skkn tìm hiểu bài toán cức trị hình học giải tích trong mặt phẳng oxy

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT VĂN GIANG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI
TÍCH
1
TRONG MẶT PHẲNG OXY

BỘ MÔN TOÁN HỌC
GIÁO VIÊN: ĐÀO QUANG BÌNH
ĐƠN VỊ: TỔ TOÁN TIN – THPT VĂN GIANG
Năm học 2013-2014
MỞ ĐẦU
2
1. Lý do chọn đề tài
Xuất phát từ những bài toán trong thực tế, bài toán
cực trị là mô hình đơn giản của các bài toán kinh tế
trong cuộc sống. Với tinh thần đổi mới giáo dục trong
các đề thi Đại học của những năm gần đây, bài toán cực
trị được đưa vào thường xuyên. Điều đó đặt ra cho quá
trình giảng dạy bộ môn Toán học cần phải chú ý rèn
luyện cho học sinh những dạng toán này, nhằm đáp ứng
với đòi hỏi của thực tiễn và đưa giáo dục nói chung và
Toán học nói riêng gần hơn với cuộc sống.
Với lý do trên cùng với mong muốn nâng cao chất
lượng bài giảng, chất lượng quá trình giáo dục chúng tôi
mạnh dạn “Tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải
tích trong mặt phẳng Oxy”.
2. Mục đích nghiên cứu
3
Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương

pháp giải bài toán cực trị hình học giải tích.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Đề xuất một số phương pháp giải bài toán cực trị
trong hình học giải tích.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán học ở
trường phổ thông.
Đối tượng: Các phương pháp giải bài toán cực trị
trong hình học giải tích.
5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cực trị
trong hình học giải tích được giảng dạy tại trường
THPT Văn Giang trong 02 năm học 2012-2013; 2013-
2014.
6. Giả thuyết khoa học
4
Hiện nay việc giảng dạy và học tập các phương pháp
giải bài toán cực trị trong hình học giải tích còn gặp một
số khó khăn. Nếu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của
tác giả một cách phù hợp thì hiệu quả học tập và giảng
dạy chuyên đề cực trị trong hình học giải tích sẽ tốt hơn.
7. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Phương pháp thống kê Toán học
8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm
Mở đầu
Nội dung
Kết luận
Tài liệu tham khảo

5
6
NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận
1. Các tính chất của Bất đẳng thức
Điều kiện Nội dung
a b a c b c
< ⇔ + < +
0c
>
a b ac bc
< ⇔ <
0c
<
a b ac bc
< ⇔ >
a b
a c b d
c d
<

⇒ + < +

<

0
0
a b
ac bd
c d

< <

⇒ <

< <

2 1 2 1 *
2 2 *
;
0 ;
n n
n n
a b a b n N
a b a b n N
+ +
< ⇔ < ∈
< < ⇒ < ∈
3 3
0 a b a b
a b a b
< < ⇔ <
< ⇔ <

2. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số
( )
f x
xác định trên tập D
Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
( )

f x
trên D nếu
7

( )
(
)
( )
;
ax f x
: .
0 0
f x M x D
M
M
D
x D f x M


⇔



≤ ∀ ∈
=
∃ ∈ =
Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
f x
trên D nếu

( )
(
)
( )
;
min f x
: .
0 0
f x m x D
m
D
x D f x m


⇔



≥ ∀ ∈
=
∃ ∈ =
Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định
nghĩa tương tự.
3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung
bình nhân (AM-GM)
Cho n số không âm:
; ; ;
1 2
a a a

n

khi đó ta có:

1 2

1 2
a a a
n
n
a a a
n
n
+ + +
≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

1 2
a a a
n
= = =

4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki
8
Cho hai bộ n số:
1 2 1 2
, , , ; , , ,
n n
a a a b b b
khi đó ta có bất

đẳng thức:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
. . .
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2

n
n
aa a
b b b
= = =
.
5. Định lý Nếu hàm số
( )
y f x=
liên tục trên đoạn
[ ]
;a b

thì hàm số tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
trên đoạn
[ ]
;a b

.
6. Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng
∆
đi qua
( )
0 0
;M x y
nhận
( )
; 0u a b ≠
r r
làm
vector chỉ phương. Khi đó
∆
có phương trình tham
số là:
0
0
;
.
x x at
y y bt
= +


= +

7. Phương trình tổng quát của đường thẳng
9

Đường thẳng
∆
đi qua điểm
( )
0 0
;M x y
nhận
( )
; 0u a b ≠
r r

làm vector pháp tuyến. Khi đó
∆
có phương trình
tổng quát là:

( ) ( ) ( )
0 0 0 0
x-x 0 x 0; xa b y y a by c c a by+ − = ⇔ + + = = − −
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng
∆
có phương trình tổng quát: ax
+ by + c = 0 và điểm
( )
0 0
;M x y
. Khi đó khoảng cách
từ điểm M đến đường thẳng
∆

được tính bằng công
thức:
( )
0 0
2 2
x
,
a by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
.
9. Góc giữa hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng
1 2
;∆ ∆
lần lượt có phương trình
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2
0 0 ;
0 0 .
a x b y c a b
a x b y c a b
+ + = + ≠

+ + = + ≠
Gọi
α
là góc giữa hai đường thẳng đã cho. Khi đó:

1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
os
.
a a bb
c
a b a b
α
+
=
+ +
.
10
10. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Cho đường thẳng
∆
đi qua
( )
0 0 0
; ;M x y z
nhận
( )
; ; 0n a b c ≠
r r

làm vector pháp tuyến. Khi đó đường thẳng
∆
có
phương trình tổng quát là:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
0 + y + z + d = 0; d = - .a x x b y y c z z ax b c ax by cz− + − + − = ⇔ − −
11. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng
Cho mặt phẳng
( )
: ax + by + cz + d = 0
α
và điểm
( )
0 0 0
; ;M x y z
.
Khoảng cách từ điểm M đến
( )
α
được tính bằng công
thức

( )
( )
0 0 0
2 2 2
x

,
a by cz d
d M
a b c
α
+ + +
=
+ +
.
II. Một số dạng bài toán cực trị hình học giải tích
trong chương trình phổ thông
1. Dạng bài tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị
11
Bài 1 Cho đường thẳng
( ) ( )
: 2 2 0; 0;6 ; 2;5x y A B∆ − + =
. Tìm
điểm
M ∈∆
sao cho:
a)
MA MB+
nhỏ nhất.
b)
MA MB−
lớn nhất.
Lời giải
a)Phân tích:
Bước 1: Xác định điểm
/

A
là điểm đối xứng với A qua
∆
.
12
B
/
A
A
M
∆
Hình 1
Nếu hai điểm A, B khác phía so với
đường thẳng
∆
thì điểm M cần tìm chính
là giao điểm của đường thẳng
∆
với
đường thẳng AB.
Nếu hai điểm A, B cùng phía so với
đường thẳng
∆
(Hình 1) khi đó ta thực
hiện theo các bước sau:
Bước 2: Từ đánh giá:
/ /
MA MB MA MB A B+ = + ≥ =
hằng số.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

/
; ;A M B
thẳng hàng. Nên
ta đi viết phương trình đường thẳng
/
A B
.
Bước 3: Điểm
/
M A B= ∆ ∩
.
Với thuật toán trên ta đi đến lời giải chi tiết cho câu a)
như sau:
Đặt
( )
; 2 2f x y x y= − +
Ta có:
( ) ( )
0;6 0 12 2 10; 2;5 2 10 2 6f f= − + = − = − + = −
.
Như vậy hai điểm
;A B
nằm về một phía so với đường
thẳng
∆
.
Gọi
/
A
là điểm đối xứng với A qua

∆
.
Đường thẳng
/
AA : 2( 0) 1( 6) 0 2 6 0x y x y− + − = ⇔ + − =
Gọi
/
AAI = ∩ ∆
. Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương
trình:
( )
2 6 0 2;
2;2
2 2 0 2.
x y x
I
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒
 
− + = =
 
13
Do I là trung điểm của
/
AA
nên ta có:
( )
/

4; 2A −
Từ đó
( )
/
2;7A B = −
uuuur
.
Đường thẳng
/
: 7( 2) 2( 5) 0 7 2 24 0A B x y x y− + − = ⇔ + − =
Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ phương
trình:
11
;
2 2 0
11 19
4
;
19
7 2 24 0
4 8
.
8
x
x y
M
x y
y

=


− + =


 
⇔ ⇒
 
 ÷
+ − =
 


=


Trong trường hợp câu b) thì thuật toán lại có sự khác
biệt so với câu a). Nếu hai điểm A; B mà nằm về hai
phía so với
∆
thì ta lại phải đi tìm điểm
/
A
đối xứng với
A qua
∆
. Sau đó ta sử dụng đánh giá:
/ /
MA MB MA MB A B− = − ≤ =
hằng số. Dấu bằng xảy ra khi và
chỉ khi

/
, ,M A B
thẳng hàng. Từ đó tìm ra tọa độ của M.
( )
/
M A B= ∩ ∆
Nếu hai điểm
;A B
nằm về cùng một phía so với
∆
thì
ta có ngay đánh giá:
MA MB AB− ≤ =
hằng số. Dấu bằng xảy
14
ra khi và chỉ khi
; ;M A B
thẳng hàng. Do đó điểm M cần
tìm là giao của
AB
với
∆
.
Sử dụng kết quả câu a) ta có hai điểm
;A B
nằm về
cùng phía so với
∆
nên ta có đánh giá:
MA MB AB− ≤ =

hằng
số. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
; ;M A B
thẳng hàng.
Ta có
( )
2; 1AB = −
uuur
nên
:1( 0) 2( 6) 0 2 12 0AB x y x y− + − = ⇔ + − =
Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
5;
2 12 0
7
5;
7
2 2 0
2
.
2
x
x y
M
x y
y
=

+ − =



 
⇔ ⇒
 
 ÷
− + =
=
 



Để củng cố thuật toán trên các em học sinh làm thêm
một số bài tập:
Bài 2
Cho hai điểm
( ) ( )
2;5 ; 4;5A B −
và đường thẳng
: 2 3 0x y∆ − + =
.
Tìm điểm
:M MA MB
∈∆ +
đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số:
3 9
;
2 4
M
 
 ÷
 

)
15
Bài 3
Cho hai điểm
( ) ( )
2; 5 ; 4;5A B− −
và đường thẳng
: 2 3 0x y∆ − + =
. Tìm điểm
:N NA NB∈∆ −
đạt giá trị lớn nhất?
Bài 4
Cho hai điểm
( ) ( )
1;2 ; 0; 1A B −
và đường thẳng
;
:
1 2 .
x t
y t
=

∆

= +

.
Tìm
M ∈∆

sao cho :
a)
MA MB+
đạt giá trị nhỏ nhất.
b)
MA MB−
đạt giá trị lớn nhất.
Vẫn là bài toán tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị
nhưng được hỏi theo hình thức khác. Ta xét ví dụ tiếp
theo.
Bài 5
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm
( )
2;1M
. Đường
thẳng
∆
đi qua M cắt Ox; Oy lần lượt tại
( ) ( ) ( )
;0 ; 0; ; 0; 0A a B b a b> >
.
16
a)Tìm
;a b
để diện tích tam giác OAB đạt giá trị
nhỏ nhất?
b)Tìm
2 2
1 1
; :a b

OA OB
+
đạt giá trị nhỏ nhất?
c)Tìm
; :a b OA OB+
đạt giá trị nhỏ nhất?
a) Lời giải 1
Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có:
: 1
x y
a b
∆ + =
Nhận thấy tam giác
OAB
vuông tại
O
nên:
1
.
2
OAB
S a b
∆
=

Mặt khác do
( )
2 1
1; 1M
a b

∈∆ ⇒ + =
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
( )
2 1 2 2
2 1 2 8; 2ab
a b ab ab
+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
17
Từ đó suy ra:
1
4
2
OAB
S ab
∆
= ≥
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ
khi
( )
2
xảy ra dấu bằng. Khi đó kết hợp với
( )
1
ta có hệ
phương trình:
2 1
4;
2 1 2.
1
a

a b
b
a b

=

=


⇔
 
=


+ =



Bình luận: Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM
và nhận thấy tính hiệu quả cao, lời giải gọn gàng và đẹp.
Vấn đề là học sinh cần tìm hiểu được nhiều cách giải
cho một đề toán. Do vậy một trong những thủ thuật của
người thầy (theo cá nhân tôi) là sau lời giải một bài toán
nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn biến tâm lý: Còn lời
giải nào khác nữa không?. Câu hỏi đó làm cho học
sinh có hứng thú tìm tòi, và phải làm cho học sinh thấy
được chúng ta không nên bằng lòng theo kiểu “ăn xổi”.
a) Lời giải 2
18
Từ kết quả

( )
1
ta rút ra:
2 1
1
2
a
b
a b a
+ = ⇒ =
−
Theo bài ra do
0; 0 2b a a> > ⇒ >
Từ đó:
( ) ( )
2
1
; 2
2 2 4
OAB
a
S ab f a a
a
∆
= = = >
−
Ta đi khảo sát hàm số
( )
f a
trên miền

2a
>
.
( )
( )
( ) ( )
2
2
/
2 2
2 . 2 4 2
2 8
2 4 2 4
a a a
a a
f a
a a
− −
−
= =
− −
( )
( )
( )
/
0
0
4 /
a l
f a

a t m
=

= ⇔

=


Lại có:
( )
2
2 2
lim lim
2 4
a a
a
f a
a
+ +
→ →
= = +∞
−
( )
2
lim lim
2 4
a a
a
f a
a

→+∞ →+∞
= = +∞
−
Lập bảng biến thiên ta có:
a
2
4
+∞
( )
/
f a
−

0
+
( )
f a
+∞
+∞
( )
4f
19
Suy ra:
( ) ( )
min 4 4
2
f a f
a
= =
>

Với
4 2a b= ⇒ =
. Vậy các giá trị cần tìm là:
4;
2.
a
b
=


=

Bình luận: Lời giải 2 có vẻ phức tạp, tuy nhiên việc
sử dụng đạo hàm vào bài toán cực trị cũng cần hết sức
chú ý vì đây cũng là một công cụ rất mạnh trong
chương trình toán phổ thông mà học sinh cần được
trang bị và thành thạo.
b) Lời giải 1
Gọi
H
là chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB
ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
OA OB OH OM
+ = ≥ =
hằng số. Dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi
M H≡

. Tức là
OM AB
⊥
.
20
Vậy ta có hệ phương trình:
2 0 5
;
. 0
2
2 1
1
5.
a b
a
AB OM
M
b
a b
− + =



=
=
  
⇔ ⇔
  
+ =
∈∆



 
=


uuur uuuur
Vậy các giá trị cần tìm là:
5
;
2
5.
a
b

=



=

Bình luận: Trong câu b) ta đã sử dụng kiến thức: độ
dài đường chiếu luôn nhỏ hơn độ dài đường xiên. Giống
như câu a) ta lại có một câu hỏi: Còn lời giải nào khác
nữa không? Và cứ như vậy học sinh sẽ có sự hứng thú
nhất định và các em trở thành những nhà thám hiểm
thực sự trong kho tàng kiến thức!
Để ý thấy:
2 2
2 2

1 1 1 1
OA OB a b
   
+ = +
 ÷  ÷
   
gợi cho ta nhớ tới bất
đẳng thức Bunhiacopxki? Do đó gợi ý cho ta lời giải thứ
2 như sau:
21
b) Lời giải 2
Theo bài ra do
2 1
1M
a b
∈∆ ⇒ + =
Xét:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1
2. 1. 4 1 Bunhiacopxki
a b a b
   
+ ≤ + +
 ÷  ÷
   
2 2
1 1 1
5a b

⇔ + ≥
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2a b=
Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình:
2 5
;
2
2 1
1
5.
b a
a
b
a b
=


=
 
⇔
 
+ =
 
=


Vậy các giá trị cần tìm là:
5
;
2

5.
a
b

=



=

Bình luận: Thật gọn, đẹp! Còn có cách giải khác nữa
không?
22
Đối với câu c) Giáo viên sẽ tránh cho học sinh một sai
lầm khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lời
giải 1 của câu c) như sau:
c) Lời giải 1
Ta có
( )
2 ; 3OA OB a b ab+ = + ≥
(Theo bất đẳng thức
AM-GM)
Mặt khác
( )
2 1 2
1 2 8; 4ab
a b ab
= + ≥ ⇔ ≥
(Theo bất đẳng
thức AM-GM)

Từ đó suy ra:
2 8 4 2OA OB+ ≥ =
. Dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi cả hai đánh giá
( ) ( )
3 ; 4
cùng xảy ra dấu bằng.
Điều đó tương đương với
;
2 1 1
.
2
a b
a b
=



= =


Dễ nhận thấy hệ trên vô nghiệm. Như vậy lời giải là
sai!
c) Lời giải 2
23
Ta có
OA OB a b+ = +
Mặt khác
2 1
1

2
a
b
a b a
+ = ⇒ =
−
Do
0; 0 2a b a> > ⇒ >
Ta được
( )
2
2 2
a a a
OA OB a f a
a a
−
+ = + = =
− −
Ta đi khảo sát hàm số
( )
f a
với
2a
>
Ta có
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2

/
2 2
2 1 2
4 2
2 2
a a a a
a a
f a
a a
− − − +
− +
= =
− −
( )
( )
( )
/
2
0
4 2 0
2 2 ;
2 2 / .
f a
a a
a l
a t m
=
⇔ − + =

= −


⇔

= +

Lại có
( )
( )
2
lim lim
2
2
lim lim
2
2 2
a a
f a
a
a a
a a
f a
a
a a
−
= = +∞
−
→ +∞ → +∞
−
= = +∞
−

+ +
→ →
Ta có bảng biến thiên
a 2
2 2+
+∞
( )
/
f a
- 0 +
( )
f a
+∞
+∞
24
3 2 2+
Từ đó ta có kết luận:
( )
2 2;
min 3 2 2
2 1.
a
OA OB khi
b

= +

+ = +

= +



Củng cố thuật toán các em học sinh làm thêm một số
bài tập sau:
Bài 6
Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, viết phương trình đường
thẳng
∆
đi qua điểm
( )
1;3A −
và cắt các trục Ox, Oy lần
lượt tại M, N sao cho
2 2
2 1
OM ON
+
đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 7
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường
thẳng đi qua điểm
(2;5)A
, cắt chiều dương của các trục
Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N khác gốc toạ độ sao
cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 8
25