Đạo hàm và vi phân

Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà
CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
A.LÝ THUYẾT:
1.1 Đạo hàm riêng:
Định nghĩa:Cho hàm 2 biến f:

( ) ( )
yxfZyx
RXRX
,,
22
=→
⊆→

X: tập xác định
Xét
( )
0 0
,f x y
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
/
0
0 0 0 0
/
0
, ,
lim
, ,
lim

x
x
y
y
f x x y f x y
f
x
f x y y f x y
f
y
→
→
+ ∆ −
=
∆
+ ∆ −
=
∆
V
V
1.2 VI PHÂN:
* Định nghĩa:
Cho hàm số z = f (x,y) đạo hàm riêng của hàm số theo biến x, kí hiệu là:
)(xfxZ
x
f
x
z
′
=

′
=
∂
∂
=
∂
∂
là giới hạn
),(),(lim
0
yxfyxxf
x
−∆+
→∆
* Vi phân hai biến:
Định nghĩa:
Cho hàm số z = f(x,y) thì
/ /
2 // 2 // // 2
2
x y
xx xy yy
dz z dx z dy
d z z dx z dxdy z dy
= +
= + +
Tổng quát:
f
yx
zd

n
n








∂
∂
+
∂
∂
=
B. BÀI TẬP:
Câu 1 : Cho hàm số
2 3
( , )
x y
z f x y e
+
= =
Tính
( )
?
n
n
x

z =
Giải:
Ta có:
/ / 2 3 2 3
// / 2 3 2 3
// / / 2 3 2 3
(2 3 ) 2
2(2 3 ) 4
4(2 3 ) 8
x y x y
x x
x y x y
xx x
x y x y
xxx x
z x y e e
z x y e e
z x y e e
+ +
+ +
+ +
= + =
= + =
= + =

⇒

yxnn
x
ez

n
32)(
.2
+
=
Câu 2: Cho hàm số
( , )
y
z f x y xe= =
Tính
( )
4
4
?
y x
z =
Trang 1
Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà
Giải:
Ta có:
( )
4
/ /
// /
/// /
4
/
( )
( )
( )

( )
y y
y y
y y
yy y
y y
yyy y
y y
x
y x
z xe xe
z xe xe
z xe xe
z xe e
= =
= =
= =
⇒ = =

Câu 3 : Cho hàm số
( , ) ln
y
z f x y e x= =
Tính
2
(4)
?
yxy
z =
Giải:

Ta có:
2
/ /
// /
/
// /
/
(4)
( ln ) ln
( ln )
y y
y y
y
y
yx x
y y
yxy
y
y y
yxy
y
z e x e x
e
z e x
x
e e
z
x x
e e
z

x x
= =
= =
 
= =
 ÷
 
 
= =
 ÷
 

Câu 4: Cho hàm số
( , )
xy
z f x y e= =
Tính
5
5
?
x
z =
Giải:
Ta có:
( )
( )
( )
5
/
/

/
// 2
5
5
xy xy
x
x
xy xy
xx
x
xy
x
z e ye
z ye y e
z y e
= =
= =
⇒ =
Câu 5: Cho hàm số
( )
( , ) sinz f x y xy= =
Tính
( ) ( )
?; ?
n n
n n
x y
z z= =
Giải:
Ta có:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
/
/
/
// 2
/
// 2
/
/
/
// 2
sin os
os sin
sin os sin
sin os
os sin

x
x
xx
x
xy
y
y
y
yy
y
z xy yc xy
z yc xy y xy
z y xy c xy xy xy
z xy xc xy
z xc xy x xy
= =
= = −
= − = −
= =
= = −

Câu 6: Cho hàm số
( )
( , ) osz f x y c xy= =
Tính
// // //
?; ?; ?
xx xy yy
z z z= = =
Trang 2

Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
/
/
/
// 2
/
/// 2 3
/
/
os sin
sin cos
os sin
cos
2
os sin
cos

2
n
n
x
x
xx
x
xxx
x
n
n
x
y
y
n
n
y
z c xy y xy
z y xy y xy
z y c xy y xy
z y xy n
z c xy x xy
z x xy n
π
π
= = −
= − = −
= − =
 
⇒ = +

 ÷
 
= = −
 
⇒ = +
 ÷
 
Câu 7: Tìm vi phân cấp một của hàm số:
2 4z x y
= +
Giải:
Ta có:
/ /
x y
dz Z dx Z dy= +
z = x
2
+ 4
y
z
/
x
= (x
2
+ 4
y
)
/
=

