241289

MÅÍ ÂÁƯU.
Cáúu trục âải säú âỉåüc xạc âënh båíi viãûc cho trãn táûp
nãưn mäüt hay nhiãưu phẹp toạn trong hay ngoi tha mn cạc tiãn
âãư â cho. Ngoi ra chụng ta cọ thãø xáy dỉûng mäüt cáúu trục
âải säú bàòng cạch láúy âäúi ngáùu mäüt cáúu trục â cọ.
Âải säú l mäüt cáúu trục phong phụ, nọ cọ cáúu trục mä
âun (phẹp toạn cäüng v phẹp nhán ngoi) âäưng thåìi cng cọ
cáúu trục vnh (phẹp nhán trong). Âáy l cáúu trục âỉåüc sỉí
dủng nhiãưu trong toạn hc hiãûn âải.
Âäúi âải säú l mäüt cáúu trục âỉåüc xáy dỉûng trãn viãûc
láúy âäúi ngáùu ca âải säú thäng qua ngän ngỉỵ tenxå. Chênh vç
váûy cáúu trục ny ráút gáưn våïi cáúu trục âải säú.
Trong tiãøu lûn ny chụng täi trçnh by mäüt säú âënh
nghéa v tênh cháút cå bn ca âäúi âải säú âäưng thåìi âỉa ra
cạc vê dủ âãø minh hoả cho âënh nghéa, tênh cháút âọ cng nhỉ
viãûc so sạnh hai cáúu trục nọi trãn.
Tiãøu lûn ny l sỉû cäú gàõng ca bn thán chụng täi
trong quạ trçnh tiãúp thu, hc táûp, tham kho cạc ti liãûu. Tuy
nhiãn, tiãøu lûn cng cn nhiãưu hản chãú.
Mong âỉåüc sỉû thäng cm ca qu tháưy cä.
Xin chán thnh cm ån!
I. TỌM TÀÕT L THUÚT
1. Têch tenxå
1.1. Âënh nghéa: Cho M
R
;
R
N l cạc mä dun
1
Càûp ( T, τ) bao gäưm: T nhọm aben
τ: M x N → T l ạnh xả song tuún tênh

âỉåüc gi l têch tenxå ca M v N nãúu våïi mi nhọm
aben A v våïi mi ạnh xả song tuún tênh.
β: M x N → A
Täưn tải duy nháút Z - âäưng cáúu f: T → A
sao cho gin âäư sau giao hoạn:
M x N → T
f
β
A
2. Âải säú v âäúi âải säú:
Âải säú hay âäúi âải säú âỉåüc xáy dỉûng trãn mäüt vnh cå
såí R. ÅÍ pháưn ny ta chè xẹt R l vnh giao hoạn cọ âån vë 1 ≠ 0.
2.1.Âải säú.
2.1.1. Âënh nghéa: Chụng ta chè xẹt âënh nghéa ca âải säú
qua ngän ngỉỵ tenxå (mủc âêch l âãø láúy âäúi ngáùu).
Âënh nghéa: Mäüt R - mäâun A âỉåüc gi l R - âải säú nãúu
täưn tải mäüt âäưng cáúu R - mäâun
µ: A ⊗
R
A → A
(µ âỉåüc gi l phẹp nhán ca A).
2.2. Âäúi âải säú.
Láúy âäúi ngáùu ca âënh nghéa âải säú ta cọ âënh nghéa
âäúi âải säú.
2.2.1. Âënh nghéa: Mäüt R - mänâun C âỉåüc gi l R- âäúi
âải säú nãúu täưn tải mäüt R- âäưng cáưu ∆: C → C ⊗
R
C
(∆ âỉåüc gi l âäúi nhán ca C)
2.3. Nháûn xẹt:

-µ

(∆) l cạc R- âäưng cáúu ⇒ A ⊗ A (C ⊗ C)
l cạc mäâun ⇒ A (C) l cạc song mäâun âiãưu ny âỉåüc
gii thêch båíi R l vnh giao hoạn.
- R- âải säú A ráút gáưn våïi R- âäúi âải säú C.
Âiãưu ny do kh nàng láûp âỉåüc mäüt têch cạc R- âäưng
cáúu tỉì C.
2
τ
Cuỷ thóứ: Tọửn taỷi R- õọửng cỏỳu.
Hom
R
(C, A) Hom
R
(C, A) Hom (C, A)
f g [C C C A A A]
3. Tờnh chỏỳt cuớa õọỳi õaỷi sọỳ:
Caùc õaỷi sọỳ õổồỹc phỏn loaỷi tuyỡ theo tờnh chỏỳt cuớa pheùp
nhỏn trong noù. ióửu naỡy cuợng õổồỹc dióựn õaỷt theo ngọn ngổợ
tenxồ vaỡ bũng caùch lỏỳy õọỳi ngỏựu ta cuỡng coù caùc tờnh chỏỳt
tổồng ổùng cuớa õọỳi õaỷi sọỳ
3.1. Tờnh õọỳi kóỳt hồỹp.
3.1.1. ởnh nghộa: Cho : C C C laỡ mọỹt õọỳi õaỷi sọỳ. C
õổồỹc goỹi laỡ õọỳi kóỳt hồỹp nóỳu vồùi moỹi R- õaỷi sọỳ kóỳt hồỹp à :
A A A, Hom
R
(C, A) laỡ mọỹt õaỷi sọỳ kóỳt hồỹp.
Nhỏỷn xeùt: Tờnh õọỳi kóỳt hồỹp cuớa õọỳi õaỷi sọỳ õổồỹc
chuyóứn qua tờnh kóỳt hồỹp cuớa õaỷi sọỳ Hom

R
(C, A).
3.1.2. Móỷnh õóử.
Caùc õióửu kióỷn sau laỡ tổồng õổồng õọỳi vồùi R- õọỳi õaỷi sọỳ
C.
(1) C laỡ õọỳi kóỳt hồỹp.
(2) Giaớn õọử laỡ giao hoaùn
C C
R
C
id
C
R
C C
R
C
R
C
Nghộa laỡ (id )
o
= ( id)
o

3.2. Tờnh õọỳi giao hoaùn.
3.2.1. ởnh nghộa: Cho : C C
R
C laỡ õọỳi õaỷi sọỳ.
C õổồỹc goỹi laỡ õọỳi giao hoaùn nóỳu vồùi moỹi R- õaỷi sọỳ giao
hoaùn
à : A

R
A A, Hom (C, A) laỡ õaỷi sọỳ giao hoaùn.
Nhỏỷn xeùt: Tờnh õọỳi giao hoaùn cuớa õọỳi õaỷi sọỳ õổồỹc
chuyóứn qua tờnh giao hoaùn cuớa õaỷi sọỳ Hom (C, A).
3.2.2. Móỷnh õóử: Caùc õióửu kióỷn sau laỡ tổồng õổồng õọỳi
vồùi õọỳi õaỷi sọỳ C
(1) C laỡ õọỳi giao hoaùn.
(2) Giaớn õọử sau laỡ giao hoaùn.
C C
R
C
3

f g
à

id
τ
∆ C ⊗
R
C
Trong âọ: τ: C ⊗
R
C → C ⊗
R
C
x ⊗ y → y ⊗ x
3.3. Âäúi âån vë.
3.3.1. Âënh nghéa: Cho ∆: C → C ⊗
R

C l mäüt âäúi âải säú.
Mäüt R- âäưng cáúu ε: C → R âỉåüc gi l âäúi âån vë ca C
nãúu våïi mi R- âải säú cọ âån vë A, R- âải säú Hom
R
(C, A) l
mäüt âải säú cọ âån vë âàûc biãût ε l âån vë ca Hom
R
(C
1
, R).
3.3.2. Mãûnh âãư.
Cạc âiãưu kiãûn sau l tỉång âỉång âäúi våïi R- âäúi âải säú
C.
(1) C cọ âäúi âån vë ε: C → R
(2) Gin âäư sau giao hoạn:
R ⊗
R
C C ⊗
R
C C ⊗
R
R
∆
1
−
l
υ
C
1
−

r
υ
Trong âọ:
l
υ
(r ⊗ c) = r c v
r
υ
(c ⊗ r) = c r
Nghéa l: (ε ⊗ id)
o
∆ =
1
−
l
υ
( id ⊗ ε)
o
∆ =
1
−
r
υ
II. CẠC VÊ DỦ
1. Âäúi âải säú:
Vê dủ 1: R vnh báút k thç R l Z- âäúi âải säú.
Chỉïng minh: R-Z modun
Xẹt R- âäưng cáúu:
∆: R → R ⊗
Z

R
r → r ⊗ r
0
;(r
0
∈
R)
∆(r
1
+ r
2
) = (r
1
+ r
2
) ⊗ r
0
= r
1
⊗ r
0
+ r
2
⊗ r
0
= ∆ (r
1
) + ∆ (r
2
)

∆ (z.r) = z.r ⊗ r
0
= (r

+ r + r.... + r) ⊗ r
0
= z.( r ⊗ r
0
) =z.∆(r)
z láưn
Vê dủ 2: R l vnh giao hoạn cọ âån vë 1 ≠ 0 tỉì R l R -
âäúi âải säú.
Chỉïng minh: R l R-mäâun
4
ε ⊗ id
id ⊗ ε
Xeùt R-õọửng cỏỳu
: R R R
r r 1
(r
1
+ r
2
) =(r
1
+ r
2
) 1= r
1
1+ r

2
1= (r
1
) + (r
2
)
(r.r) = (r.r) 1 = r r.1 = (r 1) r = (r) r
Vờ duỷ 3: Cho F laỡ R- mọõun tổỷ do vồùi cồ sồ ớ f
x

X
X laỡ tỏỷp naỡo õoù
Khi õoù : F laỡ R- õọỳi õaỷi sọỳ
Xeùt : F F F
f
x
f
x
f
x0
Vờ duỷ 4: Cho R laỡ vaỡnh giao hoaùn coù õồn vở 1 0.
Vaỡnh õa thổùc mọỹt bióỳn R [x] cuỡng pheùp nhỏn vọ hổồùng
thọng thổồỡng cuớa õa thổùc laỡ mọỹt R- õọỳi õaỷi sọỳ.
Xeùt : R [x] R [x] R[x]
f(x) f ( x) f
0
(x)
Tọứng quaùt: Vaỡnh õa thổùc n bióỳn cuợng laỡ R _õọỳi õaỷi sọỳ.
Vờ duỷ 5:
R-modun M

n
(R) =
{ }
njiRanxna
ijij
..1,,,)(
=
cuỡng vồùi pheùp nhỏn
thọng thổồỡng caùc ma trỏỷn vuọng cỏỳp n laỡ mọỹt R-õọỳi õaỷi sọỳ.
Xeùt : M
n
(R) M
n
(R) M
n
(R)
A A I
2. ọỳi kóỳt hồỹp
Vờ duỷ 1:
R laỡ vaỡnh giao hoaùn coù õồn vở 1 0 . R laỡ õọỳi õaỷi sọỳ vaỡ R
laỡ õọỳi kóỳt hồỹp

R R
R
R
id
id
R
R
R R

R
R
R
R
Trong õoù: (r) = r 1 sồ õọử trón giao hoaùn
3. ọỳi giao hoaùn
Vờ duỷ 1:
R laỡ vaỡnh giao hoaùn coù õồn vở 1 0 . R laỡ R-õọỳi õaỷi sọỳ vaỡ R
laỡ õọỳi giao hoaùn
5