Tiên đề liên tục

Tiên ĐỀ liên tỤC
Nhóm thực hiện:
1.Trần Thị Thanh
2.Nguyễn Hồng Minh
3.Nguyễn Thị Thúy
4.Nguyễn Thị Thủy
5.Nguyễn Thị Quyết
6.Nguyễn Thùy Dương
7.Nguyễn Thị Hải
8.Lê Thị Tuyết Nga
9.Phạm Lan Phương

1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV

2. Các định lý

3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

4. Đo đoạn thẳng

5. Tọa độ của một điểm

6. Đo góc
Tiên ĐỀ liên tỤC
1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV
Nếu tất cả các điểm của một đường thẳng được chia thành hai lớp
không rỗng sao cho:
-Mỗi điểm của đường thẳng đều thuộc một lớp và chỉ một mà
thôi .
-Mỗi điểm của lớp thứ nhất đều đi trước mỗi điểm của lớp thứ hai.
 Khi đó có một điểm luôn luôn ở giữa hai điểm bất kì thuộc hai lớp.

Có thể coi điểm này là điểm cuối cùng của lớp thứ nhất.Hoặc là điểm
đầu tiên của lớp thứ hai.
Hình 1
1.Tiên đề Đơđơkin hay tiên đề IV

Định nghĩa 16:Người ta gọi điểm phân chia tập hợp các điểm
trên một đường thẳng thành hai lớp trong tiên đề Đơđơkin là
một lát cắt Đơđơkin của đường thẳng.

Chú ý: Sau khi trên một đường thẳng đã có một lát cắt Đơđơkin
ta có thể chọn một trong hai lớp làm lớp thứ nhất và khi đó lớp
còn lại là lớp thứ hai. Việc lựa chọn này thực chất là việc xác
định hướng cho một đường thẳng.
2. Các định lý
2.1.Định lý 31:
Nếu tập hợp các điểm trên một đường thẳng có một
lát cắt Đơđơkin thì điểm đó là duy nhất

2. Các định lý
2.1.Định lý 31:
Chứng minh:

Giả sử trên đường thẳng có hai lát cắt C1 và C2.

Lấy một điểm P thuộc đoạn C1C2.
Hình 2

P ở giữa C1 và C2 nên P vừa thuộc lớp thứ nhất vừa thuộc lớp thứ hai
điều này mâu thuẫn ( vì theo tiên dề đơđơkin điểm P chỉ có thể thuộc
một và chỉ một lớp mà thôi vậy suy ra trên một đường thẳng có một lát

cắt đơ đơ kin thì điểm đó là duy nhất (đpcm)
2. Các định lý
2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto)
Trên một đường thẳng a bất kì nếu ta có một dãy vô hạn
các đoạn thẳng A
1
B
1,
A
2
B
2
,…,A
n
B
n
,…sao cho mỗi đoạn sau đều
nằm trong đoạn trước đó (A
i
B
i
A
i-1
B
i-1
)
Cho trước bất kì một đoạn thẳng AB nào ta cũng có một
số tự nhiên n để cho đoạn A
n
B

n
của dãy bé hơn đoạn AB, thì
khi đó có một điểm C duy nhất thuộc tất cả các đoạn A
i
B
i
của
dãy.
2. Các định lý
2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto)
Chứng minh:

Trước hết ta chứng minh sự duy nhất của điểm C.
Giả sử có hai điểm C
1
và C
2
cùng thuộc tất cả các
đoạn thẳng của dãy tức là C
1
C
2
A
n
B
n
với n bất kì.Điều này
trái với giả thiết là bất cứ đoạn thẳng AB nào cho trước( ở
đây là C
1

C
2
) ta cũng có một số tự nhiên n đủ lớn để cho
đoạn A
n
B
n
của dãy bé hơn đoạn thẳng C
1
C
2
đó.
Vậy điểm C là duy nhất.
2. Các định lý
2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto)
Chứng minh:

Bây giờ ta giả sử trên đường thẳng a có một dãy vô hạn các
đoạn A
1
B
1
, A
2
B
2,
…thỏa mãn điều kiện của tiên đề Căngto.Ta cần
chứng minh có một điểm C thuộc tất cả các đoạn của dãy.
Ta chọn một hướng trên đường thẳng a và giả sử các điểm
A

i
đều đi trước B
i.
2. Các định lý
2.2 Định lí 32 (Tiên đề Căngto)
Chứng minh:
Ta chia các lớp điểm A
i
, B
i
với i=1,2,…,n,… đó như sau:
Tập hợp các điểm A
i
thuộc lớp thứ nhất và tập hợp các điểm B
i
thuộc lớp thứ hai.
Theo giả thiết với i j ta có đoạn A
j
B
j
thuộc đoạn A
i
B
i
.
Vì A
j
ở giữa A
i
và B

j
nên A
i
đi trước B
j
.
Tương tự vì B
j
ở giữa A
j
và B
i
nên A
j
đi trước B
i.
Như vậy với i,j bất kì ta có A
i
đi trước B
j
.Sự phân lớp này thỏa mãn
các điều kiện của tiên đề Đơ đơkin nên trên đường thẳng a có một lát
cắt C. Điểm C này ở giữa hai điểm bất kì thuộc hai lớp và là điểm
thuộc bất cứ đoạn A
n
B
n
nào.
Thật vậy nếu có một đoạn A
n

B
n
nào không chứa điểm C thì hai
điểm đó sẽ thuộc cùng một lớp( trái với giả thiết).
2. Các định lý
Định lí 33 (Tiên đề Acsimet)
Cho hai đoạn thẳng AB và CD bất kì.Khi đó có một số
hữu hạn các điểm A
1 ,
A
2 ,
….,A
n
thuộc đường thẳng AB sắp xếp
sao cho A
1
ở giữa A và A
2
, A
2
ở giữa A
1
và A
3
, …., A
n-1
ở giữa
A
n-2
và A

n
, B ở giữa A và A
n
và sao cho các đoạn AA
1
,
A
1
A
2
,….,A
n-1
A
n
đều bằng đoạn CD.
2. Các định lý
Định lí 33 (Tiên đề Acsimet)
Chứng minh:

Ta chọn chiêu trên đường thẳng AB sao cho A đi trước B.

Giả sử đối với hai đoạn thẳng AB và CD nào đó tiên đề Acsimet
không đúng nghĩa là với mọi n ta đều có điểm A
n
đi trước điểm
B.
2. Các định lý
Ta chia tập hợp các điểm của đường thẳng AB ra hai
lớp như sau:Mỗi điểm đi trước một điểm A
i

nào đó ( những điểm
này cũng đi trước các điểm A
i+1,
A
i+2,
….), được xếp vào lớp thứ nhất.Tất
cả các điểm còn lại của đường thẳng AB đượcxếp vào lớp thứ hai. Mỗi
lớp này đều không rỗng vì lớp thứnhất chứa các điểm A
i
và lớp thứ hai ít
nhất cũng chứa điểmB.Sự phân lớp này thỏa mãn các điều kiện của tiên
đề Đơđơkin nên ta có một lát cắt X.
Định lí 33 (Tiên đề Acsimet)
Chứng minh:
2. Các định lý
Theo tiên đề III
1
và định lí 18 thì đi trước điểm X có một điểm M
sao cho XM trùng CD
Định lí 33 (Tiên đề Acsimet)
Chứng minh:
Vì M đi trước X nên M thuộc lớp thứ nhất và giả sử M đi trước một
điểm A
k
nào đó ( vì mọi điểm A
k
đều đi trước điểm X).
Điểm A
k+1
cũng thuộc lớp thứ nhất nên A

k+1
đi trước X.
Vậy đoạn XM chứa đoạn A
k
A
k+1
XM mà XM trùng CD nên ta suy ra
A
k
A
k+1
trùng CD (vô lý).
2. Các định lý
Định lí 33 (Tiên đề Acsimet)
Chú ý: Dựa vào các nhóm tiên đề I, II, III cùng với các tiên đề
Cangto và Acsimet người ta có thể chứng minh được tiên đề Đơđơkin.
Như vậy là tiên đề Căngto và Acsimet tương đương với tiên đề
Đơđơkin.
3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn
Định nghĩa 17:

Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một đoạn thẳng AB.
Đường tròn tâm O bán kính r là tập hợp tất cả các điểm M của mặt
phẳng sao cho OM ≡ r. Tập hợp các điểm X của mặt phẳng sao cho
OX < r gọi là những điểm trong đường tròn(H.64).

