(y) < , 0 < < 1 tì
f[x + (1 )y] < à + (1 )
sử f : R R ồ f(x) < à, f(y) < , 0 < < 1 ó

f[x + (1 )y] f(x) + (1 )f(y) < à + (1 ).
ợ sử ó t tứ (1.8)
ó ớ ọ > 0 t ó f(x) < f(x) + , f(y) < f(y) + )
f[x + (1 )y] < f(x) + (1 )f(y) + .
ó f[x + (1 )y] f(x) + (1 )f(y) ì tế f ồ
ừ ó ị ĩ tr tự tế sự ở rộ ị ĩ
ét ột số ệ q ế ồ ở rộ
ề ữ ệ ủ ồ f : R

R ý ệ dom(f) t
{x R |f(x) < +}
ồ R R{+} ợ ọ í tờ tr R ế ó
ồ t + tứ ế dom(f) = f(x) > ,x dom(f)
ồ tr R ó í tờ ợ ọ ồ
í tờ tr R
ó tể ể tr r ề ữ ệ ủ ồ f : R

R ồ ó
ột
ồ í tờ F : R

R ớ ề ữ ệ I ó tể ợ
ở rộ ột ồ ữ tr I t ộ R t s
F (x) =

f(x) ế I,
+ ế / I,

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ở rộ é ử ý ồ ữ ớ ề ị

ữ ồ ớ trị tr

R ị tr t R
ú ý r g ó tr ị ý 1.9 ồ t ĩ ừ tr
ó tể ễ t ớ ồ í tờ
ị ý sử f : R

R ột ồ í tờ
ó f(x) = ớ ọ x int(dom(f))
ứ Pt ể ể ú ế f = + (tứ f(x) =
+ ớ ọ x R) ế f = + tì tồ t a R s f(a) =
ú ý a dom(f)) sử x int(dom(f)), x = a ồ t y dom(f)
(0, 1) s x = a + (1 )y ị ĩ 1.5 ớ ọ
f(y) < < + ọ b R
f(x) = f[a + (1 )y] < + (1 )
f(a) = < t t ó f(x) =
tí t ủ ồ tự tr ụ 1.1 ò ú
ố ớ ồ trị tr

R ễ tr tí t t
ế ở ồ í tờ ể tr ể tứ +
t sẽ ù ế tí t ồ í tờ tr R ó
tr tr dom(f) ễ é
trị + r ứ trờ ợ dom(f) = [a, b]
ị ý 1.2 f

+
(x) tồ t ớ ọ x [a, b) f

tồ t ớ ọ
x (a, b] ớ ọ x < a t ó f(x) = + ì tế
f(x) f(a)
x a
= , ó f


(a) = ;
ớ ọ x > b t ó
f(x) f(b)
x b
= +, ì tế f

+
(b) = +.
ét ớ rộ ồ ồ t
ị ĩ f : I R

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
❛✮ ❍➭♠ f ❣ä✐ ❧➭ tù❛ ❧å✐ ♥Õ✉
f[λa + (1 − λ)b] ≤ f(b)
✈í✐ ♠ä✐ a, b ∈ I ♠➭ f(a) < f(b) ✈➭ ♠ä✐ λ ∈ (0, 1)✳
❜✮ ❍➭♠ f ❣ä✐ ❧➭ tù❛ ❧å✐ ❝❤➷t ♥Õ✉
f[λa + (1 − λ)b] < f(b)
✈í✐ ♠ä✐ a, b ∈ I ♠➭ f(a) < f(b) ✈➭ ♠ä✐ λ ∈ (0, 1)✳
❈ã t❤Ó t❤✃②✿
✰ ❍➭♠ f tù❛ ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ∀α ∈ R t❐♣ ♠ø❝ ❞➢í✐ {x ∈ I : f(x) ≤ α} ❧➭
❧å✐✳ ➜å t❤Þ ❝ñ❛ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐ ❝❤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ ➤♦➵♥ t❤➻♥❣✳
✰ ▼ét ❤➭♠ tù❛ ❧å✐ ❝❤➷t ❦❤➠♥❣ ♥❤✃t ♥❤✐Õt ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐✱ ♥❤➢♥❣ ♠ét ❤➭♠ tù❛
❧å✐ ❝❤➷t ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝ ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐ ✭✈Ý ❞ô x

