Báo cáo nghiên cứu khoa học: " PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC" pps

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

141
PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA
BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
AN ENERGY NORM METHOD WITH THE TOTAL VARIATION
REGULARIZATION FOR A COEFFICIENT IDENTIFICATION PROBLEM IN
ELLIPTIC EQUATION.

Trần Nhân Tâm Quyền
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
() ().() 0ux axux
−
∆+ =
với điều kiện
biên thuần nhất. Trong bài báo này chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng để xác
định hệ số phản ứng
()aax=
từ những giá trị không chính xác của nghiệm u trên toàn
miền. Hơn nữa, cho mục đích quan tâm đặc biệt đánh giá các hệ số không liên tục, chúng ta
dùng phương pháp chỉnh với nửa chuẩn biến phân toàn phần thay cho phương pháp chỉnh
Tikhonov truyền thống. Phương pháp chuẩn năng lượng đã được nghiên cứu gần đây cho
bài toán đánh giá hệ số khuếch tán trong các phương trình elliptic (xem, [3, 6]). Tuy nhiên,
chúng ta không thấy bất kỳ công trình nào nghiên cứu về phương pháp này cho bài toán
đánh giá hệ số phản ứng.
ABSTRACT
Consider the Dirichlet problem for the elliptic equation () ().() 0ux axux

−
∆+ = with
the homogeneous boundary condition. In this paper, we use the energy norm method to identify
the reaction coefficient
()aax=
from imprecise values of a solution u in the whole domain.
Furthermore, for the purpose of particular interest in estimating coefficients that are
discontinuous, we use the regularization method with the total variation semi-norm instead of
the traditional Tikhonov regularization. The energy norm method has recently been studied for
the problem of estimating the diffusion coefficients in elliptic equations (see, [3,6]). However,
there has been no investigation into this method for the problem of estimating reaction
coefficients.

1. Đặt vấn đề
Cho Ω là một miền bị chặn trong
n
 có biên
∂
Ω liên tục Lipschitz,
2
()fL∈Ω
và ( )aL
∞
∈Ω. Chúng ta xét bài toán xác định hệ số () ( )aax L
∞
=
∈Ωtrong bài toán
Dirichlet cho phương trình elipptic
() ().() 0, ,
()

() 0, ,
ux axux x
E
ux x
−∆ + = ∈Ω
⎧
⎨
=
∈∂Ω
⎩

giả sử u đã được cho trên toàn miền
Ω
. Để phát biểu một cách chính xác bài toán,
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

142
chúng ta nhắc lại rằng một hàm
1
0
()uH
∈
Ω được gọi là một nghiệm của hệ elliptic này
nếu:

1
0
,()u v auv fv v H
ΩΩΩ
∇∇+ = ∀∈ Ω

∫∫∫
. (1)
Nếu hệ số
a thuộc vào tập
{
}
():0 () ,AaL aaxax
∞
=
∈Ω<≤ ≤ ∈Ωthì
()
E
có
duy nhất nghiệm và thoả mãn bất đẳng thức

1
2
()
()
1
|| || || || ,
L
H
uf
α
Ω
Ω
≤ (2)
ở đây hằng số
0

α
> phụ thuộc vào cận dưới a của tập
A
và hằng số được xuất hiện
trong bất đẳng thức Poincaré – Friedrichs (xem, [7]). Do đó, chúng ta xác định được
toán tử phi tuyến từ hệ số đến nghiệm
1
0
:()()UA L H
∞
⊂Ω→Ω mà ánh xạ mỗi
()aAL
∞
∈⊂ Ωtới một nghiệm
1
0
() ( )Ua H
∈
Ω của ()E . Bài toán ngược khi đó được
phát biểu như sau:
Cho
1
0
() ( )uUa H
=
∈Ω, tìm aA
∈
.
Chúng ta sẽ ký hiệu gradient của
()Uatương ứng với biến

x
bởi ()Ua∇ và đạo
hàm Fréchet của
()Ua tương ứng với a bởi '( )Ua.
Như chúng ta đã biết rằng (xem, [4, 8]) ánh xạ
U khả vi Fréchet mọi cấp trên A . Cho
mỗi ( )
hL
∞
∈Ω, đạo hàm
1
0
'( ) ( )Uah H
∈
Ω là nghiệm duy nhất của phương trình biến
phân

1
0
'() '() (), ( )Uahv aUahv hUav v H
ΩΩ
Ω
∇∇+ =− ∀∈Ω
∫∫∫
. (3)
Hơn nữa,

12
2
() () ()

1
'( ) , ( )
HLL
Uah f h h L
α
∞
∞
ΩΩΩ
≤∀∈Ω
. (4)
2. Hàm mục tiêu lồi và chính quy hoá
Phương pháp tiêu chuẩn để xác định a từ đo đạc
1
()zH
∈
Ω của nghiệm ( )Ualà
phương pháp bình phương tối thiểu (xem, [2]), nghĩa là tìm
a như nghiệm cực tiểu của
phiến hàm
1
2
()
|| ( ) ||
H
Ua z
Ω
− trên tập chấp nhận được nào đó
ad
AA
∅

≠⊂. Thay vì vậy
chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng phụ thuộc
,a
một hàm

22
1
(): | ( () )| ( () )
2
aJa Uaz aUaz
Ω
=∇ −+ −
∫
a . (5)
Định lý 1. Hàm mục tiêu ()Ja là lồi trên tập lồi A .
Chứng minh. Ta có, với mọi ( )hL
∞
∈Ω và aA
∈
,
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

143
2 2
1
'() ( () ) '() ( () ) '()( () )
2
Jah hUa z Uah Ua z aUahUa z
ΩΩ Ω
=−+∇∇−+ −

∫∫ ∫
.
Dùng (1) và (3) ta được
2 2
2
22
1
'() ( () ) '() ( () ) '()( () )
2
1
(() ) ()(() )
2
11
() .
22
Jah hUa z Uah Ua z aUahUa z
hUaz hUaUaz
hU a hz
ΩΩ Ω
ΩΩ
ΩΩ
=−+∇∇−+ −
=−− −
=− +
∫∫ ∫
∫∫
∫∫

Do đó,
1

22
2
()
''( )( , ) '( ) ( )
| '() | '()
min(1, ) '( ) 0.
H
Jahh hUahUa
Uah aU ah
aUah
Ω
ΩΩ
Ω
=−
=∇ +
≥≥
∫
∫∫

Điều này suy ra rằng hàm ( )Ja là lồi trên A .
Bài toán elliptic ngược xác định hệ số ()aax
=
bằng phương pháp chính quy
hoá, sử dụng chuẩn năng lượng với phạt biến phân toàn phần là tìm nghiệm của bài toán
tối ưu

min ( ) | |,
ad
Ja a trêna A
ρ

Ω
+∇ ∈
∫
(P)
với 0
ρ
> là tham số chính quy hoá và ( )
ad
AATV
=
ΩI . Ở đây ( )TV Ω là không gian
Banach của các hàm có biến phân toàn phần bị chặn (xem, [1, 5]). Theo Định lý 1, vì
()Jalà lồi nên hàm mục tiêu trong bài toán (P) cũng lồi.
3. Sự tồn tại của nghiệm tối ưu
Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh bài toán (P) có nghiệm. Kết quả sau đây
có thể được tìm thấy trong Giusti [5], trang 7 - 17.
Bổ đề 1. (i) Với mọi dãy bị chặn () ()
n
aTV⊂Ω, tồn tại một dãy con ()
m
a của
nó và một hàm
()aTV∈Ω
sao cho ()
m
a hội tụ về a trong
1
()L
Ω
-chuẩn.

(ii) Nếu () ()
n
aTV⊂Ω và ()
n
a hội tụ về
a
trong
1
()L
Ω
-chuẩn thì
||liminf| |
nn
aa
ΩΩ
∇≤ ∇
∫∫
.
Bổ đề 2. Cho ()
n
a là dãy bị chặn trong ()L
∞
Ω
và ()
n
a hội tụ về 0 trong
1
()L Ω -chuẩn. Khi đó
0,
n

auv n
Ω
→→∞
∫

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

144
với mọi u và v thuộc
2
()L Ω .
Chứng minh. Bởi định nghĩa của limsup và giả thiết rằng ( )
n
a hội tụ về
0
trong
1
()L Ω -chuẩn, tồn tại một dãy con ( )
m
a của nó mà hội tụ về 0 hầu khắp nơi trên Ω và
lim sup | | lim | |
nn mm
auv a uv
ΩΩ
=
∫∫

Áp dụng Bổ đề Fatou ta có
lim sup lim | |
lim sup | |

0.
nn m m
mm
auv a uv
auv
ΩΩ
Ω
≤
≤
=
∫∫
∫

Bây giờ chúng ta phát biểu kết quả chính cho mục này.
Định lý 2. Bài toán tối ưu (P) có một nghiệm.
Chứng minh. Lấy ( )
n
a là dãy infimum cho (P), nghĩa là
() | | inf () | |, .
ad
nnaA
Ja a Ja a n
ρρ
∈
ΩΩ
+∇→ +∇→∞
∫∫

Từ
đây suy ra rằng dãy ( )

n
a bị chặn trong ( )TV
Ω
-chuẩn. Bởi Bổ đề 1, tồn tại
một dãy con ( )
m
a của nó và hàm ()aTV
∈
Ω sao cho ( )
m
a hội tụ về a trong
1
()L Ω -
chuẩn và
||liminf| |
mm
aa
ΩΩ
∇≤ ∇
∫∫
.
Vì ( )
m
aA⊂ nên aA
∈
, và do đó ( )
ad
aA ATV
∈
=ΩI . Ta có, từ (1) và (2),

1
0
() () , ()
mmm
Ua v aUa v fv v H
ΩΩΩ
∇∇+ =∀∈Ω
∫∫∫
và
1
2
()
()
1
|| ( ) || || ||
mL
H
Ua f
α
Ω
Ω
≤
. (6)
Bất đẳng thức cuối cùng suy ra rằng dãy ( ( ))
m
Ua là bị chặn trong không gian
Hilbert
1
()H Ω do đó nó có một dãy con, được sử dụng cùng ký hiệu, sao cho dãy

(( ))
m
Ua hội tụ yếu về
θ
trong
1
()H
Ω
. Ta có, với mọi
1
0
()vH
∈
Ω
,
() () ( )()
(( ) ) (( ) ).
mmm mm
mm
Ua v aUa v v av a aUa v
Ua v aUa v
θθ
θ
θ
ΩΩΩΩΩ
ΩΩ
∇∇+ −∇∇−=−
+∇ − ∇+ −
∫∫∫∫∫
∫∫

Vì ( ( ))
m
Ua hội tụ yếu về
θ
trong
1
()H
Ω
-chuẩn nên

(( ) ) (( ) ) 0, .
mm
Ua v aUa v m
θθ
ΩΩ
∇−∇+ −→→∞
∫∫
(7)
Ngoài ra,
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

145
11
22
22
( ) ( ) |( )|| ( )| |( )|| |
mm m m m
aaUav aaUa aav
ΩΩ Ω

⎛⎞⎛⎞
−≤− −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∫∫ ∫

và dùng định nghĩa của tập A , công thức (6) ta được
1
2
1
2
2
()
()
|( )|| ( )| 2 ( )
2
|| || .
mm m
H
L
aaUa aUa
a
f
α
Ω
Ω
Ω
⎛⎞
−≤
⎜⎟

⎝⎠
≤
∫

Một áp dụng của Bổ đề 2 suy ra rằng

()()0.
mm
aaUav
Ω
−→
∫
(8)
Từ các đẳng thức (7) và (8) ta được

() () ,
mmm
Ua v aUa v v avm
θθ
ΩΩΩΩ
∇∇+ →∇∇− →∞
∫∫∫∫
(9)
với mọi
1
0
()vH∈Ω. Suy ra từ (9) và (6) rằng
1
0
,()vav fvvH

θθ
ΩΩΩ
∇∇+ = ∀∈ Ω
∫∫∫
.
Điều này có nghĩa là ( )Ua
θ
= và dãy ( ( ))
m
Ua có một dãy con hội tụ yếu về
()Ua trong
1
()H Ω . Ngoài ra, vì
1
0
()H
Ω
là không gian con đóng của không gian
Hilbert
1
()H Ω do đó chúng ta có sự phân tích trực giao
11 1
00
() () ()HHH
⊥
Ω
=Ω⊕Ω.
Chọn
1
0

