Frame

Frame
Huỳnh Thân Phúc - Đặng Lê Quang - Đoàn Tí Cang
Ngày 29 tháng 12 năm 2009
Mục lục
1 Giới thiệu và mô hình khung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Phần tử khung phẳng trong toạ độ tham chiếu . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1 Phương trình chuyển dịch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Tenxơ biến dạng và Tenxơ ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Hàm năng lượng của phần tử khung phẳng . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Phần tử khung phẳng trong hệ toạ độ toàn cục. . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.1 Khung chữ L chịu lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Khung xe đạp chịu lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.1 Nội suy Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Thành lập phương trình vi phân của thanh và dầm. . . . . . . . . 32
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
1 Giới thiệu và mô hình khung
Khung là một kết cấu được tổ hợp từ nhiều phần tử dầm được hàn chặt với nhau. Ví
dụ: kết cấu khung mái, cầu thép, cầu trục, khung xe . . . Với kết cấu như thế, khi có tải
tác dụng thì khung sẽ bị biến dạng. Trong đó, ta chỉ quan tâm đến hai loại biến dạng :
biến dạng uốn và biến dạng dọc trục do kéo (nén).
Hình 1: Ví dụ mô hình khung xe đạp
Mặt khác, ta có thể xem kết cấu khung là sự tổ hợp của phần tử dầm và phần tử
biến dạng dọc trục mà trong đó, ta giả sử rằng : biến dạng dọc trục và biến dạng uốn là
độc lập với nhau. Tuy nhiên, giả thiết này chỉ đúng trong khuôn khổ lý thuyết chuyển
vị bé.
Trong kết cấu khung, các phần tử khung được đặt theo nhiều phương khác nhau. Khi
phân tích, ta chỉ cần xét một phần tử khung. Trong đó ta cần hiểu rằng, mỗi phần tử

khung sẽ được xét trên một hệ toạ độ riêng (hệ toạ độ địa phương) và toàn bộ kết cấu,
ta sẽ sử dụng chung một hệ toạ độ cho tất cả các phần tử (hệ toạ độ toàn cục).
Ta xét một phần tử khung trên hệ trục toạ độ Descartes Oxyz sao cho trục Ox hướng
theo chiều dài và trùng với trục của khung và các trục Oy, Oz tương ứng với các trục
quán tính chính. Trong đó, ta giả thiết các phần tử trong khung sẽ không sẽ không dịch
chuyển theo phương Oy mà chỉ dịch chuyển theo phương Ox và phương Oz.
Trong trường hợp tổng quát mặt cắt ngang của phần tử khung có dạng bất kỳ và có
các sự thay đổi vật lý tại mọi điểm là không giống nhau. Vì vậy, để dễ dàng hơn trong
việc thiết lập cũng như tính toán, ta cần áp dụng giả thiết Euler-Bernoulli
1
cho từng
phần tử khung.
(1) Mặt cắt ngang vuông góc với trục của khung trước và sau biến dạng vẫn vuông
góc trục của khung.
(2) Tiết diện mặt cắt ngang không bị biến dạng khi phần tử khung bị biến dạng.
(3) Độ võng theo phương ngang và góc xoay nhỏ đáng kể đủ để áp dụng giả thuyết
biến dạng nhỏ.
1
Việc giả thiết này, để dễ dàng hơn ta cần xem qua giả thiết này cho bài toán dầm
2
(4) Khung được làm từ vật liệu đàn hồi, tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng.
(5) Trên mỗi tiết diện ngang, trạng thái ứng suất và biến dạng là như nhau.
Hình 2: Một phần tử khung trong hệ toạ độ Oxyz
2 Phần tử khung phẳng trong toạ độ tham chiếu
2.1 Phương trình chuyển dịch
Trên hệ toạ độ Oxyz, do không có sự dịch chuyển theo phương Oy nên ta xét phần tử
khung trên Oxz sao cho trục Ox hướng theo chiều dài khung.
Hình 3: Phần tử khung trên hệ toạ độ Oxz
3
Hình 4: Chuyển dịch của phần tử khung

