Báo cáo nghiên cứu khoa học: "MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN" doc

MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI
ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN
A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND
ORDER ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON
UNBOUNDED DOMAINS


NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
NGUYỄN CỬU HUY
HV Cao học khoá 2004-2007


TÓM TẮT
Các tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục
trên miền bị chặn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như các nguyên lý so sánh, các định
lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh
của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị
chặn.
ABSTRACT
The properties of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of
second order on bounded domains have been investigated by many authors providing
comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems. This paper describes a
comparison principle for a viscosity solution of second order elliptic partial differential equations
on unbounded domains.


1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục có dạng:

F( u, Du,
2
D
u) = f(x), (1.1)

trong đó, F: R 
n
R
 S(n)  R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông đối
xứng cấp n. Ta xét hàm số F( u, Du,
2
D
u) với u là một hàm số giá trị thực xác định trên toàn
n
R
, Du là ký hiệu gradient của u và uD
2
ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai
của u, và f là một hàm cho trước. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của bài toán sau đây, Du và
2
D
u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai.

Ta khảo sát tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình F = f, trong đó F phải thỏa
mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition):

F(r, p, X)

F(s, p, Y) với r


s và Y

X. (1.2)

Trong đó r, s

R, p


n
R
, X, Y

S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó.

Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện:

F(r, p, X)

F(s, p, X) với r

s (1.3)

F(r, p, X)

F(r, p, Y) với Y

X. (1.4)
2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN

2.1. ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM NHỚT

Để mô tả nghiệm nhớt cho phương trình (1.1) ta sử dụng các ký hiệu sau đây :


{)( 
n
RC |: RRu
n

u liên tục trên
}
n
R




{)( 
n
RUC |: RRu
n

u liên tục đều trên
}
n
R
.

Cho
)(
n
RCu 
. Ta ký hiệu
,2
J
và
,2
J
của hàm số u như sau:
,2
J
u(
x
)={
))(),((
2
xDxD


n
R

S(n) |

là
2
C

và


u
đạt cực đại địa phương tại
x
}
,2
J u(
x
)={ ))(),((
2
xDxD


n
R

S(n) |

là
2
C và


u
đạt cực tiểu địa phương tại
x
}

Ta định nghĩa :

,2
J u(x) ={(p, X)


n
R

S(n) |

(
n
x ,
n
p ,
n
X )


n
R

n
R

S(n), (
n
p ,
n

X )

,2
J
u(
n
x ) và
(
n
x
, u(
n
x
),
n
p
,
n
X
)

( x, u(x), p, X)}

,2
J u(x) ={(p, X)


n
R


S(n) |

(
n
x ,
n
p ,
n
X )


n
R

n
R

S(n), (
n
p ,
n
X )

,2
J
u(
n
x ) và
(
n

x
, u(
n
x
),
n
p
,
n
X
)

( x, u(x), p, X)}.

ĐỊNH NGHĨA:

a. Một nghiệm nhớt dưới của phương trình (1.1) là một hàm u

)(
n
RC
sao cho :
F( u(x), p, X)

f(x) với mọi
n
Rx  và ( p, X)

,2
J u(x) ;

b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1) là một hàm u

)(
n
RC sao cho :
F(u(x), p, X)

f(x) với mọi
n
Rx 
và ( p, X)

,2
J
u(x) ;

c. Một nghiệm nhớt của phương trình (1.1) là một hàm u

)(
n
RC
sao cho u vừa là
nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1).

2.2. TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM

Định lý: Cho
)(
n

RUCf 
. Giả sử F
))(( nSRRUC
n

thỏa mãn (1.2) và tồn tại một số
thực 0


, một hàm liên tục ),0[),0[:




thỏa mãn 0)0(



sao cho :

(i)


)( sr

F(r, p , X) - F(s, p, X) với
,
s
r


),(),( nSRXp
n



(ii) F(r, p, X) - F(r, q, Y) )|(| YXqp 

với mọi p, q
n
R

, r
R

, và X, Y )(nS

. Khi
đó, nếu u là nghiệm nhới dưới của (1.1) và v là nghiệm nhớt trên của (1.1) sao cho u và v biến
thiên hầu tuyến tính, thì u
v

trên
n
R
.



Chứng minh:

Ta chứng minh định lý theo hai bước. Trước hết, ta lưu ý rằng vì )(
n
RUCf  nên tồn tại một
hằng số K sao cho :



)||)()((sup yxKyfxf
nn
RR
, (2.1)

ta sẽ chứng minh rằng



)||
2
)()((sup yx
K
yvxu
nn
RR

. (2.2)
Vì u và v biến thiên hầu tuyến tính, nên tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:

|)|||1()()( yxLyvxu





trên
nn
RR 
. (2.3)

Chọn một họ
r

các hàm
2
C
trên
n
R
được tham số hóa bởi
1

r
với các tính chất:

(i) ,0
r



(ii) ,2
||

)(
inflim
||
L
x
x
r
x




(iii) CxDxD
rr
 )(|)(|
2

với
,,1
n
Rxr 


(iv)
0)(lim 

x
r
r


với
n
Rx 
,
trong đó C là một hằng số. Từ (2.3) và (ii), ta thấy hàm số :

))()(()||1(
2
)()(),(
2/12
yxyx
K
yvxuyx
rr





đạt giá trị lớn nhất tại điểm ).,( yx Bây giờ hoặc (2.2) đúng hoặc với r lớn ta có 0),(


yx và
điều này cho ta :

).()(||
2
yvxuyx
K



(2.4)

Lưu ý rằng

))(),((
2
 xDZxDp
rr

,2
J
u(
x
)

))(),((
2
 yDZyDp
rr

,2
J v(
y
),

trong đó,

yxzz
zD

K
p

 |))||1(
2
(
2/12

,
yxzz
zD
K
Z

 |))||1(
2
(
2/122

.