()yH∈Ω và
1
0
()tH
⊥
∈Ω sao cho zyt
=
+ . Ta có
22 2 2
22
22
11
|(() )| (() ) |(() )| (() )
22
1
|(() )| (( ) )
2
(( ) ) (( ) )
1
|| .
2
mmm m mm
mmm
mmm
m
Ua z a Ua z Ua y t a Ua y t
Ua y a Ua y
Ua y t a Ua yt
tat
ΩΩ

Ω
Ω
Ω
∇−+ −=∇−−+ −−
=∇ −+ −
−∇ −∇+ −
+∇+
∫∫
∫
∫
∫

Ta có
2
11
|(( ) )| (( ) ) (( ) )
22
1
(() ), ,
2
mmm m
Ua y a Ua y fUa y
fUa y m
ΩΩ
Ω
∇−+ −= −
→−→∞
∫∫
∫

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

146
bởi (1) và sự kiện rằng dãy ( ( ))
m
Ua hội tụ yếu về ()Uatrong
1
()H
Ω
. Với lý do tương
tự ta cũng có
(( ) ) (() ) , .
m
Ua y t Ua y tm
ΩΩ
∇−∇→∇−∇→∞
∫∫

Ngoài ra, chứng minh tương tự như trên ta cũng có
(( ) ) (() )
mm
aUa yt aUa yt
ΩΩ
−→ −
∫∫

và
22 22
11
|| || , .

22
m
tat tatm
ΩΩ
∇+ → ∇+ →∞
∫∫

Do đó,

22
22
22
11
lim | ( ( ) ) | ( ( ) ) ( ( ) )
22
(() ) (() )
1
||
2
1
|(() )| (() ).
2
mmmm
Ua z a Ua z fUa y
Ua y t aUa yt
tat
Ua z aUa z
ΩΩ
Ω
Ω

Ω
∇−+ −= −
−∇ −∇+ −
+∇+
=∇ −+ −
∫∫
∫
∫
∫
(10)
Bây giờ, ta có,
22
22
2
2
1
|(() )| (() ) | |
2
1
lim | ( ( ) ) | ( ( ) ) | |
2
1
lim | ( ( ) ) | ( ( ) ) liminf | |
2
1
lim inf | ( ( ) ) | ( ( ) ) | |
2
inf ( ) | |
ad
mmmm

mmmm mm
mmmm m
aA
Ua z aUa z a
Ua z a Ua z a
Ua z a Ua z a
Ua z a Ua z a
Ja a
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ΩΩ
ΩΩ
ΩΩ
ΩΩ
∈
Ω
∇−+ −+∇
=∇−+−+∇
≤∇−+−+ ∇
⎛⎞
=∇−+−+∇
⎜⎟
⎝⎠
=+∇
∫∫
∫∫
∫∫

∫∫
.
∫

Điều này có nghĩa
a
là nghiệm của bài toán (P). Định lý đã được chứng minh.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. H. Attouch, G. Buttazzo, G. Michaille, Variational analysis in Sobolev and BV
spaces, SIAM, 2006, 634 p.
[2]. G. Chavent, Nonlinear Least Squares for Inverse Problems. Theoretical Foundations
and Step-by-Step Guide for Applications, Scientific Computation. Springer, New
York, 2009, 360 p.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

147
[3] Z. Chen and J Zou, “An augmented Lagrangian method for identifying
discontinuous parameters in elliptic systems” SIAM J. Control And Optim 3(37),
1999, 892 – 910.
[4]. F. Colonius and K. Kunisch, “Output least squares stability in elliptic systems”,
Alpp. Math. Optim., 19, 1989, 33 – 63.
[5]. E. Giusti, Minimal surfaces and functions of boubded variation, Vol. 80,
Birkhauser - Boston, 1984, 240 p.
[6]. M.S. Gockenbach and A A. Khan, “An abstract framework for elliptic inverse
problems: Part 1, An output least squares approach”, Math. And Mechanics Of
Solids, 12, 2007, 259 – 276.
[7]. O. A. Ladyzhenskaya, The boundary value problems of mathematical physics,
Springer – Verlag, 1984, 322 p.

[8]. T. N. T. Quyen, “Some properties of mapping from coefficients to solutions for
elliptic equations”, J. of scie. and tech., Da Nang Univ., 3(32), 2009, 104 – 111.