Tập hợp các điểm Y của mặt phẳng sao cho OY > r gọi là những
điểm ngoài đường tròn.
3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn
Định lý 34:

Cho đường tròn tâm O bán kính r. Nếu một đường thẳng d đi
qua một điểm P của đường tròn thì cắt đường tròn đó tại hai điểm
và chỉ hai điểm mà thôi
Chứng minh:
Ta xét hai trường hợp:
3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn
Định lý 34:
Chứng minh:
a/ Trường hợp đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn

Vì d đi qua tâm O của đường tròn,O chia D thành 2 tia bù
nhau.Ta giả sử là Ox và Oy

Theo định lí 18,trên tia Ox ta xác định được duy nhất
điểm M sao cho OM≡r
Tương tự trên tia Oy ta xác định được duy nhất điểm N sao
cho ON≡r
Vậy đường thẳng d đi qua 1 điểm P trong đường tròn và cắt
đường tròn tại
2 điểm và chỉ 2 điểm mà thôi.
3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn
b/ Trường hợp đường thẳng d không đi qua O
#) Chứng minh d cắtđườngtròntại 2 điểm
Định lý 34:
Chứng minh:
3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn
Từ O hạ đường vuông góc xuống d ,cắt d tại A.Khi đó A có
thể trùng với P(Vì P là điểm bất kì nằm trên đường thẳng d)
Theo quan hệ đường xiên và đường cao thì OA ≤ OP. Mà P nằm
trong đường tròn.


Điểm A nằm trong đường tròn tâm O.
Ta lại có điểm A chia đườngthẳng d thành 2 tia bù nhau,ta gọi là
Aa’và Aa’’ trong đó Aa’ là tia chứa điểm P.
Ta lại chia tập hợp tất cả các điểm của Aa’ ra làm 2 lớp:

Lớp 1:gồm những điểm X của tia Aa’ sao cho AX < r

Lớp 2:gồm những điểm Y còn lại của tia Aa’
Định lý 34:
Chứng minh:
3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn
Nhận xét :
+Tồn tại ít nhất điểm P thuộc lớp 1 nên lớp này khác rỗng
+Trên tia Aa’ ta xác định được duy nhất điểm Y saocho AY ≡r(theo
định lí 18)
Trong tam giác vuông OAY có : OY>AY(quan hệ đường xiên)
=>OY>r
=>Điểm Y thuộc lớp 2
=>Lớp 2 khác rỗng
=>Vậy cả lớp 1 và lớp 2 đều không rỗng (1)
Định lý 34:
Chứng minh:
Ta cần chứng minh :Mỗi điểm X của lớp 1 đều đi trước mọi
điểm Y
của lớp 2
Ta có: OX <r(giả thiết)
OY >r(chứng minh trên)
=> OY > OX
Mà theo tính chất của đường vuông góc cùng hình xiên và hình

chiếu ta có:AY>AX nên suy ra X nằm giữa A và Y
=> X đi trước Y (2)
=> Từ (1) và (2) ta suy ra sự phân chia Ax thành 2 lớp đã thoả mãn
các tiên đề của Đơđơkin. Khi đó có một điểm C luôn luôn ở
giữa 2 điểm bất kì thuộc 2 lớp
Ta chứng minh OC ≡ r. Thật vậy,ta tiến hành xét 2 trường hợp
3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn
Định lý 34:
Chứng minh:
3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

TH1: OC<r
Trên Ax lấy điểm E sao cho CE=r – OC và thoả mãn C đi trước E
Trong ▲OCE có : OC + CE >OE
↔ OC + r – OC >OE
↔r >OE
E phải thuộc lớp 1 và E đi trước C(trái giả thiết) (3)
Định lý 34:
Chứng minh:
3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

TH2 :OC>r
Trên Ax ta lấy điểm D đi trước C sao cho :DC OC – r≡
Trong OCD ta có : OD >|OC - DC|▲
↔OD >|OC – OC +r| =|r| =r
↔OD > r
D phải thuộc lớp 2,và C phải đi trước D (điều này trái
giả thiết) (4)
Định lý 34:
Chứng minh:

3. Giao điểm của đường thẳng và đường tròn

Từ (3) và (4) ta suy ra OC ≡ r, C thuộc đường tròn tâm O
bán kính r và C là giao điểm của Aa’ với đường tròn

Chứng minh tương tự, ta cũng có : C’ thuộc đường tròn
tâm O, bán kính r và C’ là giao điểm của Aa’’ với đường
tròn
Như vậy ta suy ra d cắt đường tròn tại 2 điểm

Định lý 34:
Chứng minh: