Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số

Chương 2: Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số .
2.5 Kĩ thuật đổi biến trong việc áp dụng bất đẳng thức kinh điển .
 Nhận xét :Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặc
khó nhận biết được phương hướng giải, ta có thể chuyển bài toán từ tình thế khó
biến đổi về trang thái dễ biến đổi hơn bằng kĩ năng đổi biến để có thể áp dụng
được các bất đẳng thức kinh điển dễ dàng hơn .
Ví dụ1:

Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng

1 1 1
9
2 2 2
2 2 2a bc b ac c ab
+ + ≥
+ + +
(1)
Giải: Đặt x =
2
2a bc+
; y =
2
2b ac+
; z =
abc 2
2
+
. Ta có
( )
1
2

<++=++ cbazyx

(1)
9
111
≥++⇔
zyx
Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
≥++ zyx
3.
3
xyz
, và:
≥++
zyx
111
3.
3
1
xyz

⇒

( )
9
111
. ≥









++++
zyx
zyx
. Mà x+y+z < 1. Vậy
9
111
≥++
zyx
(đpcm)

Ví dụ 2. Chứng minh rằng:
3
2
c a b
a b b c c a
+ + ≥
+ + +

, , 0a b c∀ >
(BĐT Nesbit)
Giải
Đặt :

0

0 ; ;
2 2 2
0
b c x
y z x z x y x y z
c a y a b c
a b z


⇔



+ = >
+ − + − + −
+ = > = = =
+ = >
.
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
⇔
6
2 2 2
y z x z x y x y z y x z x y z
x y z x y x z z y
   
 
+ + + + + + +
 ÷  ÷
 ÷
 

   
+ − + − + −
≥ ≥
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c
Ví dụ 3. Cho
∆
ABC. Chứng minh rằng :
2 2 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
++ ≥ + +
+ − + − + −
Giải
Đặt :

0
0 ; ;
2 2 2
0
b c a x
y z z x x y
c a b y a b c
a b c z


⇔




+ − = >
+ + +
+ − = > = = =
+ − = >
.
Học viên : Phùng Đức Thành .
Pptoán sơ cấp 2009 - 2011
41
Chương 2: Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số .
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
⇔
( ) ( ) ( )
2 2 2

4 4 4
y z z x x y
x y z
x y z
+ + +
+ + ≥ + +
(2)
Ta có : VT (2)
≥


1 1 1

2 2 2
yz zx xy yz zx zx xy yz xy
x y z x y y z x z

   
 
 ÷  ÷
 ÷
 
   
+ + ≥ + + + + +

ôsi
. . .
C
yz zx zx xy yz xy
x y z
x y y z x z
+ + = + +≥
Ví dụ 4. Cho
∆
ABC. CMR : ( b + c – a ).( c + a – b ).( a + b – c )
≥
abc (1)
Giải
Đặt :

0
0 ; ;
2 2 2
0
b c a x
y z z x x y
c a b y a b c

a b c z


⇔



+ − = >
+ + +
+ − = > = = =
+ − = >
.
Khi đó ta có BĐT (1) tương đương với bất đẳng thức sau :
. .
2 2 2
x y y z z x
xyz
+ + +
≤
Áp dụng BĐT Côsi, ta có :
. . . . x
2 2 2
x y y z z x
xy yz z xyz
+ + +
≥ =
(đpcm)
Ví dụ 5. Cho
∆
ABC. CMR:

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2

1 1 1
p
p a p b p c
p a p c
p b
− − −
− −
−
+ + ≥
(1)
Giải
Đặt :

0
0
0
p a x
p b y
p c z






− = >
− = >
− = >
, (1) ⇔
2 2 2

1 1 1
x y z
xyz
x y z
+ +
+ + ≥
(2)
Ta có:
VT (2) =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
. . .
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x y y z x z x y y z x z
   
 
+ + + +
 ÷  ÷
 ÷

 
   
+ + + ≥
1 1 1
x
x y z
xy yz z xyz
+ +
= + + =
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c ⇔
∆
ABC đều.
Ví dụ 6 Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức:
.ab bc ca abc
+ + =
Chứng minh BĐT:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
b a c b a c
S
ab cb ac
+ + +
= + + ≥
.
Giải:
Học viên : Phùng Đức Thành .
Pptoán sơ cấp 2009 - 2011
42
Chương 2: Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số .

Đặt
1 1 1
, ,x y z
a b c
= = =
thì điều kiện trở thành:
1x y z+ + =
và ta có :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 3S x y y z z x= + + + + + ≥
. Theo BĐT Buniacovski ta có:
2 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( )
3 3
3 3 3
3
x y y z z x x y z
S
+ + + + +
≥ + + = =
(đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi
1
3
x y z= = =
hay
3.a b c= = =
Ví dụ 7 .Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh BĐT:

3 3 3

1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
S
x y z y x z z y x
= + + ≥
+ + +
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: abc=1 và BĐT trở thành:

2 2 2
3
2
a b c
S
b c a c b a
= + + ≥
+ + +
.
Áp dụng BĐT (5) ta có:
2
( ) 3
2( ) 2 2
a b c a b c
S
a b c
+ + + +
≥ = ≥
+ +
Dấu bằng xảy ra khi
1a b c= = =
hay