Theo định nghĩa nghiệm nhớt, ta có :

)())(),(),((
2
xfxDZxDpxuF
rr



)())(),(),((
2
yfyDZyDpyvF
rr


.

Từ đây ta dùng (2.4) và lưu ý rằng
p
và
Z
là bị chặn và độc lập với
1

r
, ta có


(


))()( yvxu ))(),(),((
2
xDZxDpxuF
rr

 - ))(),(),((
2

xDZxDpyvF
rr




= ))(),(),((
2
xDZxDpxuF
rr

 -
))(),(),((
2
yDZyDpyvF
rr




+
))(),(),((
2
yDZyDpyvF
rr


- ))(),(),((
2
xDZxDpyvF

rr



CyvxuCyxKCyfxf  ))()((
2
||)()(

,

trong đó C là hằng số độc lập với
1

r
. Do đó )()( yvxu

là bị chặn độc lập với
1

r
.

Vì ),( yx

),()(),( yvxuyx




nên ta cho



r
và thu được
2/12
)||1(
2
)()( yx
K
yvxu 


là bị chặn và như vậy (2.2) đúng.

Bây giờ, ta quay trở lại định lý. Giả sử tồn tại một
x
~
sao cho

.02)
~
()
~
(




xvxu
Ta đặt

),|||(|||
2
)()(),(
222
yxyxyvxuyx 



trong đó


,
là các tham số dương.

Với

đủ nhỏ, ta thấy



)
~
,
~
( xx và theo (2.2)

đạt cực đại tại ),
ˆ
,

ˆ
( yx và tại đó:

,
4
|
ˆˆ
|
4
|
ˆˆ
|
2
)
ˆ
()
ˆ
()|
ˆ
||
ˆ
(||
ˆˆ
|
2
2
2
2222
C
K

yxCyx
K
yvxuyxyx 





(2.5)
với một hằng số C nào đó. Hơn nữa, tồn tại S(n),

YX sao cho

 )2,
ˆ
2)
ˆˆ
(( IXxyx

,2
J ),
ˆ
(xu  )2,
ˆ
2)
ˆˆ
(( IYyyx

,2
J )

ˆ
(yv

và
-3









I
I
0
0










 Y
X

0
0


3









 II
II

-
. (2.6)

Như trên, ta thu được

(  ))
ˆ
()
ˆ
( yvxu )2,
ˆ
2)
ˆˆ

(),
ˆ
(( IXxyxxuF

 - )2,
ˆ
2)
ˆ
ˆ
(),
ˆ
(( IXxyxyvF








= )2,
ˆ
2)
ˆˆ
(),
ˆ
(( IXxyxxuF

 - )2,
ˆ

2)
ˆˆ
(),
ˆ
(( IYyyxyvF




+ )2,
ˆ
2)
ˆˆ
(),
ˆ
(( IYyyxyvF

 - )2,
ˆ
2)
ˆ
ˆ
(),
ˆ
(( IXxyxyvF










)
ˆ
()
ˆ
( yfxf


+ )2,
ˆ
2)
ˆˆ
(),
ˆ
(( IYyyxyvF



- )2,
ˆ
2)
ˆ
ˆ
(),
ˆ
(( IXxyxyvF







.


Vì
),
ˆ
()
ˆ
()
~
,
~
( yvxuxx





và vì
Y
X

theo (2.6), ta có

 |)

ˆˆ
(| yx
f

)2,
ˆ
2)
ˆˆ
(),
ˆ
(( IXyyxyvF


- )2,
ˆ
2)
ˆ
ˆ
(),
ˆ
(( IXxyxyvF






,

trong đó

f

là modulus liên tục của f .
Ta lưu ý rằng, từ (2.5) ta thấy
2
|
ˆˆ
| yx 

và )|
ˆ
||
ˆ
(|
22
yx 

là bị chặn độc lập với 1


và
.10



Vì vậy 0
ˆ
,
ˆ


yx


và
)
ˆˆ
( yx 

vẫn bị chặn khi
.0


Mặt khác 0|
ˆ
ˆ
|


yx khi



đều đối với
.0


Do đó, từ giả thiết liên tục đều của f và F ta nhận được khi cho
0



rồi thì



:
,0



và đưa đến điều vô lý. Như vậy, định lý được chứng minh.

3. KẾT LUẬN

Bài báo đã đưa ra một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm
riêng cấp hai phi tuyến loại elliptic trong miền không bị chặn. Trong trường hợp này, giả thiết
nghiệm biến thiên hầu tuyến tính là cần thiết để đánh giá nghiệm khi miền khảo sát không bị
chặn. Tất nhiên, chúng ta có thể nghiên cứu bài toán này mà không cần giả thiết ấy, nhưng đó
là vấn đề khá phức tạp.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions, User’s guide to viscosity solutions of second
order partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc 1[27], 1992.

[2] M. G. Crandall, P. L. Lions, The maximum principle for semicontinuous functions,
Diff. Int. Equ. [3], 1990.

[3] R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second
order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal. [101], 1988.