Gọi u và v là chuyển dịch theo phương x và z của một điểm vật chất trong khung.
- Chuyển dịch theo phương ngang được phân bố đều trên thiết diện nên :
u
z
(x, z) = v(x)
- Chuyển dịch theo phương x là do sự xoay của thiết diện ngang một góc θ =
dv
dx
,
do đó : u
x
(x, z) = u(x) − z
dv(x)
dx
Vậy, trường chuyển dịch của các điểm vật chất bên trong khung là :





u
x
= u(x) − z
dv(x)
dx
u
y
= 0
u
z

= v(x)
2.2 Tenxơ biến dạng và Tenxơ ứng suất
Tenxơ biến dạng được tính như sau. Theo công thức Cauchy :

ij
=
1
2

∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
i

,
4

xx
=
1
2

∂u
x
∂x

+
∂u
x
∂x

=
∂u
x
∂x
=
du
dx
− z
d
2
v
dx
2
.

yy
=
1
2

∂u
y
∂y
+
∂u

y
∂y

=
∂u
y
∂y
= 0.

zz
=
1
2

∂u
z
∂z
+
∂u
z
∂z

=
∂u
z
∂z
= 0.

xy
= 

yx
=
1
2

∂u
x
∂y
+
∂u
y
∂x

= 0.

xz
= 
zx
=
1
2

∂u
x
∂z
+
∂u
z
∂x


= 0.

yz
= 
zy
=
1
2

∂u
y
∂z
+
∂u
z
∂y

= 0.
Vậy, tenxơ biến dạng có dạng :
 =



xx
0 0
0 0 0
0 0 0


(1)

Giả sử môi trường ta đang xét là một vật liệu đàn hồi đồng chất, đẳng hướng. Theo
định luật Hooke, ta tính tenxơ ứng suất theo các hằng số Lamê.
σ
ij
= λθ

δ
ij
+ 2µ
ij
,
trong đó, λ, µ là các hằng số Lamê phụ thuộc vật liệu, θ

là độ giãn thể tích.
θ

= 
xx
+ 
yy
+ 
zz
= 
xx
σ
xx
= λ
xx
+ 2µ
xx

σ
yy
= λ
xx
σ
zz
= λ
xx

ij
= 0 nếu i = j
Vậy, tenxơ ứng suất có dạng:
σ =


λ
xx
+ 2µ
xx
0 0
0 λ
xx
0
0 0 λ
xx


(2)
2.3 Hàm năng lượng của phần tử khung phẳng
Để dễ dàng hơn trong việc xác định năng lượng của phần tử khung trong quá trình biến

dạng, ta chia nhỏ khung thành các phần tử hữu hạn e.
5
Trong quá trình khung bị biến dạng, xuất hiện 2 loại năng lượng biến dạng. Đó là
năng lượng do công của nội lực và công của ngoại lực.
− Năng lượng biến dạng ảo trong dịch chuyển ảo tương ứng của phần tử thứ e là
công của nội lực.
δW
e
(I)
= −

V
e
σ
ij
δ
ij
dV (3)
Với V
e
là thể tích của phần tử thứ e.
− Lực ngoài tác động lên một phần tử gồm: tải trọng q(x) phân bố theo phương
ngang, p(x) là tải trọng phân bố theo phương dọc trục. Ngoài ra còn kể đến các lực suy
rộng Q
e
i
tương ứng với các dịch chuyển suy rộng ∆
e
i
tại phần thử thứ e. Công của lực

ngoài tương ứng với dịch chuyển ảo là :
δW
e
(E)
=
x
e+1

x
e
q(x)δvdx +
x
e+1

x
e
p(x)δudx +
6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
(4)
Trong đó :
- Q
e

1
: Lực dọc trục đặt tại phần tử x
e
.
- Q
e
2
: Lực trượt đặt tại phần tử x
e
.
- Q
e
3
: Mô men uốn tại phần tử x
e
khi có dịch chuyển ngang.
- Q
e
4
: Lực dọc trục đặt tại phần tử x
e+1
.
- Q
e
5
: Lực trượt đặt tại phần tử x
e+1
.
- Q
e

6
: Mô men uốn tại phần tử x
e+1
khi có dịch chuyển ngang.
Hình 5: Các lực suy rộng
6
Các dịch chuyển suy rộng tương ứng là :
∆
e
1
= u(x
e
) ∆
e
4
= u(x
e+1
)
∆
e
2
= v(x
e
) ∆
e
5
= v(x
e+1
)
∆

e
3
= θ(x
e
) ∆
e
6
= θ(x
e+1
)
Nguyên lý công ảo
Nếu vật ở trạng thái cân bằng thì tổng công ảo thực hiện được do công của của nội lực
và công của ngoại lực trên dịch chuyển ảo tương ứng thì bằng không.
δW
e
= δW
e
(I)
+ δW
e
(E)
= 0
hay
δW
e
= −

V
e
σ

ij
δ
ij
dV +
x
e+1

x
e
q(x)δvdx +
x
e+1

x
e
p(x)δudx +
6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
= 0
hay
δW
e
=


V
e
σ
ij
δ
ij
dV −
x
e+1

x
e
q(x)δvdx −
x
e+1

x
e
p(x)δudx −
6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
= 0 (5)

với

V
e
σ
ij
δ
ij
dV =

V
e
σ
xx
δ
xx
dV =

V
e

dδu
dx
− z
d
2
δv
dx
2


σ
xx
dV
=

V
e
dδu
dx
σ
xx
dV −

V
e
z
d
2
δv
dx
2
σ
xx
dV
=

x
e+1
x
e


V
e
dδu
dx
σ
xx
dV −

x
e+1
x
e

V
e
z
d
2
δv
dx
2
σ
xx
dV
=

x
e+1
x

e

dδu
dx

A
e
σ
xx
dA

dx −

x
e+1
x
e

d
2
δu
dx
2

A
e
zσ
xx
dA


dx
Trong đó, ta đặt

V
e
σ
xx
dA = N(x) = N đặc trưng cho lực dọc trục được tính trên đơn vị
độ dài và

V
e
zσ
xx
dA = M(x) = M đại lượng đặc trưng cho mô men quán tính hình học
của tiết diện ngang theo phương Ox.
Khi đó:
δW
e
(I)
=

V
e
σ
ij
δ
ij
dV =


x
e+1
x
e

dδu
dx
N

dx −

x
e+1
x
e

d
2
δu
dx
2
M

dx (6)
7
Theo Nguyên lý công ảo: Chuyển dịch thực là chuyển dịch làm cực tiểu hoá năng
lượng toàn phần của phần tử.
Do đó :
δW
e

= 0
Vì thế từ (5) và (6) ta được:
x
e+1

x
e

dδu
dx
N −
d
2
δu
dx
2
M

dx −
x
e+1

x
e
q(x)δvdx −
x
e+1

x
e

p(x)δudx −
6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
= 0 (7)
Sử dụng công thức tích phân từng phần :
x
e+1

x
e
dδu
dx
Ndx = δuN




x
e+1
x
e
−
x

e+1

x
e
δu
dN
dx
dx (8)
x
e+1

x
e
d
2
δv
dx
2
Mdx =
dδv
dx
M




x
e+1
x
e

−
x
e+1

x
e
dδx
dx
dM
dx
dx
=
dδv
dx
M




x
e+1
x
e
−δv
dM
dx





x
e+1
x
e
+
x
e+1

x
e
δv
d
2
M
dx
2
dx (9)
Thay (8) và (9) vào (7). Để cho gọn ta đặt x
e
= a, x
e+1
= b.
0 = δuN




b
a
−

b

a
δu
dN
dx
dx −
dδv
dx
M




b
a
+δv
dM
dx




b
a
−
b

a
δv

d
2
M
dx
2
dx −
b

a
q(x)δvdx
−
b

a
p(x)δudx −
6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
hay
0 = δu(b)N(b) − δu(a)N(a) −
dδv
dx
(b)M(b) +
dδv

dx
(a)M(a) + δv(b)
dM
dx
(b)
− δv(a)
dM
dx
(a) −
b

a

dN
dx
+ p(x)

δudx −
b

a

d
2
M
dx
2
+ q(x)

δvdx −

6

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
(10)
8
Tại các nút x
e
và x
e+1
có sự chuyển dịch là:
∆
e
1
= u(a) ∆
e
2
= v(a) ∆
e
3
= −
dv
dx
(a)
∆

e
4
= u(b) ∆
e
5
= v(b) ∆
e
6
= −
dv
dx
(b)
Thay vào phương trình (10):
0 = −
b

a

dN
dx
+ p(x)

δudx −
b

a

d
2
M

dx
2
+ q(x)

δvdx + N(b)δ∆
e
4
− N(a)δ∆
e
1
+ M(b)δ∆
e
6
− M(a)δ∆
e
3
+
dM
dx
(b)δ∆
e
5
−
dM
dx
(a)δ∆
e
2
− Q
e

1
δ∆
e
1
− Q
e
2
δ∆
e
2
− Q
e
3
δ∆
e
3
− Q
e
4
δ∆
e
4
− Q
e
5
δ∆
e
5
− Q
e

6
δ∆
e
6
(11)
hay
0 = −
b

a

dN
dx
+ p(x)

δudx −
b

a

d
2
M
dx
2
+ q(x)

δvdx + δ∆
e
1

[−Q
e
1
− N(a)]
+ δ∆
e
4
[N(b) − Q
e
4
] + δ∆
e
2

−
dM
dx
(a) − Q
e
2

+ δ∆
e
3
[−M(a) − Q
e
3
]
+ δ∆
e

5

dM
dx
(b) − Q
e
5

+ δ∆
e
6
[M(b) − Q
e
6
]
(12)
Ta thấy, do các thành phần δ∆
e
i
, i = 1, 6 là độc lập nhau và δu và δv cũng độc lập
nhau nên:
d
2
M
dx
2
+ q(x) = 0 −
dM
dx
(a) − Q

e
2
= 0
dN
dx
+ p(x) = 0
dM
dx
(b) − Q
e
5
= 0 −N(a) − Q
e
1
= 0 M(b) − Q
e
6
= 0
−M(a) − Q
e
3
= 0 N(b) − Q
e
4
= 0
Suy ra các tải trọng:
q(x) = −
d
2
M

dx
2
, p(x) = −
dN
dx
(13)
Và các lực suy rộng :
Q
e
1
= −N(a) Q
e
4
= N(b)
Q
e
2
= −
dM
dx
(a) Q
e
5
=
dM
dx
(b)
Q
e
3

= −M(a) Q
e
6
= M(b)
(14)
9
(∗)Ta tính N và M: Theo định luật Hooke, quan hệ giữa ten xơ ứng suất và ten xơ biến
dạng được biễu diễn bởi:
σ
xx
= E
xx
Cho nên:
N =

A
e
σ
xx
dA =

A
e
E
xx
dA =

A
e
E


du
dx
− z
d
2
v
dx
2

dA
=

A
e
E
du
dx
dA −

A
e
E
d
2
v
dx
2
zdA
=


A
e
E
du
dx
dA
= A
e
E
du
dx
(15)
và
M =

A
e
zσ
xx
dA =

A
e
E
xx
zdA =

A
e

E

du
dx
− z
d
2
v
dx
2

zdA
=

A
e
E
du
dx
zdA −

A
e
Ez
2
d
2
v
dx
2

dA
= −

A
e
Ez
2
d
2
v
dx
2
dA
= −E
d
2
v
dx
2

A
e
z
2
dA
= −EI
(e)
d
2
v

dx
2
(16)
với I
(e)
=

A
e
z
2
dA là mômen quán tính hình học của tiết diện ngang.
Từ phương trình (7) ta được hai phương trình độc lập giữa δu và δv là:
0 =
b

a

dδu
dx
N

dx −
b

a
p(x)δudx − Q
e
1
δ∆

e
1
− Q
e
4
δ∆
e
4
(17)
0 =
b

a

−
d
2
δv
dx
2
M

dx −
b

a
q(x)δvdx − Q
e
2
δ∆

e
2
− Q
e
3
δ∆
e
3
− Q
e
5
δ∆
e
5
− Q
e
6
δ∆
e
6
(18)
Thay N và M ở phương trình (15) và (16) vào phương trình (17),(18) :
0 =
b