2x
z
/
y
= (x
2
+ 4
y
)
/
= 4
y
.ln4

⇒
dz

= 2xdx + 4
y
ln4dy
Câu 8: Tìm vi phân cấp một của hàm số:
( )
yxz
−=
ln
Giải:
Ta có:
/ /
x y
dz Z dx Z dy= +

z =
( )
yx
−
ln

z
/
x
=
( )
/
ln
x
x y−
=
yx
yx
−
−
/
)(
=
( )
1
2
1
2( )
x y
x y

x y
−
=
−
−
z
/
y
=
( )
/
ln
x
x y−
=
yx
yx
−
−
/
)(
=
( )
1
2
1
2( )
x y
x y
x y

−
= −
−
−

1
2( )
dz dx
x y
⇒ =
−
dy
yx )(2
1
−
−

2( )
dx dy
x y
−
=
−
Câu 9: Tím vi phân cấp một của hàm số:
).( xyarcygz
−=
Giải:
Ta có:
/ /
x y

dz Z dx Z dy= +
z =
( )arcyg y x−

Trang 3
Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà
z
/
x

( )
/
( )
x
arcyg y x= −

2
1
1 ( )y x
= −
+ −

z
/
y

( )
/
( )
y

arcyg y x= −

2
1
1 ( )y x
=
+ −


( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
dx dy dy dx
dz
y x y x y x
− −
⇒ = + =
+ − + − + −
Câu 10: Tìm vi phân dz của hàm:
2
2 sin( )z x xy xy= − +
Giải:
/ /
x y
dz Z dx Z dy= +
( )
/
2 2 .cos
x
Z x y y xy= − +

( )
/
2 .cos
y
Z x x xy= − +
( ) ( ) ( )
( )
2 .cos 2 cosdz x y y xy dx x xy dy
 
⇒ = − + − − 
 
 
Câu 11: Tính vi phân cấp 2 của hàm:
2
2
sin
y
exz +=
Giải:
2
2 2
xx
xy
y 2
yy
2(sin ) .sin 2cos sin sin 2
2 .
z 2cos2x
z 0
z 2.e 4 .e

x
y
y
y
z x x x x x
z y e
y
′ ′
= = =
′
=
′′
=
′′
=
′′
= +

2
2 2 2 2
2cos 2 2 (1 2 )
y
d z xdx e y dy⇒ = + +
Câu 12: Cho hàm hai biến
yx
ez
2
+
=
, tính

// // //
?, ?, ?
xx yy xy
z z z= = =
Giải:

/ / 2 2
( 2 )
x y x y
x
z x y e e
+ +
= + =

// / 2 2
( 2 )
x y x y
xx
z x y e e
+ +
= + =

/ 2
' ( 2 ) . 2.
x y x y
y
z x y e e
+ +
= + =

/ 2 2
'' 2.( 2 ) . 4.
x y x y
yy
z x y e e
+ +
= + =

yxyx
x
eeyxz
22//
)2(
++
=+=

yxyx
xy
eeyxz
22///
.2)2(
++
=+=
Câu 13: Tìm vi phân cấp hai
2
d z của hàm hai biến
lnz y x=
Trang 4
Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà

Giải:
Ta có:
2 // 2 // // 2
2
xx xy yy
d z Z dx Z dxdy Z dy= + +
/
//
2
/
//
//
2 2
2
ln
0
1
2
. .
x
xx
y
yy
xy
y
Z
x
y
Z
x

Z x
Z
Z
x
y
d z dx dxdy
x x
=
= −
=
=
=
⇒ = − +
Câu 14: Tìm vi phân cấp hai
2
d z
của hàm hai biến
2 2
sinz x x y= +
Giải:
Ta có:
2 // 2 // // 2
2
xx xy yy
d z Z dx Z dxdy Z dy= + +
/ 2
//
/ 2
//
//