3
❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐ ❝❤➷t ✈➭ ❧➭ ❤➭♠ tù❛
❧å✐✮✳
✰ ❍➭♠ ❧å✐ ❧➭ tù❛ ❧å✐✱ ♥❤➢♥❣ ➤✐Ò✉ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ❦❤➠♥❣ ❝❤➽❝ ➤ó♥❣ ✭❤➭♠

|x| ❧➭
tù❛ ❧å✐✱ ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧å✐✮✳ ➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ❝❤♦ t❤✃② râ ➤✐Ò✉ ➤ã✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✶✳ ✭❚Ý♥❤ ❧å✐ ❦Ð♦ t❤❡♦ tÝ♥❤ tù❛ ❧å✐✮✳
❍➭♠ ❧å✐ ❧✉➠♥ ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐✳ ❍➭♠ ❧å✐ ❝❤➷t ❧✉➠♥ ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐ ❝❤➷t✳
✶✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ứ r ứ trờ ợ ồ trờ ợ
ồ t ứ t tự
sử f : I R ồ t ỳ a, b I tổ qt
t f(a) f(b) ừ ị ĩ ồ ớ x = a + (1 )b t
ó f(x) f(a) + (1 )f(b), [0, 1]
f(x) f(b) + (f(a) f(b)), [0, 1]
> 0 f(a) f(b) (f(a) f(b)) 0 ừ ó f(x) f(b)
tr f(b) = max{f(a), f(b)} , [0, 1] ĩ f t ị ĩ
ủ tự ồ
ó ề tớ ồ ồ t ột ế ữ
trị ự ở rộ ủ ó tự ồ tự ồ
t ớ tệ ột số tí t q trọ ủ ồ tí st
tí tụ tí ủ ồ ét ệ ợ ủ
ồ ệ tí t ét ủ ồ ột ế sẽ ợ ở rộ
ồ ề ở s

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

ồ tr R

n
ồ ế ủ ó ồ t ồ tự ồ . . . ó ề
tí t ú ý ợ ét tớ tr ý tết ứ ụ tự tế
ớ tệ ề ồ ề ế ù tí t
ủ ú ộ ủ ủ ế ự tr t ệ [2], [4], [5]
ị ĩ tí t
ị ĩ f : S [, +] ị tr t ợ ồ
S R
n
ợ ọ ồ tr S ế ớ ọ x
1
, x
2
S ọ số tự
[0, 1] t ó
f[x
1
+ (1 )x
2
] f(x
1
) + (1 )f(x
2
)
ỗ ế ợ ị ĩ ệ tứ (2.1) ợ t trừ
f(x
1
) = f(x
2
) = ì ể tứ + ợ ị

ế (2.1) t ớ < ố ớ ọ x
1
, x
2
S, x
1
= x
2
, 0 < < 1
tì f ợ ọ ồ t tr S
f(x) ọ õ õ t tr S ế f(x) ồ ồ t tr
S ọ tế tí tr S ế f ữ
ừ ồ ừ õ tr S ột tr R
n
ó f(x) =<a, x> +
ớ a R
n
, R ở ì ớ ọ x
1
, x
2
R
n
ọ [0, 1] t ó
f[x
1
+ (1 )x
2
] = f(x
1

) + (1 )f(x
2
)
ồ t õ t
ị ĩ t ỳ f : S [, +] ớ S R
n

t dom f = {x S : f(x) < +} , epi f = {(x, ) S ì R : f(x) }
ợ ọ ợt ề ữ ụ t tr ồ tị ủ f(x) ế dom f =

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
f + f(x) > ớ ọ x S tì t ó f í
tờ ó f í tờ ế dom f = f ữ tr
dom f ó tể ứ r f(x) ồ tr S ỉ
tr ồ tị epi f = {(x, ) S ì R : f(x) } t ồ
f


m
k=1

k
x
k



m
k=1

k
f(x
k
) ớ ọ x
k
S,

m
k=1

k
= 1

k
0,k tr ó m số 2 t tứ s
t hypof = {(x, ) S ì R : f(x) } ọ ó t ớ ồ
tị ủ ó tể t r f õ ỉ t ớ ồ tị ủ ó
t ồ ở ì g ớ g = f tr ớ ồ tị ủ
ột ử tr R
n
ì R
ồ f : S [, +] ó tể ợ ở rộ t ồ
ị tr t R
n
t f(x) = +x / S ì ể
t tờ ét ồ tr t R
n

ột số í ụ q tộ ề ồ (C R
n

t ồ C =
Euclid||x|| =

<x, x> =

x
2
1
+ ããã + x
2
n
, x R
n

ỉ ủ C :
C
(x) =

0 C,
+ ế / C,
tự ủ C : s
C
(x) = sup
yC
<y, x> tr ủ x
T
y tr C
từ ể x R
n
tớ C : d

C
(x) = inf
yC
||x y||.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳ ◆Õ✉ f(x) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ý♥❤ t❤➢ê♥❣ t❤× f(x) =
−∞ t➵✐ ♠ä✐ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ t➢➡♥❣ ➤è✐ x t❤✉é❝ ♠✐Ò♥ ❤÷✉ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ♥ã✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ f(x
0
) = −∞ t➵✐ Ýt ♥❤✃t ♠ét x
0
∈ dom f
✭trõ ❦❤✐ dom f = ∅✮✳ ◆Õ✉ x ❧➭ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ t➢➡♥❣ ➤è✐ ❝ñ❛ dom f t❤× ❝ã ♠ét
x
1
∈ dom f s❛♦ ❝❤♦ x ❧➭ ➤✐Ó♠ tr♦♥❣ t➢➡♥❣ ➤è✐ ❝ñ❛ ➤♦➵♥ [x
0
, x
1
] : x =
λx
0
+ (1 − λ)x
1
✈í✐ λ ∈ (0, 1)✳ ❉♦ f ❧å✐ ✈➭ f(x
1
) < +∞ ♥➟♥
f(x) ≤ λf(x
0

) + (1 − λ)f(x
1
) = −∞. ✷
➜Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ➤➞② ♥➟✉ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ö ➤➳♥❣ ❝❤ó ý ❣✐÷❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ t❐♣ ❧å✐✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳ ●✐➯ sö f : R
n
→ [−∞, +∞] ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ R
n
✈➭
α ∈ [−∞, +∞] ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❝➳❝ t❐♣ ♠ø❝ ❞➢í✐ C
α
= {x : f(x) < α} ,
¯
C
α
=
{x : f(x) ≤ α} ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳ ❚➢➡♥❣ tù✱ ♥Õ✉ f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧â♠ tr➟♥ R
n
t❤× ❝➳❝
t❐♣ ♠ø❝ tr➟♥ D
α
= {x : f(x) > α} ,
¯
D
α
= {x : f(x) ≥ α} ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧å✐✱ t❛ ❝ã
f[λx
1
+ (1 − λ)x

2
] ≤ maxf(x
1
, f(x
2
,∀x
1
, x
2
∈ R
n
, λ ∈ (0, 1).
❚õ ➤ã s✉② r❛ ❝➳❝ ❦Õt ❧✉❐♥ ❝ñ❛ ➤Þ♥❤ ❧ý✳ ✷
◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✶✳ ▼Ö♥❤ ➤Ò ➤➯♦ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❦Õt ❧✉❐♥ tr➟♥ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤➠♥❣ ➤ó♥❣✳
❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ❤➭♠ ❣✐➳ trÞ t❤ù❝ ✭♠ét ❜✐Õ♥✮ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ tr➟♥ ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ t❤ù❝
❝ã t✃t ❝➯ ❝➳❝ t❐♣ ♠ø❝ ❞➢í✐ ❝ñ❛ ♥ã ❧➭ ❧å✐✱ ♥❤➢♥❣ ❜➯♥ t❤➞♥ ❤➭♠ ➤ã ❦❤➠♥❣ ❧å✐
tr➟♥ R✳ ❱Ý ❞ô✱ f(x) = x
3
❧➭ ♠ét ❤➭♠ ♥❤➢ t❤Õ✳
✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
• ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✸✳ ▼ét ❤➭♠ ♠➭ ♠ä✐ t❐♣ ♠ø❝ ❞➢í✐ ❝ñ❛ ♥ã ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐✳ ▼ét ❤➭♠ ♠➭ ♠ä✐ t❐♣ ♠ø❝ tr➟♥ ❝ñ❛ ♥ã ❧➭ t❐♣ ❧å✐ ➤➢î❝ ❣ä✐
❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧â♠✳ ➜➢➡♥❣ ♥❤✐➟♥ ❤➭♠ ❧å✐ ✭❧â♠✮ ❧➭ ❤➭♠ tù❛ ❧å✐ ✭tù❛ ❧â♠✮✳
❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳ ●✐➯ sö f
i
❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ R
n
, α
i

∈ R(∀i ∈ I), I ❧➭ t❐♣ ❝❤Ø
sè ❜✃t ❦ú✳ ❑❤✐ ➤ã✱ t❐♣ s❛✉ ➤➞② ❧➭ ❧å✐✿
C = {x ∈ R
n
: f
i
(x) ≤ α
i
,∀i ∈ I}
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❉♦ C
i
= {x ∈ R
n
: f
i
(x) ≤ α
i
,∀i ∈ I} ❧å✐ ∀i✱ ♥➟♥ C =
∩
i∈I
C
i
❧å✐✳ ✷
• ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✹✳ ❍➭♠ f tr➟♥ R
n
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❞➢➡♥❣ ♥Õ✉
f(λx) = λf(x),∀x ∈ R
n
,∀λ > 0 (⇒ f(0) = 0).
➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳ ❍➭♠ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❞➢➡♥❣ f : R

n
→ (−∞, +∞) ❧➭ ❧å✐ ❦❤✐ ✈➭
❝❤Ø ❦❤✐
f(x + y) ≤ f(x) + f(y),∀x, y ∈ R
n.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❛✮ ●✐➯ sö ❤➭♠ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❞➢➡♥❣ f ❧➭ ❧å✐✳ ▲✃② ❜✃t ❦ú x, y ∈ R
n
✳
❑❤✐ ➤ã
f(x + y) = 2f(
1
2
x +
1
2
y) ≤ 2[
1
2
f(x) +
1
2
f(y)] = f(x) + f(y).
❜✮ ◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ❣✐➯ sö f(x + y) ≤ f(x) + f(y)∀x, y ∈ R
n
✳ ▲✃② ❜✃t ❦ú
(x
i
, α
i
) ∈ epi f✱ tø❝ ❧➭ f(x

i
) ≤ α
i
(i = 1, 2)✳ ❚❛ ❝ã (x
1
+x
2
, α
1
+α
2
) ∈ epi f✱
✷✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên