Báo cáo nghiên cứu khoa học: " TÍNH CHẤT CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH KHÔNG LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ CÁC TẬP CON LỒI COMPACT CỦA NÓ" pps

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

174
TÍNH CHẤT CHẤP NHẬN ĐƯỢC CỦA MỘT KHÔNG GIAN METRIC
TUYẾN TÍNH KHÔNG LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ CÁC TẬP CON LỒI
COMPACT CỦA NÓ
THE ADMISSIBILITY OF THE NON – LOCALLY CONVEX LINEAR METRIC
SPACE AND ALL OF ITS COMPACT CONVEX SUBSETS

Lê Hoàng Trí
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Ta biết rằng mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến tính lồi địa phương đều có
tính chất co rút tuyệt đối, nhiều tác giả khảo sát tính chất chấp nhận được thay cho tính co rút
tuyệt đối và chứng minh được rằng mỗi tập lồi trong không một không gian metric tuyến tính lồi
địa phương đều có tính chất chấp nhận được. Người ta đặt vấn đề rằng kết quả trên còn đúng
không nếu bỏ giả thuyết lồi địa phương của không gian metric tuyến tính. Nội dung của bài báo
này là chỉ ra một không gian metric tuyến tính không lồi địa phương có tính chất chấp nhận
được và các tập con lồi compact của nó vẫn thế; Không gian này tổng quát hơn không gian
p
l .
ABSTRACT
It is realized that every convex subset in a local convex linear metric space is an
absolute retract. Many authors have replaced this property by the admissibility and proved that
every convex subset in a local convex linear metric space is admissible. However, it is not
known whether a convex subset of a non-locally linear metric space is admissible or not. The
aim of this paper is to introduce the non-locally linear metric space and prove the admissibility
for it and for all of its compact convex subsets.

1. Đặt vấn đề

Cho X là một không gian metric tuyến tính với metric d, A là một tập con lồi
của X, A được gọi là có tính chất chấp nhận được nếu với mỗi tập con compact K của
A, với mỗi số
0
ε
> , tồn tại một ánh xạ liên tục :
f
KA→ có ảnh được nằm trong một
không gian con hữu hạn chiều của X và ( , ( ))dxf x
ε
<
với mỗi
x
K
∈
.
Ta biết rằng mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến tính lồi địa phương
đều có tính chất chấp nhận được (xem [1]) và mỗi tập lồi co rút tuyệt đối đều có tính
chất chấp nhận được (xem [3]), Kết hợp với kết quả trong [2], các tập lồi compact (tổng
quát hơn là tập lồi giới nội) trong không gian
(0 1)
p
lp
<
< đều có tính chất chấp nhận
được.
Bây giờ ta đưa vào một không gian metric tuyến tính tổng quát hơn không gian
(0 1)
p
lp<<.

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

175
Cho
{
}
n
p
là một dãy các số thực mà (0,1)
n
p
∈
, với mỗi nN
∈
. Cho
1
()/ | | , (), ()
n
p
nn n n
n
X
xx x xxyy X
∞
=
⎧⎫
=
=<+∞∀==∈
⎨⎬
⎩⎭

∑
,
ta đặt
1
(, ) | |
n
p
nn
n
dxy x y
∞
=
=−
∑
.
Khi đó X là một không gian tuyến tính và d là một metric.
Ta đặt
1
|| || | | ; ( )
n
p
nn
n
x
xxxX
∞
=
=∀=∈
∑
.

Khi đó
(, ) || ||; ( ), ( )
nn
dxy x y x x y y X=− ∀= = ∈.
Bây giờ ta kiểm tra (X,d) là một không gian metric tuyến tính:
Cho
{
}
{
}
() ()
,
kk
x
y là các dãy trong X , ,
x
yX
∈
mà
()
lim ( , ) 0
k
k
dx x
→∞
=

()
lim ( , ) 0
k

k
dy y
→∞
= ; Khi đó
()
lim || || 0
k
k
xx
→∞
−
= ,
()
lim || || 0
k
k
yy
→∞
−
= và với mỗi ,kN∈
() () () () () ()
(,)|| ()||||||||||
kk kk k k
dx y x y x y x y x x y y++=+−+≤−+−
Từ đó
() ()
lim ( , ) 0
kk
k
dx y x y

→∞
++=
. Do đó phép cọng trong X là liên tục.
Cho
{
}
()k
x
là dãy trong X ,
x
X
∈
mà
()
lim ( , ) 0
k
k
dx x
→∞
=
,
{
}
()k
α
là dãy trong
R
,
X
α

∈ mà
()
lim
k
k
α
α
→∞
=
; Ta phải chứng minh
() ()
lim ( , ) 0
kk
k
dxx
αα
→∞
=
:
Với mỗi
kN∈ ,
() () () () () ()
|| || || ( )( ) ( ) ( ) ||
kk k k k k
x
xxxxxx
αααα α αα
−= − −+ −+ −
≤
() () () ()

|| ( )( ) || || ( ) || || ( ) ||
kk k k
x
xxx x
αα α αα
−−+ −+−
Do đó
() ()
lim ( , ) 0
kk
k
dxx
αα
→∞
=
. Từ đó (X,d) là một không gian metric tuyến tính.
Ta nhận thấy rằng nếu tồn tại (0,1)
p
∈
sao cho
n
p
p
=
với mỗi nN∈ thì không
gian X là không gian
(0 1)
p
lp<<; Như vậy lớp các không gian X này có chứa các
không gian metric tuyến tính không lồi địa phương.