a
A
e
E
du

dx
dδu
dx
dx −
b

a
p(x)δudx − Q
e
1
δ∆
e
1
− Q
e
4
δ∆
e
4
(19)
0 =
b

a
EI
e
d
2
v
dx

2
d
2
δv
dx
2
dx −
b

a
q(x)δvdx − Q
e
2
δ∆
e
2
− Q
e
3
δ∆
e
3
− Q
e
5
δ∆
e
5
− Q
e

6
δ∆
e
6
(20)
10
hay
0 =
x
e+1

x
e
A
e
E
du
dx
dδu
dx
dx +
x
e+1

x
e
EI
e
d
2

v
dx
2
d
2
δv
dx
2
dx −
x
e+1

x
e
q(x)δvdx −
x
e+1

x
e
p(x)δudx
− Q
e
1
δ∆
e
1
− Q
e
2

δ∆
e
2
− Q
e
3
δ∆
e
3
− Q
e
4
δ∆
e
4
− Q
e
5
δ∆
e
5
− Q
e
6
δ∆
e
6
(21)
Các phương trình (19),(20) hay (21) là phương trình mô tả các biến dạng của phần tử
khung.

2.4 Xây dựng mô hình phần tử hữu hạn.
Để áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn, ta cần xấp xỉ các hàm chuyển dịch bằng các
hàm nội suy. Để đảm bảo ý nghĩa vi phân (đạo hàm) và các đặc trưng vật lý (uốn và
kéo nén) của chúng, ta sẽ xấp xỉ như sau : chuyển dịch u bằng hàm nội suy Lagrange,
chuyển dịch v bằng hàm nội suy Hermite
2
tại các nút x
e
và x
e+1
.
u(x) = u(x
e
)L
1
(x) + u(x
e+1
)L
2
(x).
v(x) = v(x
e
)H
1
(x) +
dv
dx
(x
e
)H

2
(x) + v(x
e+1
)H
3
(x) +
dv
dx
(x
e+1
)H
4
(x).
trong đó :
• Các hàm nội suy Lagrange :
L
1
(x) =
x
e+1
− x
x
e+1
− x
e
L
2
(x) =
x − x
e+1

x
e+1
− x
e
• Các hàm nội suy Hermite :
2
Tham khảo thêm ở phần Phụ Lục.
11
H
1
(x) = [1 − 2L

1
(x
e
)(x − x
e
)]L
2
1
(x)
=

1 +
2(x − x
e
)
x
e+1
− x

e

x
e+1
− x
x
e+1
− x
e

2
=
1
(x
e+1
− x
e
)
3
(2x + x
e+1
− 3x
e
)(x
e+1
− x)
2
H
2
(x) = (x − x

e
)L
2
1
(x)
= (x − x
e
)

x
e+1
− x
x
e+1
− x
e

2
=
1
(x
e+1
− x
e
)
2
(x − x
e
)(x
e+1

− x)
2
H
3
(x) = [1 − 2L

2
(x
e+1
)(x − x
e+1
)]L
2
2
(x)
=

1 −
2(x − x
e+1
)
x
e+1
− x
e

x − x
e
x
e+1

− x
e

2
=
1
(x
e+1
− xe)
3
(3x
e+1
− x
e
− 2x)(x − x
e
)
2
H
4
(x) = (x − x
e+1
)L
2
2
(x)
= (x − x
e+1
)


x − x
e
x
e+1
− x
e

2
=
1
(x
e+1
− x
e
)
2
(x − x
e+1
)(x − x
e
)
2
Đặt : x
e+1
− x
e
= l
e
thì
L

1
(x) =
1
l
e
(x
e+1
− x)
L
2
(x) =
1
l
e
(x − x
e+1
)
H
1
(x) =
1
(x
e+1
− x
e
)
3
(2x + x
e+1
− 3x

e
)(x
e+1
− x)
2
H
2
(x) =
1
(x
e+1
− x
e
)
2
(x − x
e
)(x
e+1
− x)
2
H
3
(x) =
1
(x
e+1
− xe)
3
(3x

e+1
− x
e
− 2x)(x − x
e
)
2
H
4
(x) =
1
(x
e+1
− x
e
)
2
(x − x
e+1
)(x − x
e
)
2
12
Từ đó, ta có:
u
(e)
(x) = u(x
e
)L

(e)
1
(x) + u(x
e+1
)L
(e)
2
(x) = [L]
(e)
[u]
(e)
(22)
v
(e)
(x) = v(x
e
)H
(e)
1
(x) +
dv
dx
(x
e
)H
(e)
2
(x) + v(x
e+1
)H