1.x y z= = =
Ví dụ 8. Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:
1 1 1
1.
x y z
+ + =
Chứng minh BĐT:
x yz y xz z yx xyz x y z+ + + + + ≥ + + +
.
Giải:
Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành:
1a b c
+ + =
và BĐT trở thành:

1a bc b ac c ab ab bc ca+ + + + + ≥ + + +
.
Ta có:

2 2
( ) 2 ( )a bc a a b c bc a a bc bc a bc a bc+ = + + + ≥ + + = + = +
Tương tự ta cũng có:

b ac b ac
c ab c ab
+ ≥ +
+ ≥ +
Cộng các BĐT này lại ta sẽ được đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi
1

3
a b c= = =
hay
3.x y z= = =
Ví dụ 9 . Cho
1=++ cba
.Chứng minh rằng:
3
1
222
≥++ cba
.
Giải:
Đặt
zcybxa +=+=+=
3
1
;
3
1
;
3
1
. Do
.01 =++⇒=++ zyxcba
Học viên : Phùng Đức Thành .
Pptoán sơ cấp 2009 - 2011
43
Chng 2: Cỏc k nng mi chng minh v sang to bt ng thc i s .
Ta cú:

222222
)
3
1
()
3
1
()
3
1
( +++++=++ zyxcba

3
1
3
1
)(
3
2
3
1
222
222
+++=
++++++=
zyx
zyxzyx
Du " = " xy ra
3
1

0 ====== cbazyx
.
Vớ d 10. Cho a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc.
Chng minh rng:
3
+
+
+
+
+ cba
c
bac
b
acb
a
.
Gii:
t x = b + c - a; y = a + c - b; z = a + b - c.
Vỡ a ,b, c l di ba cnh ca tam giỏc nờn x, y, z > 0.
Suy ra
.
2
;
2
;
2
yx
c
zx
b

zy
a
+
=
+
=
+
=

Vy
z
yx
y
xz
x
zy
cba
c
bac
b
acb
a
222
+
+
+
+
+
=
+

+
+
+
+
.
=






++++++ )2()2()2(6
2
1
x
z
z
x
y
z
z
y
x
y
y
x
36.
2
1)()()(

6
2
1
222
=







+

+

+
zx
xz
yz
zy
xy
yx
.
Bi tp:
Bi tp 1. Cho x,y,z l cỏc s thc dng. Chng minh:
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2
2 2 1 1 1
y

x z
x y y z z x x y z
+ + + +
+ + +
Li gii :
+t
0; 0; 0a x b y c z= > = > = >
+VT=
6 4 6 4 6 4 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 1 1 1
2 2 2
a b c a b c
a b b c c a a b b c c a a b b c c a
+ + + + = + +
+ + +
(Theo BT CụSi)
+VP=
4 4 4 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b b c c a
+ + + +
(p dng BT CụSi cho tng cp)
PCM. Du bng xy ra khi v ch khi a = b = c =1 hay x = y = z = 1
Bi tp 2: Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng

1 1 1
1
1 1 1x y y z z x
+ +
+ + + + + +

Li gii :
Đặt x=a
3
y=b
3
z=c
3
thì x, y, z >0 và abc=1.Ta có
Hc viờn : Phựng c Thnh .
Pptoỏn s cp 2009 - 2011
44
Chương 2: Các kĩ năng mới chứng minh và sang tạo bất đẳng thức đại số .
a
3
+ b
3
=(a+b)(a
2
+b
2
-ab)
≥
(a+b)ab, do a+b>0 vµ a
2
+b
2
-ab
≥
ab

⇒
a
3
+ b
3
+1
≥
(a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0

⇒
( )
3 3
1 1
a b 1 ab a b c
≤
+ + + +
Tương tự ta có

( )
3 3
1 1
c 1 bc a b cb
≤
+ + + +
,

( )
3 3
1 1
a 1 ca a b cc

≤
+ + + +
Céng theo vÕ ta cã
1 1 1
1 1 1x y y z z x
+ +
+ + + + + +
=
3 3
1
a b 1+ +
+
3 3
1
c 1b + +
+
3 3
1
a 1c + +
≤

( )
1 1 1 1
a b c ab bc ca
 
+ +
 ÷
+ +
 
=

( )
( )
1
1
a b c
c a b+ + =
+ +
(đpcm)
DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1 .
Bµi tập 3 :Cho x, y, z > 0 t/m ®k :xyz = 1 .Tìm min của biểu thức sau :

3 3 3
1 1 1
( ) ( ) ( )
E
x y z y x z z x y
= + +
+ + +
Lời gi¶i:
§Æt
2 2 2
1 1 1 1
a ;b ;c abc 1
x y z xyz
x y c(a b); y z a(b c); z x b(a c)
a b c
E
b c a c a b
= = = ⇒ = =
⇒ + = + + = + + = +

⇒ = + +
+ + +
DÔ dµng CM ®îc :
a b c 3
b c a c a b 2
+ + ≥
+ + +
Nh©n 2 vÕ víi a + b +c
≥
0
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
3
a a b c b a b c c a b c
3
a b c
b c a c a b 2
a b c a b c 3 abc 3
b c a c a b 2 2 2
3 3
min E a b c
2 2
E 1
+ + + + + +
⇒ + + ≥ + +
+ + +
+ +
⇒ + + ≥ ≥ =
+ + +

⇒ ≥ → = ⇔ = = =
Học viên : Phùng Đức Thành .
Pptoán sơ cấp 2009 - 2011
45