Kết quả chính của bài báo này là các định lý sau:
Định lý 1. Mỗi tập lồi, compact trong không gian X đều có tính chất chấp nhận được.
Định lý 2. Không gian X có tính chất chấp nhận được.
2. Chứng minh các kết quả
Trước khi chứng minh các kết quả chính, ta chứng minh bổ đề sau
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

176
Bổ đề. Mỗi tập con lồi, compact trong không gian metric tuyến tính X đồng phôi
affine với một tập con lồi, compact của không gian metric tuyến tính lồi địa phương
RRR
∞
=××
Chứng minh.
RRR
∞
=×× là không gian topo với topo tích Tykhonoff của các đường thẳng
thực
R
. Đây là một không gian topo tuyến tính với topo xác định bởi metric
1
2| |
(, ) ; ( ), ( )
1| |
n
nn
nn
n
nn
xy

dxy x x y y R
xy
−
∞
∞
=
−
=∀==∈
+−
∑
.
Với mỗi 0,r > ta chọn
0
nN∈ sao cho
0
1
2
2
n
nn
r
∞
−
=+
<
∑
.
Khi đó
0
( ) / | | ; 1, 2,

2.2
nn
n
r
VxxRx n n
∞
⎧⎫
== ∈ < ∀=
⎨⎬
⎩⎭

là một lân cận mở lồi của 0 trong
R
∞
nằm trong quả cầu mở tâm 0 bán kính r.
Như vậy
R
∞
là một không gian metric tuyến tính lồi địa phương.
Với mỗi
nN∈ , cho :
n
qX R→ là ánh xạ được xác định bởi
()
nn
qx x
=

Ở đây
12

( , , , )
n
x
xx x X=∈ và metric trong
R
là metric thông thường, ta có
với mỗi
12 12
( , , , ), ( , , , )
nn
x
xx x y yy y X==∈;
1
(, ) | | | |
in
pp
ii nn
i
dxy x y x y
∞
=
=−≥−
∑
.
Do đó mỗi :
n
qX R→ liên tục, ánh xạ
:QX R
∞
→

Được xác định bởi
12
( ) ( ( ), ( ), , ( ), )
n
Qx q x q x q x
=

Với mỗi
12
( , , , )
n
x
xx x X
=
∈ ; là ánh xạ tuyến tính liên tục.
Bây giờ cho K là một tập lồi, compact bất kỳ trong X, khi đó hạn chế của ánh xạ
Q trên K là một ánh xạ affine liên tục, đơn ánh mà K compact nên ánh xạ này là một
phép nhúng đồng phôi affine của K vào
R
∞
, từ đó K đồng phôi affine với tập lồi,
compact
()
f
K trong
R
∞


Chứng minh Định lý 1.

Cho K là một tập lồi, compact trong không gian metric tuyến tính X, Sử dụng
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

177
Bổ đề trên K đồng phôi với một tập lồi, compact trong không gian metric tuyến tính lồi
địa phương
R
∞
, sử dụng [3], K có tính chất chấp nhận được do mỗi tập lồi trong một
không gian metric tuyến tính lồi địa phương đều chấp nhận được


Chứng minh Định lý 2.
Cho K là một tập compact bất kỳ trong X; Với mỗi
nN
∈
, ta xác định ánh xạ
:
n
f
KX→
bởi
12
( ) ( , , , ,0, 0, )
nn
fx xx x
=

với mỗi
12

( , , , )
n
x
xx x X
=
∈ . Ta nhận thấy rằng ảnh của ánh xạ
n
f
được
chứa trong một không gian con hữu hạn chiều của X. Do đó ta cần chứng minh
0
0
0; : ( ( ), ) ;
n
nNdfxx xK
ε
ε
∀> ∃ ∈ < ∀∈
thì X có tính chất chấp nhận được. Giả sử ngược lại,
0121 00
1
0 : , ( , , , , , ) : ( ( ), ) | | (*)
k
p
nn n k
kn
nNx xx xx Kdfxx x
εεε
∞
+

=+
∃>∀∈ ∃= ∈ ≥ ⇒ ≥
∑
Sử dụng (*)
(1)
x
∃
=
(1) (1) (1) (1)
12 1
( , , , )
kk
x
xxx K
+
∈
mà
(1)
0
1
||
k
p
k
k
x
ε
∞
=
≥

∑
. Do chuỗi
(1)
1
||
k
p
k
k
x
∞
=
∑
hội tụ nên tồn tại
1
:nN
∈
1
(1)
0
1
||
4
k
p
k
kn
x
ε
∞

=+
<
∑
.
(2)
x∃=
(2) (2) (2) (2)
12 1
( , , , )
kk
x
xxx K
+
∈ mà
1
(2)
0
1
||
k
p
k
kn
x
ε
∞
=+
≥
∑
và tồn tại

2
:nN∈
2
(2)
0
1
||
4
k
p
k
kn
x
ε
∞
=+
<
∑
.
Tiếp tục quá trình này ta tìm được dãy
{
}
()k
x
K⊂ và với mọi lk> thì
() ()
0
3
(,)
4

kl
dx x
ε
≥⇒ K không hoàn toàn giới nội ⇒ K không compact ⇒ vô lý. Vậy
định lý được chứng minh xong


TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. C. Bessaga and T. Dobrowolski, “Some problems in the border of functional
analysis and topology”, Proc. Internat. Conf. Geometric Topology, Warsaw, 1978.
[2]. Lê Hoàng Trí, "The AR-property of bound convex in the space l
p
(0<p<1)", Journal
of science and technology, University of DaNang, No 1(13), 2006, 59 – 64.
[3]. Le Hoang Tri and Nguyen Hoang Thanh, “Some remarks on the AR – property”.
Acta. Math. Vietnam, Vol. 34, Number 3, 2009, 389 - 400.