Đang tải... (xem toàn văn)
Chia sẻ kiến thức bổ ích môn toán 4 Đại học Bách khoa.
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK -------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 4 – HK2 0607 CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN• BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (SINH VIÊN)• TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2007) NỘI DUNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 – KHÁI NIỆM CƠ BẢN2 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH5 – PT BERNULLITỰ ĐỌC: PT VI PHÂN KHÔNG GIẢI ĐƯC VỚI ĐẠO HÀM & PT RICATTI (SGK, TRANG 135 → 139) Phương trình vi phân (thường): hàm ẩn y = y(x), biến x & các đạo hàm (hoặc vi phân) y(k), k = 0, 1 … nVD: 03' =+ xy( )xexyyy =++ 3'4''( ) ( )0=−−+ dyyxdxyx1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cấp 1 Cấp 2 Cấp 1Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao nhất cấp nDạng tổng quát PT vi phân cấp 1:( )() ( )( )( )( )0,,'',',, =xyxyxyxyxFnKDạng tổng quát cấp n:( ) ( )( )0',, =xyxyxF NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: ydx + xdy = 0: 2 dạng nghiệm hiện, ẩnVD: 21' yy −=Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n hằng số: Đồ thò nghiệm: đường cong tích phân().,,,1 nCCxyKϕ=(c) Dạng tham số(a) Dạng hiện: y = f(x)(b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0( )()⎩⎨⎧==tyytxxNghiệm PTVP: Hàm số y = y(x), x ∈ khoảng I ⊂ RVD:xeydxdy2=−Nghiệm riêng:xey2=Nghiệm:xxeCey2+=nghiệm tổng quát 2. PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phương pháp: Phân ly x & dx một vế, y & dy một vế. Tích phân 2 vế ⇒Nghiệm (nói chung dạng ẩn)VD: Kiểm tra dạng phân ly của các ptrình xyya ='/() ( )011/22=−++ dyxydxyxb( )04/ =++ dxxyxdyc( ) ( )() ()() () () ()⎢⎢⎢⎣⎡=+=+===00',)('),('2211dyygxfdxygxfdyygdxxfygxfyygyxfy3 dạng (hay gặp) phương trình vi phân phân ly biến sốNhận dạng: Biến x và y phân ly (separable) →Có thể tách rời mỗi vế 1 biến! VD:02=− dxyxdy 2. GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội đi của vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Biết nhiệt độ không khí là 20°C và vật giảm nhiệt độ từ 100°C xuống 60°C sau 20 phút. Hỏi sau bao lâu kể từ thời điểm đầu, nhiệt độ của vật sẽ là 30°C? VD:xya3sin'/ =yeyb ='/xyyc2'/=VD:()05cos2/4=++ dyydxxxa( ) ( )0/2222=−++ dyyxxdxxyybxyxyyc 2'/2=− 2. ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: (x2 + y2)dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x2 + y2), Q = xy!Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) →Đổi biến: u = ax + by + cVD: y’ = (2x + 3y + 1)2 – 2(2x + 3y + 1)Tỷ số:→Đổi biến:⎟⎠⎞⎜⎝⎛=xyfy'uxuyuxyxyu +=⇒=⇒= ''Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng xαyβ, α + β = n ⇒ Phương trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)!VD:xyxyyyb2'/2+=xyya +=1'/ 3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ph/trình vi phân cấp 1:() ( )0,, =+ dyyxQdxyxP( )()()⎩⎨⎧==2,'1),('yxQuyxPuyx1/ T/phân (1) theo x( ) ( )3yCPdxu +=⇒∫2/ Đ/hàm (3) theo y, phối hợp (2) ⇒C(y)Tìm u:PT vi phân Pdx + Qdy = 0: toàn phần ⇔Thứ tự: Đạo hàm chéo: P(x, y)dx + Q(x, y)dy()*yP∂∂xQ∂∂=yxxQyP,∀∂∂=∂∂Thoả ĐK (*) ⇒∃u(x,y): du = Pdx + Qdy ⇒Nghiệm u = C 3. THỪA SỐ TÍCH PHÂN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Pdx + Qdy = 0: không thoả đ/kiện vi phân toàn phần ⇒Tìm μ(x, y) để (μPdx+μQdy) vi phân tphần ⇔∂(μP)/∂y = ∂(μP)/∂yVD: Tìm thừa số tích phân & Giải ptrình vphân (x2 + y2 +x)dx + xydy = 0 ()∫=⇒=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂dxxfexxfQxQyP)()(μ()∫=⇒=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂−dyygeyygPxQyP)()(μVD: Giải ptrình vi phân y(1 + xy)dx – xdy = 0 VD: Giải (3e3xy – 2x)dx + (e3x + siny) dy = 0 SGK, trang 194: Ch/minh (tìm) μ = μ(x2 + y2): dạng cho trước! 4. PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y’ = a(x)y + b(x) (E): không thuần nhất (có vế phải) ⇒PT thuần nhất (không vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E0 )Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chỉ chứa y bậc 1 (ở tử số)y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo yTuyến tính theo x = x(y)!VD: Xác đònh phương trình tuyến tính:xexyyc =+3'/32'/ xyxya =−( )022/2=−+ dyxyydxd32'/ xyeybx=+Không tuyến tính: Chứa y2, (y’)3 . Giải (3e3xy – 2x)dx + (e3x + siny) dy = 0 SGK, trang 1 94: Ch/minh (tìm) μ = μ(x2 + y2): dạng cho trước! 4. PT VI PHÂN CẤP 1 TUYẾN TÍNH -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y’. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: (x2 + y2)dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x2 + y2), Q = xy!Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c) →Đổi biến: u =