toan_4_Bai4_PTVPC1_(phan_2).pdf

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG -

ĐHBK

-------------------------------------------------------------------------------------
TOÁN 4 –

HK2 0607
CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
•

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
(SINH VIÊN)
•

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007)
NỘI DUNG

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 –

KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2 –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ
3 –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN
4 –

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH

5 –

PT BERNULLI
TỰ ĐỌC: PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯC VỚI ĐẠO
HÀM & PT RICATTI (SGK, TRANG 135 → 139)
Phương trình vi phân (thường): hàm ẩn y = y(x), biến x
& các đạo hàm (hoặc vi phân) y
(k)
, k = 0, 1 …

n
VD:
03' =+ xy
( )
x
exyyy =++ 3'4''
( ) ( )
0=−−+ dyyxdxyx
1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1
Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp n
Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1:
( )() ( )
( )
( )
( )
0,,'',',, =xyxyxyxyxF
n
K

Dạng tổng quát cấp n:
( ) ( )( )
0',, =xyxyxF
NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD: ydx + xdy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩn
VD:
2
1' yy −=
Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số:
Đồ

thò

nghiệm: đường cong tích phân
()
.,,,
1 n
CCxy
K
ϕ
=
(c) Dạng tham số
(a) Dạng hiện: y = f(x)
(b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0
( )
()
⎩
⎨
⎧

=
=
tyy
txx
Nghiệm PTVP:
Hàm số

y = y(x),
x
∈

khoảng I
⊂

R
VD:
x
ey
dx
dy
2
=−
Nghiệm riêng:
x
ey
2
=
Nghiệm:
xx
eCey

2
+=
nghiệm tổng quát
2. PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế.
Tích phân 2 vế

⇒
Nghiệm (nói chung dạng ẩn)
VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình
xyya =
'/
() ( )
011/
22
=−++ dyxydxyxb
( )
04/ =++ dxxyxdyc
( ) ( )
() ()
() () () ()
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=+
=+
===

0
0
',)('),('
2211
dyygxfdxygxf
dyygdxxf
ygxfyygyxfy
3 dạng (hay gặp)
phương trình vi
phân phân ly biến số
Nhận dạng: Biến x và

y phân ly (separable)
→
Có

thể

tách rời mỗi vế

1 biến! VD:
0
2
=− dxyxdy
2. GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ

lệ

thuận với hiệu nhiệt độ

của vật và

nhiệt độ

không khí.
Biết nhiệt độ

không khí

là

20
°
C và

vật giảm nhiệt độ

từ

100
°
C xuống 60
°
C sau 20 phút. Hỏi sau bao lâu kể

từ

thời điểm đầu, nhiệt độ

của vật sẽ

là

30
°
C?
VD:
xya
3
sin'/ =
y
eyb ='/
x
y
yc
2
'/
=
VD:
()
05cos2/
4
=++ dyydxxxa
( ) ( )
0/
2222
=−++ dyyxxdxxyyb
xyxyyc 2'/

2
=−