2 2 2
2 sin
2
sin 2 sin 2
2 os2
2sin cos 2sin 2
2 2sin 2 2 os2
x
xx
y
yy
xy
Z x y
Z
Z y x y
Z xc y
Z y y y
d z dx ydxdy xc ydy
= +
=
= +
= −
= = −
⇒ = − −
Câu 15: Tìm vi phân cấp hai
zd
2
của hàm hai biến
.cos
22

yxxz
+=
Giải:
2 // 2 // // 2
2
xx xy yy
d z Z dx Z dxdy Z dy= + +
/ 2
//
/ 2
//
//
2 2 2
2 sin
2
sin 2 sin 2
2 os2
2sin cos 2sin 2
2 2sin 2 2 os2
x
xx
y
yy
xy
Z x y
Z
Z y x y
Z xc y
Z y y y
d z dx ydxdy xc ydy

= +
=
= +
= −
= = −
⇒ = − −
Câu 16: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biếnn
.
32
yxz
=
Trang 5
Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà
Giải:
Ta có:

2 // 2 // // 2
2
xx xy yy
d z Z dx Z dxdy Z dy= + +
( )
( )
( )
//
// 2 3 3
//
// 2 3 2
//
// 2 3 2
2 3 2 2 2 2

2
6
6
2 12 6
xx
xx
xy
xy
yy
yy
z x y y
z x y xy
z x y x y
d z y dx xy dxdy x ydy
= =
= =
= =
⇒ = + +
CHƯƠNG II: CỰC TRỊ
A. LÝ THUYẾT:
1.1 CỰC TRỊ TỰ DO:
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D
⊆
R
2
Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu:
giả thiết:
( ) ( ) ( )
; , , , ( )f a b f x y x y Q P≥ ∀ ∈
lân cận điểm P

Cực tiểu địa phương
( ) ( )
; ,f a b f x y<
Cực trị = cực đại + cực tiểu
Điểm dừng:
( )
;P a b
( ) ( )
; 0; ; 0
f f
a b a b
x y
∂ ∂
= =
∂ ∂
Nếu
f
tồn tại cực trị địa phương thì nó đạt cực trị địa phương tại các điểm dừng
*Phương pháp tìm cực trị tự do:
Z = f(x,y), D
Tìm cực đại:
Bước 1:
//
,
yx
zz
),(
0
/
/

oo
y
x
yxI
z
oz
⇒





=
=

( , )
o o
I x y
được gọi là điểm dừng.
Bước 2:
Tính
//////
,,
yyxyxx
zzz
Trang 6
Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà
Bước 3:
Đặt
( )

( )
ooyy
ooxy
ooxx
yxzC
yxzB
yxzA
,
,
),(
′′
=
′′
=
′′
=
Xét
2
BAC
−=∆
Nếu
∆

<0
→
điểm (x
o
,y
o
) không phải là cực trị

Nếu
( )
oo
yx ,0
→〉∆
là cực trị
Với A>0
⇒
(x
o
,y
o
) là điểm cực tiểu
Với A<0
⇒
(x
o
,y
o
) là điểm cực đại
0
=∆
dùng phương pháp khác hoặc chưa thể kết luận
1.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN:
Cho hàm số z = f(x,y) và hàm số
( )
yx,
ϕ
Điểm (x
o

,y
o
) được gọi là điểm cực trị
của hàn số f(x,y) với điều kiện
( )
0,
=
oo
yx
ϕ
nếu nó là cực trị của z = f(x,y) và
thoả mãn
( )
0,
=
oo
yx
ϕ
* Điều kiện cần:
Giả sử (x
o
,y
o
) là cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện
0),(
=
yx
ϕ
. Ta
giả thiết thêm các hàm f(x,y) ;

( )
yx,
ϕ
có các đạo hàm riêng liên tục trong
lân cận của điểm (x
o,
y
o
). Khi đó sẽ tồn tại một số
λ
thoả:

( ) ( )
( ) ( )
( )









=
=
∂
∂
+
∂

∂
=
∂
∂
+
∂
∂
0;
0;;
0;;
oo
oooo
oooo
yx
yx
y
yx
y
f
yx
x
yx
x
f
ϕ
ϕ
λ
ϕ
λ
(I)

Khi đó (x
o,
y
o
) gọi là điểm dừng

λ
: nhân tử Lagreange
* Phương pháp tìm cực trị có điều kiện :
Cách 1: Từ
( )
0,
=
yx
ϕ
ta tính
( )
y y x=
. Thay
( )
y y x=
vào
( )
( )
,
x
f x y
ta được hàm một biến theo
x
Cách 2:

* Giải hệ (I) để tìm điểm dừng
( )
0 0
,x y
và
o
λ
Trang 7