(e)
3
(x) +
dv
dx
(x
e+1
)H
(e)
4
(x)
= [H]
(e)
[v]
(e)
. (23)
trong đó :
[L]
(e)
= [L
(e)
1
L
(e)
2
],
[H]
(e)
= [H
(e)

1
H
(e)
2
H
(e)
3
H
(e)
4
] là ma trận các hàm dạng.
[u]
(e)
= [u(x
e
) u(x
e+1
)]
T
,
[v]
(e)
= [v(x
e
)
dv
dx
(x
e
) v(x

e+1
)
dv
dx
(x
e+1
)]
T
là các dịch chuyển nút phần tử.
Thay (22) và phương trình (19), ta được :
x
e+1

x
e
A
e
E

d[L]
(e)
dx
[u]
(e)

d[L]
(e)
dx
[δu]
(e)


dx −
x
e+1

x
e
p(x)[L]
(e)
[δu]
(e)
dx −
2

i=1
Q
e
i
δ∆
e
i
= 0
hay
[δu]
(e)




x

e+1

x
e
A
e
E[B]
(e)T
[B]
(e)
dx


[u]
(e)
−
x
e+1

x
e
p(x)[L]
(e)
dx −
2

i=1
Q
e
i



= 0
Do biến phân là tuỳ ý nên :


x
e+1

x
e
A
e
E[B]
(e)T
[B]
(e)
dx


[u]
(e)
−
x
e+1

x
e
p(x)[L]
(e)

dx −
2

i=1
Q
e
i
= 0 (24)
Đặt
[K
1
]
(e)
=
x
e+1

x
e
A
e
E[B]
(e)T
[B]
(e)
dx và gọi là ma trận độ cứng phần tử,
[P
1
]
(e)

=
x
e+1

x
e
p(x)[L]
(e)
dx +
2

i=1
Q
e
i
là vectơ tải phần tử.
(của phần tử khung khi xuất hiện biến dạng kéo nén dọc trục).
Nên phương trình (24) thành :
[K
1
]
(e)
[u]
(e)
− [P
1
]
(e)
= 0 (25)
13

Tương tự, ta thay (23) và phương trình (20) ta được:
x
e+1

x
e
EI
e

d
2
[H]
(e)
dx
2
[v]
(e)

d
2
[H]
(e)
dx
2
[δv]
(e)

dx −
x
e+1


x
e
q(x)[H]
(e)
[δv]
(e)
dx −
4

j=1
Q
e
j
δ∆
e
j
= 0
hay
[δv]
(e)




x
e+1

x
e

EI
e
[D]
(e)T
[D]
(e)
dx


[v]
(e)
−
x
e+1

x
e
q(x)[H]
(e)
dx −
4

j=1
Q
e
j


= 0
Do biến phân là tuỳ ý nên :



x
e+1

x
e
EI
e
[D]
(e)T
[D]
(e)
dx


[v]
(e)
−
x
e+1

x
e
q(x)[H]
(e)
dx −
4

j=1

Q
e
j
= 0 (26)
Đặt
[K
2
]
(e)
=
x
e+1

x
e
EI
e
[D]
(e)T
[D]
(e)
dx và gọi là ma trận độ cứng phần tử.
[P
2
]
(e)
=
x
e+1


x
e
q(x)[H]
(e)
dx +
4

j=1
Q
e
j
là vectơ tải phần tử .
(của phần tử khung khi có biến dạng uốn).
Nên phương trình (26) thành :
[K
2
]
(e)
[v]
(e)
− [P
2
]
(e)
= 0 (27)
Hai phương trình (25) và (27) chính là hai phương trình phần tử hữu hạn.
[K
1
]
(e)

[u]
(e)
= [P
1
]
(e)
(28)
[K
2
]
(e)
[v]
(e)
= [P
2
]
(e)
(29)
Ta viết lại dạng ma trận như sau :

[K
1
]
(e)
0
0 [K
2
]
(e)


·

{u}
(e)
{v}
(e)

=

{P
1
}
(e)
{P
2
}
(e)

với
[K
1
]
(e)
=

k
11
1
k
12

1
k
21
1
k
22
1

14